期中复习测试题（1-3章）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

2025-2026学年北师大版九年级上册数学期中复习测试题（1-3章） 满分:120分 考试时间:120分钟 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题3分）随着科技的飞速发展，AI人工智能应运而生多种AI软件崭露头角，某班级为更好地了解软件，计划举办手抄报展览，确定了“”“豆包”“”三个主题，若小红和小明从中各随机选择其中一个主题，则他们恰好选中同一个主题的概率是（   ）． A． B． C． D． 3．（本题3分）如图，在中，，，，于点，是的中点，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（本题3分）如图，在正方形中，E是边上一点，将沿翻折至，延长交于点F．若，，则的长是（  ） A．3 B．12 C．10 D．5 5．（本题3分）设a，b为一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图，矩形的边中点M到对角线交点O的距离为，，则矩形的周长为（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，在菱形中，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径都相等）相交于，两点，直线与边相交于点，连接，．若，，则线段的长为（   ） A．2 B． C． D． 8．（本题3分）欢欢和乐乐对关于的方程展开讨论， 欢欢：若，则方程一定有两个不相等的实数根； 乐乐：若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根． 下列判断正确的是（    ） A．欢欢正确，乐乐错误； B．欢欢错误，乐乐正确； C．欢欢、乐乐都正确； D．欢欢、乐乐都错误． 9．（本题3分）在平面直角坐标系中，边长为的正方形按如图位置放置，点为坐标原点，对角线在轴上，则顶点的坐标为（　　） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图，在正方形的边上有一点H，G和F分别是、延长线上的一点，满足，且，连接交于点E，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 12．（本题3分）如图，在中，D是边上的一点，，E，F分别是，的中点．若，则的长为 ． 13．（本题3分）如图，为斜边上的中线，E为的中点．若，则 ． 14．（本题3分）若一个长方形的面积是平方米，周长是米，则这个长方形的长与宽分别是 ． 15．（本题3分）如图，将一个边长分别为4，8的矩形纸片折叠，使点与点重合（，），则折痕的长度为 ． 16．（本题3分）若关于x的一元二次方程（）的一个解是，则的值为 ． 17．（本题3分）物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中，表示电路的开关（同时闭合开关与或与，小灯泡发光），L表示小灯泡．当随机闭合两个开关时，小灯泡L发光的概率是 ． 18．（本题3分）景区内有一块8米×5米的矩形郁金香园地（数据如图所示，单位：米），现在其中修建一条花道（阴影所示），供游人赏花．若改造后观花道的面积为12平方米，则的值为 米． 三、解答题（共66分） 19．（本题8分）解方程： (1)． (2)． 20．（本题8分）已知方程． (1)当满足什么条件时，该方程是关于的一元二次方程？ (2)当该方程有两个相等的实数根时，求出的值及此时方程的根． 21．（本题6分）已知：如图，的对角线，交于点O，分别过点A，B作，，连接交于点F． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，四边形为菱形？请说明理由． 22．（本题6分）在菱形中，E，F是对角线所在直线上的两点，且，连接 (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 23．（本题8分）某校举行以“学宪法，讲宪法”为主题的宣传教育活动，并举办了宪法知识竞赛．据统计：所有学生的成绩均及格，竞赛成绩x分（满分100分）分为4个等级：A等级，B等级，C等级，D等级．为了解学生的成绩分布情况，教务处随机抽取了部分学生的成绩，并绘制成如图两幅不完整的统计图： (1)本次抽取的学生共有______人，他们成绩的中位数落在______等级； (2)频数分布直方图中B等级有______人，扇形统计图中D等级所对应的百分比为______； (3)若竞赛成绩为优秀，估计全校2000名学生中成绩达到优秀的人数约______人； (4)九（1）班满分的学生为两名男生和两名女生，班主任将从中随机抽取两名学生向全校宣传宪法，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是_____． 24．（本题8分）某水果超市第一次花费2200元购进甲、乙两种水果共350千克．已知甲种水果进价每千克5元，售价每千克10元；乙种水果进价每千克8元，售价每千克12元． (1)第一次购进的甲、乙两种水果各多少千克？ (2)由于第一次购进的水果很快销售完毕，超市决定再次购进甲、乙两种水果，它们的进价不变．若要本次购进的水果销售完毕后获得利润1840元，甲种水果进货量在第一次进货量的基础上增加了，售价比第一次提高了；乙种水果的进货量为100千克，售价不变．求m的值． 25．（本题10分）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点是对角线上一点，点在延长线上，且与交于点；连接，． (1)求证：； (2)若，点恰好是的中点． ①求证：四边形是矩形； ②若四边形是正方形，求的长度． 26．（本题12分） 如图， 在中，， ， 若点P从点A出发沿边向点B以的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以的速度移动，两点同时出发，运动时间为秒． (1) ， (用含有t的代数式表示) (2)出发几秒后，线段的长为 (3)的面积能否为?若能，求出时间；若不能，请说明理由． 第6页，共7页 第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A A A B B C B B 1．D 【分析】本题考查一元二次方程．判断一元二次方程时，需确保方程是整式、只含一个未知数且最高次项系数非零． 根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）即可判断各选项． 【详解】一元二次方程需满足：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为2；③整式方程． 选项A：含有分母，不是整式方程，所以A不符合题意； 选项B：中、、未指定为常数且可能为0，不一定是二次方程，所以B不符合题意； 选项C：含有两个未知数和，不是一元方程，所以C不符合题意； 选项D：可化为，只含一个未知数，且未知数的最高次数为2，又是整式方程，所以D符合题意． 故选：D． 2．C 【分析】本题考查列表法求概率，用A，B，C表示三个主题，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，列表如下： A B C A A，A A，B A，C B B，A B，B B，C C C，A C，B C，C 共9种等可能的结果，其中她们恰好选中同一个主题的结果有3种， ∴； 故选C． 3．A 【分析】本题考查含的直角三角形的基本性质，直角三角形斜边上的中线的性质，熟记并灵活运用与直角三角形相关的性质是解题关键．首先求出，然后利用三角形的外角性质求出，从而在中，利用“角所对的直角边为斜边的一半”求解即可． 【详解】解：∵E是中斜边的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，． 故选：A． 4．A 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理． 连接，证明，设，则，利用勾股定理求解即可． 【详解】∵正方形中，E是边上一点，将沿翻折至， ∴， 连接，    ∵， ∴， ∴ 设， 则， ∴， 解得， 故选：A． 5．A 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，利用根的定义将高阶项降次，根与系数的关系求出的值，进行变形代入计算是解决本题的关键． 先利用根的定义将高阶项降次，对原式变形化简，再结合根与系数的关系代入的值计算即可． 【详解】解：∵ a，b为一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ 原式 ． 故选：A． 6．B 【分析】本题主要考查矩形的性质、勾股定理及三角形中位线，熟练掌握矩形的性质、勾股定理及三角形中位线是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据三角形中位线可得，进而根据勾股定理及矩形的周长公式可进行求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴， ∴， ∴矩形的周长为； 故选B． 7．B 【分析】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的尺规作图，垂直平分线的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据作图过程，得是的垂直平分线，所以，运用菱形的性质得，又因为，则，运用勾股定理列式计算得，再在中，根据勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：观察作图过程，得是的垂直平分线， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， 即， 解得（负值已舍去）， ∴在中，， ∴（负值已舍去）， 故选：B 8．C 【分析】本题考查一元二次方程，熟练掌握判断一元二次方程是否有实数根的方法时解题的关键． 欢欢的陈述通过条件推导判别式恒大于零，从而方程有两个不相等的实数根；乐乐的陈述通过方程有两个不相等的实根得出，进而推导方程 的判别式恒大于零，从而方程有两个不相等的实数根，两人都正确． 【详解】解：欢欢的陈述： 判别式 故方程一定有两个不相等的实数根，欢欢正确； 乐乐的陈述： 方程有两个不相等的实根，则 其判别式， 。 对于方程，判别式。 ， ，且， ， 故方程一定有两个不相等的实数根，乐乐正确， 综上，欢欢和乐乐都正确． 故选：C． 9．B 【分析】本题主要考查了正方形对角线互相垂直平分且相等的性质，根据对角线相等的性质求对角线的长度，即求点C的纵坐标是解题的关键．先根据正方形的性质以及勾股定理可得，根据正方形的对角线互相垂直平分且相等的性质可得A、C关于x轴对称，在的垂直平分线上，即A、C的横坐标和中点横坐标相等，据此即可解答． 【详解】解：∵边长为的正方形如图这样放置， ∴， 如图：连接， ∵四边形是正方形， ∴点A、C关于x轴对称， ∴所在直线为的垂直平分线，即A、C的横坐标均为， 又∵A、C关于x轴对称， ∴A点纵坐标为1，C点纵坐标为， 故C点坐标． 故选：B． 10．B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．证明，得出，，证明，得出，，根据三角形外角的性质得出． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 11．且 【分析】本题考查了根的判别式．利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且， 即的取值范围为：且． 故答案为：且． 12．4 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键．连接，根据等腰三角形三线合一的性质可得，在中，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出． 【详解】解：连接． ∵，E是的中点， ∴， 又∵F是的中点， ∴（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， ∵， ∴． 故答案为：4． 13．6 【分析】本题主要考查勾股定理、直角三角形斜边中线定理，熟练掌握勾股定理、直角三角形斜边中线定理是解题的关键；由题意易得，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：∵为斜边上的中线，E为的中点， ∴， ∴； 故答案为：6． 14．米和米 【分析】设长方形的长为，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设长方形的长为米， ∵长方形的周长为米， ∴长方形的宽为：（米）， 则：， ∴ 由题意得：， 解得：（舍）， ∴， ∴长方形的长和宽分别为：米和米； 故答案为：米和米． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用．根据题意，正确的列出方程，是解题的关键． 15． 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠性质和勾股定理的应用是解题的关键． 先利用折叠性质得到线段相等关系，再通过勾股定理求出、的长度，接着证明（），最后再次利用勾股定理求出折痕的长度． 【详解】解：连接，交于点． ∵ 折叠使点与点重合， ∴ 垂直平分，． 设，则． 在中，，即， 解得． ∵ 四边形是矩形， ∴ ，， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， 又∵ ，， ∴ （）， ∴ ， ∵在中，， ∴ 故答案为：． 16． 【分析】本题考查一元二次方程解的定义，熟练掌握一元二次方程解的定义是解题的关键．根据一元二次方程解的定义，将代入方程中，得到，即，再代入所求表达式计算即可． 【详解】解：是方程 的解， 代入得，， ，即， ， 故答案为：． 17． 【分析】本题主要考查了概率的计算，熟练掌握概率公式是解题的关键．先列出随机闭合两个开关的所有可能情况，再找出能让小灯泡发光的情况，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：随机闭合两个开关，所有可能的情况有：、、、、、，共种．同时闭合开关与或与，小灯泡发光，能让小灯泡发光的情况有、，共种． ∴小灯泡发光的概率是． 故答案为：． 18．1 【分析】本题考查一元二次方程解决实际问题，根据面积公式可得园地修建观花道后剩余的面积为平方米，根据观花道面积等于整个园地面积减去剩余的面积即可列出方程，求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 整理，得， 解得：，， ∵园地的宽为5米，而， ∴不合题意，舍去． 故答案为：1． 19．(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键．常用一元二次方程的解法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． （1）先移项，然后利用十字相乘法解方程； （2）利用因式分解法解方程． 【详解】（1）解：， ， ， ，； （2）解：， ， ，． 20．(1) (2)的值为，方程的根为 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程． （1）先化为一般式，再根据一元二次方程的定义求解即可； （2）根据方程有两个相等的实数根时，求解，再解方程求出方程的根即可． 【详解】（1）解： ∴当，即时，该方程是关于的一元二次方程； （2）解：， 当该方程有两个相等的实数根时， 解得， 此时方程为， 解得， ∴的值为，方程的根为． 21．(1)见解析 (2)理由见解析 【分析】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定是解题的关键． （1）由四边形是平行四边形得，证明四边形是平行四边形，则有，然后根据证明即可； （2）证出四边形是矩形，由矩形的性质得出，即可得出四边形为菱形． 【详解】（1）证明：的对角线，交于点O，，， ，四边形是平行四边形，， ， ， 在和中， ， ． （2）解：当时，四边形为菱形；理由如下： 四边形是平行四边形，， 四边形是矩形， ， ，， 四边形是平行四边形， 四边形为菱形． 22．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，正方形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）先根据“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”得四边形是菱形，再根据“有一个角是直角的菱形是正方形”得出答案； （2）先根据菱形的性质求出，进而求出，再根据正方形的性质可得，然后根据勾股定理求出，则此题可解． 【详解】（1）证明：连接，交于点O， ∵四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， 即 ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 在中，， ∴． 23．(1)，B (2)， (3)估计全校名学生中成绩达到优秀的人数为人 (4) 【分析】本题考查了扇形统计图，条形统计图，中位数，扇形统计图中扇形的百分比，用样本估计总体，列举法求概率等知识．熟练掌握扇形统计图，条形统计图，中位数，用样本估计总体，列举法求概率是解题的关键． （1）由题意知，本次抽取的学生共有（人），然后求出B等级、A等级的人数，最后根据中位数是第个数据的平均数，求解作答即可； （2）由（1）知B等级的人数；根据扇形统计图中D等级所占总人数的比例乘以，计算求解即可； （3）根据，计算求解即可； （4）根据题意画树状图，然后求概率即可． 【详解】（1）解：由题意知，本次抽取的学生共有（人）， ∴B等级人数为（人），A等级人数为（人）， ∵成绩的中位数是第个数据的平均数，而这两个数据落在B等级， ∴他们成绩的中位数落在B等级， 故答案为：、B； （2）解：由（1）知B等级的人数为人； ∵D等级的人数为人, ∴， ∴扇形统计图中D等级所的百分比为； 故答案为：，； （3）解：∵， ∴估计全校名学生中成绩达到优秀的人数为人； （4）解：由题意画树状图如下； 共有种等可能的结果，其中抽到一名男生和一名女生的结果数为8， ∵， ∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率为． 24．(1)第一次购进甲水果200千克，购进乙水果150千克 (2)m的值为10 【分析】本题主要考查了列一元一次方程和一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程求解． （1）设第一次购进甲水果x千克，则购进乙水果千克，根据购买的总价列出方程求解即可； （2）根据利润列出一元二次方程，然后求解即可． 【详解】（1）解：设第一次购进甲水果x千克，则购进乙水果千克， 依题意得， 解得 当时，． 答：第一次购进甲水果200千克，购进乙水果150千克； （2）解：依题意得 整理得 解得（不合题意，舍去） 答：m的值为10． 25．(1)证明见解析 (2)①证明见解析；② 【分析】本题考查的是平行四边形性质、三角形中位线定理、矩形的判定及正方形的性质，掌握相关判定及性质是解题关键， （1）证明是的中位线，即可得出结论； （2）①证明得出，证明四边形是平行四边形，再根据证明结论； ②通过正方形的基本性质得到的长，然后根据中位线性质得到，进而得到，再利用勾股定理即可计算出的长度，进而可求解， 【详解】（1）证明：在平行四边形中，， ， 是的中位线， ； （2）①证明：在平行四边形中，， ， ， ， ， ， ∵点P恰好是的中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形； ②∵四边形是正方形，， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∴， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∴在直角三角形中，， ∴． 26．(1)， (2)经过秒或2秒后，线段的长为 (3)的面积不会等于，详见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确的识图，准确的列出一元二次方程， （1）点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，即可表示出和的长度； （2）先表示出和的长度，再根据利用勾股定理可列方程求解； （3）利用三角形面积公式列出方程，根据根的判别式来判断该方程的根的情况． 【详解】（1）解：根据题意得， ∴， 故答案为：，； （2）解：出发秒后，，则， 在中，得， ， ， ，解得：， 故经过秒或2秒后，线段的长为； （3）解：不能，理由如下：经过秒，的面积等于， 则， ， 即， 该方程无实数解， 的面积不会等于． 答案第16页，共17页 答案第1页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $