1.1.1 第1课时 集合的含义-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦集合的含义这一核心知识点，从实例引入集合与元素的概念，系统梳理元素的确定性、互异性、无序性三个特性，明确元素与集合的“属于”“不属于”关系，最后归纳常见数集的符号表示，形成从具体到抽象的学习支架。 资料突出数学抽象与逻辑推理素养培养，通过“帅哥”与“身高高于175厘米男生”的对比辨析集合确定性，结合元素互异性解决参数问题（如3∈A求a的值）。设计思考辨析、母题探究等互动环节，例题与分层作业匹配知识点，课中助力教师引导学生主动探究，课后帮助学生巩固基础、查漏补缺。

§1　集合 1.1　集合的概念与表示 第1课时　集合的含义 学习任务 核心素养 1．通过实例了解集合的含义．(难点) 2．掌握集合中元素的三个特性．(重点) 3．体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用． 1．通过对集合概念的学习，逐步养成数学抽象素养． 2．借助集合中元素的互异性的应用，培养逻辑推理素养． 1．集合与元素的概念是什么？ 2．如何用字母表示集合与元素？ 3．元素与集合之间有哪两种关系？ 4．常见的数集有哪些？分别用什么符号表示？ 知识点1　元素与集合的相关概念 1．集合：把指定的某些对象的全体称为集合，通常用大写英文字母A，B，C，…表示． 2．元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素，通常用小写英文字母a，b，c，…表示． 3．集合中元素的性质：一个集合中的任何两个元素都不相同，也就是说，集合中的元素没有重复，集合中元素的特性：确定性，互异性，无序性． 1．(1)集合中的元素只能是数、点、代数式吗？ (2)某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？ (3)某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？ [提示]　(1)集合中的元素可以是数学中的数、点、代数式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等． (2)不能．因为“帅哥”没有明确的标准． (3)能．因为标准确定． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)接近于0的数可以组成集合． (　　) (2)用“book”中的字母构成的集合中元素的个数为4个． (　　) [提示]　(1)接近于0的数没有明确的标准． (2)由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“b”“o”“k”三个元素． [答案]　(1)×　(2)× 知识点2　元素与集合的关系 1．属于：如果元素a在集合A中，就说元素a属于集合A，记作a∈A． 2．不属于：如果元素a不在集合A中，就说元素a不属于集合A，记作a∉A． 2．元素与集合之间有第三种关系吗？ [提示]　没有，对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果． 2．已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1，若3∈A，则实数a的值为________． 2或6　[∵3∈A，∴3＝a－3或3＝2a－1． 若3＝a－3，则a＝6．此时集合A中含有两个元素3，11，符合题意； 若3＝2a－1，则a＝2，此时集合A中含有两个元素－1，3，符合题意． 综上所述，实数a的值为2或6．] 知识点3　常见的数集及符号表示 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 正实数集 符号 N N＋或N* Z Q R R＋ 3．N与N＋(N*)有何区别？ [提示]　N＋(N*)是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集合，所以N比N＋(N*)多一个元素0． 3．用“∈”或“∉”填空． ________N；－3________Z；________Q； 0________N*；________R． [答案]　∉　∈　∉　∉　∈ 类型1　集合的概念 【例1】　下列给出的对象中，能构成集合的是(　　) ①小于0的所有实数；②与π非常接近的实数；③中国著名的高等院校；④中国双一流的高等院校 A．①③ 　 B．②④ C．①④ 　 D．③④ C　[“非常接近”“著名”等词所描述的对象没有确定性，故选C．] 　判断所描述的对象构成集合的标准 判断所描述的对象能否构成集合，关键看所描述的对象是否具有确定性，如果具有确定性，就可以组成集合；否则，就不能组成集合．在集合元素的三个特性中，元素的确定性是其本质属性． [跟进训练] 1．判断下列说法是否正确，并说明理由． (1)所有素数能组成一个集合． (2)数轴上的一些点能组成一个集合． (3)正偶数的全体可以组成一个集合． (4)大于2 020且小于2 025的所有整数不能组成集合． [解]　(1)正确，素数具有确定性． (2)不正确，“一些点”的标准不明确． (3)正确，正偶数具有确定性． (4)不正确，具有确定性，能组成集合． 