精品解析：黑龙江龙东地区2025--2026学年上学期八年级 数学期中试卷

黑龙江龙东地区2025-2026学年上学期八年级数学期中试卷 考生注意： 1．考试时间90分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每题3分，满分30分） 1. 下面各组线段中，能组成三角形的是（ ） A. 5，，6 B. 6，9， C. ，5，4 D. 3，4，8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，掌握相关知识是解决问题的关键．三角形任意两边之和大于第三边，通过计算各组线段中最小两边之和是否大于最大边，即可判断能否组成三角形． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意． 故选：Ｂ． 2. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录.北京国际设计周面向社会公开征集“二十四节气”标识系统设计，以期通过现代设计的手段，尝试推动我国非物质文化遗产创新传承与发展.下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，本选项错误； B、不是轴对称图形，本选项错误； C、不是轴对称图形，本选项错误； D、是轴对称图形，本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．解题关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3. 以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（ ） A. 屋顶支撑架 B. 自行车三脚架 C. 升降平台 D. 旧木门钉木条 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形的稳定性，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，A，B，D都应用了三角形的稳定性，C应用了四边形的不稳定性， 故选C． 4. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（ ） A. 中线，角平分线，高线 B. 角平分线，高线，中线 C. 角平分线，中线，高线 D. 高线，中线，角平分线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，根据三位同学的折纸示意图，结合三角形角平分线、中线和高线的定义求解即可，解题的关键是熟知三角形角平分线、中线和高线的定义． 【详解】解：由图的折叠方式可知，， 所以是的角平分线； 由图的折叠方式可知，， 因为， 所以， 所以， 所以是的高线； 由图的折叠方式可知，， 所以是的中线， 故选：． 5. 我们称网格线的交点为格点． 如图，在4行×6列的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，分为底和为腰找对应的三角形即可． 【详解】解：当为底时，有和，当为腰时，有、和，共有5个，如图， 故答案为：C． 6. 如图所示，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的两条角平分线，∠A=100°，则∠BOC的度数为（ ）． A. 80° B. 90° C. 120° D. 140° 【答案】D 【解析】 【详解】△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-100°=80°， ∵BO、CO是∠ABC，∠ACB的两条角平分线． ∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=40°， 在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=140°． 故选D． 7. 如图，点E在AC上，则的度数是（ ） A. 90° B. 180° C. 270° D. 360° 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形外角的性质可得，∠AED＝∠C+∠D，∠BEC＝∠A+∠B，再根据平角的定义可得答案． 【详解】解：由三角形外角的性质可得， ∠AED＝∠C+∠D，∠BEC＝∠A+∠B， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠DEB＝∠AED+∠BEC+∠DEB＝∠AEC＝180°． 故选：B． 【点睛】本题考查多边形的内角与外角，解题的关键是熟练掌握三角形的外角的性质． 8. 如图，中，平分，是的中点，过点作的垂线交于点，连接，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件得到垂直平分，求得，根据等腰三角形的性质得到，求得，得，根据角平分线的性质得到，根据三角形的内角和定理即可得到． 【详解】是中点，过点作的垂线交于点， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查三角形的性质定理，关键要掌握中垂线的性质． 9. 下列关于的说法错误的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若为直角三角形且，，则等于的一半 C. 若中，则为直角三角形 D. 若中，，则为等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、含的直角三角形的性质、三角形内角和定理、等边三角形的判定等知识点键．根据相关知识点逐项进行判断即可． 【详解】解：、若，则为等腰三角形，说法正确，不合题意； B. 若为直角三角形且，，则等于的一半，说法正确，不合题意； C. 若中，三角形中的最大的角为， 则不是直角三角形，选项说法错误，符合题意； D.若中，，则为等边三角形，说法正确，不合题意； 故选：C 10. 如图，中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是（ ） A. ①③ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，角平分线定义，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据三角形内角和定理以及角平分线定义可判断①；由结合①的结论可得，可证得，可得，，，可判断②；由，结合平分，可知，可证得，可得，由可判断③；由全等三角形的性质可得，，进而可判断④． 【详解】解：、分别平分、， ，， ， ， ， ，故①正确； ， ， ， ， 平分， ， ， ， ，，，故②正确； 平分， ， ， 在和中， ， ， ， ． ， ，故③正确； ，， ，， ， ，故④不正确； 正确的有①②③，共3个， 故选：B． 二、填空题（每题3分，满分18分） 11. 点关于轴对称的点的坐标为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于y轴对称的点坐标特点，掌握相关知识是解决问题的关键．关于y轴对称的点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标不变。 【详解】解：点关于y轴对称，横坐标取相反数，纵坐标不变，故对称点为． 故答案为：． 12. 已知等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个三角形的周长是_____________． 【答案】22 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系和等腰三角形的性质，题目给出的两边长没有明确腰、底分别是多少，所以分类讨论，再根据三角形三边关系进行验证即可． 【详解】解：若腰长为4，则三角形的三边长分别为4，4，9， ， 不符合三角形的三边关系， 若腰长为9，则三角形的三边长分别为4，9，9， ， 符合三角形的三边关系， 这个三角形的周长是， 故答案为：22． 13. 如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，在BA，BC上分别截取线段BE，BF，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点，作射线BP，交AD于点，过点作于点．若，则AM的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，角平分线尺规作图，掌握相关知识是解决问题的关键．根据作图可知平分，根据角平分线的性质可知，结合求出，． 【详解】解：作图可知平分， 是边上的高，，， 根据角平分线的性质可得，， ， ， ， 即的长为， 故答案为：． 14. 如图，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AB⊥BC，∠DAB＝130°，点M，N分别是边BC，CD上两个动点，当△AMN的周长最小时，∠MAN的度数为______． 【答案】80°##80度 【解析】 【分析】作点A关于CD的对称点，关于BC的对称点，连接交CD于，交BC于，此时周长最小，利用整体思想得出，从而得到答案． 【详解】如图，作点A关于CD的对称点，关于BC的对称点，连接交CD于，交BC于， 此时周长最小， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称，最短路径问题，三角形内角和定理等知识，运用整体思想是解题的关键． 15. 过等腰三角形一个顶点的直线把这个等腰三角形分成两个三角形都是等腰三角形，则这个等腰三角形顶角的度数为______． 【答案】或或或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义及性质，三角形内角和定理及外角性质，直角三角形的性质，分三种情况，根据题意分别画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图，、、等腰三角形，、， ∴， ∴，， ∴． 如图，，， 设，则，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； 如图，，，， 设，则，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴； 如图4，，，， 设，则，， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上，这个等腰三角形顶角的度数为或或或． 故答案为或或或 16. 如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是，则经过第次变换后点的对应点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次轴对称变换为一个循环组，依次循环是解题的关键．观察图形可知每四次轴对称变换为一个循环组，依次循环，用除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点所在的象限，然后解答即可． 【详解】解：点第一次关于轴对称后在第三象限，坐标为； 第二次关于轴对称后在第四象限，坐标为； 第三次关于轴对称后在第一象限，坐标为； 第四次关于轴对称后在第二象限，即点回到原始位置，坐标； 每四次轴对称变换为一个循环组依次循环， ， 经过第次变换后，所得的点与第一次变换的位置相同，在第三象限，坐标为． 故答案为：． 三、解答题（满分72分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，各个顶点的坐标分别是，． （1）画出关于轴对称的三角形，并写出点的坐标； （2）以为顶点组成三角形，求的面积． 【答案】（1）见解析， （2）5 【解析】 【分析】本题考查方格纸作图，利用方格纸求三角形面积，轴对称的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用轴对称的性质进行作图并写出顶点坐标即可； （2）利用方格纸将三角形面积组合为长方形与三角形面积差即可求解（如图中的红色长方形）． 【小问1详解】 解：如图所示． 点； 【小问2详解】 解：如图，连接． ． 18. 如图，在和中，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明即可得证，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 19. 已知：中，的角平分线相交于点D，过D作交于点E，交于点F．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了角平分线定义，平行线性质，等腰三角形的判定的应用，注意：等角对等边． 根据角平分线定义和平行线性质求出，推出，同理得出，即可求出答案． 【详解】证明：∵平分，平分， ， ， ， ， ，， ， 即． 20. 如图，已知分别是的高和中线，，求： （1）的面积； （2）的长 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线平分三角形的面积及求三角形面积，掌握三角形中线平分三角形的面积是解题的关键． （1）根据三角形的面积公式求出的面积，再由中线平分三角形面积即可求解； （2）根据是的高以及三角形的面积公式可得到，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴． ∵是的中线， ∴． 【小问2详解】 ∵是的高， ∴， ∴． 21. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°． （1）作线段AB的垂直平分线DE，垂足为点E，交AC于点D，要求用尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不要求写作法和证明； （2）连接BD，直接写出∠CBD的度数； （3）如果△BCD的面积为4，请求出△BAD的面积． 【答案】（1）详见解析；（2）30°；（3）8. 【解析】 【分析】（1）利用基本作图，作AB的垂直平分线即可； （2）利用垂直平分线的性质得DA=DB，则∠DBA=∠A=30°，然后计算∠ABC-∠DBA即可； （3）在Rt△BCD中利用含30度的直角三角形三边的关系得到DB=2CD，则DA=2CD，然后根据三角形面积公式得到S△ABD=2S△BCD=8． 【详解】（1）如图，DE为所作； （2）∵DE垂直平分AB， ∴DA=DB， ∴∠DBA=∠A=30°， ∵∠ABC=90°﹣∠A=60°， ∴∠CBD=∠ABC﹣∠DBA=60°﹣30°=30°； （3）在Rt△BCD中，∵∠CBD=30°， ∴DB=2CD， 而DA=DB， ∴DA=2CD， ∴S△ABD=2S△BCD=8． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了垂直平分线的性质． 22. 如图，在中，于点． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形三线合一，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由题意，，，根据三角形内角和定理即可证明； （2）延长AC，BE交于点，可证为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一可证明，进而通过证明可得，则题目可证． 【小问1详解】 证明：， ， ， 且， ； 【小问2详解】 证明：如图，延长AC，BE交于点． ， ∴， 即， ∴， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 即 ． 23. 【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】 （1）如图1，请写出的取值范围是 ； （2）如图2，已知中，平分，且，求证：． 【答案】（1）； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形三边关系，等腰三角形的判定等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由三角形三边关系可得出答案； （2）延长到点E，使，连接，证明，得出，，证出，则可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意知，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：如图，延长到点E，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 24. 已知在四边形中， ，． （1）如图（1）所示，，E，F分别是边上的点，请写出线段之间的数量关系，并证明． （2）如图（2）所示，，E，F分别是边上的点，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图（3）所示，，E，F分别是边延长线上的点，线段之间的关系是 ．  【答案】（1），证明见解析 （2）（1）中的结论仍然成立，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段的和差，角的和差，解题的关键是掌握以上性质，并灵活构造辅助线． （1）延长至点，使，证明，得出，，再证明，根据对应边相等即可得出结论； （2）延长至点，使，证明，得出，，再证明，根据对应边相等即可得出结论； （3）在线段上截取，连接，证明，得出，，再证明，根据对应边相等即可得出结论． 【小问1详解】 解：，证明如下： 如图，延长至点，使， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：仍然成立，理由如下： 如图，延长至点，使， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，在线段上截取，连接， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 25. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边BC在轴上，A，C两点的坐标分别为，且，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BO匀速运动，设点的运动时间为秒． （1）点的坐标是_________，点的坐标是________； （2）连接PA，当的面积等于的面积的一半时，求的值； （3）当点在线段BO上运动时，在轴上是否存在点，使与全等？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在，点的坐标是或或或 【解析】 【分析】本题考查了平方和算术平方根的非负性，一元一次方程的应用，全等三角形的性质，解本题的关键是分情况讨论计算． （1）由平方和算术平方根非负性先求出，即可求出点，坐标； （2）根据点，，的坐标求出的面积，再分点在线段和射线上两种情况讨论计算； （3）由，所以分两种情况和讨论计算即可． 【小问1详解】 解： ，， ，， 的坐标是，的坐标是． 故答案为：； 【小问2详解】 解：，，； ，， ①在线段上，如图1， ， ， ②当在射线上如图2， ，， 当或时，的面积等于的面积的一半； 【小问3详解】 解：当在线段上运动时，在轴上存在点，使与全等， ∵， ∴①当，时， ， 则， ∴点的坐标是或 ②当，时， ， 则， ∴点的坐标是或； 综上所述，点的坐标是或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江龙东地区2025-2026学年上学期八年级数学期中试卷 考生注意： 1．考试时间90分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每题3分，满分30分） 1. 下面各组线段中，能组成三角形的是（ ） A. 5，，6 B. 6，9， C. ，5，4 D. 3，4，8 2. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录.北京国际设计周面向社会公开征集“二十四节气”标识系统设计，以期通过现代设计的手段，尝试推动我国非物质文化遗产创新传承与发展.下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 3. 以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（ ） A. 屋顶支撑架 B. 自行车三脚架 C. 升降平台 D. 旧木门钉木条 4. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（ ） A 中线，角平分线，高线 B. 角平分线，高线，中线 C. 角平分线，中线，高线 D. 高线，中线，角平分线 5. 我们称网格线的交点为格点． 如图，在4行×6列的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 6. 如图所示，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的两条角平分线，∠A=100°，则∠BOC的度数为（ ）． A 80° B. 90° C. 120° D. 140° 7. 如图，点E在AC上，则的度数是（ ） A. 90° B. 180° C. 270° D. 360° 8. 如图，中，平分，是的中点，过点作的垂线交于点，连接，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 下列关于的说法错误的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若为直角三角形且，，则等于的一半 C. 若中，则为直角三角形 D. 若中，，则为等边三角形 10. 如图，中，，角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是（ ） A. ①③ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（每题3分，满分18分） 11. 点关于轴对称的点的坐标为____． 12. 已知等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个三角形的周长是_____________． 13. 如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，在BA，BC上分别截取线段BE，BF，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点，作射线BP，交AD于点，过点作于点．若，则AM的长为_____． 14. 如图，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AB⊥BC，∠DAB＝130°，点M，N分别是边BC，CD上两个动点，当△AMN的周长最小时，∠MAN的度数为______． 15. 过等腰三角形一个顶点的直线把这个等腰三角形分成两个三角形都是等腰三角形，则这个等腰三角形顶角的度数为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是，则经过第次变换后点的对应点坐标为______． 三、解答题（满分72分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，各个顶点的坐标分别是，． （1）画出关于轴对称的三角形，并写出点的坐标； （2）以为顶点组成三角形，求的面积． 18. 如图，在和中，，，．求证：． 19. 已知：中，的角平分线相交于点D，过D作交于点E，交于点F．求证：． 20. 如图，已知分别是的高和中线，，求： （1）的面积； （2）的长 21. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°． （1）作线段AB的垂直平分线DE，垂足为点E，交AC于点D，要求用尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不要求写作法和证明； （2）连接BD，直接写出∠CBD的度数； （3）如果△BCD的面积为4，请求出△BAD的面积． 22. 如图，在中，于点． （1）求证：； （2）求证：． 23. 【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】 （1）如图1，请写出的取值范围是 ； （2）如图2，已知中，平分，且，求证：． 24. 已知在四边形中， ，． （1）如图（1）所示，，E，F分别是边上的点，请写出线段之间的数量关系，并证明． （2）如图（2）所示，，E，F分别是边上的点，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图（3）所示，，E，F分别是边延长线上点，线段之间的关系是 ．  25. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边BC在轴上，A，C两点的坐标分别为，且，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BO匀速运动，设点的运动时间为秒． （1）点的坐标是_________，点的坐标是________； （2）连接PA，当的面积等于的面积的一半时，求的值； （3）当点在线段BO上运动时，在轴上是否存在点，使与全等？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $