《21.3 实际问题与一元二次方程》教学设计 2025--2026学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦《21.3 实际问题与一元二次方程》中的传播问题，通过复习列方程解应用题步骤导入，以问题串从具体数字到字母x逐步深入，搭建从旧知到新知的学习支架。 此资料以真实情境（流感、电脑病毒传播）驱动探究，通过问题链培养抽象能力与推理意识，总结传播规律公式体现模型意识，变式训练与分层作业助知识迁移，人文教育融入让数学贴近生活，便于教师教学，提升学生解决实际问题能力。

教学设计 课 题 《21.3 实际问题与一元二次方程》 传播问题 教学目标 1.通过解决“传播问题 ”，体验建立方程模型解决问题的一般过程. 2.通过分析、总结，找到传播问题的共同数量关系. 3.通过列方程解决实际问题，让学生体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，学会将实际应用问题转化为数学问题. 教学重点 列一元二次方程解有关传播问题. 教学难点 发现传播问题中的等量关系，建立一元二次方程的数学模型. 教学方法 发现法、启发法 课型课时 新授课 1 课时 教学过程设计 教学内容 师生活动 一、复习引入 列方程解应用题的基本步骤有哪些？应注意什么？ 学生回顾基本步骤：审、设、列、解、验、答.应注意：寻找相等关系，检验方程的解是否符合实际问题. 设计意图：回顾运用方程解应用题的方法、步骤，为本节课铺垫。这样设计既回顾旧知，又为后面运用知识作好了准备. 二、探究新知 【问题 1】若一人患流感，每轮能传染 5 人。 现有一人患了流感，经过第一轮传染后共有_____人患了流感，第二轮传染后共有______人患了流感. 思考：第二轮传染时，第一个人还会传染吗？ 【问题 2】若一人患流感，每轮传染中平均一个人传染 x 个人，现有一人患了流感，那么 学生思考此问题，并填空；借此通过情景问题的形式，激发学生思考热情. 把问题升级，学生在独立思考的基础上，小组合作讨论，解决问题，教师加入到学生讨论中，重 21 学科网（北京）股份有限公司 ①在第一轮传染中 人被传染； 第一轮传染后，共有 人患流感. ②在第二轮传染中， 人被传染； 第二轮传染后，共有 人患流感. 思考：每一轮的传染源有什么不同？ 【问题 3】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个？ 点关注学生是否能正确建立一元二次方程. 学生根据教师的分析列出每一次传播，病毒的数量关系式.借助方程来列出关系式. 教师板书解题过程. 设计意图：1.借此通过情景问题的形式，激发学生思考热情.具体的问题并配合具体的数字，简单的推导从而激起学生的兴趣，利用画表格将找规律的难点分开化解. 2.由于学生自己谈有一些难度，通过填空的形式降低学生学习的难度.这样设计体现了知识的传递性，由特殊到一般，提高学生的数学思维.有了这些铺垫后，出示教材中的探究 1，即问题 3. 【问题 4】接着问题3 继续探究： 在第三轮传染中， 人被传染； 第三轮传染后，共有 人患流感. …… 按照这样的传播速度， 经过 n 轮传染共有 人患流感. 你能总结出一个规律吗？ 规律：若一人患流感，每轮传染中平均一个人传染 x 个人，则经过 n 轮传染后共有(1+x)n 人患流感． 教师引导学生思考病毒传染模式，并总结出规律： 经过 n 轮传染后共有(1+x)n 人患流感． 设计意图：顺利突破教学难点．学生自己探究第 n 轮传播后患病人数，从而得出公式，得到通法． 【问题 5】若有 3 人患流感，每轮传染中平均一个人传染 x 个人，那么 ①第一轮传染后，共有 人患流感； 学生通过类比问题3 与问题4 的探究，小组合作交流，师生共同归 22 学科网（北京）股份有限公司 ②第二轮传染后，共有 人患流感； ③第三轮传染后，共有 人患流感； …… 按照这样的传播速度， 经过 n 轮传染共有 人患流感. 纳. 设计意图：1.通过这样问题串的设置，引导学生类比前面问题的探究，逐步得出规律.培养学生举一反三，和知识迁移运用的能力. 2.归纳方法落实基础，让学生形成建模解决实际问题的方法和意识. 五、随堂练习 1.某种电脑病毒传播得非常快，如果一台电脑被传染，经过两轮感染后就会有 100 台电脑被感染.请你分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到控制，经过四轮感染后，被感染的电脑会不会超过 7000 台？ 【变式训练】 某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支总数是 91，每个枝干长出多少小分支？ 多媒体展示，学生自主进行解答，然后交流解法及依据． 设计意图：1.让学生直观感性地认识到传播是以几何级数递增，速度非常快，从而让学生明白预防传染病的重要性，这样增加了数学课堂的人文教育，让学生不但学到知识，更能明白知识对生活的指导作用. 2. 变式训练的设计，主要是为了给学生创造一个知识迁移运用的机会，弄清“传播问题 ”与“树干问题 ”的区别和联系. 六、课堂小结 1. 本节课学习，你有哪些收获？你领悟到哪些数学思想方法？ 教师强调注意事项 2. 解决传播问题要注意什么？ 3. 本节课还有哪些疑惑？请同学们说一说． 设计意图：梳理知识，学生获得巩固和发展. 23 学科网（北京）股份有限公司 七、布置作业 必做题：1．一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后他先教会了 x 名同学，然后这(1+ x) 名同学每人又教会了 x 名同学，这时恰好全班 36 人都会做这项实验了．根据以上情景，可列方程为 . 2.某种植物的主干长出x 个支干，每个支干又长出x 个小分支，若主干，支干和小分支的总数是43，则x 的值是 . 选做题：2019 年 12 月以来，“新冠 ”病毒忧影响着人们的出门及交往．在“新冠 ”初期，有 2 人感染了“新冠 ”，经过两轮传染后共有 288 人感染了“新冠 ”（这两轮感染均未被发现未被隔离），则每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 设计意图：分层作业的设置，体现了作业的巩固性和发展性原则，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要. 八、板书设计 21.3 实际问题与一元二次方程——传播问题列方程解应用题的步骤：审设列解验答. 分析： 轮次 传染源 新增患者 本轮结束患者总数 第一轮 第二轮 第三轮 九、教学反思 本节课抓住了培养方程模型思想的关键问题，通过设置恰当的问题，循序渐进地培养学生的审题能力和审题习惯，再由学生独立完成同类题，最后小组讨论.通过辨析研讨、总结提升等手段和途径，进一步激发学生的学习热情，培养他们动脑和思辨习惯. 24 学科网（北京）股份有限公司 $