云南省昆明市盘龙区云师大实验中学盘龙学校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年云南师范大学实验中学盘龙校区高二期中考试 数学试卷 一．选择题（共8小题，满分40分） 1．（5分）集合A＝{x|2x+3＜7}，B＝{x∈N|x＜3}，则A∩B＝（　　） A．{1} B．{0，1} C．{1，2} D．{0，1，2} 2．（5分）已知z＝1+i，则＝（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣1+i D．1+i 3．（5分）珠算是以算盘为工具进行数字计算的一种方法，2013年年底联合国教科文组织将中国珠算项目列入人类非物质文化遗产名录．算盘的每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面的两颗珠叫“上珠”，下面的5颗叫“下珠”，从最右边两档的14颗算珠中任取1颗，则这一颗是上珠的概率为（　　） A． B． C． D． 4．（5分）在△ABC中，，点P在CD上，且，则m＝（　　） A． B． C． D． 5．（5分）直线l1：（3a+1）x+2ay﹣1＝0和直线l2：ax﹣3y+3＝0，则“a＝”是“l1⊥l2”的（　　） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（5分）若正实数x，y满足2x+8y﹣xy＝0，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 7．（5分）若定义运算，则函数的值域是（　　） A．（﹣1，0） B．[﹣1，1] C．[0，1） D．（1，+∞） 8．（5分）有一个解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下：“在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，B＝45°，______，求角A．”经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A＝60°．在同学的相互讨论中，甲同学认为应该填写的条件为：“”；乙同学认为应该填写条件为“”，则下列判断正确的是（　　） A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确 二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） （多选）9．（6分）已知点A（﹣1，0），B（2，0），动点M满足，记动点M的轨迹为曲线W，其中所有正确结论的序号是（　　） A．曲线W为一个圆； B．曲线W上存在点D，使得D到点（1，1）的距离为6； C．直线l：kx﹣y+2k+1＝0（k为常数），无论k为何值，直线l与曲线W恒有两个交点； D．曲线W上存在点F，使得F到点B与点（﹣2，0）的距离之和为8． （多选）10．（6分）已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有三个相同的小球，标号为1，2，3．从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A＝“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B＝“抽取的两个小球标号之积小于6”，则（　　） A．事件A发生的概率为 B．事件A∪B发生的概率为 C．事件A，B是互斥事件 D．事件A，B相互独立 （多选）11．（6分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，且M，N分别为AC，A1B的中点，则下列说法正确的是（　　） A．MN∥平面ADD1A1 B．MN⊥AB C．三棱锥N﹣BCM的体积为 D．点A到平面A1BD的距离为 三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（5分）若F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1作直线与椭圆交于A，B两点，△ABF2的周长为　 　 ． 13．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为 　 　 ． 14．（5分）已知椭圆的右焦点为F，P是椭圆上一点，点A（0，2），当点P在椭圆上运动时，△APF的周长的最大值为　 　 四．解答题（共5小题，满分77分） 15．（13分）在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（1，1），B（2，0），△OAB的外接圆为圆M，直线l的方程为y＝kx﹣2． （Ⅰ）求圆M的方程； （Ⅱ）若直线l与圆M相交于E，F两点，，求k的值． 16．（15分）已知椭圆C：过点，且其一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设直线AB与椭圆C交于A，B两点，若点M（﹣2，1）是线段AB的中点，求直线AB的方程． 