精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市普高联谊校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

黑龙江省齐齐哈尔市普高联谊校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章～第三章第2节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用并集的定义可得出集合. 【详解】因为，，则. 故选：D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】利用配凑法求函数解析式，再代入求解即可. 【详解】由题意，得，则，故. 故选：B. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用具体函数定义域的求法即可得解. 【详解】对于， 有，解得且， 则的定义域为. 故选：C. 4. 若，，，，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】已知条件结合不等式的性质，判断各选项结论是否正确. 【详解】若，，，， 由，则，得，A选项错误； 由，有，则，B选项错误； 由，，有，C选项正确； 由，有，D选项错误. 故选：C. 5. 已知函数是上的偶函数，当时，，则当时，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性求解析式即可. 【详解】因为函数为偶函数，所以. 当时，， 所以当时，. 故选：A. 6. 下列各组中的函数和是表示同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据相同函数的定义，分别判断各个选项函数的定义域和对应关系是否都相同即可得解. 【详解】对于A，，，所以两函数不是同一个函数，故A错误； 对于B，的定义域为，的定义域为， 所以两函数不是同一个函数，故B错误； 对于C，的定义域为，的定义域为， 所以两函数不是同一个函数，故C错误； 对于D，可知两个函数的定义域均为，且， 所以两函数是同一个函数，故D正确. 故选：D. 7. 单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取40m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（ ） A. 110 B. 116 C. 119 D. 122 【答案】B 【解析】 【分析】把给定函数变形，利用基本不等式即可得解. 【详解】由题知 当且仅当，即时取“=”，所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为116. 故选：B. 8. 已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数性质及区间单调性可得，两边平方求解集. 【详解】依题意，得在上为增函数，且为偶函数， 所以，即， 所以，两边平方得，解得． 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项中，是的必要不充分条件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据各项条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即可得答案. 【详解】A，因为能推出，而不能推出，所以是的必要不充分条件，正确； B，因为不能推出，如；同时不能推出，如，即充分性与必要性都不成立，所以是的既不充分也不必要条件，错误； C，因为不能推出，如，即充分性不成立；可以推出，即必要性成立，正确； D，因为等价于，所以是的充要条件，错误． 故选：AC 10. 已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（ ） A. B. 若，则的值是或 C. 的值域为 D. 的解集为 【答案】AC 【解析】 【分析】对A：由分段函数的性质代入计算即可得；对B：分及进行计算即可得；对C：分别求出当时，时，的取值范围即可得；对D：分及解不等式即可得. 【详解】对A：因为，则，故A正确； 对B：当时，，解得（舍去）， 当时，，解得或（舍去），故B错误； 对C：当时，的取值范围是， 当时，的取值范围是， 因此的值域为，故C正确； 对D：当时，，解得， 当时，，解得， 所以的解集为；故D错误 故选：AC. 11. 已知有限数集中的元素均为实数，且对任意，都有，则下列结论正确的是（ ） A. 中最大的元素不超过1 B. 中最小的元素可以小于 C. 若集合中只有一个元素，则或 D. 若集合中有两个元素，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，设为数集中最大的元素，可知也是数集的元素，由,解不等式即可判断； 对于B,设为数集中最小的元素，可知和都是数集的元素，则,解不等式即可判断； 对于C,设为数集中唯一的元素，可知也是数集的元素，则,解方程即可求解； 对于D,举出也满足条件即可判断. 【详解】对于A，设为数集中最大的元素，根据数集的定义可知也是数集的元素， 则,解得：,所以数集中最大的元素不超过1，故A正确； 对于B,设为数集中最小的元素，根据数集的定义可知和都是数集的元素， 则,即,解得或， 所以数集中最小的元素不小于，故B不正确； 对于C,设为数集中唯一的元素，根据数集的定义可知也是数集的元素 ，则,解得：或,则或，故C正确； 对于D,设集合中有两个元素分别为,， 当时，，，由于，所以，解得或(舍去)，此时； 当，时，，，，所以集合中有两个元素，则也满足条件,故D不正确； 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题：“，”的否定是________. 【答案】， 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题直接得结果. 【详解】“，”的否定是“，”. 故答案为：， 13. 不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法求解即可. 【详解】当，即时，不等式成立； 当时，由. 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 14. 已知是上的单调增函数，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性和在间断点处的连续性可解. 【详解】是上的单调增函数， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 若集合，. （1）若，求； （2）当时，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件可得，根据并集运算定义求解； （2）由条件可得，结合集合包含关系列不等式求结论. 【小问1详解】 因为， ∴，又 ∴. 【小问2详解】 ∵，∴， ∴， ∴， ∴实数的取值范围为. 16. 已知函数. （1）判断的奇偶性并用定义进行证明； （2）用定义证明在区间上单调递减. 【答案】（1）是奇函数，证明如下： 由，得的定义域为. 对于，都有， 且， 所以是奇函数. （2）证明：任取，，且， 则 ， 因为，所以，，，， 因此，即， 所以函数在区间上单调递减. 【解析】 【分析】（1）利用奇偶性的定义证明即可； （2）令，，且，做差判断的正负来确定函数单调性. 【小问1详解】 是奇函数，证明略； 【小问2详解】 略. 17. 已知函数． （1）若对，恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式：． 【答案】（1） （2） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 【解析】 【分析】（1）分析可知，恒成立，由可得出关于的不等式，解之即可； （2）将所求不等式变形为，对、的大小关系进行分类讨论，结合二次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【小问1详解】 对，恒成立，即恒成立， 所以， 整理得，解得，所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 ，即，即， 即，即， 当，即时，原不等式即为，解得； 当，即时，解原不等式得或； 当，即时，解原不等式得或． 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 18. 已知函数与x轴的两个交点为，. （1）求b，c的值； （2）在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方，求实数m的取值范围； （3）设当（）时，函数的最小值为，求的解析式. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）2，3为方程的两根，由韦达定理求b，c的值； （2）问题等价于在上恒成立，转化为函数在上的最小值； （3）讨论区间与对称轴的关系，结合二次函数的单调性，即可求得二次函数在闭区间上的最小值. 【小问1详解】 2，3为方程的两根， 由根与系数的关系可得，， 所以，. 【小问2详解】 由（1）可知，且满足，恒成立， 等价于，， 函数的对称轴为，开口向上，所以在上单调递减. 所以时，有最小值0， 所以，实数m的取值范围为. 【小问3详解】 ，函数的对称轴为，开口向上， 若，即，则在上单调递减，； 若，则在上单调递增，； 若，即， 则在上先减后增，， 所以，. 19. 问题：已知、、均为正实数，且，求证：. 证明：，当且仅当时，等号成立.学习上述解法并解决下列问题： （1）已知、、均为正实数，且，求的最小值； （2）已知、、、均为正实数，且，求证：； （3）求的最小值，并求出使得取得最小值时的值. 【答案】（1） （2）证明:因为、、、均为正实数，且， 则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立，故. （3）当时，取最小值 【解析】 【分析】（1）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值； （2）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可证得所证不等式成立； （3）分析可得，利用（2）中的结论可得出，可求得的最小值，结合（2）中的结论可求得对应的的值. 【小问1详解】 因为、、均为正实数，且， 则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为. 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 对于代数式，有，可得， 此时，，则， 所以，， 由（2）中的结论可得，可得， 当且仅当时，即当时，取最小值. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省齐齐哈尔市普高联谊校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章～第三章第2节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 7 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 若，，，，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是上的偶函数，当时，，则当时，（ ） A. B. C. D. 6. 下列各组中的函数和是表示同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取40m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（ ） A. 110 B. 116 C. 119 D. 122 8. 已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项中，是的必要不充分条件的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（ ） A. B. 若，则的值是或 C. 的值域为 D. 的解集为 11. 已知有限数集中的元素均为实数，且对任意，都有，则下列结论正确的是（ ） A. 中最大的元素不超过1 B. 中最小的元素可以小于 C. 若集合中只有一个元素，则或 D. 若集合中有两个元素，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题：“，”的否定是________. 13. 不等式的解集为__________. 14. 已知是上的单调增函数，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 若集合，. （1）若，求； （2）当时，求实数的取值范围. 16. 已知函数. （1）判断的奇偶性并用定义进行证明； （2）用定义证明在区间上单调递减. 17. 已知函数． （1）若对，恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式：． 18. 已知函数与x轴的两个交点为，. （1）求b，c的值； （2）在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方，求实数m的取值范围； （3）设当（）时，函数的最小值为，求的解析式. 19. 问题：已知、、均为正实数，且，求证：. 证明：，当且仅当时，等号成立.学习上述解法并解决下列问题： （1）已知、、均为正实数，且，求的最小值； （2）已知、、、均为正实数，且，求证：； （3）求的最小值，并求出使得取得最小值时的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $