精品解析：河南省安阳市光华中学2025-2026学年八年级上学期月考数学试卷

八数光华（2025上）月考试卷 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 下列生活实物中，没有用到三角形的稳定性的是（　　） A. 太阳能热水器 B. 活动衣架 C. 三脚架 D. 篮球架 2. 下列四个图形中，画出的边上的高正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为（ ） A. B. C. D. 或 4. 如图，将一块直角三角板放置在锐角上，使得该三角板的两条直角边，恰好分别经过点，．若时，点在内，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 等腰三角形一个内角为，则顶角的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 已知三角形三边的长分别为，，，且为整数，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的是（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 只有乙 D. 只有丙 8. 在正方形网格中的位置如图所示，点，，，均在格点上，则点是的（ ） A. 三条内角角平分线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条高的交点 D. 无法确定 9. 如图，在中，以它的边为直角边，分别在形外作等腰直角三角形，连接．下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. C. 平分 D. 10. 如图，在中，和的平分线，相交于点，过点作于，在下列结论中：①；②若，，则；③当时，；④若，，则．其中正确的结论为（   ） A. ①②③ B. ②④ C. ②③④ D. ①②④ 二．填空题（每题3分，共15分） 11. 如图，，，再添加一个条件_____使（写出一个即可）． 12. 中，如果是的3倍，且比大，那么是______三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”） 13. 如图，将三角形沿平行于的直线折叠，折痕为，点A落在点M处，若，则的度数为_______． 14. 如图，、、分别是的高线、角平分线、中线，则下列结论：①；②；③；④．正确的说法有_____个 15. 如图，在中，，是高，E是外一点，，，若，，求的面积．小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在上截取，连接．根据小颖的思路可得的面积为__________． 三．解答题（共8小题，共75分） 16. 已知：如图，，，，与全等吗？请说明理由． 17. 作图：作的平分线，交于点，（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； 18. 如图，，，，，垂足分别为，，，，求的长． 19. 如图，直线和直线相交于点，连接，点、、分别在、、上，连接、，是上一点，已知 （1）求证：； （2）若平分，，求的度数． 20. 如图，在中，是的高，是的平分线，是的平分线，相交于点． （1）求的度数； （2）求的度数． 21. 已知于E，于F，相交于点D，若．求证：平分． 22. 在中，，点是射线上的一动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． （1）如图①，当点在线段上，时，那么________； （2）设，． ①如图②，当点在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图③，当点在线段的延长线上，时，请将图③补充完整，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； 23. 如图，已知中，，，点为的中点． （1）如果点P在线段上以的速度由A点向B点运动，同时，点Q在线段上由点B向C点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过后，与是否全等？说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？ （2）若点Q以②中的运动速度从点B出发，点P以原来的运动速度从点A同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八数光华（2025上）月考试卷 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 下列生活实物中，没有用到三角形的稳定性的是（　　） A. 太阳能热水器 B. 活动衣架 C. 三脚架 D. 篮球架 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的稳定性，逐一进行判断即可． 【详解】A、太阳能热水器的支架是三角形，具有三角形的稳定性，不符合题意； B、活动衣架是四边形，不具有三角形的稳定性，符合题意； C、三脚架是三角形，具有三角形的稳定性，不符合题意； D、篮球架是三角形，具有三角形的稳定性，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查三角形的稳定性．熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键． 2. 下列四个图形中，画出的边上的高正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了画三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．解决本题主的关键是根据要画出的边上的高，应过顶点向边所在的直线作垂线段． 【详解】解：根据三角形高的定义可知，边上的高即过点过B作交与点D， 只有选项D符合题意， 故选D 3. 等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系，等腰三角形的定义等知识点，熟练掌握三角形三边之间的关系是解题的关键：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 由等腰三角形的定义及三角形三边之间的关系可得，若等腰三角形的一边长为，另一边长为，则只能是为腰，为底边，由此即可求出它的周长． 【详解】解：， 若等腰三角形的一边长为，另一边长为，则只能是为腰，为底边， 其周长， 故选：． 4. 如图，将一块直角三角板放置在锐角上，使得该三角板的两条直角边，恰好分别经过点，．若时，点在内，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理可得，进而可求出的度数． 【详解】解：在中， ∵， ∴ 在中，∵， ∴ ∴； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理．熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 5. 等腰三角形一个内角为，则顶角的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，注意分类讨论思想的应用．分两种情况讨论：当角为等腰三角形的底角时；当角为等腰三角形的顶角时；分别计算即可． 【详解】解：当角为等腰三角形的底角时，顶角度数为； 当角为等腰三角形的顶角时，顶角度数为； 故选：C． 6. 已知三角形三边的长分别为，，，且为整数，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的知识点是三角形的三边关系，解题关键是熟练掌握三角形的三边关系．根据三角形三边关系：三角形任意两边之差小于第三边，三角形任意两边之和大于第三边，求出的取值范围后即可得解． 【详解】解：根据三角形三边关系可得：， 即， 选项，，符合的取值范围，选项符合题意； 选项，，则不能取，选项不符合题意； 选项，，则不能取，选项不符合题意； 选项，，则不能取，选项不符合题意． 故选：． 7. 如图，已知六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的是（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 只有乙 D. 只有丙 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键；根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：甲：由不能判断两个三角形全等，故不符合题意； 乙：由能判断两个三角形全等，故符合题意； 丙：∵， 而丙图形中第三个角（未知的角）为：， ∴与丙图中有两角及其夹边对应相等， 由能判断两个三角形全等，故符合题意； 故乙和丙符合题意， 故选：B． 8. 在正方形网格中的位置如图所示，点，，，均在格点上，则点是的（ ） A. 三条内角角平分线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条高的交点 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的重心的概念进行判断即可． 【详解】如图，点E、F分别是的中点， ∴A是的中线， ∴点P是三条中线的交点． 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的重心的概念，三角形的重心是三角形三边中线的交点． 9. 如图，在中，以它的边为直角边，分别在形外作等腰直角三角形，连接．下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. C. 平分 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 利用证明则，即可判断A；由于，则，而，故，即可判断B；过点A作于点，过点A作于点，由于，则，而，故，根据角平分线的判定即可判断C；对于D，条件不足，不能证明． 【详解】解：由题意得， ∴， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； 如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； 如图：过点A作于点，过点A作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分，故C正确，不符合题意； ∵现有条件不足以证明，故D错误，符合题意， 故选：D． 10. 如图，在中，和的平分线，相交于点，过点作于，在下列结论中：①；②若，，则；③当时，；④若，，则．其中正确的结论为（   ） A. ①②③ B. ②④ C. ②③④ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解与∠C的关系，进而判定①；过O点作于P，由角平分线的性质可求解，再根据三角形的面积公式计算可判定②；在上取一点H，使，证得，得到，再证得，得到，进而判定③正确；作于N，于H，根据三角形的面积可证得④正确． 【详解】解：∵和的平分线相交于点O， ∴，， ∴，故①错误； 过O点作于P， ∵平分，， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵，分别是与的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，在上取一点H，使， ∵是的角平分线， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故③正确； 作于N，于H， ∵和的平分线相交于点O，， ∴， ∵， ∴，故④正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，角平分线的性质，正确作出辅助线证得，得到，是解决问题的关键． 二．填空题（每题3分，共15分） 11. 如图，，，再添加一个条件_____使（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据题意可得，再结合全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：添加条件，证明如下： ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 中，如果是的3倍，且比大，那么是______三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”） 【答案】直角 【解析】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理．设，得到，，根据三角形内角和定理，列式计算求得各内角的度数，根据角度来判定三角形的类别． 【详解】解：设， ∵是的3倍， ∴， ∵比大， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴是直角三角形． 故答案为：直角． 13. 如图，将三角形沿平行于的直线折叠，折痕为，点A落在点M处，若，则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质并熟练应用是解题的关键．根据平行线的性质得到，由折叠得，再根据求出度数． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得， ∴， 故答案为：． 14. 如图，、、分别是的高线、角平分线、中线，则下列结论：①；②；③；④．正确的说法有_____个 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查的是三角形的角平分线、中线和高等知识点．根据三角形角平分线、中线和高的定义，逐一判断即可． 【详解】解：∵分别是的高线、角平分线、中线， ∴，，，，不一定相等， 故，④错误①②③正确，共3个． 故答案为：3． 15. 如图，在中，，是高，E是外一点，，，若，，求的面积．小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在上截取，连接．根据小颖的思路可得的面积为__________． 【答案】64 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；先通过等量代换推出，再利用“边角边”证明，再通过求出的面积即可． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三．解答题（共8小题，共75分） 16. 已知：如图，，，，与全等吗？请说明理由． 【答案】 解：， 理由如下： ， ，即， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定．由得出，再用“”证明即可得证．熟练掌握三角形全等的判定是解此题的关键． 【详解】略 17. 作图：作的平分线，交于点，（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； 【答案】 如图所示， 【解析】 【分析】本题考查了作角平分线，根据题意作出角平分线，即可求解． 【详解】略 18. 如图，，，，，垂足分别为，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，根据条件可以得出，利用得出，得出，求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴． 19. 如图，直线和直线相交于点，连接，点、、分别在、、上，连接、，是上一点，已知 （1）求证：； （2）若平分，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵（邻补角定义），（已知） ∴（同角的补角相等） ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等 ） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、邻补角定义、角平分线定义，熟练掌握平行线的判定与性质，准确进行角的等量代换是解题的关键． （1）利用邻补角性质及已知，通过角的等量代换得到同位角相等，进而依据平行线判定定理证明，再根据平行线性质得出与的关系． （2）先由（1）中及的度数得到相关角的关系，再结合角平分线定义求出，最后根据邻补角或平行线性质求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴（两直线平行，内错角相等） ∴（邻补角定义） ∵平分， ∴（角平分线定义） 又∵（已知）， ∴ 20. 如图，在中，是的高，是的平分线，是的平分线，相交于点． （1）求的度数； （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形角平分线和高的定义，直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． （）由三角形高的定义可得，即可得，由角平分线的定义得到，再根据角的和差关系即可求解； （）利用三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，，最后由三角形内角和定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 21. 已知于E，于F，相交于点D，若．求证：平分． 【答案】 证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及到角两边距离相等的点在角平分线上等知识．发现并利用是正确解答本题的关键． 先由垂直的定义得到，再证明得到，最后根据角平分线的判定即可证明结论． 【详解】略． 22. 在中，，点是射线上的一动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． （1）如图①，当点在线段上，时，那么________； （2）设，． ①如图②，当点在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图③，当点在线段的延长线上，时，请将图③补充完整，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； 【答案】（1） （2） ①∵， ∴ 即 又∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ② ∵， ∴ 即 又∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理及角度关系的探究，解题的关键是推导出，结合已知边相等构造全等三角形 （1）由推导出，再得出，再求出； （2）①根据全等三角形的性质得到对应角相等，再结合三角形内角和、邻补角等关系，建立与的等量关系；②点在延长线上，的构成不同，需分别推导，证全等思路一样，再利用建立关系． 【小问1详解】 解：∵ ∴ 即 又∵， ∴ ∴ ∴ 【小问2详解】 ①略 ②略 23. 如图，已知中，，，点为的中点． （1）如果点P在线段上以的速度由A点向B点运动，同时，点Q在线段上由点B向C点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过后，与是否全等？说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？ （2）若点Q以②中的运动速度从点B出发，点P以原来的运动速度从点A同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？ 【答案】（1）①；理由见解答；② （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键． （1）①先求得，，然后根据等边对等角求得，最后根据即可证明； ②因为，所以，又，要使与全等，只能，根据全等得出，然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和的长即可求得的运动速度； （2）因为，只能是点追上点，即点比点多走的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得． 【小问1详解】 解：①点的运动速度与点的运动速度相等，经过后，与全等； 理由：当时，， ，为中点， ， 又， ， ， ， ， ②因为， 所以， 又因为， 要使与全等，只能，， ， 解得：， 的运动速度为：； 所以点、的运动时间：，的运动速度为； 【小问2详解】 解：因为，只能是点追上点，即点比点多走的路程， 设经过秒后与第一次相遇，依题意得7.5， 解得， 此时运动了：， 又因为的周长为，， 所以点、在边上相遇，即经过，点与点第一次在边上相遇． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $