精品解析：吉林长春吉大附中实验学校2025-2026学年高三年级下学期高考适应性考试数学试题

吉大附中2025-2026学年度高三年级适应性考试数学试题 一.单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .) 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. 100 B. 25 C. 10 D. 5 3. 从预测雾霾动态，到预警水体污染；从评估森林碳汇，到守护生物多样性——AI正成为环境治理领域中一双敏锐的“无形之手”．某公司为评估AI辅助预测模型的准确性，记录了某月连续7天的PM2.5预测误差（预测误差=实际浓度-预测浓度，单位：）．如下表： 日期 1 2 3 4 5 6 7 预测误差： 1 0 1 2 下列关于这7天预测误差的描述中，正确的是（ ） A. 这组数据的众数仅是 B. 这组数据的平均数是0 C. 这组数据的极差是6 D. 这组数据的中位数是0 4. 已知函数的周期为，且在上单调递增，则可以是（ ） A. B. C. D. 5. 在某人工智能推荐系统中，用户偏好与商品特征会被编码为特征向量，即，其中代表用户偏好向量，代表商品特征向量，越小，商品越符合用户喜好.已知某用户偏好向量，某件商品的特征向量，当该商品最符合该用户喜好时，的值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 无法确定的 8. 记为等比数列的前项和，设甲：为等差数列，乙：为等差数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 二 、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分 . 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分，若只有3个正确选项，每选对一个得2分.) 9. 在正三棱台中，为的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 平面 10. 函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则（ ） A. B. 直线是曲线的对称轴 C. 在区间单调递增 D. 函数是奇函数 11. 已知抛物线：的焦点为，过点作斜率为直线与抛物线交于，两点（在第一象限），与准线相交于点，过点作拋物线的切线与准线相交于，当，，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.)四 12. 的展开式中常数项是______（用数字作答）． 13. 一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数，现随机将骰子抛掷3次，且各次抛掷结果相互独立，则三次抛掷出现向上的点数之积能被4整除的概率为______． 14. 已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为______． 四 、解答题(本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 各棱长均相等的正三棱柱中，为中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 16. 已知数列和满足. （1）若，求的值； （2）若，且恒成立，求t的取值范围. 17. 某智能系统用于处理判断题（答案只有“对”和“错”），系统内设有两个独立的预测模型，分别记为模型甲和模型乙.系统的答案输出规则如下：系统首先同时向模型甲与模型乙提问，若两者答案一致，则直接输出该答案；若两者答案不一致，系统将重新向模型甲提问一次，并以模型甲此次给出的答案作为最终输出答案.已知模型甲回答正确的概率为，模型乙回答正确的概率为0.75，假设各模型每次回答相互独立. （1）当时，求系统第一次同时向两个模型提问时，两个模型答案不同的概率； （2）若系统最终输出正确答案的概率不低于0.88，求的最小值. 18. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，焦距为2，过的直线与交于两点，为线段的中点，过的直线与交于两点． （1）求C的方程； （2）设分别为直线的斜率，已知． （ⅰ）证明：为线段的中点； （ⅱ）判断四边形的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 19. 已知，是实数，函数，其中是自然对数的底数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时， （ⅰ）若均有极小值点，且，求实数的取值范围； （ii）若方程有两个根，，当取最小值时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉大附中2025-2026学年度高三年级适应性考试数学试题 一.单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .) 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合, 在求交集运算. 【详解】由，解得，即集合 所以 故选：A 2. 若复数满足，则（ ） A. 100 B. 25 C. 10 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】，， 则，故选项C正确. 3. 从预测雾霾动态，到预警水体污染；从评估森林碳汇，到守护生物多样性——AI正成为环境治理领域中一双敏锐的“无形之手”．某公司为评估AI辅助预测模型的准确性，记录了某月连续7天的PM2.5预测误差（预测误差=实际浓度-预测浓度，单位：）．如下表： 日期 1 2 3 4 5 6 7 预测误差： 1 0 1 2 下列关于这7天预测误差的描述中，正确的是（ ） A. 这组数据的众数仅是 B. 这组数据的平均数是0 C. 这组数据的极差是6 D. 这组数据的中位数是0 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合众数，中位数，和极差的定义，以及平均数的计算公式，逐项分析求解，即可得到答案. 【详解】将这7天的预测误差的7个数据从小到大排序，可得， 对于A，统计数据中和出现的次数都是两次，且次数最多， 所以众数是和，所以A错误； 对于B，统计数据的平均数为，所以B不正确； 对于C，统计数据的极差为，所以C错误； 对于D，根据中位数的定义，可得统计数据的中位数为，所以D正确. 4. 已知函数的周期为，且在上单调递增，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求函数的周期，举例说明函数的单调性不满足要求，排除A，证明为函数的周期，再判断函数在上的单调性，判断B，举例说明函数的单调性不满足要求，排除C，结合函数定义域，排除D. 【详解】对于A，，但，， 所以函数在上不单调递增，不符合题意； 对于B，， 所以函数的周期为， 当时，，因为， 函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，同理可得函数在上单调递减， ，所以函数的最小正周期为，B正确； 对于C，因为，， 所以函数在上不单调递增，不符合题意； 对于D，函数的定义域为，， 所以结论函数在单调递增错误，不符合题意； 故选：B. 5. 在某人工智能推荐系统中，用户偏好与商品特征会被编码为特征向量，即，其中代表用户偏好向量，代表商品特征向量，越小，商品越符合用户喜好.已知某用户偏好向量，某件商品的特征向量，当该商品最符合该用户喜好时，的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，， 当时，取得最小值. 6. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据二倍角公式进行弦化切即可得到答案. 【详解】. 故选：B. 7. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 无法确定的 【答案】B 【解析】 【分析】通过正弦定理将角化为边得，再结合余弦定理即可得结果. 【详解】由，可得，则， 则，则A为钝角， 故的形状是钝角三角形. 8. 记为等比数列的前项和，设甲：为等差数列，乙：为等差数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差性质、等比数列的性质，结合充分条件、必要条件的概念求解判断即可. 【详解】设等比数列的公比为，首项为. 甲：，，. 因为为等差数列，所以，即， 整理得，即，所以. 乙：，，. 因为为等差数列，所以，即， 整理得，即，解得或. 所以若甲成立，乙一定成立，故甲是乙的充分条件；若乙成立，甲不一定成立，故甲不是乙的必要条件； 综上，甲是乙的充分不必要条件. 二 、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分 . 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分，若只有3个正确选项，每选对一个得2分.) 9. 在正三棱台中，为的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 平面 【答案】BD 【解析】 【详解】如图，将三棱台补足为三棱锥， 对于A，由于，而与相交，则与相交，故A错误； 对于B，由于平面平面，且平面，则平面，故B正确； 对于C，由于，且，则，又因为在平面内，所以与不垂直，故C错误； 对于D，由于，，且，，平面，则平面，故D正确. 10. 函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则（ ） A. B. 直线是曲线的对称轴 C. 在区间单调递增 D. 函数是奇函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用图象的平移可得，结合三角函数的图象与性质依次判断选项即可. 【详解】由函数的图象向左平移个单位长度得到，故A不正确， 的对称轴满足，即，当时，，即直线是曲线的对称轴，故B正确； 令，解得：， 当时，，所以在区间单调递增，故C正确； ， 所以函数是奇函数，故D正确. 11. 已知抛物线：的焦点为，过点作斜率为直线与抛物线交于，两点（在第一象限），与准线相交于点，过点作拋物线的切线与准线相交于，当，，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据抛物线定义及几何关系即可判断A；设出直线方程，与抛物线联立，求出点，点坐标，利用两点间距离公式求解，即可判断B，C；结合导数的几何意义求出过点的切线方程，与准线联立得到点坐标，求出，利用即可判断D. 【详解】对于A：过点作准线的垂线交于点. 由抛物线的定义可知，. 在中，，即. 所以，A正确. 对于B：点，设直线的方程为，，. 联立，整理得，即， 解得或. 又在第一象限，所以，. 则，所以，B正确. 对于C：由B知，，，. ，C错误. 对于D：抛物线方程：，即，则. 所以过点的切线方程为：，即. 又抛物线准线方程为，联立可得. 所以，又，则， 所以，D正确. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.)四 12. 的展开式中常数项是______（用数字作答）． 【答案】240 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项，令的指数为0，即可求解，进而可求常数项. 【详解】的二项展开式的通项为， 令得，故常数项为， 故答案为：240． 13. 一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数，现随机将骰子抛掷3次，且各次抛掷结果相互独立，则三次抛掷出现向上的点数之积能被4整除的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】应用互斥事件概率和公式及独立重复事件概率公式计算求解. 【详解】记事件表示三次抛掷出的点数之积能被4整除， 则事件有两种情况：第一种是至少有一次掷出点数为4；第二种是没有掷出点数4，但点数2或6两者一共至少被掷出两次； 则. 14. 已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为______． 【答案】 【解析】 【详解】如图，取底面正方形边的中点为，底面正方形的中心为，则是正四棱锥的高， 底面， 连接，因为，是的中点，所以，则是侧面等腰三角形底边上的高, 因为底面正方形边长为 6，得 ，由题意，侧面积是底面积 2 倍，所以， 正四棱锥 4 个侧面是全等的等腰三角形，所以， 得，， 在中，， 所以正四棱锥的体积. 