1.6利用三角函数测高 自主学习同步练习题 2025-2026学年北师大版（2012）九年级数学下册

2025-2026学年北师大版（2012）九年级数学下册《1.6利用三角函数测高》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．如图，某山坡的截面图近似为等腰，，现测得斜坡与地面的夹角为，山顶距离地面5米，则下列说法正确的是（    ） A．斜坡的坡度是 B．斜坡的坡度是 C．米 D．米 3．如图所示，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为，测得岸边点D的俯角为，C，D，B在同一水平线上，又知河宽为50 m，则山高是（    ） A．50 m B．25 m C．m D．75 m 4．如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽为，坝高为，斜坡的坡角为，斜坡的坡角的正切值为，则坡底的长为（    ）m A．42 B． C．78 D． 5．如图，如图，某校教学楼的后面有一建筑物，当光线与地面的夹角是时，教学楼在建筑物的墙上留下的影子正好与建筑物一样高，当光线与地面的夹角是时，教学楼顶A在地面上的影子E到墙角C的距离，到墙角B的距离，（点B，E，C在同一条直线上），则建筑物的高度为（  ） A． B． C． D． 6．冬天迎来滑雪季，如图为滑雪场某段赛道示意图，段为助滑段，长为米，坡角为，一个曲面平台连接了助滑坡与着陆坡，已知着陆坡的坡度为，长度为米，，之间的垂直距离为米，则一人从出发到处下降的垂直距离为（    ）（，，，结果保留一位小数) A． B． C． D． 7．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点M，N，A，B在同一平面内），则潮汐塔的高度为（   ）（结果精确到．参考数据：） A． B． C． D． 二、填空题 8．从观测点A观察到楼顶B的仰角为35°，那么从楼顶B观察观测点A的俯角为 ． 9．某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面坡度由改为（如图），若改动后电梯的坡面长为13米，则改动后电梯水平宽度增加部分长为 米． 10．如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地（），斜坡的长为，坡度为．为了防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造，若改造时保持坡脚不动，则坡顶沿至少应向右移大约 ．（当坡角不超过时可确保山体不滑坡，，结果保留整数）    11．某数学兴趣小组用无人机测量黄鹤楼高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面的点，测得黄鹤楼顶端的俯角为，再将无人机向着黄鹤楼沿水平方向飞行到达点，此时测得黄鹤楼顶端的俯角为，则黄鹤楼的高度约为 ．（精确到0.1，参考数据：，，） 12．如图，为小明家的朝南窗户，测得，，窗户的高度为米．为能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内，在现要安装一个遮阳棚，请根据实际计算遮阳棚的跨度的长为 米． 13．如图，某校数学兴趣小组为了测量塔的高度，将无人机飞升至距水平地面米的处，测得塔顶端的俯角为，底端的俯角为，则该塔的高度是 米．（参考数据：） 14．潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点处测得潮汐塔顶端的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点，测得潮汐塔底端的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为 ．（结果精确到．参考数据：，，） 三、解答题 15．小华计划用阳光下的影子来测量道路交通标志杆的高度（标志杆底部不可到达）．如图，小华站在E处用高度为米的测倾器（即米）测得标志杆顶端A处的仰角为，然后沿着地面方向行走米到达G处，此时标志杆的影子顶端与小华的影子顶端恰好重合于点C，已知小华身高米，米，，各点均在同一平面内．请根据以上数据信息，计算标志杆的高度．（结果保留一位小数．参考数据：） 16．黄河下游通过河堤治理；显著提升了滩区群众的安全保障．学校数学兴趣小组的同学应用所学知识对一段护堤石坝的高度进行测量，他们将一根笔直的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿上一点到地平面的竖直距离为，竹竿底端到点的距离为，石坝底部到点的距离为，已知护堤石坝的倾斜角为．请根据上述数据，计算护堤石坝的高度．（参考数据：，，） 17．清溪口渠江大桥是广安至华蓥快速通道公路跨渠江的一座特大型桥梁，建成通车后，广安市和华蓥市的同城化进程将大大加快，将进一步凸显“顺山顺水，向东向南”的发展趋势．综合与实践活动中，要用测角仪测量清溪口渠江大桥桥塔的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部B的仰角（）为，测得桥塔底部A的俯角（）为，又在处测得桥塔顶部B的仰角（）为． (1)求线段的长（结果取整数）； (2)求桥塔的高度（结果保留1位小数）．参考数据：（，，，，，) 18．在某地区的光伏发电系统中，太阳能板与水平地面的夹角对太阳辐射的接收有重要影响．经过研究与实践，当太阳能板与水平地面夹角为时，日平均太阳辐射量能达到最大．如图是该地区基于此最佳夹角安装太阳能板后的示意图，为太阳能板与水平地面的夹角，，为支撑杆，已知，C是的中点，．在延长线上选取一点M，在D，M两点间选取一点E，测得，在M，E两点处分别用测角仪测得太阳能板顶端A的仰角为，，该测角仪支架的高为1m．求支撑杆的长，（精确到，参考数据：，） 19．综合与实践活动中，要用测角仪测量山的高度． 某学习小组设计了一个方案：如图，已知某座山的对面有一座小山，的顶部有一座通讯塔，且点，，在同一条直线上．从处测得塔底的仰角为，测得塔顶的仰角为，，又在处测得塔顶的俯角为． (1)求两座山之间水平距离的长（结果保留小数点后一位）； (2)求这座山的高度（结果保留小数点后一位）．参考数据：，． 20．为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图所示，在一个坡度（或坡比）的山坡上发现有一棵古树．测得古树底端到山脚点的距离米，在距山脚点水平距离3米的点处，测得古树顶端的仰角（古树，山坡的坡面和点在同一平面上，古树与直线垂直）， (1)古树的高度约为多少米？ (2)为了保护古树，考古队员准备在树顶下方0.5米的处拉一根保护绳，其中离距离为6.5米．求绳至少多少米？（结果精确到0.1米，绳子打结处的长度忽略不计） （参考数据：， 参考答案 1．解：如图，由题意得：，米， ∴， ∴米， 即她沿垂直方向升高了米， 故选：D． 2．B 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据坡度的概念，正切和正弦的定义计算，判断即可． 【详解】解：A，斜坡的坡角是，而不是坡度是，本选项说法错误，不符合题意； B，∵， ∴， ∴斜坡的坡度是，本选项说法正确，符合题意； C，过点作于， ∵， ∴， 在中，， ∴，本选项说法错误，不符合题意； D，，本选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 3．C 【分析】本题考查运用三角函数的定义解直角三角形．应用含的式子表示出，．根据得方程即可求出山高． 【详解】解：设山高为x， 在中有：， 在中有：， 而， 解得米． 故选：C． 4．C 【分析】本题考查了解直角三角形，过B作于E，过C作于F，根据正切的定义分别求出，，即可求解． 【详解】解：过B作于E，过C作于F， 则四边形是矩形， ∴，， 在中，． ∴， ∵斜坡的坡角的正切值为， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5．A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用（仰角俯角问题），熟练掌握仰角的定义及解直角三角形的相关计算是解题的关键． 过点作于点，易得四边形是矩形，则，，在中，由正切的定义可得，在中，由正切的定义可得，进而可得，由此即可求出的长． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， 由题意得：，， 四边形是矩形， ，， 在中， ， 在中， ， ， 故选：． 6．C 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用——坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．作于，于，于，根据正弦的定义求出，设米，则，根据勾股定理列方程求出，即可求解． 【详解】解：作于，于，于， 在中，， 米， 设米， 陆坡的坡度为， ， 由勾股定理得：，即， 解得：， 一人从出发到处下降的垂直距离为（米）， 故选：C． 7．C 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用， 延长交于点C，由题意可知，分别解和，依次求出，最后根据线段的和差即可求出解． 【详解】解：延长交于点C，可知， 由题意可知， 在中，， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴． 故选：C． 8．35°． 【详解】试题分析：如图所示：∵从观测点A观察到楼顶B的仰角为35°，∴从楼顶B观察观测点A的俯角为∠CBA=35°．故答案为35°． 考点：解直角三角形的应用—仰角、俯角问题． 9．3 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，根据坡度等于铅直高与水平距离的比值，分别求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：当滚动电梯的坡面坡度为时，则：， ∴， 在中，， 解得：（负值舍去）， ∴， 当滚动电梯的坡面坡度为时，则：， ∴， ∴； 故答案为：3． 10． 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用．在上取点，使，作，根据坡度的概念求出、，根据正切的定义求出，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：在上取点，使，过点作于，    ，，， 四边形为矩形， ，， 斜坡的坡比为：， ， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ，， ， 在中， ， ， ， 坡顶沿至少向右移时，才能确保山体不滑坡， 故答案为：． 11．51.4 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． 根据题意，结合图形，作，利用，求出的长，结合无人机的升空高度，得到楼高． 【详解】解：如图，过A点作于点C， 设米，则米， ∵， ∴， ∴米， ∵在中，， ∴， 即， 解得， ∴米， ∵米， ∴（米）， ∴黄鹤楼的高度约51.4米， 故答案为：51.4． 12．2 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，过点M作垂线交于点E，交于点F，根据的高度为米，，可以得到，再进一步即可求出的长度，即遮阳棚的跨度； 【详解】解：过点M作的垂线交于点E，交于点F，如图： 则，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴小明家所需的遮阳棚的跨度长为； 故答案为：2 13． 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用-仰角与俯角问题，延长交距水平地面米的水平线于点，根据，求出米，即可求解，理解题意，作出辅助线是解题关键． 【详解】解：延长交距水平地面米的水平线于点，如图： 由题可知，米， 设米， ， 米， ， （米）， ∴（米）， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，延长交于点，则，由题意得，，，分别解和，依次求出，最后根据线段的和差关系即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长交于点，则， 由题意得，，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 15． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，相似三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点D作于H，则四边形是矩形，得到，设，解得到，证明得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于H， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，即， 解得， ∴， 答：标志杆的高度约为． 16．护堤石坝的高度约为 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解直角三角形的应用－坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义、掌握相似三角形的判定是解题的关键．过点A作于点F，根据正切的定义得到，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【详解】解：如解图，过点A作于点F， 在中， ，， ，即 又，， ， ． ，，， ，解得． 答：护堤石坝的高度约为． 17．(1) (2) 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）设，得，在中，，在中，，可得，解方程后即可求出线段的长； （2）在中，可得，通过，即可求出桥塔的高度． 【详解】（1）解：设，由，得． ，垂足为， ． 在中，，， ， 在中，，， ， ， 解得：， 答：线段的长约为； （2）在中，，， ， ， 答：桥塔的高度约为． 18．支撑杆的长约为． 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用．延长与过点作的线交于点，令，根据三角函数进行计算，求出即可得到答案． 【详解】解：延长与过点作的线交于点，令， ，， ， ， ， ， ， 延长交与点， ， ， ， ， ， ． 答：支撑杆的长约为． 19．(1)两座山之间水平距离约为 (2)这座山的高度为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）在中，由解直角三角形的知识得，，又，解出的长度即可； （2）过点作，垂足为点，证明四边形是矩形得，，由解直角三角形的知识得，最后根据即可得解． 【详解】（1）解：由题意知，，，，， 在中，，， ， 在中，，， ， ， 解得：， 两座山之间水平距离约为； （2）解：过点作，垂足为点， ， ， 四边形是矩形， ，， 由题意可知， 在中，， ， ， 答：这座山的高度为． 20．(1)古树的高度约为 (2)绳至少为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关应用，勾股定理等知识，掌握坡比是解题的关键． （1）延长交点H，则，可求，设，则，可求，从而可求，，，由，即可求解． （2）过B点作与交与M， 则，由平行线的性质得出，即可得出，同（1）解出，，进而可求出，最后根据勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）解：解：如图，延长交点H，则，    山坡上坡度， ， ， 设，则， 在中， ， ， 解得：， ，， 在中，， 答：古树的高度约为 （2）解：过B点作与交与M， 则， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 答：绳至少为 学科网（北京）股份有限公司 $