1.3 三角函数的计算 同步练习 2025-2026学年北师大版九年级数学下册

2025-2026学年北师大版（2012）九年级数学下册《1.3三角函数的计算》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．下列计算结果是有理数的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知α为锐角，且，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．已知、均为锐角，且满足，则（    ） A．45° B．60° C．75° D．105° 5．利用科学计算器计算，下列按键顺序正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   6．将三角尺按如图所示的方式放置在一张矩形纸片上，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 7．如图，点A为反比例函数图像上一点，B、C分别在x、y轴上，连接AB与y轴相交于点D，已知，且的面积为2，则k的值为（   ）    A．2 B． C． D．4 二、填空题 8．计算： ． 9．如果是锐角，，那么 ． 10．在中，若，则 ． 11．计算： ． 12．在等腰三角形中，，点是边上一点，若，则的度数为 ． 13．已知，请利用特殊角三角函数值求的值为 ． 14．如图，在矩形中，是上一点，，，则的度数是 ． 三、解答题 15．计算： (1) (2)． 16．求满足下列条件的锐角 (1)； (2)． 17．计算 (1) (2) 18．先化简，再求代数式的值，其中． 19．已知，Rt△ABC中，∠C=90º. （1）当∠B=60º时，=_______；当∠A=45º时，=_______. （2）当∠B=2∠A时，求的值； （3）若AB=2BC，求∠A的度数. 20．若α，β为锐角且时，现有公式：，利用此公式求解下列问题： (1)求的值； (2)若A，B为锐角且时，求的值； (3)求的值． 参考答案 1．解：A、，结果是无理数，故此选项不符合题意； B、，结果是有理数，故此选项符合题意； C、，结果是无理数，故此选项不符合题意； D、，结果是无理数，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式运算，特殊角三角函数，有理数．熟练掌握二次根式运算和特殊角三角函数值是解题的关键． 2．C 【分析】根据特殊角的三角函数值求出，根据当是锐角时，其余弦随角度的增大而减小即可求解， 【详解】解∶ ∵为锐角，且， 又∵当是锐角时，其余弦随角度的增大而减小， ∴， 故选∶C． 【点睛】考查了特殊角的三角函数值和锐角三角函数的增减性的应用，注意：当角是锐角时，其正弦和正切随角度的增大而增大，余弦和余切随角度的增大而减小． 3．C 【分析】由为锐角，，根据，即可求得，则可求得的度数，继而求得的值． 【详解】解：， ， ， ． 故选：C． 【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值．此题难度不大，解题的关键是熟记几个特殊角的三角函数值，注意整体思想的应用． 4．C 【分析】根据绝对值和二次根式的非负性即可求出和，再根据特殊角的锐角三角函数值求出、，最后代入即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∵，均为锐角 ∴， ∴． 故选C． 【点睛】本题主要考查了非负性的应用、特殊角的锐角三角函数值等知识点，掌握绝对值和二次根式的非负性以及特殊角的锐角三角函数值是解题的关键． 5．A 【分析】简单的电子计算器工作顺序是先输入者先算，根据按键顺序写出式子，再根据开方运算即可求出显示的结果． 【详解】 解：利用该型号计算器计算 ，按键顺序正确的是：    故选：A． 【点睛】本题主要考查了计算器-三角函数，要求学生对计算器上的各个功能键熟练掌握，会根据按键顺序列出所要计算的式子．借助计算器这样的工具做题既锻炼了学生动手能力，又提高了学生学习的兴趣． 6．B 【分析】根据题意可得，可得，再根据三角形内角和的性质，即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， 由题意可得：， 故选B 【点睛】此题考查了三角函数的定义，三角形内角和的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础知识，进行求解． 7．C 【分析】先根据，得，根据同底等高可以得到，即可求得k的值． 【详解】解：连结    ，轴， 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 8．2 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，实数的运算，先求出特殊角的三角函数值，再根据实数的计算即可． 【详解】解：． 故答案为：2． 9． 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值，先求出，再代入即可求出答案． 【详解】解：∵是锐角，， ∴， ∴， 故答案为： 10． 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，直接利用特殊角的三角函数值得出，，进而结合三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：， ，， 则． 故答案为：． 11．0 【分析】本题考查了含有特殊角的三角函数解得计算，二次根式的化简，熟练掌握知识点是解题的关键．分别代入每一个特殊角的三角函数值，去绝对值，再进行加减计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：0． 12．/60度 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，特殊角锐角三角函数．根据特殊角锐角三角函数可得，再由，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 13． 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，根据结合公式计算即可． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． 14．/15度 【分析】首先根据题意得到，求出，然后根据三角形内角和定理和等边对等角求解即可． 【详解】∵， ∴ ∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了解直角三角形，矩形的性质，三角形内角和定理和等边对等角性质，解题的关键是掌握以上知识点． 15．(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先分别化简每个特殊角的三角函数，再运算加减法，即可作答． （2）先分别化简每个特殊角的三角函数，再运算乘法和乘方，最后运算加减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．(1) (2) 【分析】本题考查了三角函数值，解一元二次方程等知识﹒ （1）根据，得到，即可求出； （2）根据，求出，即可求出﹒ 【详解】（1）解：∵为锐角， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵为锐角， ∴﹒ 17．(1) (2)1 【分析】本题考查特殊角三角函数值，掌握特殊角三角函数值是解决本题的关键． （1）先将特殊角三角函数值代入，然后先算乘方、乘法，再算加减法，即可求解； （2）先将特殊角三角函数值代入，再利用平方差公式进行分母有理化和完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．， 【分析】本题考查了分式的化简与求值、特殊角三角函数的混合运算、分母有理化，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．先根据分式的运算法则化简式子，代入特殊角的三角函数值求出的值，再代入化简后的式子即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 19．（1），1（2）（3）30° 【分析】（1）根据三角函数的定义即可求出在Rt△ABC中，当∠B=60º时的值和∠A=45º时的值. （2）根据∠C=90º，∠B=2∠A可求得∠A 的度数，后根据三角函数的定义可求出的值. （3）根据∠C=90º，AB=2BC， 可求出的值，后根据反三角函数的定义可求出∠A的度数. 【详解】（1）在 Rt△ABC中，∠C=90º, 当∠B=60º时， 在Rt△ABC中，∠C=90º ∠A=45º时， （2）在 Rt△ABC中，∠C=90º, ∠B=2∠A 即 （3）在 Rt△ABC中，∠C=90º，AB=2BC 【点睛】此题考查三角函数，解题关键在于掌握三角函数性质的运用. 20．解：（1）（1） ； （2）当时，， 即 ； （3）由（2）可知，， ∴原式． 学科网（北京）股份有限公司 $