1.6利用三角函数测高 自主达标测试题 2025-2026学年北师大版（2012）九年级数学下册

2025-2026学年北师大版（2012）九年级数学下册《1.6利用三角函数测高》 自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．某水坝的坡度，坡长米，则坝的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．如图，已知某山峰的海拔高度为米，一位登山者到达海拔高度为米的点处．测得山峰顶端的仰角为．则、两点之间的距离为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 3．如图，物理实验室有一单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从C处测得E、F两点的俯角α、β分别为和，若该摆绳的长度为，此时点F相对于点E升高了（    ） A． B． C． D． 4．“十次事故九次快，超速行驶害三代！”，安全行驶警钟长鸣．深圳交警在某次交通检查中，使用无人机检测小车经过某隧道的平均速度．无人机悬停在隧道的正上方，高度为84米（保持静止）．当汽车刚进入山洞时，无人机测得俯角为α；当汽车完全离开山洞时，无人机测得俯角为β．若汽车通过山洞的时间为12秒，则小车过山洞的平均速度为（   ）米/秒 A． B． C． D． 5．图1是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别)，一般成年人头部的高度在范围内．图2为其示意图，摄像头A的仰角、俯角均为，高度为．某人笔直站在离摄像头水平距离的点B处，若此人要能被摄像头识别，他的身高为，则h的取值范围为（   ）(参考数据：，，) A． B． C． D． 6．某校试行“半天校外课”计划以提高学生的问题解决能力，组织学生到校外，利用相关的数学知识测量某雕像的高度．如图，雕像前有一段坡度为的斜坡，某同学站在坡底点处，用测角仪测得顶部的仰角为，接着他又向上走了5米，在坡上点处测得顶部的仰角为在同一平面内．若测角仪的高度米，则雕像的高度约为（　　）米．（精确到米，参考数据：） A．9.6 B．10.0 C．10.4 D．10.8 7．如图，在一次数学实践活动中，张老师带领学生去测量学校新建的理化实验楼的高度，小凡从实验楼底部的点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿着斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得实验楼顶端点的仰角为，已知斜坡与水平地面的夹角为，且点在同一平面内，则该实验楼的高度为（   ）． A． B． C． D．17 8．黑格兰，蒙名为雅士木杜，多生长在内蒙古自治区鄂尔多斯市乌审旗、鄂托克旗地区，因其耐寒、防潮，木质坚硬、多油的特质，深受当地牧民和文玩爱好者喜欢．黑格兰生长缓慢，生长周期长达800—1000年之久，属国家珍稀濒危树种，有着生而不枯、枯而不朽、朽而不废的美誉，被形象地称为沙漠里的“活化石”，文玩爱好者张叔叔一次出去游玩时，测量了一棵黑格兰（如图1）的最高点离地面的距离．如示意图2，已知测倾器的高度为，在测点P处安置测倾器，测得此树的最高点T的仰角，在与点P相距的测点Q处安置测倾器，测得此树的最高点T的仰角，则此树的最高点T离地面的距离约为（   ） （结果精确到；参考数据：） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为，此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24米，则旗杆的高度约为 米．（）（答案保留整数） 10．某市正在进行轻轨九号线的建设，为了缓解市区一些主要路段的交通拥堵现状，交警大队在主要路口设置了交通路况指示牌（如图）．小明在离指示牌水平距离3m的点处测得指示牌顶端点和底端点的仰角分别为和，则路况指示牌的高为 m． 11．在一次数学活动中，小明利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度．如图，已知小明距假山的水平距离为9m，他的眼睛距地面的高度为1.6m，小明的视线经过量角器零刻度线和假山的最高点，此时铅垂线经过量角器的刻度线，则假山的高为 m． 12．如图，航拍无人机从处测得一幢建筑物顶部的仰角为，测得底部的俯角为，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离为，那么该建筑物的高度为 ． 13．如图，天琪家与阿权家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算出所住楼对面商业大厦的高度，进行了如下操作：他俩在天琪家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数．于是，他俩上楼来到阿权家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角的度数，竟然发现与恰好相等．已知A，B，C三点共线，，商业大厦的高度 ． 14．如图，在两座楼房之间有一旗杆，高，从其中一座楼房顶端点A经过旗杆顶点恰好看到另一座楼房的底端点C，且俯角为，又从点A处测得点D的俯角为．若旗杆底部点G为的中点，则楼房的高为 m，楼房的高为 m． 15．2024年12月22日，大庆新投产风力发电项目实现全容量并网发电，投产后预计年发电量达9.415亿千瓦时．大庆一中九年级某数学兴趣小组对“风车”进行了如下实地测量．如图，三片风叶两两所成的角为，“风车”的塔杆与地面垂直，当其中一片风叶与塔干叠合时，在地面处，测得塔顶部的仰角，风叶的外端的仰角则 ． 16．如图，某地政府为解决当地农户网络销售农产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道，无人机从处的正上方处，沿正东方向以的速度飞行到达处，此时测得A处的俯角为，然后以同样的速度沿正东方向又飞行到达处，此时测得处的俯角为．由以上测量数据，计算得隧道的长度为 m．（结果精确到；参考数据：，，） 三、解答题（满分72分） 17．如图，学校旗杆附近有一斜坡，小明准备测量旗杆的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影子长米，斜坡坡面上的影子米，太阳光与水平地面成角， 斜坡的坡度为， 求旗杆的高度．（精确到1米）． 18．某小区为了方便业主，新建一个电动自行车车棚(如图)，其侧面的示意图如图所示，测得主立柱的一段，支柱的底端到的距离，顶棚处到支柱底端的水平距离，在处分别测得处的仰角为，处的仰角为．      (1)求支柱的高； (2)求顶棚处离地面的高度．(参考数据：，，，，，，结果精确到) 19．高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，下图所示的是该段隧道的截面示意图．测速仪和测速仪到路面之间的距离，测速仪和之间的距离．一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪处测得小汽车在隧道人口点的俯角为，小汽车到测速仪的水平距离，在测速仪处测得小汽车在点的俯角为，小汽车在隧道中从点行驶到点所用的时间为38s（图中所有点都在同一平面内，参考数据：，，，，，，）． (1)求两点之间的距离（结果精确到）． (2)若该隧道限速，则小汽车从点行驶到点是否超速？通过计算说明理由． 20．课本再现 （1）如图①，在锐角三角形中，探究之间的关系（提示：分别作AB和BC边上的高）． 迁移应用 （2）如图②，某数学实践小组想测量塔的高度，他们在塔底的正东方的点处测得塔顶的仰角为，然后从点处出发，沿着南偏西的方向行进了207m到达点（三点位于同一水平面内），且点在点南偏东方向上．根据以上信息，求塔的高度（结果精确到0.1m，参考数据：，，）． 21．某数学兴趣小组测量一座塔的高度AB，有以下两种方案： 方案一：如图1，在距离塔底B点45m远的D处竖立一根高2.4m的标杆CD，小明站在距离标杆1m的点F处，他的眼睛所在位置E、标杆的顶端C和塔顶A三点在一条直线上．已知小明的眼睛到地面的距离，，，，点B，D，F，M在同一直线上． 方案二：如图2，小华拿着一把长为22cm的直尺CD站在与塔AB距离45m的地方（即点E到AB的距离为45m），他把手臂向前伸，尺子竖直，，尺子两端恰好遮住塔AB（即A，C，E在一条直线上，B，D，E在一条直线上），已知点E到直尺CD的距离为30cm． 请你结合上述两个方案，选择其中的一个方案求塔的高度AB． 22．如图，无人机甲和无人机乙同时分别从地面的点A处和楼顶B处起飞竖直上升，其中点B距离楼顶边缘点D的水平距离为，从地面点A处测得楼顶端D的仰角为（点B，D，C，A在同一平面内）．两架无人机距离地面的高度h（单位：m）与上升时间t（单位：s）之间的函数图象如图2． (1)求起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离（结果保留整数，） (2)求两架无人机距离地面的高度与无人机上升的时间之间的函数关系式； (3)求一架无人机观察另一架无人机的仰角不超过的时长． 23．【阅读理解】在学习《直角三角形的边角关系》一章时，小明用了如下的思路方法计算出了的值．如图1，在中，，，作线段的垂直平分线交于点，连接，则，，．设，则，， 【类比探究】（1）仿照小明的思路，可以计算出______________． （2）如图2，在中，，设，，由上述小明思路的启发，你能算出_____________．_______________． 【拓展应用】（3）在实际生活中，如图3，为了测量一棵树的高度，小红站在点D处仰望树梢，此时测得仰角为，．然后她向后退到处 ，测得此时的仰角为 ，接着，她向前移动到处，测得此时的仰角变为．在此过程中，小红同学的眼睛位置始终保持在同一水平线（即点共线且与地面平行），若小红眼睛到地面的距离为米（即米），后退与前进的距离之和为21米（即米），请求出这棵树的高度． 参考答案 1．A 【分析】此题考查了坡度和勾股定理的应用．根据坡度设铅直高度为x，则水平宽度为，利用勾股定理列方程并解方程即可． 【详解】解：由，设铅直高度为x，则水平宽度为， 据勾股定理得，， 解得（负值已舍去） 故选A． 2．B 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，掌握三角函数的定义是解题的关键． 由题意得四边形是矩形，则，那么，再解即可． 【详解】解：由题意得，四边形是矩形， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， 故选：B． 3．C 【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点作，根据题意，得到，利用三角函数得到，，利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：过点作，由题意，可知：，， ∴， ∴，， ∴， 故选C． 4．B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-俯角仰角问题，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 作，根据解直角三角形求出，，继而得到，计算即可得到答案． 【详解】解：如图，作， ， ，， ，， 米， ，， ， 小车过山洞的平均速度为米/秒， 故选：B． 5．C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，过点作于，延长交于点，则四边形为矩形，从而可得，，再解直角三角形即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，延长交于点， ， 则， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，，， ∴， ∴，即他的身高不能超过， ∵一般成年人头部的高度在范围内． ∴同理可得：他的身高不能低于， ∴h的取值范围为， 故选：C． 6．C 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理； 过F作于G，作A作于H，延长交于M，可得四边形是矩形，四边形是矩形，根据坡度的概念设，则，利用勾股定理求出米，米，表示出和，然后在中，利用正切的定义列式求出，进而可得的高度． 【详解】解：过F作于G，作A作于H， ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，， 延长交于M， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵斜坡的坡度为， ∴设，则， 在中，， 由题意得：米， ∴， ∴米，米， ∴米， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ， 在中，， ∴, ∴米， ∴雕像的高度约为米， 故选：C． 7．A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，解决此类问题要了解仰角和俯角的定义，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决，也考查了坡度与坡角． 过点作于点，先计算出，进而得到，易得四边形为矩形，根据矩形的性质求出，，再利用等腰直角三角形的性质求解． 【详解】解：过点作于点，如图， 根据题意得， 在中，， ∴， ∴． ∵， ∴四边形为矩形， ∴，． 在中， ∵， ∴， ∴， 即该实验楼的高度为． 故选：A． 8．B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角、俯角问题，准确理解题意是解题的关键．过点T作，交的延长线于D，分别在两个直角三角形中表示出，再求解即可． 【详解】解：过点T作，交的延长线于D， ∴， 由题意得：， 设，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴，解得，即, ∴最高点T离地面的距离约为（米）， 故选：B． 9． 【分析】本题考查解直角三角形的应用． 根据锐角三角函数的定义计算即可． 【详解】解： （米） ∴旗杆的高度约为米 故答案为：． 10． 【分析】过作，交于点，在中，利用锐角三角函数定义求出的长，在中，利用锐角三角函数定义求出的长，由求出的长即可． 【详解】解：过作，交于点， 由题意得：，， 在中，，， ∴，即 ∴， 在中，，， ∴，即 ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，仰角与俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键． 11． 【分析】本题考查三角函数的实际应用，掌握通过作辅助线构造直角三角形，利用正切函数求解对边长度，结合实际高度的叠加关系计算假山高度是解题的关键． 通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数求出假山超出小明眼睛高度的部分，再加上小明眼睛的高度得到假山的总高度． 【详解】解：作， 由题意有：， ， 是矩形， ， 在中，， ， 解得：． 假山高度． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，分别解和，求出和，进而即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，全等三角形的性质和判定，解决本题的关键是构造直角三角形和矩形，得出． 过点C作于点E，过点B作于点F，可得四边形和四边形均为矩形，可以证明，得，进而可得商业大厦的高． 【详解】解：如图，过点C作于点E，过点B作于点F， ∴， ∵， ∴四边形和四边形均为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：商业大厦的高为． 故答案为：． 14． 30 20 【分析】本题考查了解直角三角形的应用−仰角和俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 延长交于点H，根据题意可得：，，，，从而可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段中点的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而进行计算即可解答． 【详解】解：如图：延长交于点H， 由题意得，，，， ∴， 在中，， ∴， ∵点G为的中点， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴楼房的高为，楼房的高为， 故答案为：30；20． 15．/ 【分析】本题考查了求正切函数值，仰角俯角、解直角三角形等知识﹒先根据题意求出，，﹒作，垂足为M，设，求出，，根据得到，，根据正切函数定义即可求出﹒ 【详解】解：由题意得， ∴，， ∴﹒ 如图，作，垂足为M﹒ 设， 在中，∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴﹒ 故答案为： 16．242 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意得：，，，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴隧道AB的长度约为. 故答案为：242 ． 17．16米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解决本题的关键是作出辅助线得到的影长．延长，两线交于E，过点D作于点Q，利用坡比，解直角三角形的知识点解答即可． 【详解】解：延长，两线交于E，过点D作于点Q， ∵太阳光与水平地面成角， ∴， ∵米， 斜坡的坡度为， ∴, 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴（米） ∵米， ∴（米）， ∴， ∴ （米）， ∴旗杆的高度约为16米． 18．(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作，垂足为，在中，求出即可解决问题； （2）延长交与点，可得，在中，求出即可解决问题． 【详解】（1）解：过点作，垂足为，    由题意可知，四边形是矩形， ，， 在中， ， ， ， 支柱的高为 ． （2）延长交与点，可得，    由题意可知，四边形是矩形， ， ． ， 在中， ， ， ， 顶棚处离地面的高度约为 ． 19．(1)760m (2)小汽车从点行驶到点没有超速，理由见解析 【分析】（1）分别解，，求得，根据即可求解； （2）根据路程除以速度，进而比较即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得，，． 在中，， ． 在中，， ， ， 两点之间的距离约为760m． （2）解：小汽车从点行驶到点没有超速． 理由：由题意，得． ， 小汽车从点行驶到点没有超速． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． 20．（1）（2）塔的高度约为125.9m 【分析】（1）过点作于点，过点作于点，根据正弦的定义得到，，则，所以，同理可得，所以； （2）根据题意，，，根据三角形内角和为可得，利用（1）的结论得，则可计算出的长度，然后在中利用正切的定义计算出的长． 【详解】解：（1）过点作于点，过点作于点，如图． 在中，， ． 在中，， ， ． 同理可得， ，即． （2）根据题意，得，， ． 由（1）的结论得，即， ． 在中， ， ． 故塔的高度约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 21．选择方案一．塔的高度AB为33m．（答案不唯一，选择一种解答即可） 【分析】若选择方案一：过点作，垂足为，延长交于点，根据题意可得：，，，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：选择方案一． 如解图，过点作，垂足为，延长交于点， 由题意，得，， ，． ， ． 又， ， ， ， ， ， 塔的高度为．（答案不唯一，选择一种解答即可） 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 22．(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查解直角三角形及一次函数的应用，掌握求一次函数的解析式是解题的关键． （1）根据在中，，，求出结论即可； （2）用待定系数法分别求出表达式即可； （3）首先得出当两架无人机垂直距离为时，下面的一架无人机观察另一架无人机的仰角刚好，即，解出t的值，求出范围即可． 【详解】（1）解：由题意得：在中，， 由图（2）知：无人机乙刚起飞时离地面的高度， ， ， ∴起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离为； （2）解：由图（2），设无人机甲距离地面的高度与无人机上升的时间之间的函数关系式为， 把代入，则， 解得：， ； 设无人机乙距离地面的高度与无人机上升的时间之间的函数关系式为， 把代入，则， 解得：， ； （3）解：∵起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离为， ∴当两架无人机垂直距离为时，下面的一架无人机观察另一架无人机的仰角刚好， 即， ， 解得：或， ， ∴一架无人机观察另一架无人机的仰角不超过的时长为． 23．（1）；（2），；（3）米 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用． （1）如图，，，在上截取，设，可得，进一步求解即可． （2）如图，作的角平分线，在上截取，设，则，可得，进一步求解即可．如图，在中，，设，，在上截取，设，则，设，利用，可得：，进一步求解即可． （3）如图，延长交于，结合题意可得：，，，，结合，，，设，，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）如图，，，在上截取， ∴， ∴， 设， ∴， ∴． （2）如图，作的角平分线，在上截取， ∴，， ∵， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，在中，，设，， 在上截取， ∴，， ∵， ∴设，则，设， ∴， 解得：， ∴， ∴． （3）如图，延长交于， 结合题意可得：，，，， ∵， ∴， 同理：， ∵，，， 设，， ∴，，，， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴，即树的高度为米． 学科网（北京）股份有限公司 $