17．（15分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足6cosC+c＝2b，a＝3． （1）证明：△ABC外接圆的半径为； （2）若恒成立，求实数t的取值范围． 18．（17分）已知等边△ABC的边长为4，E，F，H分别是边AB，BC，AC的中点（如图1），现以EF为折痕把△BEF折起，使点B到达点B′的位置，且HB'＝3（如图2）． （1）证明：AC⊥HB′； （2）在线段B′H上是否存在点M，使得M到平面B′EF的距离为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19．（17分）如图，已知椭圆的离心率为，与y轴正半轴交于点P（0，1），过原点O不与x轴垂直的动直线l与C交于A，B两点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）设直线PA、PB的斜率分别为k1、k2，证明：k1•k2为定值，并求出该定值； （3）以点E（0，2）为圆心，|EP|为半径的圆与直线PA、PB分别交于异于点P的点M和点N，求△PMN与△PAB面积之比λ的取值范围． 2025-2026学年云南师范大学实验中学盘龙校区高二期中考试 数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B C D B D C B 二．多选题（共3小题） 题号 9 10 11 答案 ACD ABC ABD 一．选择题（共9小题，满分46分） 1．【分析】求出集合A，B，再由集合的交集求法得出答案． 【解答】解：集合A＝{x|2x+3＜7}＝{x|x＜2}，B＝{x∈N|x＜3}＝{0，1，2}， 则A∩B＝{0，1}． 故选：B． 【点评】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题． 2．【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解． 【解答】解：z＝1+i， 则＝i（1﹣i﹣1）＝1． 故选：B． 【点评】本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题． 3．【分析】根据古典概型的定义可解． 【解答】解：根据题意，最右边两档的14颗算珠中任取1颗，有14种取法， 而这一颗是上珠有4种取法， 故这一颗是上珠的概率为＝， 故选：C． 【点评】本题考查古典概型的定义，属于基础题． 4．【分析】将代入，利用共线定理推论可得． 【解答】解：因为，所以， 所以， 又P，C，D三点共线，所以，得． 故选：D． 【点评】本题主要考查平面向量的基本定理，属于基础题． 5．【分析】由题意先求出l1⊥l2时的a的值，然后根据充分不必要条件的定义判断即可． 【解答】解：由题设l1⊥l2，可得a×（3a+1）+2a×（﹣3）＝0，解得a＝0或a＝． 所以″a＝”是“l1⊥l2”的充分不必要条件． 故选：B． 【点评】本题考查了充要条件的判断，两直线的位置关系，是基础题． 6．【分析】根据等式计算得出1，再结合常值代换求和的最值，计算可得最大值． 【解答】解：∵x＞0，y＞0，2x+8y﹣xy＝0， ∴， ∴， 当且仅当＝，即x＝12，y＝6时等号成立， ∴． 故选：D． 【点评】本题考查基本不等式的应用，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于中档题． 7．【分析】由题意，写出函数解析式，根据对数函数以及指数函数的图象性质，结合图象对称变换，画出图象，写出分段函数且明确定义域，可得答案． 【解答】解：由题意可得：， 作函数y＝|log2x|与函数y＝2﹣x的图象，如下图所示： 由图可知：， 易知其值域为[0，1）． 故选：C． 【点评】本题考查了新定义，考查对数函数，指数函数的性质，是基础题． 8．【分析】根据A＝60°，B＝45°，得到C＝75°，再利用正弦定理求得边b，c，验证即可． 【解答】解：∵A＝60°，B＝45°，∴C＝75°， 又易得sin75°＝， 由正弦定理得， 则， 解得，． 若条件为， 则由正弦定理得：，解得， ∴A＝60°或A＝120°，答案不唯一，不符合题意， 若条件为， 则由正弦定理得：，解得， ∴A＝60°或A＝120°， ∵c＞a，∴A＝60°，答案唯一，符合题意， 故答案为． 故选：B． 【点评】本题考查解三角形问题，正弦定理的应用，属中档题． 【点评】本题考查了圆、椭圆方程的求法，考查了直线与曲线的位置关系，是中档题． 2． 多选题（共2小题，满分12分，每小题6分） 9．【分析】设M（x，y），根据M满足，利用两点间距离公式化简整理，即可判断（1）是否正确；由（1）可知，圆上的点D到（1，1）的距离的范围为[﹣2，+2]，进而可判断②是否正确；确定直线过的定点，判断定点与圆的位置，即可判断（3）是否正确；由椭圆的定义，可知F在椭圆上，再根据椭圆与曲线W的位置关系，即可判断（4）是否正确． 【解答】解：A设M（x，y），因为M满足，所以＝， 整理可得：x2+y2+4x＝0，即（x+2）2+y2＝4，曲线W为一个圆，所以A正确； B由（1）可知，点（1，1）在圆（x+2）2+y2＝4的外部，因为（1，1）到圆心（﹣2，0）的距离d＝＝，半径为2，所以圆上的点D到（1，1）的距离的范围为[﹣2，+2]，而6∉[﹣2，+2]，所以B不正确； C直线l：kx﹣y+2k+1＝0（k为常数），则y﹣1＝k（x+2），则直线过定点Q（﹣2，1），且点在圆（x+2）2+y2＝4内，则无论k为何值，直线l与曲线W恒有两个交点，所以C正确； D假设存在这样的点F，使得F到点B与点（﹣2，0）的距离之和为8，则F在以点B与点（﹣2，0）为焦点，实轴长为8的椭圆上，即F在椭圆上，易知椭圆与曲线W：（x+2）2+y2＝4有交点，故曲线W上存在点F，使得F到点B与点（﹣2，0）的距离之和为8；所以D正确． 故选：ACD． 10．【分析】利用古典概型、列举法、互斥事件、相互独立事件直接求解． 【解答】解：甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4，乙罐中有三个相同的小球，标号为1，2，3， 从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球， 基本事件总数n＝4×3＝12， 记事件A＝“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B＝“抽取的两个小球标号之积小于6”， 事件A包含的基本事件有：（3，3），（4，2），（4，3），共3个， 事件B包含的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1），（4，1），共7个， 对于A，P（A）＝＝，故A正确； 对于B，P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝＝，故B正确； 对于C，事件A，B不能同时发生，是互斥事件，故C正确； 对于D，P（AB）＝0≠P（A）P（B），∴事件A，B不是相互独立事件，故D错误． 故选：ABC． 【点评】本题考查古典概型、列举法、互斥事件、相互独立事件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 11．【分析】根据线面平行的判定定理，线面垂直的性质，三棱锥的体积公式，等体积法，针对各个选项即可分别求解． 【解答】解：对A选项，如图，连接BD，A1D，则M为BD中点， 又N为A1B的中点，∴MN∥A1D， 又MN⊄平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1， ∴MN∥平面ADD1A1，∴A选项正确； 对B选项，∵AB⊥平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1， ∴A1D⊥AB，由A选项分析可知MN∥A1D， ∴MN⊥AB，∴B选项正确； 对C选项，∵三棱锥N﹣BCM的体积为： ＝＝，∴C选项错误； 对D选项，设点A到平面A1BD的距离为h， 则， ∴， ∴h＝，∴D选项正确． 故选：ABD． 【点评】本题考查立体几何的综合应用，线面平行的证明，线线垂直的证明，三棱锥的体积的求解，点面距的求解，等体积法的应用，属中档题． 三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．【分析】由椭圆方程求得a＝6，△ABF2的周长是 （ AF1+AF2 ）+（BF1＝BF2），由椭圆的定义知，AF1+AF2＝2a，BF1+BF2＝2a，从而求出△ABF2的周长． 【解答】解：由椭圆可得，a＝5，b＝3， △ABF2的周长是 （ AF1+AF2 ）+（BF1+BF2）＝2a+2a＝4a＝20， 故答案为：20． 【点评】本题考查椭圆的定义、椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用． 13．【分析】在Rt△BEF中计算tan∠FEB即可得出答案． 【解答】解：连接BE， ∵BB1⊥平面ABCD， ∴∠FEB为直线EF与平面ABCD所成的角， ∵AE＝1，AB＝2，∴BE＝， ∴tan∠FEB＝＝＝． 故答案为：． 【点评】本题考查了直线与平面所成角的计算，属于基础题． 14．【分析】画出图形，设椭圆的左焦点为F′，|AF|＝＝4＝|AF′|，|PF|+|PF′|＝2a＝6，利用|PA|﹣|PF′|≤|AF′|，即可得出． 【解答】解：如图所示设椭圆的左焦点为F′， ，|AF|＝＝4＝|AF′|， 则|PF|+|PF′|＝2a＝6， ∵|PA|﹣|PF′|≤|AF′|， ∴△APF的周长＝|AF|+|PA|+|PF|＝|AF|+|PA|+6﹣|PF′|≤4+6+4＝14， 当且仅当三点A，F′，P共线时取等号． ∴△APF的周长最大值等于14． 故答案为：14． 【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、三角形三边大小关系，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题． 四．解答题（共5小题，满分77分） 15．【分析】（Ⅰ）由已知可得圆心坐标及半径，则圆M的方程可求； （II）设圆心M（1，0）到直线l的距离为d，由弦长可得弦心距，再由点到直线的距离公式列式求解． 【解答】解：（Ⅰ）∵圆M经过点O（0，0）、A（1，1）、B（2，0）， ∴OA⊥AB，|OA|＝|AB|， ∴圆心为M（1，0），半径为r＝1， 则圆M的方程为（x﹣1）2+y2＝1； （II）设圆心M（1，0）到直线l的距离为d， ∵直线l与圆M相交于E，F两点，， ∴（）2+d2＝r2，得（）2+d2＝1，则d＝， ∴＝，解得k＝1或k＝7． 【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题． 16．【分析】（Ⅰ）根据题意及椭圆的几何性质求得a，b； （Ⅱ）联立直线与椭圆的方程，由根与系数关系得到两根之和，再根据中点公式列式可求得斜率k，从而求得直线l的方程． 【解答】解：（Ⅰ）抛物线y2＝8x的焦点为（2，0）， 由题意得， 解得a2＝8，b2＝4， 所以椭圆C的方程为＝1． （Ⅱ）直线l的斜率存在，设斜率为k， 直线l的方程为y﹣1＝k（x+2），即y＝kx+2k+1， 联立， 消去y得：（2k2+1）x2+4k（1+2k）x+8k2+8k﹣6＝0， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 因为＝﹣2，即x1+x2＝﹣4， 所以＝﹣4，解得k＝1， 所以所求直线l的方程为x﹣y+3＝0． 【点评】本题考查了直线与椭圆的综合，属中档题． 17．【分析】（1）由正弦定理结合角的范围求出角，再应用正弦定理求出外接圆半径即可； （2）把已知恒成立，参数分离转化为恒成立，再求出的最大值可得范围． 【解答】解：（1）由6cosC+c＝2b，a＝3，得2acosC+c＝2b， 由正弦定理得：2sinAcosC+sinC＝2sinB＝2sin（A+C） ＝2sinAcosC+2cosAsinC， 化简得2cosAsinC＝sinC． 因为sinC≠0，所以． 又A∈（0，π），所以， 所以△ABC外接圆的半径为． （2）要使恒成立， 即恒成立， 即求的最大值． 由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝b2+c2﹣bc， 所以 因为bc≠0， 所以， 当且仅当b2＝4c2，即时，等号成立， 所以实数t的取值范围为． 【点评】本题考查解三角形问题，正弦定理与余弦定理的应用，基本不等式的应用，化归转化思想，属中档题． 18．【分析】（1）利用折叠前后的相关位置关系，由线面垂直的判定定理和性质定理推理即得； （2）结合图形特征建系，求出相关点的坐标，将的坐标用参数λ表示，求出平面B′EF的法向量坐标，利用点到平面距离的空间向量公式列出方程，求解即得． 【解答】（1）证明：因为E，F分别是边AB，BC的中点， 所以EF∥AC， 如图，连接BH交EF于O，连接B′O， 由折叠可知，EF⊥OB′，EF⊥OH，OH∩OB′＝O，OH，OB′⊂平面OB′H， 所以EF⊥平面OB′H， 所以AC⊥平面OB′H， 又因为HB′⊂平面OB′H， 所以AC⊥HB′； （2）解：因为等边△ABC的边长为4，H是AC的中点， 所以，， 又因为HB′＝3，所以， 在△B'OH中，可得∠B′OH＝120°， 如图， 以O为坐标原点，OF，OB所在直线为x，y轴，过O作垂直于平面ABC的直线为z轴， 建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设＝＝， 在平面B′EF中，， 设平面B′EF的法向量， 则，令，得x＝0，z＝1， 故可取， 所以•＝0×0+（λ﹣）×（﹣）+λ×1＝3（﹣λ+1），||＝＝2， 则点M到平面B′EF的距离为，即＝， 解得或（舍去）， 所以M为HB′的中点，所以， 所以满足条件的点M存在，且． 【点评】本题考查线面垂直的性质定理的应用及用空间向量的方法求点到平面的距离，属于中档题． 19．【分析】（1）根据离心率可得a，b的关系，再根据P可求b，故可求标准方程． （2）设A（x1，y1），则可得，根据A在椭圆上可得定值． （3）求出E的方程，分别联立直线方程和椭圆方程、直线方程和圆的方程后可得A，B，M，N的横坐标，从而可得面积之比，结合换元法可得范围． 【解答】解：（1）由题设有b＝1，且，故， 故椭圆方程为：． （2）设A（x1，y1），则B（﹣x1，﹣y1），故， 而，故． 故k1k2为定值且定值为． （3）由题设k1≠0，k2≠0． 圆E：x2+（y﹣2）2＝1，直线PA：y＝k1x+1， 由可得，即， 故， 由可得，即， 同理， 而，， 而∠MPN＝∠APB，故 ＝， 令，故，其中s＞1， 故 ＝， 而，故，故， 即△PMN与△PAB面积之比λ的取值范围是[）． 【点评】本题主要考查椭圆的性质及标准方程，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于难题． 学科网（北京）股份有限公司 $