第2章 3 第2课时函数的最值(课件PPT)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

该高中数学课件聚焦函数的最值，通过观察函数图象（如y=-x²-2x等）的最高点特征导入，结合问题引导理解最值定义，课前基础自测衔接单调性旧知，搭建从图象观察到概念抽象的学习支架。 其特色是融合几何直观（图象法）、逻辑推理（单调性证明）、数学抽象（二次函数分类讨论），体现核心素养。如用差比法证单调性求最值培养推理能力，二次函数分区间求最值提升抽象思维。课堂小结梳理方法，一题多变强化应用，学生能系统掌握技巧，教师可借三段式结构高效教学。

第二章　函　数 §3　函数的单调性和最值 第2课时　函数的最值 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 导学 函数的最值 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 ≤ ≥ 最值 最值点 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 谢谢观看 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 　如图所示是函数y＝－x2－2x，y＝－2x＋1(x∈[－1，＋∞))，y＝f(x)的图象．观察并描述这三个图象的共同特征． [提示]　函数y＝－x2－2x的图象有最高点A，函数y＝－2x＋1，x∈[－1，＋∞)的图象有最高点B，函数y＝f(x)的图象有最高点C，也就是说，这三个函数的图象的共同特征是都有最高点． 　你是怎样理解函数图象最高点的？ [提示]　图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值． ◎结论形成 函数的最值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D 都有f(x)___f(x0) 都有f(x)___f(x0) 结论 称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点 称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点 统称 最大值和最小值统称为_____ 最大值点和最小值点统称为________ 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何函数都有最大(小)值．(　　) (2)函数f(x)在[a，b]上的最值一定是f(a)(或f(b))．(　　) (3)函数的最大值一定比最小值大．(　　) (4)若函数f(x)在区间[－1,2]上是减函数，则函数f(x)在区间[－1,2]上的最大值为f(－1)．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．函数y＝f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　) A．－1,0　　　　　 B．0,2 C．－1,2 D．eq \f(1,2)，2 解析　由图可知，f(x)的最大值为f(1)＝2，f(x)的最小值为f(－2)＝－1. 答案　C 3．设函数f(x)＝3x－1(x＜0)，则f(x)(　　) A．有最大值 B．有最小值 C．既有最大值又有最小值 D．既无最大值又无最小值 解析　∵f(x)在(－∞，0)上单调递增， ∴f(x)＜f(0)＝－1，故选D. 答案　D 4．函数f(x)＝eq \f(1,x)，x∈[1,2]，则f(x)的最大值为_______，最小值为_______． 解析　∵f(x)＝eq \f(1,x)在区间[1,2]上为减函数，∴f(2)≤f(x)≤f(1)，即eq \f(1,2)≤f(x)≤1. 答案　1　eq \f(1,2) 题型一　图象法求函数的最值 eq \a\vs4\al(自练悟通) 1．(教材例2拓展)函数f(x)在区间[－2,5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　) A．－2，f(2)　　　　　　 B．2，f(2) C．－2，f(5) D．2，f(5) 解析　由函数的图象知，当x＝－2时，f(x)有最小值－2；当x＝5时，f(x)有最大值f(5)． 答案　C 2．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2，－1≤x≤1，,\f(1,x)，x>1.))求f(x)的最大值、最小值． 解析　作出函数f(x)的图象(如图)． 由图象可知，当x＝±1时， f(x)取最大值为 f(1)＝f(－1)＝1. 当x＝0时，f(x)取最小值为f(0)＝0， 故f(x)的最大值为1，最小值为0. 图象法求函数最值的一般步骤 　 题型二　利用单调性求函数的最值 eq \a\vs4\al(一题多变) 　求函数f(x)＝eq \f(x,x－1)在区间[2,5]上的最大值与最小值． [解析]　任取2≤x1＜x2≤5， 则f(x2)－f(x1)＝eq \f(x2,x2－1)－eq \f(x1,x1－1) ＝eq \f(x1－x2,x2－1x1－1). 因为2≤x1＜x2≤5， 所以x1－x2＜0，x2－1＞0，x1－1＞0， 所以f(x2)－f(x1)＜0，所以f(x2)＜f(x1)， 所以f(x)＝eq \f(x,x－1)在区间[2,5]上单调递减， 所以f(x)max＝f(2)＝eq \f(2,2－1)＝2， f(x)min＝f(5)＝eq \f(5,5－1)＝eq \f(5,4). [母题变式] (变条件)若本例中f(x)变为“f(x)＝eq \f(2,x－1)”，其他条件不变，试求之． 解析　任取x1，x2，且2≤x1＜x2≤5， 则f(x2)－f(x1)＝eq \f(2,x2－1)－eq \f(2,x1－1) ＝eq \f(2x1－1－2x2－1,x1－1x2－1)＝eq \f(2x1－x2,x1－1x2－1). 因为2≤x1＜x2≤5， 所以(x1－1)(x2－1)＞0. 又x1－x2＜0，所以f(x2)－f(x1)＜0， 即f(x2)<f(x1)， 所以函数f(x)＝eq \f(2,x－1)在[2,5]上单调递减． 所以f(x)max＝f(2)＝eq \f(2,2－1)＝2， f(x)min＝f(5)＝eq \f(2,5－1)＝eq \f(1,2). [素养聚焦]　利用单调性求最值，把数学运算和直观想象等核心素养体现在解题过程中. 1．运用函数单调性求最值是求解函数最值问题的重要方法，特别是当函数图象不好作或作不出来时，单调性几乎成为首选方法． 2．函数的最值与单调性的关系 (1)若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)． (2)若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．　 [触类旁通] 1．求函数f(x)＝x＋eq \f(4,x)在x∈[1,3]上的最大值与最小值． 解析　设1≤x1＜x2≤3， 则f(x1)－f(x2)＝x1－x2＋eq \f(4,x1)－eq \f(4,x2) ＝(x1－x2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,x1x2))). 又因为x1＜x2，所以x1－x2＜0. 当1≤x1＜x2≤2时，1－eq \f(4,x1x2)＜0， 所以f(x1)－f(x2)＞0， 所以f(x)在[1,2]上是减函数． 当2＜x1＜x2≤3时，1－eq \f(4,x1x2)＞0， 所以f(x1)－f(x2)＜0. 所以f(x)在(2,3]上是增函数． 所以f(x)的最小值为f(2)＝2＋eq \f(4,2)＝4. 又因为f(1)＝5，f(3)＝3＋eq \f(4,3)＝eq \f(13,3)＜f(1)， 所以f(x)的最大值为5. 题型三　二次函数的最值 　已知函数f(x)＝－x2＋ax－eq \f(a,2)＋1(a∈R)． 若函数f(x)在区间[－1,1]上的最大值为g(a)，求g(a)的解析式，并求其最小值． [解析]　f(x)＝－x2＋ax－eq \f(a,2)＋1的对称轴为x＝eq \f(a,2). (1)当eq \f(a,2)≥1，即a≥2时，f(x)在[－1,1]上单调递增，可得g(a)＝f(1)＝eq \f(a,2)，且g(a)的最小值为g(2)＝1. (2)当eq \f(a,2)≤－1，即a≤－2时，f(x)在[－1,1]上单调递减，可得g(a)＝f(－1)＝－eq \f(3,2)a， 此时g(a)的最小值为g(－2)＝3. (3)当－1<eq \f(a,2)<1，即－2<a<2时，f(x)的最大值为g(a)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))＝eq \f(a2,4)－eq \f(a,2)＋1， 此时，当a＝1时g(a)取得最小值eq \f(3,4)， 综上可得g(a)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，a≥2，,－\f(3,2)a，a≤－2，,\f(a2,4)－\f(a,2)＋1，－2<a<2)) 且g(a)的最小值为eq \f(3,4). 以一元二次函数图象开口向上、对称轴为x＝m为例，区间为[a，b]． (1)最小值：f(x)min＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(fa，m≤a，,fm，a<m<b，,fb，m≥b；)) (2)最大值：f(x)max＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(fa，m≥\f(a＋b,2)，,fb，m<\f(a＋b,2).)) 当开口向下、区间是闭区间时，用类似方法进行讨论，其实质是讨论对称轴与区间的位置关系．　 [触类旁通] 2．(1)求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值； (2)求函数f(x)＝x2－4x－4在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值． 解析　(1)∵函数图象的对称轴是x＝a， ∴当a<2时，f(x)在[2,4]上是增函数， ∴f(x)min＝f(2)＝6－4a. 当a>4时，f(x)在[2,4]上是减函数， ∴f(x)min＝f(4)＝18－8a. 当2≤a≤4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2. 设f(x)在[2,4]上的最小值为g(a)． ∴g(a)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(6－4a，a<2，,2－a2，2≤a≤4，,18－8a，a>4.)) (2)f(x)＝x2－4x－4＝(x－2)2－8. 设f(x)在[t，t＋1]上的最小值为g(t)． 当t>2时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数， ∴g(t)＝f(t)＝t2－4t－4； 当t≤2≤t＋1，即1≤t≤2时，g(t)＝f(2)＝－8； 当t＋1<2即t<1时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，∴g(t)＝f(t＋1)＝t2－2t－7. 综上，g(t)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(t2－2t－7，t<1，,－8，1≤t≤2，,t2－4t－4，t>2.)) 知识落实 技法强化 1.求函数最值的方法：图象法、单调性． 2．若函数在闭区间[a，b]上是单调函数，则f(x)在[a，b]上必有最值. 若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中取出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值. $$