2.3 第2课时 函数的最大(小)值-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书word（北师大版）

本高中数学讲义聚焦函数的最大(小)值核心知识点，系统梳理概念及几何意义，衔接函数单调性基础，通过图象观察、单调性应用、一元二次函数性质及恒成立问题构建学习支架，为函数应用奠定基础。 资料以直观想象为导向呈现函数图象分析最值，通过单调性证明培养数学运算能力，结合含参二次函数分类讨论渗透逻辑推理，例题与分层作业设计助力课中教学实施，课后学生可自主查漏补缺，提升问题解决素养。

第2课时　函数的最大(小)值 学习任务 核心素养 1．理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义．(重点) 2．能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值．(重点、难点) 3．能利用函数的最值解决有关的实际应用问题．(重点) 1．通过函数最值的求法，培养直观想象和数学运算素养． 2．借助利用函数的最值解决实际问三题，培养数学建模素养． 1．从函数图象可以看出，函数最大(小)值的几何意义是什么？ 2．函数最大值、最小值的定义是什么？ 3．若函数f (x)在区间[a，b]上是增函数，则它在[a，b]上的最大值和最小值各是什么？ 4．所有函数在定义域内一定有最大值或最小值吗？ 函数的最大值与最小值 最大值 最小值 条件 设函数y＝f (x)的定义域为D，如果存在实数M，对所有的x∈D，都有 f (x)≤M f (x)≥M 且存在x0∈D，使得f (x0)＝M 结论 M是函数y＝f (x)的最大值 M是函数y＝f (x)的最小值 几何意义 f (x)图象上最高点的纵坐标 f (x)图象上最低点的纵坐标 若函数f (x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？ [提示]　不一定，只有定义域内存在一点x0，使f (x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是． 1．下列关于函数f (x)＝2x－1(x<0)的说法中，正确的是________(填序号)． ①有最大值；②有最小值；③既有最大值又有最小值；④既无最大值又无最小值． [答案]　④ 2．函数y＝f (x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是________，________． [答案]　－1　2 3．(1)函数f (x)＝，x∈[2，4]，则f (x)的最大值为________，最小值为________． (2)函数y＝2x2＋2，x∈N*的最小值是________． [答案]　(1)1　　(2)4　[(2)函数y＝2x2＋2在(0，＋∞)上单调递增，又因为x∈N*，所以当x＝1时，y最小值＝2×12＋2＝4．] 类型1　利用函数的图象求函数的最值(值域) 【例1】　【链接教材P62例2】 已知函数f (x)＝ (1)在直角坐标系内画出f (x)的图象； (2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域． [解]　(1)图象如图所示： (2)由图可知f (x)的单调递增区间为[－1，0]，(2，5]，单调递减区间为(0，2]，值域为[－1，3]． 【教材原题·P62例2】 例2　根据函数图象直观判断y＝|x－1|的单调性，并求出最小值． [解]　函数y＝|x－1|可以表示为y＝ 画出该函数的图象(如图2-11)． 由图象可知该函数在区间(－∞，1]上单调递减，在区间[1，＋∞)上单调递增．当x＝1时，y＝|x－1|取得最小值，最小值为0． 　利用图象求函数最值的方法 (1)画出函数y＝f (x)的图象； (2)观察图象，找出图象的最高点和最低点； (3)写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值． [跟进训练] 1．已知函数f (x)＝求f (x)的最大值、最小值． [解]　作出函数f (x)的图象(如图)． 由图象可知，当x＝±1时，f (x)取最大值为f (±1)＝1．当x＝0时，f (x)取最小值f (0)＝0， 故f (x)的最大值为1，最小值为0． 