类型2　元素与集合的关系 【例2】　(1)下列所给关系正确的个数是(　　) ①π∈R；②∉Q；③0∈N*；④|－5|∉N*． A．1 　 B．2 C．3 　 D．4 (2)已知集合A含有三个元素2，4，6，且当a∈A时，有6－a∈A，那么a为(　　) A．2 　 B．2或4 C．4 　 D．0 (1)B　(2)B　[(1)π是实数，是无理数，0不是正整数；|－5|＝5，5是正整数，则①②正确，故选B． (2)由题知，a＝2∈A，6－a＝4∈A，∴a＝2，或者a＝4∈A，6－a＝2∈A，∴a＝4，综上知，a＝2或4．故选B．] 　1．判断元素与集合关系的2种方法 (1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． (2)推理法：对于给出具有公共特征元素的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 2．已知元素与集合的关系求参数的思路 当a∈A时，则a一定等于集合A中的某个元素；反之，当a∉A时，结论恰恰相反． 利用上述结论建立方程(组)或不等式(组)求解参数即可，注意根据集合中元素的互异性对求得的参数进行检验． [跟进训练] 2．已知集合A中的元素x是被3除余2的整数，则有：17________A，－5________A(用“∈”“∉”填空)． ∈　∉　[由题意可设x＝3k＋2，k∈Z， 令3k＋2＝17得，k＝5∈Z．所以17∈A． 令3k＋2＝－5得，k＝－∉Z． 所以－5∉A．] 3．已知集合A中有四个元素0，1，2，3，集合B中有三个元素0，1，2，且元素a∈A，a∉B．则a的值为________． 3　[∵a∈A，a∉B，∴由元素与集合之间的关系知，a＝3．] 类型3　集合中元素的特性及应用 【例3】　已知集合A含有两个元素a和a2，则实数a的取值范围是________． a≠0且a≠1　[因为A中有两个元素a和a2，所以a≠a2，解得a≠0且a≠1．] [母题探究] 本例若加上条件“1∈A”，其他条件不变，求实数a的值． [解]　若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1． 当a＝1时，集合A有重复元素，不符合元素的互异性，∴a≠1； 当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，满足元素的互异性，∴a＝－1． 　根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3个步骤 [跟进训练] 4．已知集合A含有两个元素1和a2，若“a∈A”，求实数a的值． [解]　由a∈A可知， 当a＝1时，此时a2＝1，与集合元素的互异性矛盾，所以a≠1． 当a＝a2时，a＝0或a＝1(舍去)． 综上可知，a＝0． 1．下列说法正确的是(　　) A．某班中年龄较小的同学能够组成一个集合 B．由1，2，3和，1，组成的集合不是同一个集合 C．不超过20的非负数组成一个集合 D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解组成的集合中有3个元素 C　[A项中元素不确定．B项中两个集合元素相同，因为集合中的元素具有无序性，所以两个集合表示同一个集合．D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1．由互异性知，构成的集合中有2个元素．] 2．已知集合A中的元素x满足x－1<，则下列各式正确的是(　　) A．3∈A且－3∉A 　 B．3∈A且－3∈A C．3∉A且－3∉A 　 D．3∉A且－3∈A D　[∵3－1＝2>，∴3∉A． 又－3－1＝－4<，∴－3∈A．] 3．(多选)下列说法正确的有(　　) A．集合N中的元素都是集合N＋中的元素 B．集合N中的元素都是集合Z中的元素 C．集合Q中的元素都是集合Z中的元素 D．集合Q中的元素都是集合R中的元素 BD　[因为集合N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以A，C中的说法不正确，B，D中的说法正确．故选BD．] 4．已知集合A中的元素是自然数，且满足“若a∈A，则4－a∈A”，则集合A中最多有________个元素． 5　[由题得：a＝0时，4－0＝4∈A，a＝1时，4－1＝3∈A， a＝2时，4－2＝2∈A，a＝3时，4－3＝1∈A， a＝4时，4－4＝0∈A．] 5．已知集合A含有两个元素a＋3和2a＋1，若3∈A，则实数a的值为________． 0或1　[∵3∈A，∴或解得a＝0或a＝1．] 课时分层作业(一)　集合的含义 一、选择题 1．下列各组对象不能构成集合的是(　　) A．拥有手机的人 B．2023年高考数学难题 C．所有有理数 D．小于π的正整数 B　[B选项中“难题”的标准不明确，不符合确定性，故选B．] 2．集合M是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是(　　) A．∈M 　 B．0∉M C．1∈M 　 D．－∈M D　[>1，故A错误；－2<0<1，故B错误；1不小于1，故C错误；－2<－<1，故D正确．] 3．(多选)已知集合A中只含1，a2两个元素，则实数a不能取(　　) A．1 　 B．－1 C．0 　 D．任何实数 AB　[由集合中元素的互异性知，a2≠1，即a≠±1，故选AB．] 4．设A是方程2x2＋ax＋2＝0的解组成的集合，且2∈A，则实数a的值为(　　) A．－5 　 B．－4 C．4 　 D．5 A　[因为2∈A，所以2×22＋2a＋2＝0，解得a＝－5．] 5．若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是(　　) A．梯形 　 B．平行四边形 C．菱形 　 D．矩形 A　[由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等．] 二、填空题 6．以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的根为元素的集合中共有________个元素． 3　[方程x2－5x＋6＝0的根是2，3，方程x2－x－2＝0的根是－1，2．根据集合中元素的互异性知，以两方程的根为元素的集合中共有3个元素．] 7．不等式x－a≥0的解集为A，若3∉A，则实数a的取值范围是________． a>3　[因为3∉A，所以3是不等式x－a<0的解，所以3－a<0，解得a>3．] 8．集合A中的元素y满足y∈N，且y＝－x2＋1．若t∈A，则t的值为________． 0或1　[因为y＝－x2＋1≤1，且y∈N，所以y的值为0，1，即集合A中的元素为0，1．又t∈A，所以t＝0或1．] 三、解答题 9．若集合A中含有三个元素a－3，2a－1，a2－4，且－3∈A，求实数a的值． [解]　①若a－3＝－3，则a＝0，此时A中含有－3，－1，－4三个元素，满足题意． ②若2a－1＝－3，则a＝－1，此时A中含有－4，－3两个元素，这与题意不符． ③若a2－4＝－3，则a＝±1．当a＝1时，A中含有－2，1，－3三个元素，满足题意；当a＝－1时，与题意不符． 综上可知：a＝0或a＝1． 10．集合A是由形如m＋n(m∈Z，n∈Z)的数构成的，试分别判断a＝－，b＝，c＝(1－2)2与集合A的关系． [解]　因为a＝－＝0＋(－1)×，而0，－1∈Z，所以a∈A； 因为b＝＝＝，而∉Z，所以b∉A； 因为c＝(1－2)2＝13＋(－4)×，而13，－4∈Z，所以c∈A． 11．(多选)下列说法正确的是(　　) A．N*中最小的数是1 B．若－a∉N*，则a∈N* C．若a∈N*，b∈N*，则a＋b最小值是2 D．x2＋4＝4x的实数解组成的集合中含有2个元素 AC　[N*是正整数集，最小的正整数是1，故A正确；当a＝0时，－a∉N*，且a∉N*，故B错误；若a∈N*，则a的最小值是1，又b∈N*，b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故C正确；由集合元素的互异性知D是错误的．故选AC．] 12．集合A的元素y满足y＝x2＋1，集合B的元素(x，y)满足y＝x2＋1(A，B中x∈R，y∈R)．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是(　　) A．2∈A，且2∈B B．(1，2)∈A，且(1，2)∈B C．2∈A，且(3，10)∈B D．(3，10)∈A，且2∈B C　[集合A中的元素为y，是数集，又y＝x2＋1≥1，故2∈A，集合B中的元素为点(x，y)，且满足y＝x2＋1，经验证，(3，10)∈B．故选C．] 13．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2<x<a，又集合P中恰有三个元素，则整数a＝________． 6　[∵x∈N，且集合P中恰有三个元素，从而知a＝6．] 14．已知x，y，z为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，集合M中元素的个数为________，所有元素的和为________． 3　0　[x，y，z同为正数时，代数式的值为4，当x，y，z中只有一个负数或有两个负数时，代数式的值为0；当x，y，z同为负数时，代数式的值为－4，故集合M中元素的个数为3，元素的和为0．] 15．设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)． 求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素； (2)集合A不可能是单元素集． [证明]　(1)若a∈A，则∈A． 又因为2∈A，所以＝－1∈A． 因为－1∈A，所以＝∈A． 因为∈A，所以＝2∈A． 所以A中必还有另外两个元素，且为－1，． (2)若A为单元素集， 则a＝， 即a2－a＋1＝0，方程无实数解． 所以a≠， 所以集合A不可能是单元素集． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $