1.2 30、45、60角的三角函数值 同步练习 2025-2026学年北师大版九年级数学下册

2025-2026学年北师大版（2012）九年级数学下册《1.2 300、450、600角的三角函数值》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．下列求三角函数值，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．实数，，，，，，中无理数的个数有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 3．的值等于（    ） A．0 B． C． D． 4．点关于x轴的对称点为Q，点Q关于原点的对称点为M，则M的坐标为（　　） A． B． C． D．以上答案都不对 5．在中，，， ，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在中，，点D是边上一点，将沿翻折后，点A的对应点E恰好落在上，若点E为的中点，则（   ） A． B．1 C． D． 7．如图所示的网格是正方形网格，和的顶点都是网格线交点，则的正弦值是（    ） A．1 B． C． D． 二、填空题 8．若，则 ． 9．若反比例函数的图象过点，则k的值为 ． 10．在中，，则为 三角形． 11．在等腰中，，高，则 ． 12．劳动教育是德智体美劳全面发展的主要内容之一，现有一块如图所示的四边形劳动教育基地，则此地的面积为 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与x轴夹角为，将沿直线翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线（）上，则 ． 14．和均为等腰直角三角形，按如图所示的方式放置，的顶点与斜边的中点重合，边与边相交于点，若，，，则的面积为 ． 三、解答题 15．计算： (1)； (2)． 16．先化简，再求值：，其中 17．如图是一个滑梯示意图，是滑梯的支撑杆，四边形是矩形．已知米，米． (1)若，则________米； (2)若将滑梯水平放置，则刚好与一样长，求出的长． 18．如图，在中，，和分别为边上的高线和中线． (1)若，求的值． (2)求证：． 19．如图，在中，，是角平分线，是中线，于点G，交于点F，交于点M，的延长线交于点H． (1)图中与线段相等的线段是________； (2)求证：点H为线段的中点； (3)若，探究线段与之间的数量关系，并证明． 20．劳技课上老师让同学们用长方形纸来折等边三角形为主题开展数学活动． 【操作判断】 （1）步骤一：对折长方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 步骤二：将向内折叠，使得点A落在折痕上，交于点，然后将纸张展平，得到第二条折痕，记为； 步骤三：将向内折叠与第二道折痕重合，然后展开纸张，得第三条折痕，记为，此时恰好经过点． 请根据以上操作直接写出________； 【拓展应用】 （2）如图1，若线段长，长为6，连接，求线段的长； 【迁移探究】 （3）如图2，M是线段上的动点，将线段绕点M顺时针旋转得到线段，连接，；在（2）的条件下，请求出点M在运动过程中，当的周长最小时，线段的长． 参考答案 1．A 【分析】根据特殊角的三角函数值，逐项分析判断即可求解． 【详解】A. ，故该选项正确，符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 2．A 【分析】本题主要考查了无理数的定义，特殊角的三角函数值，求一个数的算术平方根， 先求出特殊角的三角函数值，算术平方根，然后再根据无理数的定义即可得出答案． 【详解】解：，，，， 其中无理数有：，，一共有2个， 故选：A． 3．A 【分析】本题考查特殊角的三角函数值、二次根式减法运算等知识，先计算特殊角的三角函数值，再由二次根式减法运算求解即可得到答案，熟记特殊角的三角函数值、二次根式减法运算是解决问题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 4．B 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，坐标与图形，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值，求出，然后根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，得出点Q的坐标，最后根据原点对称的点横、纵坐标互为相反数，求出M点的坐标即可． 【详解】解：点的坐标为, ∴点P关于x轴的对称点Q的坐标为， ∴点Q关于原点的对称点M的坐标为，故B正确． 故选：B． 5．A 【分析】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形边角关系是解题的关键． 先根据正切三角函数的定义求得，再根据特殊角的三角函数值求出角度即可． 【详解】解：在中， ∵，， ， ∴， ∴， 故选：A． 6．D 【分析】根据题意得到，，然后证明出，求出，进而求解即可． 【详解】∵，将沿翻折后，点A的对应点E恰好落在上， ∴，， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数，折叠的性质，垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是求出． 7．C 【分析】此题考查了勾股定理，求正弦值，等腰直角三角形的性质和判定，解题的关键是得到是等腰直角三角形． 连接，首先证明出是等腰直角三角形，，得到，然后利用特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】如图所示，连接 设正方形网格中每个小正方形的边长为1 ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴． 故选：C． 8．/度 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，直接利用特殊角的三角函数值得出答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 故答案为：． 9． 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，求特殊角三角函数值，先求出，再把点代入反比例函数解析式中求解即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象过点， ∴， ∴， 故答案为：． 10．等边/正 【分析】本题考查了绝对值的非负性，特殊角的三角函数值，等边三角形的判定，根据特殊角的三角函数值求出，的值，进而可判断的形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴为等边三角形． 故答案为：等边． 11．或/或 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，分情况讨论是解题关键．分锐角三角形和钝角三角形两种情况，结合三角函数值分析计算． 【详解】解：当为锐角时，如图 ∵，高， 在中， ∴ 当为钝角时， ∵，高， 在中， ∴，则， 综上，或， 故答案为：或． 12． 【分析】本题考查了三角形的面积，正弦函数的定理，特殊角的三角函数；过作交于，过作交于，由正弦函数的定义得，可求出的长，同理可求的长，由即可求解；理解正弦函数的定义“”，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：如图，过作交于，过作交于， ， 同理可求， （）， 故答案：． 13． 【分析】本题主要考查了翻折的性质，锐角三角函数，反比例函数的解析式，理解翻折的性质，求点C的坐标是解答此题的关键．设点C的坐标为，过点C作轴，作轴，由折叠的性质易得，，，用锐角三角函数的定义得，，得点C的坐标，进而得出答案． 【详解】解：设点C的坐标为，过点C作轴，作轴， ∵将沿直线翻折， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∵点C在第二象限， ∴， ∵点C恰好落在双曲线 ∴ 故答案为：． 14． 【分析】本题考查三角形面积，角，边等性质，相似三角形判定及性质．根据题意先判定，利用相似三角形性质得，继而得到，，的面积，继而得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴设， ∵是等腰直角三角形， ∴，是直角三角形， ∴， 则：， ∵， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵的顶点与斜边的中点重合， ∴， ∵是的外角， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， 解得：， 当时，（舍）， 当时，，且， 故符合题意， 则：，， ∴， ∴， ∴的高， ∴， ∴的高， ∴， ∴， 故答案为：． 15．(1) (2) 【分析】（）根据绝对值的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质及负整数指数幂分别化简，再相加减即可； （）把特殊角的三角函数值代入计算，再根据绝对值及立方根性质化简，最后再加减即可； 本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 16．， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、特殊角的三角函数值．首先根据分式的运算法则把分式化简可得：原式，根据特殊角的三角函数值可知，把的值整体代入化简后的分式中计算即可． 【详解】解： ， ， ， ∴原式． 17．(1) (2)米 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理解三角形和三角函数的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）根据矩形的性质可得米，然后通过三角函数的知识即可求解； （2）通过矩形的性质得到米，米，然后设，则，在中，通过勾股定理进行计算，即可求解； 【详解】（1）解：由题可得， ∴， ∵四边形是矩形， ∴米， ∵， ∴， 解得：米， 故答案为：； （2）解：由题意可知：， 四边形是矩形， ∴米，米， 设，则， 在中，， 即，解得，， ∴米． 18．(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）先说明，再根据高的定义和中线的定义说明为等边三角形，则，最后根据特殊角的三角函数值即可解答； （2）先根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得、，再根据勾股定理可得、，最后根据等量代换即可证明结论． 【详解】（1）解：∵，且， ∴． ∵为边上的高线， ∴． 又∵为斜边上的中线， ∴． ∴为等边三角形， ∴， ∴． （2）解：∵为等边三角形，为边上的高线， ∴， ∵为斜边上的中线， ∴． 由勾股定理得∶，， ∴，即．． 19．(1) (2)见解析； (3)，见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，能够合理的作出辅助线，找到三角形全等或相似的条件是关键． （1）由已知条件可证，则根据全等的性质可得出； （2）求出,根据三角形中位线的性质求出，推出，即可得到答案； （3）延长到P，证出四边形是平行四边形，根据平行四边形性质得出平行，再根据平行线分线段成比例得出，，通过等量代换得到，在中，求出，即可达到答案． 【详解】（1）解：∵平分 ∵ 在和中, ； （2）证明：∵， ∴， 又， ∴， ∵， ， ∴，即点H为线段的中点； （3）， 理由如下：延长到P，使，连接，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵是角平分线，， ∴， 在中，， ∴． 20．（1）（2）（3） 【分析】（1）由折叠得，即可求解； （2）连接，由矩形的性质得，，，由等边三角形的判定及特殊角的三角函数得，求得，进而求得，由勾股定理得 ，即可求解； （3）连接，由得，由全等三角形的性质得，当时，最小，即最小，此时的周长最小，过作交于，结合勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：由折叠得， ， 故答案为：； （2）解：连接， 由（1）得：， 四边形是矩形， ，，， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：连接， 由旋转得：，， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， 当时，最小，即最小， 此时的周长最小为：， ， ， ， 过作，交于， ， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $