1.5 三角函数的应用 同步练习 2025-2026学年北师大版九年级数学下册

2025-2026学年北师大版（2012）九年级数学下册《1.5三角函数的应用》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．如图，在中，是斜边上的高，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，滑雪场有一坡角为的滑雪道，滑雪道AC长为150米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 3．如图，若要测量小河两岸正对的两点A，B的距离，可以在小河边取的垂线上的一点C，测得米，，则小河宽为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度.如图，无人机在处测得正前方河流的点处的俯角，点处的俯角，点，，在同一条水平直线上.若，，则河流的宽度为（    ）    A． B． C． D． 5．如图，某幢建筑物的高为米，一架航拍无人机从处测得该建筑物顶部的仰角为，测得底部的俯角为，则此时航拍无人机与该建筑物的水平距离为（    ）（结果精确到米，参考数据：，） A．米 B．米 C．米 D．米 6．随着科技的进步，机器人在各个领域的应用越来越广泛，如图为正方形形状的擦窗机器人，其边长是28cm．在某次擦窗工作中，为窗户的边缘，擦窗机器人的两个顶点A、B分别落在上，，将擦窗机器人绕中心O逆时针旋转一定的角度，使得，则旋转角度是（    ）    A．15° B．30° C．45° D．60° 7．济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”.某数学兴趣小组用无人机测量超然楼的高度，测量方案如图2：先将无人机垂直上升至距水平地面的P点，测得超然楼顶端A的俯角为37°，再将无人机面向超然楼沿水平方向飞行到达Q点，测得超然楼顶端A的俯角为45°，则超然楼的高度约为（    ） （参考数据：，，） A． B． C． D． 二、填空题 8．如图，在坡度为的山坡上种树，已知，相邻两树的坡面距离为10米，则两树的水平距离为 米． 9．榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式．如图，在某燕尾榫中，榫槽的横截面是梯形，其中，，燕尾角，外口宽为，榫槽深度为，则它的里口宽为 （结果保留根号）． 10．如图，在中，，，，点在射线上，当为等腰三角形时，的度数为 ． 11．如图，在中，，，，为上一点，，为边上的动点，当为直角三角形时，的长为 ． 12．如图，某高度为米的建筑物楼顶上有一避雷针，在此建筑物前方E处安置了一高度为米的测倾器，测得避雷针顶端C的仰角为，避雷针底部B的仰角为，避雷针的长 ．（参考数据：，，） 13．物理学告诉我们，当光从空气斜射入介质时会发生折射，其中入射角的正弦值和折射角的正弦值之比叫做这种介质的折射率．如图，入射光线在点处斜射入某一高度为，折射率为的长方体介质（其中为入射角，为折射角，过点且垂直于介质的上表面），若，则折射光线在该介质中传播的距离（即的长度）约是 ．（参考数据：，，．    14．如图1是一个手机的支架，由底座、连杆和托架组成（连杆、、始终在同一平面内），垂直于底座且长度为，的长度为，的长度可以伸缩调整．如图2，保持不变，转动，使得，假如时为最佳视线状态，则此时的长度为 （参考数据：．）． 三、解答题 15．金属探测仪是一种电子仪器，它能够检测到金属物品的存在．它的原理是基于电磁感应和电磁波相互作用的，通过发送电磁波并接收其反射回来的信号，来判断是否存在金属物体．如图所示，科技人员利用探测仪在地面A，B两个探测点探测到地下C处有金属．已知A，B两点相距米，探测线与地面的夹角分别是和，试确定有金属的点C的深度是多少米？（结果精确到米，参考数据：，，） 16．如图，航航和朋友们计划在商场A集合后，先去位于西南方向的咖啡厅B，然后沿南偏西方向步行到书店C，最后前往电影院D．已知电影院D位于书店C的正东方向，且电影院D在商场A的正南方向．若从咖啡厅B到书店C的距离为400米，从书店C到电影院D的距离为700米，求商场A到电影院D的距离．（参考数据：，，） 17．如图，在建筑物前方搭建高台进行测量，高台的高度为17米，一根软绳两端分别连接A，B两点，在D处将软绳拉直，发现与恰好垂直，且． (1)求高台到的距离； (2)求建筑物的高度． （结果保留整数，参考数据：，，） 18．在自驾出游，需要露营时，可借助汽车或树木搭建如图的天幕，为了加大活动区域，改变搭建方式，改变后的截面示意图如图，将天幕撑开，用绳子拉直天幕一侧后系在车顶处，另一侧拉直后用地钉系在地面上的点处，是垂直于地面的天幕支撑杆，可通过调整绳子所系的位置调节天幕的展开角度，已知，米，车顶到地面的距离为米，与垂直．将天幕撑开到最大时，天幕的展开角度，拉直所需的绳子的长为米．（结果精确到米，参考数据：，，） (1)求的长； (2)用（1）中所求的长，求拉直所需的绳子的长． 19．如图，一艘巡逻船在A处测得灯塔M位于A的南偏东方向上，巡逻船沿着正东方向航行30海里到达B处，测得灯塔M位于B的南偏东方向上，测得港口C位于B的东南方向．已知港口C在灯塔M 的正东方向．（参考数据：，，） (1)求灯塔M到巡逻船航线的距离（结果保留根号）； (2)巡逻船位于点B处时突然接到通知，称灯塔M的设备发生故障，需要抓紧维修．巡逻船迅速采取以下行动：派出船上一名工作人员乘坐小艇前往先前往港口C领取维修配件（领取维修配件的时间忽略不计），之后再赶往灯塔M，小艇的速度为40海里/小时．在小艇从B出发的同时，巡逻船从B处出发直接去M．已知巡逻船的速度为35海里/小时．请计算巡逻船和小艇谁先到灯塔M，早到多少时间？（近似值精确到0.01） 20．近年来，中国机器狗技术发展迅速．图1是某一型号的机器狗正常站立时的实物图，图2是它的侧面示意图，机身，大腿，和小腿，在它们之间的连接处可以转动调节姿态，调节过程中，机身、大腿、小腿的长度都不会发生变化，但位置、及以各接口处为顶点的角的大小可能发生改变．经测量，． (1)当机器狗处于正常站立时，机身平行于地面，机器狗的高度可以看成两点间的距离，求此时机器狗的高度． (2)图3是机器狗坐下时的实物图，图4是其侧面示意图，此时，小腿紧贴地面， ，只调节机身与小腿所在直线形成的锐角，当其超过时，机器狗需要重新调整其他部分参数，才能坐得稳．请你通过推理计算，判断当与之间的距离为时，要使其坐得稳，该机器狗是否需要调整其他部分参数． 参考答案 1．解：∵中，是斜边上的高，， ∴，， ∴， ∴，故A选项不正确； ∴，故B选项不正确； ∴，故C选项不正确； ∴，故D选项正确， 故选：D． 2．B 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据正弦的定义计算即可，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键. 【详解】解：在中, （米）． 故选：． 3．C 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，根据正切的定义可得米． 【详解】解；在中，米， ∴米， 故选：C． 4．A 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，熟记俯角的含义是解本题的关键，在中，利用可得，然后在等腰直角三角形中，利用即可求解. 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴， 故选：A 5．D 【分析】本题考查的知识点是求特殊角的三角函数值、三角函数综合，解题关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．先根据特殊角的三角函数（正切）用表示、长，后根据即可求解． 【详解】解：依题得：在中，， 在中，， （米）， （米）， ， ， 解得：（米）， 故选：． 6．B 【分析】本题考查了正方形的性质，锐角三角函数．由锐角三角函数可求，由平行线的性质和三角形内角和定理可求解． 【详解】解：如图，连接，连接交于点E，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴旋转角为， 故选：B． 7．C 【分析】题目主要考查解直角三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键．过点A作于点C，证明为等腰直角三角形，得出，设，则，在中，根据，求出，得出，即可得出答案． 【详解】解：过点A作于点C，如图所示： 则， 由题意得，，， ∵在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，， 解得：， ∴， ∴． 故选：C． 8． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，根据坡度比可得，设，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 设， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴米， 故答案为：． 9． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，全等三角形的判定与性质：过点A作，垂足为E，过点D作，垂足为F，根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再利用证明，从而可得，最后根据题意得：，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：过点A作，垂足为E，过点D作，垂足为F， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意得：， ∴， 故答案为：． 10．或或 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数．当为等腰三角形时，有以下三种情况：①当时，过点A作于F，先求出，在中利用锐角三角函数可求出，则，进而得的度数；②当时，又有两种情况：（ⅰ）当点E在线段上时，过点D作交延长线于G，先求出，在中利用锐角三角函数可求出，，则，进而得的度数；（ⅱ）当点E在的延长线上时，过点D作于M，先分别求出，，进而得，由此可得的度数；③当时，过点E作于H，根据等腰三角形性质得，根据平行线间的距离得，则，由此得，进而可得的度数，综上所述即可得出答案． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， 当为等腰三角形时，有以下三种情况： ①当时，过点A作于F，如图1所示： 在中，， ∴， 即平行线间的距离为， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当时，又有两种情况： （ⅰ）当点E在线段上时，过点D作交延长线于G，如图2所示： 由①可知：平行线间的距离为，即， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； （ⅱ）当点E在的延长线上时，过点D作于M，如图3所示： 则， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当时，过点E作于H，如图4所示： ∵， ∴， 由①可知， ∴， ∴（此时点E与点C重合）， ∴． 综上所述：的度数为：或或． 故答案为：或或． 11．3或6或7 【分析】分，，三种情况计算即可． 本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，三角函数的应用，正确分类，灵活应用相似和三角函数是解题的关键． 【详解】∵在中，，，， ∴，， 过点A作于点M， ∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴，． ①如图1，当时， 则， ∴， ∴． 在中， ， ∴， ∴， ∴ ②如图2，当时，分别过点，作的垂线，垂足分别为，， ∴， ∴，，． 设，则． ∵，， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得， ∴， ∴； ③如图3，当时， 在中，， ∴， ∴． 综上所述，当为直角三角形时，的长为3或6或7． 12．5米/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点D作于点F，则四边形是矩形，可得米，则米，解得到米，再解得到米，则米． 【详解】解：如图，过点D作于点F，则四边形是矩形， ∴米， ∴米， 在中，， ∴(米)， 在中，， ∴（米）， ∴米， ∴避雷针的长度为约为5米． 故答案为：5米． 13． 【分析】本题考查解直角三角形的应用．过点作于点，由折射率的定义得，，进而求出，设，在中，根据勾股定理即可作答． 【详解】解：过点作于点，    由折射率的定义得， ， ， ， ， 设，则， ， 在中， 根据勾股定理，， 即， 解得， 故答案为：3.75． 14． 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．作于点，于点，解直角三角形求出、即可解决问题． 【详解】解：作于点，于点，如图3， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 的长度为． 故答案为： 15．米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，作于点D，，由已知条件可得出，，利用解直角三角形，即可求出答案． 【详解】解：如图所示，作于点D． ． 设． ∵探测线与地面的夹角分别是和， ∴由对顶角性质可得，． ∵在中，， ． ∵在中，， ． ∵，米， ． 解得（米）． ∴有金属回声的点C的深度是4.74米． 16．商场A到电影院D距离约为780米 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，利用辅助线构造出直角三角形是解题的关键．过B点作于点E，于点F，分别解和，求出的长，再根据线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：过B点作于点E，于点F， 由题意得，， 四边形为矩形， ， 由题意得，米，米， 在中，， （米）， （米）， （米），（米）， 在中，， （米）， （米） 答：商场A到电影院D距离约为780米． 17．(1)高台到的距离约为47米 (2)建筑物的高度约为147米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用； （1）在中，利用正切函数关系即可求解； （2）在中，利用正弦函数关系求出，再在中，利用正弦函数关系即可求解． 【详解】（1）解：， ， 在中，， （米）． 答：高台到的距离约为47米． （2）解：在中，， （米）， ， ， ， ， ， ， ； 在中，， （米）． 答：建筑物的高度约为147米． 18．(1)的长约为米； (2)拉直所需的绳子的长约为米． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用直角三角形中边和角之间的关系解答． 过点作于点，可知四边形为矩形，利用矩形的性质可知，米，米，根据角平分线的性质可知，在中，根据的正切可以求出，再根据求出结果 即可； 在中，利用的余弦可以求出，在中，利用的正弦可以求出，根据即可求出结果． 【详解】（1）解：如下图所示，过点作于点， ，， 四边形为矩形， ，米，米， ，， 平分， ， ， 在中，， （米）， 答：的长约为米； （2）解：由（1）可知，米， 在中，， 米， 在中，， 米， ， （米）． 答：拉直所需的绳子的长约为米． 19．(1)灯塔M到巡逻船航线的距离为海里； (2)巡逻船先到灯塔M，早到小时． 【分析】此题考查了解直角三角形的应有，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）过点作延长线于点，根据正切值得到，，再根据海里求解即可； （2）如图所示，过点B作交延长线于点G，解直角三角形求出，，然后求出巡逻船和小艇到灯塔M的时间，进而求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作延长线于点， 在中，， ， 在中，， ， 海里， ， 海里， 即灯塔M到巡逻船航线的距离为海里； （2）解：如图所示，过点B作交延长线于点G， 根据题意得，（海里） ∴（海里） ∴巡逻船到灯塔M的时间为（小时） ∵港口C位于B的东南方向 ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴海里 ∵海里 ∴（海里） ∵海里 ∴小艇到灯塔M的时间为（小时） ∴（小时）． ∴巡逻船先到灯塔M，早到小时． 20．(1) (2)不需要调整其他部分参数 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，三线合一定理，平行四边形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，过点作于点，则．解直角三角形求出的长即可得到答案； （2）连接，过点作于点，可证明四边形是平行四边形．则．解直角三角形得到，即可得到结论． 【详解】（1）解；如图，连接，过点作于点， ， ． ． 答：此时机器狗的高度为． （2）解：如图，连接，过点作于点， ， 四边形是平行四边形． ． 的度数就是直线与的夹角的度数． ． ． ， ， 不需要调整其他部分参数． 学科网（北京）股份有限公司 $