精品解析：甘肃省平凉市第七中学集团校2025-2026学年九年级上学期第一次质量检测数学试卷

甘肃省平凉市第七中学集团校2025-2026学年九年级上学期第一次质量检测数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程需同时满足：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为2；③整式方程．根据一元二次方程的定义判断各选项． 【详解】解： A、含有两个未知数x和y，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程； B、只含未知数x，最高次数为2，且为整式方程，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程； C、含有分式 ，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程； D、当时，方程变为一次方程，即不一定是一元二次方程． 故选：B． 2. 若是关于的方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，将代入方程，再解方程即可，解题的关键是正确理方程的解的概念及应用． 【详解】解：把代入方程得， ，解得：， 故选：． 3. 用配方法解方程:，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，根据题意把常数项2移项后，应在左右两边分别同时加上一次项系数的一半的平方，即可求出答案． 【详解】解：把方程的常数项移到等号的右边，得到， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到， 配方得． 故选：A． 4. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 其图象的顶点坐标为 B. 函数的最小值为 C. 其图象的开口向上 D. 其图象的对称轴为直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数顶点)中各项参数与函数性质的关系成为解题的关键． 根据二次函数顶点式的性质以及a的值确定开口方向，由h，k的值确定最大值、对称轴、顶点坐标逐项判断即可解答． 【详解】解：A．该函数的顶点坐标为，故该选项错误，不符合题意； B．该函数的最大值为2，故该选项错误，不符合题意； C．由，所以该二次函数图象开口向下，故该选项错误，不符合题意； D．该函数的对称轴为直线，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 5. 若将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数“上加下减，左加右减”的平移规律进行求解． 【详解】解：将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为， 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象的平移规律是解题的关键． 6. 下列关于方程实数根的情况，说法正确的是（ ） A. 没有实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】求出的值，然后根据的值判断即可. 本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键.当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根. 【详解】解：对于方程来说， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根. 故选：D. 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象、一次函数图象以及一次函数图象与系数的关系， 先根据二次函数图象与轴交点的位置确定的正负，再利用一次函数图象与系数的关系可找出一次函数经过的象限，对比后即可得出结论．根据二次函数的图象找出每个选项中的正负是解题的关键． 【详解】解：A、由可知抛物线的开口向上，当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，故选项A不符合题意； B、由可知抛物线的开口向上，故B不合题意； C、由可知抛物线的开口向上，当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，故选项C符合题意； D、由可知抛物线的开口向上，当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，故选项D不符合题意； 故选：C． 8. 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．若设小道的宽为x米，则阴影部分可合成长为米，宽为米的矩形，利用矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意，得：． 故选：C． 9. 已知是二次函数，且函数图象有最高点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义及图象的性质，根据二次函数的定义和开口方向的条件，即可确定k的值． 【详解】解：∵是二次函数，且函数图象有最高点， ∴二次函数图象开口向下， ∴，且， 解得：，且 或， ∴， 则的值为． 故选：D． 10. 如图，在中．，，，点从点出发以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，同时，点Q从点C出发以每秒2个单位长度的速度向终点A移动．当一点到达终点时，另一点也停止移动．若的面积等于4，则它们移动的时间是（　　） A. 1秒或4秒 B. 2秒或4秒 C. 2秒 D. 1秒 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设运动时间为秒，则，，求出，再根据得出，求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒， 由题意得：，， ∴， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴不符合题意， ∴当的面积等于4时，经过了1秒， 故选：D． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 一元二次方程的一次项系数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的概念．根据一元二次方程的一般形式，一次项系数是． 【详解】解：方程中，一次项系数为， 故答案为：． 12. 若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查的是一元二次方程的根判别式，当时，方程有两个相等的实根，当时，方程有两个不相等的实根，当时，方程无实数根．先将方程转化为一般式，再根据根的判别式列出关于m的不等式，求解不等式得到m的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数根， 即一元二次方程无实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 13. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为__________ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查传染流感病问题，关键分清题意，找出等量关系，两轮传染的人数是等量关系，列出一轮传染的代数式，二轮传染的代数式即可解决问题，先根据题意列出第一轮传染后患流感的人数，再列出第二轮传染后患流感的人数，而已知第二轮传染后患流感的人数即可列出方程． 【详解】解：第一轮传染后患流感的人数为：人， 第二轮传染后患流感的人数为：， 经过两轮传染后共有人患了流感， 可列方程为：或． 故答案为：或． 14. 抛物线的顶点坐标是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】直接由抛物线解析式即可求得答案． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，顶点坐标为，对称轴为直线． 15. 已知抛物线y=x2+6x+m的顶点在x轴上，则m的值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】将抛物线化成顶点式，顶点纵坐标为0，据此列方程求解． 【详解】∵y＝x2＋6x＋m＝（x＋3）2＋m－9，且抛物线的顶点在x轴上， ∴m－9＝0，即m＝9， 故答案为：9． 【点睛】本题考查抛物线的图象和性质，熟练掌握顶点式是关键． 16. 已知点在抛物线上，则_______．（填“”“”“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．将点A和点B的横坐标分别代入抛物线解析式，计算对应的函数值，并比较大小． 【详解】解：对于点，代入，得 ， 对于点，代入，得 ， ∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题：本大题共11小题，共96分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： 【答案】3 【解析】 【分析】先化简二次根式，再合并计算． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）用公式法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：∵， 则， ， ， ． 【小问2详解】 解：∵， ， ， 或， ． 19. 已知，关于x的一元二次方程，若是该方程的一个根，求的值及另一个根． 【答案】，另一个根为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系． 将代入，然后解方程即可得到，再根据根与系数的关系求得另一个根． 【详解】解：将代入得：， 解得：， 故关于x的一元二次方程为：， 则方程的另一个根为， 故，另一个根为． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数． （1）求实数k的取值范围； （2）若方程有两个不相等的实数根为且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，．也考查了判别式的值． （1）利用判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，，再由得，然后解关于k的方程即可得到满足条件的k的值． 【小问1详解】 解：根据题意得 ， 解得； 【小问2详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根为， ∴，，， ∵， ∴， 解得或， ∴． 21. 已知抛物线的顶点为，原点为，该抛物线交轴于点． （1）当为何值时，随着的增大而增大； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）16 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的图像与系数的关系、抛物线的顶点坐标及函数的增减性是解题的关键． （1）根据抛物线中二次项系数即可判断出抛物线的开口方向向上，对称轴为直线，据此判断即可； （2）根据抛物线解析式求得点、的坐标，然后得到，最后根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线，， ∴该抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大． 【小问2详解】 解：∵抛物线的顶点为， ∴， ∵该抛物线交轴于点， ∴令时，，即， ∴， ∴． 22. 李师傅去年开了一家商店．今年1月份开始盈利，2月份盈利2000元，4月份的盈利达到2880元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同． （1）求每月盈利的平均增长率； （2）按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握增长率问题是解题的关键． （1）先设每月盈利的平均增长率为，再根据2月份盈利2000元，4月份的盈利达到2880元，列方程，再解出的值，即可作答． （2）结合平均增长率为，以及4月份的盈利达到2880元，进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：设每月盈利的平均增长率为， ∵2月份盈利2000元，4月份的盈利达到2880元 ∴ 整理得 解得（舍去） ∴每月盈利的平均增长率为； 【小问2详解】 解：由（1）得每月盈利的平均增长率为； 依题意，（元）， ∴预计5月份这家商店的盈利将达到元． 23. 一位农民计划用长的篱笆围成一个封闭式长方形菜园，菜园一边靠墙（墙的长度为），靠墙的一边不需要用篱笆．若菜园的面积为，则长方形菜园的长和宽分别是多少？ 【答案】长方形菜园的长是，宽是 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，根据菜园的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合墙的长度为，即可确定的值． 【详解】解：设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：长方形菜园的长是，宽是． 24. 一次足球训练中，某足球运动员从球门正前方的O处射门，足球的飞行路线是一条抛物线．当足球飞行的水平距离为时，足球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，以O为原点建立如图所示平面直角坐标系． （1）求该抛物线的解析式； （2）通过计算，判断球是否能射进球门（忽略其他因素）． 【答案】（1） （2）球不能射进球门 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）求出时的函数值即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，该抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线解析式为， ∵该抛物线经过原点， ∴， ∴， ∴该抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∵， ∴球不能射进球门． 25. 我们一般会通过列表、描点、连线的方式来画函数图像，并结合图像研究函数的性质．请按要求完成对二次函数的研究． （1）列表： … … … … 其中， _______． 根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数的图像． （2）根据函数图像，下列关于该函数性质的说法正确的有：_______（填序号） ①该函数图像是轴对称图形，它的对称轴是轴；②该函数有最小值，没有最大值； ③当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；④当时，的值为1． 【答案】（1）， 画出函数的图象如图： （2）①②． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）把代入即可求得的值，然后根据列表，描点，连线画出函数的图象即可； （2）观察图象即可判断． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：观察图象， ①该函数图像是轴对称图形，它的对称轴是轴．正确； ②该函数有最小值，没有最大值．正确； ③当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．原说法错误； ④当时，的值为或．错误； 故答案为：①②． 26. 一人一盔，安全守规，为保证市民安全出行，某商店以每顶50元的价格购进一批头盔，售价为每顶80元时，每月可售出200顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶，若该商店每月获得的利润为8000元，求每顶头盔的售价是多少元？ 【答案】每顶头盔的售价为70元时，该商店每月获得的利润为8000元 【解析】 【分析】设每顶头盔的售价为x元，根据商店每月获得的利润为8000元列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设每顶头盔的售价为x元，则， 整理得：， 解得：， ∴每顶头盔的售价为70元时，该商店每月获得的利润为8000元． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出一元二次方程是解题的关键． 27. 如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于A、B两点．其中． （1）求的值； （2）求的面积； （3）P是第四象限内直线上方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线于点，当时，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）3 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养． （1）把分别代入一次函数和二次函数解析式，即可求解； （2）由的面积，即可求解； （3）设点，则点，则，即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数与一次函数的图象相交于A、B两点．其中． ∴把代入得，解得； 把代入得，解得； 【小问2详解】 解：由（1）知，二次函数与一次函数， 联立上述两个函数表达式得：， 解得：， ∴， 设直线交y轴于点H，则， 则的面积； 【小问3详解】 解：设点，则点， ∴， 解得：（舍去）或， 即点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃省平凉市第七中学集团校2025-2026学年九年级上学期第一次质量检测数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是关于的方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程:，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 其图象的顶点坐标为 B. 函数的最小值为 C. 其图象的开口向上 D. 其图象的对称轴为直线 5. 若将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 下列关于方程实数根的情况，说法正确的是（ ） A. 没有实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可以是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知是二次函数，且函数图象有最高点，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中．，，，点从点出发以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，同时，点Q从点C出发以每秒2个单位长度的速度向终点A移动．当一点到达终点时，另一点也停止移动．若的面积等于4，则它们移动的时间是（　　） A. 1秒或4秒 B. 2秒或4秒 C. 2秒 D. 1秒 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 一元二次方程的一次项系数为_______． 12. 若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围______． 13. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为__________ 14. 抛物线的顶点坐标是_____________． 15. 已知抛物线y=x2+6x+m的顶点在x轴上，则m的值为______． 16. 已知点在抛物线上，则_______．（填“”“”“”） 三、解答题：本大题共11小题，共96分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： 18. 解方程： （1） （2） 19. 已知，关于x的一元二次方程，若是该方程的一个根，求的值及另一个根． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数． （1）求实数k的取值范围； （2）若方程有两个不相等的实数根为且满足，求的值． 21. 已知抛物线的顶点为，原点为，该抛物线交轴于点． （1）当为何值时，随着的增大而增大； （2）求的面积． 22. 李师傅去年开了一家商店．今年1月份开始盈利，2月份盈利2000元，4月份的盈利达到2880元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同． （1）求每月盈利的平均增长率； （2）按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？ 23. 一位农民计划用长的篱笆围成一个封闭式长方形菜园，菜园一边靠墙（墙的长度为），靠墙的一边不需要用篱笆．若菜园的面积为，则长方形菜园的长和宽分别是多少？ 24. 一次足球训练中，某足球运动员从球门正前方的O处射门，足球的飞行路线是一条抛物线．当足球飞行的水平距离为时，足球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，以O为原点建立如图所示平面直角坐标系． （1）求该抛物线的解析式； （2）通过计算，判断球是否能射进球门（忽略其他因素）． 25. 我们一般会通过列表、描点、连线的方式来画函数图像，并结合图像研究函数的性质．请按要求完成对二次函数的研究． （1）列表： … … … … 其中， _______． 根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数的图像． （2）根据函数图像，下列关于该函数性质的说法正确的有：_______（填序号） ①该函数图像是轴对称图形，它的对称轴是轴；②该函数有最小值，没有最大值； ③当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；④当时，的值为1． 26. 一人一盔，安全守规，为保证市民安全出行，某商店以每顶50元的价格购进一批头盔，售价为每顶80元时，每月可售出200顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶，若该商店每月获得的利润为8000元，求每顶头盔的售价是多少元？ 27. 如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于A、B两点．其中． （1）求的值； （2）求的面积； （3）P是第四象限内直线上方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线于点，当时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $