椭圆的基本知识点常用结论 知识清单-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学知识清单系统梳理了椭圆的核心内容，涵盖定义、标准方程、几何性质及常用结论等范畴，搭建了从基础定义到几何性质再到焦点三角形、中点弦等应用结论的递进式学习架构。 清单通过“★★★”“✮✮✮”标注重难点，如焦点三角形面积公式推导标为重点，焦半径公式附“左加右减”记忆口诀，培养学生数学思维与表达能力。包含点差法推导中点弦、参数方程求最值等实用设计，不同层次学生可高效掌握，教师可据此优化教学，提升课堂实效。

椭圆的基本知识点和常用结论 1.定义：（常数），，为焦点，焦距. ①，表示椭圆； ②，表示线段； ③，无图形. ✮✮✮说明：点P在椭圆上：方法1：连接椭圆的左右焦点，构造焦点三角形。方法2：点P代入椭圆方程，引入坐标运算。 2.标准方程与几何性质：焦点位置不定，需分类。焦点跟分母大的走 （1）标准方程与图形 焦点在x轴上 焦点在y轴上 （2）特殊点 （3）特殊线段 长轴长＝2a，短轴长＝2b，焦距＝ 长半轴长＝a，短半轴长＝b， （4）范围 （5）对称性 关于x轴，y轴对称，关于原点对称 （6）离心率：，寻找的齐次式，可以利用勾股定理、正余弦定理等性质！ （2） 椭圆的一般方程通常设为，此时应特别注意且，利用椭圆的一般方程求椭圆方程的优点是可以避免分类讨论。（一般过两个点时用） ★★★（3）椭圆的参数方程，，一般求椭圆上的点到定直线的距离最值 3.通径以及相关最值 ✮✮✮①过焦点做轴的垂线，交于椭圆两点，设，代入椭圆方程，，，即，所以通径（通径是过焦点与椭圆长轴垂直的直线被椭圆截得的线段） 在椭圆过焦点的弦中，通径最短，长轴最长。 ②设是椭圆上任意一点，则. ③椭圆上的点到焦点的距离称为焦半径：，作用是求离心率的范围. 4.点和椭圆的关系 ①在椭圆内； ②在椭圆上； ③在椭圆外. 5.焦点三角形： 在椭圆中，当椭圆上的点与椭圆的两个焦点可以构成一个三角形，这个三角形就是椭圆的焦点三角形，如图所示， （1）由定义可知：，周长为： ★★★（2）焦点三角形面积 ① ②，证明过程：设，由余弦定理，，所以，即面积为. ③当为上下顶点时，最大，面积也最大. （3） （4） 6.椭圆的第二定义 （1）定义：平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l的距离之比为常数e（0＜e＜1）的点的轨迹为椭圆。定点F为椭圆的焦点，定直线l叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。如图（0＜e＜1） （2）准线方程： ①椭圆的准线方程为； ②椭圆的准线方程为； （3）焦半径公式： ①P（，）为椭圆上任意一点，，分别为椭圆的左焦点、右焦点，则有，； ②P（，）为椭圆上任意一点，，分别为椭圆的下焦点、上焦点，则有，。 （焦半径公式记忆口诀：“左加右减，下加上减”） ✭✮✮7.椭圆的第三定义： 若点A，B是椭圆C:的左、右顶点，点P是椭圆C上除A，B以外的任意一点，则 提示：若椭圆的焦点在y轴上，则结论为 （1）推论1：若点A，B是椭圆C：上任意关于椭圆中心对称的两点，点P是椭圆C上除A，B以外的任意一点，则。 （2）推论2：若点A，B是椭圆C：上任意关于椭圆中心对称的两点，点P是椭圆C上除A，B以外的任意一点，则。 ✮✮✮8.中点弦的推论： ✮✮✮点差法推导 已知A,B是椭圆上任意两点，且弦不平行轴，M为线段AB中点，则有 证明（点差法）：设，，则， ，， ∵A，B在椭圆上，代入A，B坐标得 ① ② 两式相减得：，整理得 ∴ ✭✭✬提示：若椭圆的焦点在y轴上，则结论为∴ ✮✮✮9.焦比公式：焦点弦被焦点分成定比：若(),为PQ的倾斜角则 若焦点在y轴上，则 10．椭圆的切线问题 (1)椭圆的切线方程：若点为椭圆：＋＝1(a>b>0)上一点，则椭圆在点处的切线方程为； (2)椭圆的切点弦方程：若点为椭圆：＋＝1(a>b>0)外一点，过点作椭圆的两条切线交椭圆于两点，则切点弦的方程为。 ✭✭✭11.直线与圆锥曲线联立公式化步骤 设直线l：y=kx+m交椭圆于P1（，），P2（，）两点， 书写格式： 由得，. 计算判别式 利用根与系数的关系写出两根之和与积的表达式 ， 则同理可得（）。其中的，，，可通过联立的方程，消去一个未知数，得到一个一元二次方程后，利用根与系数的关系（韦达定理）求得，这正是常说的“设而不求”的技巧 重要结论： 设直线l：Ax+By+C=0 ①L和椭圆相交 ②L和椭圆相切=0 ③L和椭圆相离<0 若椭圆的焦点在y轴上，结论中互换位置 12.直线方程的设法： ①斜截式：（还要考虑斜率不存在的时候） ②（还要考虑斜率为0的时候） 一般的如果直线过轴的点，或直线什么都没给，则可设为；若直线过轴的点，则可设为. ③过一般定点时用点斜式（还要考虑斜率不存在的时候） 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $