2025-2026学年北师大版（2012）九年级数学下册《1.1锐角三角函数》自主学习达标测试题

2025-2026学年北师大版（2012）九年级数学下册《1.1锐角三角函数》 自主学习达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．中，，的边长都扩大为原来的2倍，则的值（   ） A．不变 B．变大 C．变小 D．无法判断 2．在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．已知锐角满足关系式，则的值为（   ） A．1 B． C． D．1或 4．在中，，，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 5．有个大小相同的小正方形（边长均为）恰好放置在如图所示的中，则的值等于（   ） A． B． C． D． 6．如图，一个土堆的截面可近似看成一个等腰，，其中斜坡与水平地面所成夹角，当米时，土堆顶端A到地面的距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 7．如图平面直角坐标系中，矩形，为原点，点、分别在轴、轴上，点的坐标为，连接，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的值是（   ） A． B． C． D． 8．如图，矩形的两边、分别位于轴、轴上，点的坐标为，是边上的点，将沿直线翻折，使点恰好落在对角线上的点处，若点在一反比例函数的图象上，那么该函数的解析式是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．是锐角，且，则 ． 10．如图所示，在矩形中，点在上，将矩形沿直线折叠，使点落在边上的点处．若，，则的值为 ．    11．如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，，为垂足，若，，，则的值是 ． 12．如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H，若，，则为 ． 13．在网格中，每个单位小正方形的顶点称为格点．如图，在的网格中，点都在格点上，则的值是 ． 14．如图，点P在反比例函数的图象上，轴于点A，轴于点B，，点C在x轴正半轴上，连接PC，，若的面积为6，则k的值为 ． 15．如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于，两点，点在第四象限，轴．若，则的值为 ． 16．如图，已知四边形，连接对角线、，过点D作于点E，，，则下列结论：①平分；②；③若，，则；④若，则；其中正确的是 （填正确结论的序号）． 三、解答题（满分72分） 17．如图，在中，，，．求边的长． 18．如图，在中，是中点，， (1)求的长 (2)求的值． 19．如图，在中，．求： (1)，． (2)，． (3)观察（1）（2）中的计算结果，你发现了什么？请说明理由． 20．如图，这是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中作点，连接，，使得． (2)在图2中作点，连接，，使得． 21．如图，已知四边形是平行四边形，对角线与相交于点F，且平分，过点D作，交的延长线于点E． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求的面积及的值． 22．如图，在矩形中，，对角线，，相交于点，是上一点，，垂足为，点在延长线上，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 23．在中，是内的一条射线，分别过点作，垂足分别为点． (1)如图1，求证：． (2)如图2，与交于点，点是的中点，连接． ①求证：； ②如图3，点是的中点，求的值． 参考答案 1．A 【分析】本题考查了求角的正切值，解题关键是掌握正切的定义式． 求出扩大后，再作出比较． 【详解】解：中，，则， ∵的边长都扩大为原来的2倍， ∴扩大后的三边长分别为，，， ∴扩大后的， ∴的值不变， 故选：A． 2．C 【分析】本题考查了求角的余弦值，勾股定理，解题关键是掌握勾股定理． 先利用勾股定理求出，再求出的值． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：C． 3．C 【分析】首先把方程左边分解因式得：即可解出的值． 【详解】解：， 解得或， ∵为锐角， ∴. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程和锐角正弦值，正确把方程的左边分解因式是解题的关键． 4．C 【分析】本题考查了已知正弦值求边长，解题关键是掌握正弦的定义式． 根据正弦的定义式可知，再根据，，求出的长． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，， ∴，解得：， 故选：C． 5．D 【分析】本题考查了三角函数和勾股定理，根据平行可得，在中，利用勾股定理可求得三边长，再根据即可求解. 【详解】解：如图． 由题可得，， 在中， ， ； 故选：． 6．C 【分析】此题考查解直角三角形的应用，等腰三角形三线合一的性质，根据等腰三角形的性质得到，再根据三角函数求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，， ∴（米）， 故选：C． 7．B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、矩形与折叠的性质、勾股定理等知识． 过点D作轴于点F，设交y轴于点G，证明，可得，设，则，在中，利用勾股定理可得，，再由，可得，再利用勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：过点D作轴于点F，设交y轴于点G， ∵四边形是矩形，点的坐标为， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故选：B 8．D 【分析】主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式、锐角三角函数，解题的关键是利用锐角三角函数求解．此题要求反比例函数的解析式，只需求得点的坐标．过点作于，根据点的坐标，可知矩形的长和宽；从而再根据锐角三角函数求得点的坐标，运用待定系数法进行求解． 【详解】解：过点作于 ∵将沿直线翻折，使点恰好落在对角线上的点处， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴，， 则点坐标为， 设反比例函数的解析式是， 则有， 反比例函数的解析式是． 故选：D． 9． 【分析】本题考查了锐角三角函数和勾股定理，解题的关键是掌握根据已知三角函数值确定直角三角形的三边．根据题意画出图形，设，则，然后由勾股定理求得得，再利用三角函数的正切即可求解． 【详解】解：如图，，， 则， 设，则， ， ， 故答案为：． 10． 【分析】本题主要考查矩形的折叠问题和锐角三角函数．首先利用勾股定理求得，设，则，，在中，由勾股定理得，，求出，再利用正切的定义求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 由翻折变换可知，，， 在中，由勾股定理得， ， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ， 解得：， 即， 在中， ， 故答案为：． 11．/ 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理，求正切值，由勾股定理逆定理得出是直角三角形是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得出的长，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，进而利用正切定义解答即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴ ． 故答案为：． 12．/0.5 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，由正方形和正方形，，，得，得，得，由，即可得，根据正切的定义进行解答即可． 【详解】解：由正方形和正方形，，， ∴， ， ， ， ． ∴ 故答案为： 13．2 【分析】解法一：标注正方形，连结．由网格用勾股定理可得，，从而得到，则，． 解法二：标注正方形，连结．由网格可得，，可得，则，进而可得，． 【详解】解：标注正方形，连接．由网格可知： 解法一： 在中，， ． 在中，， ． 在中，， ． ． ，． 解法二： 在与中，，， ． ， ，． 【点睛】网格中，求格点生成的角的三角函数值问题的通解为：先利用勾股定理求出格点线段长，再用割补法求出格点三角形的面积，然后作格点生成角的一边上的高，利用面积法求出格点三角形的高，最后利用锐角三角函数求得结论． 14． 【分析】根据正方形的判定和性质得到，设，则，根据三角形面积公式求出，根据k的意义作答即可． 【详解】解：∵轴，轴，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形， ∴， 设 ∵， ∴， ∵的面积为6， ∴， 解得：（负值舍去） ∴ ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，三角函数，解一元二次方程，反比例函数的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 15． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解直角三角形等，证得是解题的关键．先求出点坐标，用待定系数法求出反比例函数解析式，再求出点B坐标，作于，设交轴于点D，利用等角的余角相等得到，再解直角三角形即可． 【详解】解：点在上， ， ， 把代入反比例函数表达式得：， 反比例函数的解析式为：； 、两点关于原点成中心对称， ； 如图所示，作于，设交轴于点D， ，， ， 轴，轴， ， ． 故答案为：． 16．①②③ 【分析】先过点D作的延长线于一点，运用四边形内角和以及邻补角互补的性质，证明，得，则平分，结合全等三角形的判定与性质得，故，所以，即，再证明，则，设，根据线段的关系，得，即，根据角的关系，整理得，再结合，故，运用勾股定理得，最后再在中，，即可作答． 【详解】解：过点D作的延长线于一点，如图所示： ∵，， ∴， ∵，的延长线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴平分， 故①符合题意； ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②符合题意； ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， 则； 故③符合题意； 延长，交的延长线于一点，过点A作，如图所示： ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， 设， 则 ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， 则； 故④不符合题意； 故答案为：①②③ 【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，勾股定理，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 17． 【分析】本题考查的知识点是含的直角三角形的特征、解直角三角形、勾股定理，解题关键是熟练掌握解直角三角形．过作，先由含的直角三角形的特征得到，，再由解直角三角形可求出，最后根据勾股定理即可得出边的长． 【详解】解：过作，垂足为，如图： ，，， ， ， 即， ， ． 18．(1) (2) 【分析】本题考查了三角函数的应用，正弦和正切的概念，过点E作于E构造直角三角形是解题的关键． （1）作于点E，在中，利用求出，在中，利用求出，最后求出； （2）根据是的中点求出，然后求出，最后根据正切定义求得结果． 【详解】（1）解：作于点E， ，， ， ， 在，， ， ， （2），点为的中点， ， ， ， 即． 19．(1)， (2)， (3)，理由见解析 【分析】（1）根据锐角三角函数的定义即可求出答案． （2）根据锐角三角函数的定义即可求出答案． （3）根据（1）与（2）问的结果即可得出答案． 本题考查了勾股定理，求一个角的正弦值，求一个角的余弦值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵ ． ∴根据勾股定理可知：， ∴，； （2）解：依题意，，； （3）解：，理由如下 由（1）、（2）可知：，，，； 即， 20．(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题考查的是网格作图，平行线的性质，锐角三角函数的应用，熟练的作图是解本题的关键． （1）如图，取格点，且，，，连接，则点即为所求； （2）如图，取格点，且，，，与格线的交点为，则点即为所求 【详解】（1）解：如图，取格点，且，，，连接，则点即为所求； 由网格特点可得：，，， ∴； （2）解：如图，取格点，且，，，与格线的交点为，点即为所求； 理由如下：由作图可得： ，，， ∴， ∵， ∴， ∴ 21．(1)四边形是菱形，理由见解析 (2)的面积为120， 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、三角函数，勾股定理等知识，证明是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，则，而，所以，则，所以四边形是菱形； （2）由菱形的性质得，，则，所以，则，，再证明四边形是平行四边形，则，因为，即可得出面积，根据勾股定理得出，即可得出的值． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为120． ∴． 22．(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定及性质，正切函数等； （1）与交于，由矩形的性质得，由等腰三角形的性质得，由余角的性质得，即可求解； （2）过作交于，由正切函数得 ，结合等腰三角形的性质可求 ，，设，，可得，由三角形的面积即可求解； 掌握矩形的性质，等腰三角形的判定及性质，能熟练利用正切函数进行求解是解题的关键． 【详解】（1）证明：与交于， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：过作交于， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，， ， ， ， 解得：， ， ， ． 23．(1)证明见解析 (2)①证明见解析；② 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正切值的计算，掌握以上知识，数形结合，合理作出辅助线是关键． （1）根据题意证明，得到，即可求解； （2）①如图，连接，证明即可求解；②根据题意得到，再证明，得到，由，等量代换即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：①证明：如图，连接， ∵，点是中点， ∴， 在和中，，， ∴， 由（1），可知， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ②由（1）知，， ∵点是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，． 学科网（北京）股份有限公司 $