四 、解答题(本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 各棱长均相等的正三棱柱中，为中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：连接，交于点，连接． 因为正三棱柱各棱长均相等，所以侧面为正方形，所以为中点， 又为中点，所以. 又平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用二面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为为正三角形，为中点，所以. 以为原点，，分别为轴，轴建立如图所示空间直角坐标系， 设正三棱柱各棱长为2， 则，，，， 所以，，. 设平面的法向量为， 所以，即，令，则，，所以. 设平面的法向量为， 所以，即，令，则，，所以. 设平面与平面夹角为， 则. 故平面与平面夹角的余弦值． 16. 已知数列和满足. （1）若，求的值； （2）若，且恒成立，求t的取值范围. 【答案】（1）98 （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用通项公式与递推关系计算即可； （2）根据等差数列求和公式及裂项相消法先计算和，再解不等式即可. 【小问1详解】 因为，所以，，， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以 则， 所以， 因为，所以，即. 由恒成立，可得， 则，得， 则，即t的取值范围为. 17. 某智能系统用于处理判断题（答案只有“对”和“错”），系统内设有两个独立的预测模型，分别记为模型甲和模型乙.系统的答案输出规则如下：系统首先同时向模型甲与模型乙提问，若两者答案一致，则直接输出该答案；若两者答案不一致，系统将重新向模型甲提问一次，并以模型甲此次给出的答案作为最终输出答案.已知模型甲回答正确的概率为，模型乙回答正确的概率为0.75，假设各模型每次回答相互独立. （1）当时，求系统第一次同时向两个模型提问时，两个模型答案不同的概率； （2）若系统最终输出正确答案的概率不低于0.88，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件和互斥事件概率的计算公式求值即可. （2）先求系统最终输出的答案正确的概率，根据概率不低于列式，解二次不等式，可求的最小值. 【小问1详解】 不妨设事件“模型甲回答正确”，事件“模型乙回答正确”，则“模型甲回答错误”，“模型乙回答错误”， 由于与相互独立，与，与，与都相互独立， 由题意可得，，，，， 分析可得，“在第一次提问中两个模型答案不同”的概率为，且与互斥，根据概率的加法公式和事件的独立性定义，得 ， 故在第一次提问中两个模型答案不同的概率为0.325. 【小问2详解】 系统最终输出正确答案包含两种互斥的情况：一是第一次提问时两模型答案一致且正确；二是第一次提问时两模型答案不一致，且第二次向模型甲提问时其回答正确. 系统第一次输出正确答案的概率为：， 由（1）可知，在第一次提问中两个模型答案不同的概率为： ， 系统第二次输出正确答案的概率为：， 设系统最终输出正确答案的概率为，则， 于是，解得，又由，于是， 则的最小值为. 18. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，焦距为2，过的直线与交于两点，为线段的中点，过的直线与交于两点． （1）求C的方程； （2）设分别为直线的斜率，已知． （ⅰ）证明：为线段的中点； （ⅱ）判断四边形的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明：由，则直线的斜率存在， 设直线的方程为，，，设中点， 联立，得， 则，， ，则， 即中点在直线上， 又是直线上，则，重合， 所以为线段的中点； （ⅱ）是，定值为 【解析】 【分析】（1）根据离心率及焦距求椭圆方程即可； （2）（ⅰ）设直线的方程为，，，设中点，联立得到，再证明在直线上即可； （ⅱ）根据题意可得，利用点得到点坐标，进而得到，再求弦长及点到直线的距离，进而求出面积即可． 【小问1详解】 解：由题意得, 解得， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由（ⅰ）知为中点，为线段的中点，又关于原点对称， ， 又，则， ，解得， ， 点到直线的距离， 故四边形的面积为定值． 【点睛】 19. 已知，是实数，函数，其中是自然对数的底数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时， （ⅰ）若均有极小值点，且，求实数的取值范围； （ii）若方程有两个根，，当取最小值时，求的值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）对函数进行求导，从而得到切线的斜率，进而写出切线方程； （2）（i）通过求导找出极小值点，再代入原函数中，结合题目中的参数范围，转化为函数最值问题求解； （ii）通过变量代换将变量转化为新函数的根，通过构建辅助函数并进行求导，结合导数与单调性的关系求出最值，进而可求出距离最小值时的参数关系. 【小问1详解】 当时，，， 求导可得，， 所以曲线在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 （i），求导可得， 因为，分类讨论 当时，，单调递减，则不可能有极小值点； 当时，令，即，解得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因此均有极小值点，且， ， 令，设函数， 故对任意的，，求导可得， 当时，，单调递增， 当，，单调递减， ，， 当时，；，， 图象如下图所示， 故恒成立，解得． （ii）方程有两个根， 由（i）可知，否则单调递减，不可能有两个根， 方程有两个根等价于有两个根， 设函数，， 当，；当，，故可知， 记，上式等价于有两个根， 即，两式相减可得，记， 故上式可写成，即， 将代入可得， 设函数，求导可得， 设函数，求导可得，单调递增， 故，即，单调递增， 要求最小值，即求的最小值，就是求的最小值， 设函数，求导可得， 设函数，求导可得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， ，，的图象如下图所示 ， 故存在使得，即， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 故，即时，取最小值， 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $