1.1 锐角三角函数 同步练习 2025-2026学年北师大版九年级数学下册

2025-2026学年北师大版(2012)九年级数学下册《1.1锐角三角函数》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1.如图，在△ABC中，∠C=90。,BC=3,AC=4,下列三角函数表示正确的是() A B A.sinA= B.tanA= C.cosB= D.tanB=号 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=,若将△ABC的三边都扩大3倍，则tanA的 值为() A. B.青 C. 0.贵 3.sin46°，cos46°，tan46°的大小关系是() A.tan46°<cos46°<sin46° B.cos46°<tan46°<sin46o C.sin46°<cos46°<tan46° D.cos46°<sin46°<tan46° 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinB=言，则cosA的值为() A.青 8.29 C.1 5.如图，△ABC中，∠C=90°，AB=3,AC=1,则sinB的值为() B A.3 B.青 C. 0.9 6.如图，格点△ABC的顶点放置在5×5正方形网格的格点上，则tanA的值为() A.专 .耍 c D.号 7.如图，在正方形ABCD中，AC、BD交于点O,H为AB延长线上的一点，且BH=BD ，连接DH,分别交AC,BC于点E,F,连接BE,给出下面三个结论： D H B ①BE平分∠CBD; ②tanH=V2-1: ③2AB2=DE·DH: 上述结论中，所有正确结论的序号是() A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 二、填空题 8.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3,siA=,则边AB的长为 9.如图，已知AD‖BC,BD⊥AC,AC=4,BD=8,则sin∠DBC= D 10.如图，已知∠B的一边在x轴上，另一边经过点A(2,4),顶点的坐标为B(-10), 则sinB的值是_， BO 11.如图，己知△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D,AC的垂直平分线交BC于点E ，M,N为垂足，若BD=6,DE=8,EC=10,则tanB+tanC的值是 12.如图所示，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿直线AE折叠，使点D落在BC边 上的点F处.若AB=3,BC=5,则tan∠DAE的值为」 D E B 13.如图，在每个小正方形的边长均为1的方格图中，点A,B,C,D均在网格点上，AB 与CD交于点E,则coS∠AEC= D 14.如图，Rt△AB0的直角顶点0在坐标原点上，顶点A在反比例函数y=(x<0)的图 象上，斜边AB‖x轴，若△ABO的面积是5，cOs∠0AB=号，则k= B 三、解答题 15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,AC=8,BC=6,求 sin∠A与cos∠BCD的值 D ⊙ C 16.如图，在△ABC中，AB=6,∠B=30°，tan∠ACB=号.求边AC的长. 17.如图，在钝角△ABC中，∠A=2∠B(∠ACB>∠A>∠B,且∠B<30°)， CD⊥AB于点D,E是AB的中点， D B (1)求证：DE=AC (2)若△ACD的三边长是连续整数(AD是最短边)，求tanB的值. 18.图①、图②、图③是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长都为1.△ABC的顶点 均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，并保留作 图痕迹，以下所画图形的顶点均在格点上 图① 图② 图③ (1)在图①中画一个△ABD,使tan∠BAD=1. (2)在图②中画一个钝角△CAE,使tan∠CAE=号 (3)在图③中画一个锐角△CAF,使tan∠FAC=3. 19.如图，在△ABC中，点D、E在边AB、AC上，且DEBC,DE=EC=9, CD⊥AB,点F为CD的中点，射线BF交边AC于点G. E D B O 备用图 (1)求证：BC=2DE (2)如果BG⊥AC,求∠A的余弦值 (3)当△CGF是等腰三角形时，求线段GF的长. 20.如图，在边长为2的正方形ABCD中，E,F分别是边AD,AB上的点，连接CE,EF CF. D B B 图1 图2 图3 (1)若E是AD的中点. ①如图1，当AF=时，求证：EF⊥BC. ②如图2，当tan∠FCE=号时，求tan∠BCF的值， (2)如图3，延长CF,DA交于点G,当GE=DE,tan∠FCE= 号时，求证：AB=AP 参考答案 1.解：在△ABC中，∠C=90°，BC=3,AC=4, :AB=BC2+AC2=5 :inA=脂=寻，tanA== cosB-脂-，tanB-能-青 故选：D 2.解：设AB=c,AC=B,BC=a, :在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=, :tanA=号= :扩大3倍后的三边为5a、5b、5c, :扩大3倍后的tanA=器=号=景， 故选：A. 3.解：：sin46°<1，cos46°<1，tan46°>tan45°=1， .tan46°的值最大， 又：cos46°=sin44o,sin46°>sin44°， .sin46°>cos46°， .tan46°>sin46°>cos46°， 故选：D. 4.A 【分析】本题主要考查了余弦和正弦的定义，根据正弦的定义得到siB=指=寺，再由余 弦的定义即可得到答案。 【详解】解：：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=指=寺， :cosA=指=寺， 故选：A. B 5.B 【分析】本题主要考查了正弦函数的定义，正确记忆定义是解题关键 直接根据一个锐角的正弦值等于对边与斜边的比值即可求解， 【详解】解：∠C=90°，AB=3,AC=1, sinB=脂=青， 故选：B. 6.A 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理以及求一个角的正切值的知识，利用 网格构造直角三角形是解题的关键， 根据网格构造直角三角形，由勾股定理可求CD,AC,AD的长，再根据三角函数的意义可 得tanA的值 【详解】解：如图，连接CD, 由网格可知CD=V12+1=2,AC=V2+32=V10,AD=V22+22=22, AD2+CD2=AC2. ∠ADC=90°， aA=器= =, 故选：A 7.D 【分析】由正方形的性质可得AC垂直平分BD,∠CDB=∠CBD,可得DE=BE,由角 的数量关系可求∠CBE=∠DBE,即BE平分∠CBD,故①正确；由 tanH=器=。=y5-1,放@正猴：通过证阴△DEB△DBH,可得 BD2=DE·DH,根据勾股定理可得BD2=2AB2故③正确，即可求解. 【详解】解：设AB=BC=CD=AD=a, :四边形ABCD是正方形 ÷CDILAB,BD=V2a=BH, BD=BH, ·∠H=∠BDH, CDAB, ·∠CDE=∠H, ·∠CDE=∠BDE=∠H, :四边形ABCD是正方形， :AC垂直平分BD,∠CDB=∠CBD, :DE=BE, ·∠EDB=∠EBD, ·∠CBE=∠DBE, :BE平分∠CBD,故①正确； :tanH=骀==V5-1,故②正确； at2a :∠BDE=∠BDE,∠EDB=∠H=∠DBE, ·△DEB△DBH, …器=器， :DB2=DE.DH, DB2=AD2+AB2=2AB2, ·2AB2=DE,DH,故③正确， 故选：D 【点晴】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解直角三角形的知识，角平 分线的定义，平行线的性质，垂直平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键 8.12 【分析】本题考查利用正弦函数值求线段长.根据三角函数正弦值列方程求解即可得到答案。 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3,SinA=, …脂=，即品=， 解得AB=12, 故答案为：12. 9.5 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，正弦的定义，掌握知识点的应用 是解题的关键。 过D作DEAC,交BC延长线于点E,证明四边形ADEC是平行四边形，则AC=DE=4, 再由勾股定理求出BE=4y5,然后由sin∠DBC=器即可求解.。 【详解】解：过D作DEAC,交BC延长线于点E, AD I BC, .四边形ADEC是平行四边形， ..AC=DE=4, BD⊥AC, BD⊥DE, ∠BDE=90°， :BE=VBD2+DE2=V82+42=45, :sin∠DBC=骺=÷ 45 故答案为：5 5 10. 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义、直角坐标系中点的坐标，熟练掌握是解题的关键 作AC⊥x轴于点C,根据点的坐标特征求出点A、B的坐标，得到CA、CB的长，根据勾股 定理求出AB,根据正弦的定义解答即可. 【详解】解：如图，作AC⊥x轴于点C, 由题意得，BC=3,AC=4, 由勾股定理得，AB=NAC2+BC=V42+32=5, 则sinB-器-是， 故答案为：号 11.考/1 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理，求正切值，由勾股定理 逆定理得出△ADE是直角三角形是解题的关键.根据线段垂直平分线的性质得出AD,AE 的长，利用勾股定理逆定理得出△ADE是直角三角形，进而利用正切定义解答即可. 【详解】解：连接AD,AE, DE=8,EC=10, :DC=DE+EC=18, AB的垂直平分线交BC于点D,AC的垂直平分线交BC于点E, ..AD=BD=6,AE=EC=10, :DE=8, ·AD2+DBE2=AB2, ·△ADE是直角三角形， ∠ADE=90°， tanB+tanC=器+恕=名+品=专. 故答案为：等