1.4解直角三角形 自主学习达标测试题 2025-2026学年北师大版（2012）九年级数学下册

2025-2026学年北师大版（2012）九年级数学下册《1.4解直角三角形》 自主学习达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．在中，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．9 2．在中，已知，，，那么的长为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，， 于，设，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，垂足为点D，若，则等于（   ） A．2 B．3 C． D． 5．如图，一辆货车，为了方便装运货物，使用了三角形钢架，已知，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高的长为（    ） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 7．如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，且点落在函数的图象上，则四边形的周长是（    ） A．12 B．16 C．20 D．28 8．如图是一款桌面可调整的学习桌，桌面宽度为60cm，桌面平放时高度为70cm，若书写时桌面适宜倾斜角的度数为，则桌沿（点A）处到地面的高度h为（    ）          A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．在中，，，，则 ． 10．在中，，，，求 11．如图所示，，，，则为 ． 12．如图，在中，，，为上一点，连结．若，，则的长为 ． 13．如图，菱形的边长为，，，则菱形的面积为 ． 14．如图，在四边形中，，，，，则的长为 ． 15．已知在阳光下，垂直于地面高1米的标杆的影长也为1米，同一时刻，树的影子投射在墙上的影高等于2米，如图．若树根到墙角的距离等于8米，，，则树高等于 米． 16．如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点，将沿着翻折，得到，则点的坐标为 ． 三、解答题（满分72分） 17．在Rt中，． (1)若，解这个直角三角形． (2)若，解这个直角三角形． 18．如图，已知中，，，，，为边上的中线． (1)求的长； (2)求的面积． 19．如图，在中，，是的角平分线，，垂足为，已知，． (1)求的长； (2)求的值． 20．如图，在四边形中，E是的中点，，交于点F，，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 21．已知：如图，在中，，是斜边的中线，过点作的垂线与边和的延长线分别交于点和点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 22．如图①，，点A是射线上一点，且．点P是线段上的动点，当点P不与点O、点A重合时，过点P作的垂线交于点Q，取的中点B，连接． (1)当点P是中点时，______； (2)当时，求的长； (3)如图②，当与不垂直时，过点B作的垂线交射线于点C，以、为邻边作矩形． ①当点C与点O重合时，求的长； ②当四边形是正方形时，直接写出的长． 23．综合与实践：九年级某学习小组围绕“锐角三角形面积”开展主题学习活动． 【特例】 （1）如图①，锐角中，，，作，垂足为D，则的面积为______； 【证明】 （2）图②，锐角中，，，，面积为．求证：； 【迁移】 （3）如图③，锐角中，，，，是的平分线，求出的长； 【应用】 （4）如图④，中，，，，点D在边上，且，连接，的中点为点E，过点E作直线l与边，分别交于P，Q两点，且为锐角三角形，求的值． 参考答案 1．B 【分析】本题考查了直角三角形中锐角三角函数的定义（正弦函数），解题的关键是明确正弦函数的核心关系——，并准确对应直角三角形中的边（对边为，斜边为，代入已知条件计算． 在中，先根据确定的对边是、斜边是；再根据正弦定义列出的等式；最后将、代入等式，求解的长度，匹配选项得出答案． 【详解】解：在中，，． 已知，，代入得：． 解得． 故选：B． 2．A 【分析】本题主要考查解直角三角形的计算，掌握三角函数的计算方法是解题的关键． 根据三角函数的定义进行选择即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：A． 3．D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数等知识点，属于基础题型，在图形中找到的等角是解题的关键．先利用同角的余角相等，证出，再求出的正弦值，即可得出答案． 【详解】解：， ． ． ， ． ． ． ． 故选：． 4．A 【分析】本题主要考查了解直角三角形．在中，根据锐角三角函数可得的值，然后在中，根据锐角三角函数解答即可． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，， ． 故选：A． 5．A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键 【详解】在中, ， ∴的长为， 故选A 6．A 【分析】本题考查等腰三角形的性质、解直角三角形的应用，熟练掌握等腰三角形的性质是解答的关键． 先根据等腰三角形的三线合一性质得到的长，再利用正切定义求解即可． 【详解】解：，， ， 在中，， ， 故选：A． 7．C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质、勾股定理．作轴，垂足为，设点坐标为，根据条件列出关于的方程，解出值，再利用勾股定理求出，根据菱形性质求出菱形的周长即可． 【详解】解：如图，作轴，垂足为， 设点坐标为， ， ∴，整理得， 解得或（舍去）， ， ， ∴四边形的周长为， 故选：C． 8．A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：， 在中， ， ∴， ∵， ∴桌沿（点A）处到地面的高度． 故选：A． 9．10 【分析】本题主要考查了勾股定理和解直角三角形，灵活运用所学知识是解题的关键．设，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，， ， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10． 10． 【分析】根据三角函数的定义，求出的值为，则可得．本题主要考查了三角函数的定义以及特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∴． 故答案为：． 11． 【分析】本题考查解直角三角形，过点作交的延长线于．解直角三角形求出，，即可解答，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于． ， ． ， ，， ， ， ， 故答案为：． 12．18 【分析】本题考查锐角三角函数，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．可以先求得的长，再计算的长． 【详解】解：在中，，，， ， ， ，，， ， 故答案为：18． 13． 【分析】本题考查菱形，锐角三角形函数的知识，解题的关键是根据题意，则，，求出，再根据菱形的面积公式，即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴菱形的面积为：． 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．如图，延长与交于点．先解求出，进而求出，再证明，设，则，利用勾股定理得到方程，解方程求出，从而即可得解． 【详解】解：如图，延长与交于点． 在中， ，， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴在中，， ∴设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴． 故答案为：． 15．10 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；作于，根据题意得，则，进而根据即可求解． 【详解】解：作于，则，， 根据题意得， ， ． 故答案为： 16． 【分析】本题主要考查了翻折的性质，利用锐角三角函数解直角三角形，一次函数的图象和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握翻折的性质和锐角三角函数． 过点作轴，交轴于点，利用一次函数的性质求出与坐标轴的交点坐标，利用锐角三角函数解直角三角形，求出相关的边长即可． 【详解】解：如图，过点作轴，交轴于点， 由得， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ， ， ∴， 由翻折的性质可得，， ， ，， ， ， ∴， 故答案为：． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，解决本题的关键是熟练掌握解直角三角形的基本知识． （1）利用求出的余弦值，进而得到的度数，再利用直角三角形锐角互余，求出的度数，进而求出长度. （2）利用求出的正切，进而得到的度数，再利用直角三角形锐角互余，求出的度数，利用含直角三角形性质进而求出长度. 【详解】（1）解：在中， ， . （2）解：在中， ， . 18．(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形及勾股定理，熟知余弦的定义及三角形中线的性质是解题的关键． （1）先根据的余弦求出的长，再利用勾股定理即可解决问题． （2）根据为边上的中线可知，的面积是面积的一半，据此可解决问题． 【详解】（1）， ． 在中， ， ， ． （2）为边上的中线， ． 又， ． 19．(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形，锐角三角函数，勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质．解题的关键是根据题意求出与的长度． （1）设，由于，所以，再由勾股定理列出方程即可求出的值，再根据角平分线的性质即可求解； （2）设，根据全等三角形的判定和性质及可求出，然后根据正切的定义即可求出答案． 【详解】（1）解：设， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴或（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∵是的角平分线，，， ∴， ∴的长为； （2）解：设， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意， ∴， ∴． 20．(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了三角形中位线定理，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，掌握三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． （1）根据三角形中位线的性质求解即可； （2）根据角的正切值，得到，由三角形中位线定理得到，证明四边形为平行四边形，得到，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵E是的中点， ， ， 是的中位线， ； （2）解：是的中位线， ， ， ， 在中，， ， ，， ∴四边形是平行四边形， ， 在中， ． 21．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质可得，即可证得，继而得证； （2）由，在中可得，证明，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的长． 【详解】（1）证明：∵在中，，是斜边的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴在中，，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边的中线的性质，等边对等角以及三角函数等知识，掌握相似三角形的判定和性质、三角函数的定义是解题的关键． 22．(1)1； (2)； (3)①；②或． 【分析】（1）可得出，根据得出结果； （2）设，则，，根据∽得出，进一步得出结果； （3）①可求得，从而设，，可推出，从而得出，进一步得出结果； ②当点C在OQ的延长线上时，作，交PQ的延长线于W，设，则，，，可证得≌，，，根据得出，进一步得出结果；当C在OQ上时，作于V，同样方法得出结果． 【详解】（1）解：，点P是OA的中点， ， ， ， ， ， ， 故答案为：1； （2）解：设，则，， ∽， ， ， ， ； （3）解：①如图1， ， ， 设，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②如图2， 当点C在OQ的延长线上时， 作，交PQ的延长线于W， 设，则，，， 四边形ABCD是正方形， ，， ， ， ， ， ≌， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 如图3， 当C在OQ上时， 作于V， 同理可得， ≌， ，， ， 由得， ， ， ， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了矩形和正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数定义等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关知识点，利用分类讨论思想解答． 23．（1）9；（2）见解析；（3）；（4） 【分析】（1）利用含角的直角三角形的性质和三角形的面积公式解答即可； （2）过点C作于点D，利用直角三角形的边角关系定理求得，再利用三角形的面积公式解答即可； （3）过点C作于点E，利用直角三角形的边角关系定理求得，利用三角形的面积公式求出的面积；利用（2）的结论得到的面积，解关于的方程即可得出结论； （4）利用勾股定理求得，，写出正弦值，由面积写出正弦值，根据与面积和等于面积推导即得． 【详解】（1）解：，， ， ． 故答案为：9． （2）证明：过点C作于点D，如图， ，， ． ． ． ． （3）解：过点C作于点E，如图． ，， ，． ． 是的平分线，， ． 由（2）知：，． ， ， 故答案为：． （4）解：如图， ，，， ∴． ，． ， ，． 的中点为点E， ． ． 由（2）知：， ， ， ． ， ． ． ， ． ． ． 学科网（北京）股份有限公司 $