类型2　利用函数的单调性求函数的最值(值域) 【例2】　已知函数f (x)＝． (1)判断函数f (x)在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间[2，4]上的最大值和最小值． [解]　(1) f (x)在(－1，＋∞)上单调递增，证明如下：任取－1<x1<x2， 则f (x1)－f (x2)＝＝， 因为－1<x1<x2⇒x1＋1>0，x2＋1>0，x1－x2<0， 所以f (x1)－f (x2)<0⇒f (x1)<f (x2)， 所以f (x)在(－1，＋∞)上单调递增． (2)由(1)知f (x)在[2，4]上单调递增， 所以f (x)的最小值为f (2)＝＝， 最大值为f (4)＝＝． 　1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性； (2)利用单调性求出最大(小)值． 2．函数的最大(小)值与单调性的关系 (1)若函数f (x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则f (x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f (a)，最大(小)值是f (b)． (2)若函数f (x)在区间[a，b]上单调递增(减)，在区间[b，c]上单调递减(增)，则f (x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f (b)，最小(大)值是f (a)与f (c)中较小(大)的一个． 提醒：(1)求最值勿忘求定义域． (2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意． [跟进训练] 2．求函数f (x)＝x＋在[1，4]上的最值． [解]　设1≤x1<x2<2，则f (x1)－f (x2)＝x1＋－x2－＝x1－x2＋ ＝(x1－x2)·＝． ∵1≤x1<x2<2，∴x1－x2<0，x1x2－4<0，x1x2>0， ∴f (x1)>f (x2)，∴f (x)在[1，2)上单调递减． 同理f (x)在[2，4]上单调递增． ∴当x＝2时，f (x)取得最小值4； 当x＝1或x＝4时，f (x)取得最大值5． 类型3　一元二次函数的最值 【例3】　(1)函数f (x)＝x2＋4x－6，x∈[0，5]的值域为________． (2)已知g(x)＝x2－2mx－15，求函数g(x)在x∈[0，2]上的最小值． (1)[－6，39]　[ f (x)＝x2＋4x－6＝(x＋2)2－10， 因为－2＜0，所以当x＝0时，f (x)取得最小值为－6；当x＝5时，f (x)取得最大值为39． 所以函数f (x)的值域为[－6，39]．] (2)[解]　g(x)＝x2－2mx－15，x∈[0，2]，对称轴为直线x＝m， 当m＞2时，g(x)min＝g(2)＝4－4m－15＝－4m－11； 当m＜0时，g(x)min＝g(0)＝－15； 当0≤m≤2时，g(x)min＝g(m)＝m2－2m2－15＝－15． 综上所述，g(x)min＝ [母题探究] 　本例(2)的条件不变，试求函数g(x)在[0，2]上的最大值． [解]　当m≤1时，g(x)max＝g(2)＝－4m－11； 当m＞1时，g(x)max＝g(0)＝－15． 综上所述，g(x)max＝ 　1．不含参数的一元二次函数的最值 首先配方，确定对称轴，考查对称轴与区间的关系： (1)当对称轴不在区间上时，该区间是单调区间，最值在端点处取到； (2)当对称轴在区间上时，最值在对称轴、距离对称轴较远的端点处取得． 2．含参数的一元二次函数的最值 以一元二次函数图象开口向上、对称轴为直线x＝m为例，区间为[a，b]， (1)最小值：f (x)min＝ (2)最大值：f (x)max＝ 当开口向下时，可用类似方法进行讨论，其实质是讨论对称轴与区间的位置关系． [跟进训练] 3．已知函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围是(　　) A．[1，＋∞) 　 B．[0，2] C．(－∞，2] 　 D．[1，2] D　[由y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2知，当x＝1时，y取最小值2；当y＝3时，x2－2x＋3＝3，解得x＝0或x＝2．由y＝x2－2x＋3的图象知，当m∈[1，2]时，能保证该函数在区间[0，m]上的最大值为3，最小值为2．] 类型4　利用函数的最值解决恒成立问题 【例4】　已知函数f (x)＝，x∈[1，＋∞)． (1)当a＝时，求函数f (x)的最小值； (2)若对任意x∈[1，＋∞)，f (x)>0恒成立，试求实数a的取值范围． [解]　(1)当a＝时，f (x)＝＝x＋＋2．任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2， 则f (x1)－f (x2)＝(x1－x2)<0， 所以f (x1)<f (x2)，即函数f (x)在[1，＋∞)上单调递增， 所以函数f (x)在[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝1＋＋2＝． (2)法一：依题意f (x)＝>0在[1，＋∞)上恒成立， 即x2＋2x＋a>0在[1，＋∞)上恒成立． 记y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)， 由y＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)上单调递增，知当x＝1时，y取得最小值3＋a． 所以当3＋a>0，即a>－3时，f (x)>0恒成立． 于是实数a的取值范围为(－3，＋∞)． 法二：依题意f (x)＝>0在[1，＋∞)上恒成立，即x2＋2x＋a>0在[1，＋∞)上恒成立． 所以a>－x2－2x在[1，＋∞)上恒成立． 令g(x)＝－x2－2x，x∈[1，＋∞)， 因为g(x)＝－x2－2x在[1，＋∞)上单调递减，所以g(x)max＝g(1)＝－1－2＝－3，所以a>－3， 故实数a的取值范围为(－3，＋∞)． 　分离参数法 在求参数a的取值范围时，可将参数a单独分离出来求解：若对区间D上的任意x，a>f (x)恒成立，则a>f (x)max；若对于区间D上的任意x，a<f (x)恒成立，则a<f (x)min；若在区间D上存在x使a>f (x)成立，则a>f (x)min；若在区间D上存在x使a<f (x)成立，则a<f (x)max，其他(如a≥f (x)等)情形类似可得相应结论． [跟进训练] 4．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，1] 　 B．(－∞，0] C．(－∞，0) 　 D．(0，＋∞) C　[记f (x)＝－x2＋2x，0≤x≤2，因为a<－x2＋2x恒成立，所以a<f (x)min，而f (x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，当x∈[0，2]时，f (x)min＝f (0)＝f (2)＝0．所以a＜0，故选C．] 1．函数y＝x2－2x，x∈[0，3]的值域为(　　) A．[0，3] 　 B．[－1，0] C．[－1，＋∞) 　 D．[－1，3] D　[∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0，3]，∴当x＝1时，函数取得最小值为－1， 当x＝3时，函数取得最大值为3，故函数的值域为[－1，3]，故选D．] 2．设函数f (x)的定义域为[0，1]，则“函数f (x)在[0，1]上单调递增”是“函数f (x)在[0，1]上的最大值为f (1)”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[函数f (x)在[0，1]上单调递增，则有f (x)在[0，1]上的最大值为f (1)． 反之，函数f (x)在[0，1]上的最大值为f (1)，则f (x)在[0，1]上不一定单调递增．故选A．] 3．设定义在R上的函数f (x)＝x|x|，则f (x)(　　) A．只有最大值 B．只有最小值 C．既有最大值，又有最小值 D．既无最大值，又无最小值 D　[ f (x)＝画出f (x)的图象可知(图略)，f (x)既无最大值又无最小值．] 4．函数f (x)＝，x∈[2，6]，则f (x)的最大值为________，最小值为________． 　[∵f (x)＝在区间[2，6]上单调递减， ∴f (6)≤f (x)≤f (2)，即≤f (x)≤．] 5．函数y＝ax＋1在区间[1，3]上的最大值为4，则a＝________． 1　[若a<0，则函数y＝ax＋1在区间[1，3]上单调递减，并且在区间的左端点处取得最大值，即a＋1＝4，解得a＝3，不满足a<0，舍去；若a>0，则函数y＝ax＋1在区间[1，3]上单调递增，并且在区间的右端点处取得最大值，即3a＋1＝4，解得a＝1．综上，a＝1．] 课时分层作业(十七)　函数的最大(小)值 一、选择题 1．函数y＝在[2，3]上的最小值为(　　) A．2 　 B． C． 　 D．－ B　[∵函数y＝在[2，3]上单调递减，∴当x＝3时，ymin＝＝．] 2．函数f (x)＝－x2＋4x－6，x∈[0，5]的值域为(　　) A．[－6，－2] 　 B．[－11，－2] C．[－11，－6] 　 D．[－11，－1] B　[函数f (x)＝－x2＋4x－6＝－(x－2)2－2，x∈[0，5]， 所以当x＝2时，f (x)取得最大值为－(2－2)2－2＝－2； 当x＝5时，f (x)取得最小值为－(5－2)2－2＝－11， 所以函数f (x)的值域是[－11，－2]． 故选B．] 3．函数f (x)＝则f (x)的最大值、最小值分别为(　　) A．10，6 　 B．10，8 C．8，6 　 D．以上都不对 A　[当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10，当－1≤x<1时，6≤x＋7<8，∴f (x)最小值＝f (－1)＝6，f (x)最大值＝f (2)＝10．故选A．] 4．函数f (x)＝的最大值是(　　) A． 　 B． C． 　 D． D　[令t＝1－x(1－x)＝＋， 则0<f (x)≤，所以f (x)的最大值为．] 5．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中销售量x单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为(　　) A．90万元 　 B．60万元 C．120万元 　 D．120.25万元 C　[设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为 L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝＋30＋， ∴当x＝9或10时，L最大为120万元．] 二、填空题 6．函数f (x)＝在[1，b](b>1)上的最小值是，则b＝________． 4　[因为f (x)＝在[1，b]上单调递减，所以f (x)在[1，b]上的最小值为f (b)＝＝，所以b＝4．] 7．已知函数f (x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f (x)有最小值－2，则f (x)的最大值为________． 1　[函数f (x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋4＋a，x∈[0，1]，且函数有最小值－2． 故当x＝0时，函数有最小值， 当x＝1时，函数有最大值． ∵当x＝0时，f (0)＝a＝－2， ∴f (x)最大值＝f (1)＝－1＋4－2＝1．] 8．已知二次函数f (x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－3，2]上的最大值为4，则a的值为________． －3或　[ f (x)图象的对称轴为直线x＝－1． 当a>0时，f (x)max＝f (2)＝4，解得a＝； 当a<0时，f (x)max＝f (－1)＝4，解得a＝－3． 综上，得a＝或a＝－3．] 三、解答题 9．已知函数f (x)＝－x2＋2x－3． (1)求f (x)在区间[2a－1，2]上的最小值g(a)； (2)求g(a)的最大值． [解]　(1) f (x)＝－(x－1)2－2，f (2)＝－3，f (0)＝－3，∴当2a－1≤0，即a≤时，f (x)最小值＝f (2a－1)＝＋8a－6； 当0＜2a－1＜2，即<a<时，f (x)最小值＝f (2)＝－3． 所以g(a)＝ (2)当a≤时，g(a)＝－4a2＋8a－6单调递增， ∴g(a)≤g＝－3； 又当<a<时，g(a)＝－3， ∴g(a)的最大值为－3． 10．若二次函数f (x)满足f (x＋1)－f (x)＝2x，且f (0)＝2． (1)求f (x)的解析式； (2)若在区间[－1，1]上，不等式f (x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围． [解]　(1)设f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， ∵f (0)＝2，∴c＝2，∴f (x)＝ax2＋bx＋2． ∵f (x＋1)－f (x)＝2x， ∴2ax＋a＋b＝2x， ∴解得 ∴f (x)＝x2－x＋2． (2)由题意知x2－x＋2>2x＋m在[－1，1]上恒成立， 即x2－3x＋2－m>0在[－1，1]上恒成立． 令g(x)＝x2－3x＋2－m＝－－m(x∈[－1，1])， 则g(x)在区间[－1，1]上单调递减， ∴g(x)min＝g(1)＝1－3＋2－m>0， ∴m<0， 即实数m的取值范围为(－∞，0)． 11．设f (x)＝若f (0)是f (x)的最小值，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] 　 B．(－∞，2) C．(2，＋∞) 　 D．[2，＋∞) A　[由题意，当x>0时，f (x)的最小值为f (1)＝2；当x≤0时，f (x)的最小值为f (0)＝a．若f (0)是f (x)的最小值，则a≤2．] 12．(多选)已知函数f (x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])，g(x)＝x2－2x(x∈[0，3])，下列结论正确的是(　　) A．∀x∈[－2，2]，f (x)>a恒成立，则实数a的取值范围是a<－3 B．∃x∈[－2，2]，f (x)>a，则实数a的取值范围是a<－3 C．∃x∈[0，3]，g(x)＝a，则实数a的取值范围是－1≤a≤3 D．∀x∈[－2，2]，∃t∈[0，3]，f (x)＝g(t) AC　[在A中，因为f (x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])是减函数，所以当x＝2时，函数f (x)的最小值为－3，因此a<－3，A正确；在B中，因为f (x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])是减函数，所以当x＝－2时，函数f (x)的最大值为5，因此a<5，B错误；在C中，函数g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0，3]，∴当x＝1时，函数g(x)取得最小值－1，当x＝3时，函数g(x)取得最大值3，故函数g(x)的值域为[－1，3]，由g(x)＝a有解，知a∈g(x)的值域，即－1≤a≤3，C正确；在D中，∀x∈[－2，2]，∃t∈[0，3]，f (x)＝g(t)等价于f (x)的值域是g(t)的值域的子集，而f (x)的值域是[－3，5]，g(t)的值域是[－1，3]，D错误．] 13．已知函数f (x)＝x2＋ax＋2(a>0)在区间[0，2]上的最大值等于8，则a＝________，函数y＝f (x)在区间[－2，1]上的值域为________． 1　　[由题知函数f (x)图象的对称轴为直线x＝－<0，故f (x)max＝f (2)＝6＋2a＝8，所以a＝1，则f (x)＝x2＋x＋2＝＋．因为f (x)图象的对称轴为直线x＝－∈[－2，1]，且f ＝，f (－2)＝4，f (1)＝4，所以所求值域为．] 14．已知函数f (x)＝函数f (x)的最大值为________，最小值为________． 2　－　[作出f (x)的图象如图． 由图象可知，当x＝2时，f (x)取最大值为2； 当x＝时，f (x)取最小值为－． 所以f (x)的最大值为2，最小值为－．] 15．已知a≥3，函数F(x)＝min{2|x－1|，x2－2ax＋4a－2}，其中min{p，q}＝ (1)求使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围； (2)①求F(x)的最小值m(a)； ②求F(x)在区间[0，6]上的最大值M(a)． [解]　(1)由于a≥3，故当x≤1时，(x2－2ax＋4a－2)－2|x－1|＝x2＋2(a－1)(2－x)>0；当x>1时，(x2－2ax＋4a－2)－2|x－1|＝(x－2)(x－2a)．所以使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围为[2，2a]． (2)①设函数f (x)＝2|x－1|，g(x)＝x2－2ax＋4a－2， 则f (x)min＝f (1)＝0，g(x)min＝g(a)＝－a2＋4a－2， 所以由F(x)的定义知m(a)＝min{ f (1)，g(a)}， 即m(a)＝ ②当0≤x≤2时，F(x)＝f (x)， 此时M(a)＝max{ f (0)，f (2)}＝2． 当2≤x≤6时，F(x)＝g(x)， 此时M(a)＝max{g(2)，g(6)}＝max{2，34－8a}， 当a≥4时，34－8a≤2； 当3≤a<4时，34－8a>2， 所以M(a)＝ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $