1.5三角函数的应用 自主达标测试题 2025-2026学年北师大版（2012）九年级数学下册

2025-2026学年北师大版（2012）九年级数学下册《1.5三角函数的应用》 自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．渔船在A处看到灯塔C在北偏东方向上，渔船由A处向正东方向航行了海里到达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，这时渔船与灯塔C的距离是（    ） A． 海里 B． 海里 C．12海里 D． 海里 2．如图，城关镇某村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为m米，那么这两树在坡面上的距离为（　　） A． B． C． D． 3．如图，沿的方向开山修路，为了加快速度，要在小山的另一边同时施工，在上取一点B，使得，已知米，，点A，C，E在同一条直线上，那么开挖点E离点D的距离是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．如图，直线，相邻两条平行直线间的距离都是2，如果正方形的四个顶点分别在四条直线上，交于点E，则的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图，将秋千绳索从与竖直方向夹角为α的位置释放到处时，两次位置的高度差．则秋千绳索的长为（   ） A． B． C． D． 6．如图，鱼竿的长为．露在水面上的鱼线的长为，将鱼竿逆时针转动到的位置，此时露在水面上的鱼线的长度是（   ）    A． B． C． D． 7．重庆是美丽的山城，某大楼依山而建，如果要进入大楼可以从G处沿水平方向行走150米到D大门处，或者从E处沿坡比的斜坡行走130米到F处，再沿水平方向行走到M大门处，在G处仰望大楼顶端B处仰角为32°，则大楼的上部分的高度为（    ）（参考数据：，，） A．43米 B．77.5米 C．79.5米 D．93米 8．潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（    ） （结果精确到．参考数据：） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．如图，在中，，垂足为D．给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 ． 10．小明沿斜坡上行，其上升的垂直高度为20米，则斜坡的坡度 ．    11．一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知，则房顶离地面的高度为 （结果保留两位小数）．（参考数据，） 12．如图，在教学楼走廊上有一拖把以的倾斜角斜靠在墙面上，影响了同学们的行走，小明自觉地将拖把从点挪动到了点的位置，使其倾斜角变为．如果拖把的长为2米，则行走的通道拓宽了 米．（结果保留根号） 13．如图，为了测量河宽，从处测得对岸的夹角，从处测得对岸C的夹角，点和点位于点的两侧，测得米，则点到的距离为 米． 14．如图①是一款家用电动跑步机，图②是其侧面结构示意图，已知跑步机扶手和踏板所在直线平行，操作面板与机架之间的夹角为，与扶手之间的夹角为，机架的长为米，踏板的厚度为米，则扶手与踏板上部之间的距离为 米．（精确到米，参考数据：；；） 15．如图，下左图为《天工开物》记载的用于舂（）捣谷物的工具——“碓（）”的结构简图，如图为其平面示意图．已知于点B，与水平线l相交于点O，．若，，，则点C到水平线l的距离为 ． 16．昼漏听初发，阳光望渐分．某商店安装遮阳棚（如图①），侧面如图②所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚前端自然下垂边的长度，遮阳棚固定点距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角，某时刻的太阳光线与地面的夹角（如图③），则遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长约为 米． 三、解答题（满分72分） 17．学生深入工厂劳动实践，要利用一块三角形钢板余料加工出一块矩形零件，如图，点，分别在，边上，在边上，，，，，求矩形零件的长和宽（参考数据：，，，，）． 18．为方便市民绿色出行，临沂市政府推出共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在地面上的实物图，图②是其示意图，其中、均与地面平行，车轮半径为，，坐垫与点的距离为． (1)若，，求的度数； (2)根据经验，当坐垫到的距离为人体腿长的时，坐骑比较舒适．小明的腿长约，，求调整后的长度．（结果精确到，参考数据：，，） 19．图是一台工业用机械臂的示意图，部分固定不变，部分可以旋转，为铅垂吊绳，表示水平地面，于，且，，．将绕点向下旋转，使得落在的位置(如图3)，此时，，，求点到水平地面的距离．(参考数据：，结果精确到) 20．如图是“宇树科技”机器人“G1”在展示中国功夫时的精彩瞬间，图②是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，另一腿的大腿部分与所成的角度为，小腿部分刚好平行于地面，即于点B，，．已知，，．是机器人“G1”小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间（这里的小腿都包括脚面部分）．求点E距离地面的高度（结果精确到．参考数据：，，）． 21．某市民广场的平面示意图如下．经测量，点在点的正东方向，点在点的西北方向，点在点的正西方向且在点的北偏西方向．米，米．（参考数据：，，） (1)求的长度；（结果精确到1米） (2)小巴从出发沿方向慢跑，小巴出发3秒钟后，小川也从出发沿方向慢跑．若两人的慢跑速度均为2米每秒，请计算说明两人谁先到达点． 22．综合与实践． 【主题】探究化学实验中的数学问题． 【实践操作】如图是排水法收集气体的化学实验装置示意图，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处． 【数学建模】将图1的示意图抽象成题图2，已知试管的长为，过点作的垂线段，垂足为，交于点，试管倾斜角，试管与导管的夹角． 【问题解决】 (1)求的度数； (2)铁夹到水平桌面的距离是，测量可得导管露在水槽外的部分为，则水槽的高度约为多少？（结果精确到；参考数据：，，，） 23．如图，A，B，C，D在同一平面内，甲、乙两艘巡逻艇在某海域B处时，收到指令要分别途经海上观测点A和D，并最终到达C处执行任务、B在观测点A的西北方向且在观测点D的西南方向海里处，观测点D在观测点A的正北方向，目的地C在观测点A的北偏东方向且在观测点D的北偏东方向：（参考数据： (1)求的距离（结果保留根号）； (2)观测结束后，甲巡逻艇从观测点A出发沿AC往C处执行任务，同时乙巡逻艇从观测点D出发沿往C处执行任务，行驶过程中甲巡逻艇的速度为乙巡逻艇的速度的2倍，当乙巡逻艇到C处的距离是甲巡逻艇到C处的距离的3倍时，乙巡逻艇距离D处多少海里（结果保留小数点后一位）？ 参考答案 1．解：如图，由题意得：， ∵在直角三角形中，， 海里， (海里). 故选：D. 2．解：由题意可得： ， 则． 故选：B． 3．D 【分析】根据邻补角的定义求出，然后判断出是直角三角形，再根据余弦的定义列出算式，求出点离点的距离即可．本题考查了解直角三角形，用到的知识点是邻补角的定义和余弦的定义，判断出是直角三角形是解题的关键． 【详解】解：， ， 是直角三角形， 米，， 开挖点离点的距离（米）． 故选：D． 4．C 【分析】过点A作于点F，交于点G，利用正方形的性质，正切函数，余弦函数，平行线间的距离． 熟练掌握性质和三角函数的应用是解题的关键． 【详解】解：过点A作于点F，交于点G， ∵， ∴， ∵相邻两条平行直线间的距离都是2， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，正切函数，余弦函数，平行线间的距离． 熟练掌握性质和三角函数的应用是解题的关键． 5．A 【分析】本题考查解直角三角形的应用．设，则，利用三角函数解即可． 【详解】解：由题意知， 设， ， 在中，， 解得：， 秋千绳索的长为， 故选：A． 6．C 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，先求出，进而求出，通过解即可得出的长． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 由旋转得， ∴， 解得：． 故选：C． 7．A 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，坡度坡角问题，作于， 根据矩形的性质得到，根据坡度的概念和勾股定理求出，根据正切的概念求出，计算即可. 【详解】解：作于，则四边形为矩形， ∴，设米， 则米， 由勾股定理得 解得， ， 即米， ∴米， 在中， 即米， ∴(米) ， 故选： A. 8．B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 延长交于点C，根据题意得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】如图，延长交于点C． 由题意得． 在中，， ， ． 在中，， ， ． 故选B． 9．①②④ 【分析】本题主要考查锐角的三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系．根据，可得，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ，故②正确；故③错误； ∵， ∴故④正确； 故答案为①②④． 10． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，勾股定理．先由勾股定理得出，再由坡度的定义即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，，， ， 斜坡的坡度， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了解三角形及轴对称图形的性质，过点作于点，根据轴对称图形的性质得出，，再利用正切函数求解即可． 【详解】解：过点作于点，如图： ∵它是一个轴对称图形， ∴， ∵，， ∴， 在中， ∵， ∴． ∴房顶A离地面的高度． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查解直角三角形，掌握解直角三角形的方法是解题的关键． 通过解直角三角形求出，的长，进而即可解答． 【详解】解：如图 由题意可得米，，，， ∴在中，（米）， 在中，（米）， ∴（米）， 即行走的通道拓宽了米． 故答案为： 13． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，首先过点作，设米，把、用含的代数式表示出来，可得方程，解方程求出点到的距离. 【详解】解：如下图所示，过点作， 设米， ， 米， 在中，， ， ， ， ， 解得：， 点到的距离为米． 故答案为： ． 14． 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确构造直角三角形． 根据题意求出，根据平行线的性质求得，过点A作于点F，解直角三角形求得，再根据计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ， ， ， 如图，过点A作于点F， 在中， （米）， 踏板的厚度为米， 扶手与踏板之间的距离为（米）． 故答案为：． 15． 【分析】本题主要考查了解三角形，熟练利用三角函数解三角形是解题的关键． 延长交l于点H，连接，证明，进而得到，再利用三角函数解和即可求得答案． 【详解】解：如图，延长交l于点H，连接， ∵，， ∴，， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴． 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，灵活运用锐角三角函数是解题关键．过点作，过点作，则四边形和四边形是矩形，在中，利用锐角三角函数求出，，进而得出，再在中，利用锐角三角函数求出，即可求出的长． 【详解】解：如图，过点作，过点作， 则四边形和四边形是矩形， ，，， 在中，，， ，， ，， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 17．矩形零件的长为，宽为 【分析】本题考查了锐角三角函数的实际应用，熟练掌握在直角三角形中（正弦，对边比斜边）、（余弦，邻边比斜边）和（正切，对边比邻边）的定义，在中利用的长度，结合余弦值，可以求出的长，即矩形的宽，其次，作辅助线，且垂足为点，构造和，利用的长，结合正弦值和正切值，可以分别得到与的长度，即矩形的长． 【详解】解：过点A作于H， 在中，， ， ， 四边形为矩形， ， ，， ，， 在中，，，， ，， 在中，， ，， ． 矩形零件的长和宽分别约为和． 【点睛】本题的关键是作辅助线于点，在和中，利用长度和锐角三角函数正弦值与正切值，导出和的长度，即可得出矩形的长． 18．(1) (2) 【分析】（1）根据平行线的性质，三角形内角和定理进行计算即可； （2）过点作，垂足为，交直线于点，根据题干数据求出和的长，根据，即可求出的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， 即的度数为； （2）过点作，垂足为，交直线于点， 由题意得，， 当坐骑比较舒适时，， ∵，即， ∴， 答：调整后的长度为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，平行线的性质，三角形内角和定理等知识点，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 19．点到水平地面的距离约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足，过点作，垂足为，延长交于点，根据题意可得：，，，，，从而可得，，然后设，则，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：如图：过点作，垂足，过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得：，，，，， ， ， ， 设， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得：， ， ， 点到水平地面的距离约为． 20． 【分析】本题考查了平行线的性质，解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键； 过点作，根据题意得出，进而根据平行线的性质，即可求出的度数，过点作，过点作，交于点，则四边形是矩形，在中，求得的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点作 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 如图，过点作，过点作，交于点，则四边形是矩形， ∴， 在中， ∴ ∴ 答：点距离地面的高度约为． 21．(1)米； (2)小川先到达点． 【分析】（1）通过作辅助线构造直角三角形和矩形，利用三角函数求出相关线段长度，进而求得．先作、，利用和求，再结合矩形性质得，最后在中用三角函数求． （2）分别计算小巴和小川到达点的路程与时间，路程依据图形线段关系确定，时间=路程÷速度，比较时间判断谁先到达即可． 本题主要考查了解直角三角形的实际应用（方向角问题）、矩形的判定与性质，熟练掌握三角函数的定义、矩形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：过点作交延长线于，过点作于． 在中，米，，， 米． 由题意可得，， 四边形中，、，与方向关系（在正东、在正西）， ∴， 四边形是矩形， 米． 在中，，即． ∴米； （2）解：∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ ， 由（）得四边形是矩形， ∴， ∵在中，，即． ∴， ∴， 小川从也从出发后，小巴所用时间为（秒）， 小川所用时间为（秒）， ∴小川先到达点． 22．(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形的应用． （1）利用角的和差和平行线的性质即可得到答案； （2）过点作，交的延长线于点，求出，，即可求出． 【详解】（1）解：∵．． ∴ 由题意可知， ∴ （2）过点作，交的延长线于点， ∵试管的长为， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴ ∵ ∴ 即水槽的高度约为 23．(1)海里 (2)海里 【分析】本题主要考查了利用锐角三角函数解直角三角形，含角的直角三角形的性质，列一元一次方程解决几何问题，解题的关键是掌握锐角三角函数． （1）过点作，交的延长线于点，假设，利用锐角三角函数求出相关线段的长度，然后利用，求出未知数的值求解即可； （2）设乙行驶的路程为，则甲行驶的路程为，根据距离的关系列出方程求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作，交的延长线于点， 假设， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴的距离为海里； （2）解：设乙行驶的路程为，则甲行驶的路程为，根据题意得， , ， 解得， ∴乙巡逻艇距离D处海里． 学科网（北京）股份有限公司 $