21.3 实际问题与一元二次方程 随堂反馈-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（人教版 陕西专版）

画出如下的树状图： 开始 由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有9 个个个 ABCABCABC 种，这些结果出现的可能性相等，其中两人恰好选择同一种比赛项目的结果有3种，所 以P(两人恰好选择同一种比赛项目)=三=上 9=3 期末复习综合测试 1,B2.B3.C4.C5.C6.C7.C8.A9.(3,0)10.30或150°1山.+ 3 12.(26)13.解：(1)：a=1,b=n=m+3,c=2m,△=(m+3)2-8m=m 3N 2m十9=(-1)2+8.(1-1)2≥0，∴.(m-1)2十8>0，即△>0，.方程总有两个不 等的实数根；(2)由题意可知△=n2一4X1×2m=n2一8m=0,即n2=8.当n=一2，m =士时，方程为r-2z十1=0，解得==1（答案不唯一）。14.解：1范物线的 解析式为y=x2一2x一3：(2)设F(x,x2-2x-3)(-1<x≤4).设直线AB的解析式为 y=红+6，把点A(-1.0),B4,5)代人，得0=-6+6，。 k=1, 解得{ .直线AB的解析 5=4k+b, b=1. 式为y=x十1，EF∥y轴，∴.E(x,x+1),EF=x十1-(x2-2x-3)=-x2十3x十4 =(一受)广+孕当x=号时，线段EF的最大值为孕15解：1P0/BC:证 明如下：由折叠的性质可得∠APO=∠CPO.:OA=OP,∴.∠A=∠APO,∴∠A= ∠CPO.∠A=∠PCB,.∠PCB=∠CPO,.PO∥BC;(2):CD是⊙O的切线， .OC⊥CD..CD⊥AP,.AP∥OC,.∠APO=∠POC.∠AOP=∠POC, ∠APO=∠AOP,∴.AP=AO=OP,.△AOP是等边三角形，∠A=60°，.∠PCO =∠A=60°.：AP∥OC,.∠DPC=∠PCO=60,∴.∠DCP=30°，∴.PC=2PD,即 AO=AP=PC=2PD..AB=2AO,..AB=4PD. 随堂反馈答案 第二十一章一元二次方程 21.1一元二次方程 知识梳理 ①整式一2②ax2十bx十c=0(a≠0)a.x2 a bx b c3相等根 当堂练习 1.D2.A3.B4.x2十5x-2=015-25.解：(1)由题意，得(m+3)(-3) =0且m十3≠0时，方程是一元一次方程，所以m一3=0，解得m=3:(2)由题意，得(m 十3)（一3）≠0时，方程是一元二次方程，所以≠士3. 21.2解一元二次方程 21.2.1配方法 第1课时用直接开平方法解一元二次方程 知识梳理 ①(1)两个不等x1=-√p,x2=√p(2)两个相等x1=x2=0(3)无②降次 当堂练习 1.A2.C3.D4.3-75.解：(1)(x+1)2= 9x+1=±1 ←5：(2)2x+1=±3，=-2，z=1 第2课时用配方法解一元二次方程 知识梳理 ①完全平方形式②1 第52页（共60页） 当堂练习 1.D2.A3.±8±号4.号只5.解：1)配方，得x+6x十3=-7+3， (x十3)2=2.由此可得x十3=士厄，=-3十E,=-3-厄，(2)移项，得号2+ 名=3，二次项系数化为1，得+子=2配方，得云+子十（行）=2+（名）， （)-器曲此可得十名=士=-3=号6证明-十1 (一号)+是（一）≥0（一）+号>0无论x限何值，代数武 2 一x十1的值总大于0. 21.2.2公式法 知识梳理 ①6一4ac两个不等的两个相等的无②b2一4ac≥0 当堂练习 1.B2.D340-3十而-3-而4c<-5,解：(1)方程化为2-4红 -4=0.a=1,b=-4,c=-4.△=62-4ac=16-4×1×(-4)=32>0.方程有两个不 等的实数根x=b士@匹=4生厘_生4E=2士2反，即西=2+2区，=2 2a 2×1 2 -2√2；(2)方程化为3x2-5x-6=0.a=3,b=-5,c=-6.△=b2-4ac=25-4×3× (-6)=97>0.方程有两个不等的实数根x=二6士公@c-5去厘_5±厘，即 2a 2×3 6 五-5计厘，=5厘.6，解：1Dl题意知a≠04=8-4a=(u+2)-4a=心 6 6 十4a十4-4a=a2十4..a>0,∴.a2十4>0，即△>0，.方程有两个不相等的实数根； (2),方程有两个相等的实数根，△=b2-4a=0.若b=2,a=1,则方程变形为x2十2x 十1=0，解得x1=x2=-1.(答案不唯一) 21.2.3因式分解法 知识梳理 ①因式分解法 当堂练习 1.D2.C3.D4.1或-25.解：(1)a=5,b=-2,c=-1.△=b-4ac=(-2)2-4 ×5×(-1)=24>0,方程有两个不等的实数根x=二b士一4c=二(-2)±V四 2a 2×5 =15,即=1+E, 5 5,x2=1二6：(2)移项，得x2-6x=二1.配方，得x2一6x+32 5 -1十3，(x-3)2=8.由此可得x-3=±2√2，x1=3十2√2，x2=3-2√2；(3)移项整 理，得x(3x+5)-2(3x十5)=0.因式分解，得(x-2)(3x十5)=0.于是得x-2=0,或 3x+5=0=2,=-号：4)原方程可变形为2-3x-4=0a=1,6=-36=-4 △=一4ac=(一3)2一4×1×（一4）=25>0，方程有两个不等的实数根x= 士@-二（一诗西-3即=4=-1 2a 2×1 “21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 知识梳理 0 a -pq②(1)二次项系数不为0(2)4≥0 当堂练习 1.B2.B3.434.-15.解：(1)由题意，得△>0，即(-6)2-4(2a十5)>0，解得 a<2:(2)由根与系数的关系，得x1十x2=6,x1x2=2a十5.'x十x号-x1x2≤30，∴.(x 第53页（共60页） 十x2)2-3x1x2≤30，.36-3(2a+5)≤30，.a≥- 号.a为整数，且a<2a的值 为-1,0,1. 21.3实际问题与一元二次方程 第1课时传播问题、循环问题与数字问题 当堂练习 1B2.103.a(1十m)4解：设应邀请x个球队参加比赛.根据题意，得2x(x 1)=28.整理，得x2-x-56=0.解得x1=8,x2=一7（不符合题意，舍去）.答：应邀请8 个球队参加比赛.5.解：设这个两位数的个位数字为x,则十位数字为(x十3).根据题 意，得[10(x十3)+x](10x十x十3)=1300.整理，得x2十3x-10=0.解得x1=-5(不 符合题意，舍去)，x2=2..10(x十3)十x=10×(2十3)十2=52.答：这个两位数为52. 第2课时平均变化率与销售问题 当堂练习 1.C2.251003.解：该超市这两个月糜子黄酒销量的月平均增长率为x.根据题 意，得150(1十x)=216.解得x1=0.2=20%,x2=一2.2（不符合题意，舍去）.答：该超 市这两个月糜子黄酒销量的月平均增长率为20%.4.解：(1)设年销售量y与销售单 价x的函数关系式为y=kx十b(k≠0).将(35,550)，(40,500)分别代入y=kx十b,得 135k+b=550 0,解得k=10,故年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=一10z 40k十b=500 1b=900. 十900；(2)设此设备的销售单价为x万元，则每台设备的利润为(x-30)万元，销售数 量为（一10x十900）台.根据题意，得(x一30)（一10x十900）=8000.整理，得x2-120x 十3500=0.解得x1=50,x2=70.,此设备的销售单价不得高于60万元，∴.x=50. 答：该设备的销售单价应是50万元. 第3课时几何图形问题 当堂练习 1.C2.B3.(50+2x)(30十2x)=18004.解：设AD的长为xm(x36),则AB的 长为9+1=(30一+）m根据题意，得x(30-）=40.整理，得x-60x+ 2 800=0.解得x1=20,x2=40.:x≤36，.x=20,.AD的长为20m.5.解：设横彩条 的宽为2xcm,竖彩条的宽为3xcm.根据题意，得(20-2x)(30-3x)=(1一19%)×20 ×30,整理，得x2-20x十19=0.解得x1=1,x2=19.当x=19时，2x=38>20,不符合 题意，舍去.∴x=1.答：横彩条的宽为2cm,竖彩条的宽为3cm. 第二十二章二次函数 22.1二次函数的图象和性质 22.1.1二次函数 知识梳理 y=ax十bx十cx二次项系数一次项系数常数项 当堂练习 1 1.C2.C3.S=-2x+13x0<x<264.y=x-14x+480<x<65.解： 1)S=-之十20，是二次函数：(2)S=,是二次函数：(3)y=,是二次函数： (4)C=2元r,不是二次函数. 22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 知识梳理 ①上低下高小②<0>0<0>0 当堂练习 1.A2.-903.a>b>d>c4.85.解：(1)将P(1,m)代入y=2x-1,得m=2 ×1-1=1,∴.点P的坐标为(1,1).将P(1,1)代入y=ax2,得1=a×1,解得a=1.故 a=1,m=1;(2)二次函数的解析式为y=x2,当x>0时，y随x的增大而增大：(3)顶点 坐标为(0,0)，对称轴为y轴. 第54页（共60页）21.3实际问题与一元二次方程 第1课时传播问题、循环问题与数字问题 当堂练习 1.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后会有81台电脑被感 染，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？设每轮感染中平均一台电脑会感染x 台电脑，则x满足的方程是 (B) A.1+x2=81 B.(1+x)2=81 C.1十x+x2=81 D.1+x+(1+x)2=81 2.为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用某社交软件转发的方式传播，他设计了如 下的传播规则：将倡议书发表在自己的账号上，再邀请个好友转发倡议书，每个好友 转发倡议书之后，他们又邀请个互不相同的好友转发倡议书，依次类推.已知经过两 轮传播后，共有111人参与了传播活动，则n的值为10· 3.某种传染性禽流感在鸡群中迅猛传播，平均一只鸡每隔4h能传染m只鸡.现知道某鸡 场有a只鸡有此病，那么8h后感染此病的鸡共有a(1+m)_只. 4.要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛， 应邀请多少个球队参加比赛？ 解：设应邀请x个球队参加比赛. 根据题意，得7x(x-1)=28. 整理，得x2-x一56=0. 解得x1=8,x2=一7（不符合题意，舍去） 答：应邀请8个球队参加比赛， 5.阅读材料，解答下列问题： 反序数：有这样一对数，一个数的数字排列完全颠倒过来变成另一个数，简单的说，就是 顺序相反的两个数，我们把这样的一对数称为“反序数”，比如：12的反序数是21,456的 反序数是654. 用方程知识解决问题： 若一个两位数为正数，其十位上的数字比个位上的数字大3，这个两位数与其反序数之 积为1300，求这个两位数 解：设这个两位数的个位数字为x,则十位数字为(x十3). 根据题意，得[10(x十3)+x](10x+x+3)=1300. 整理，得x2十3.x-10=0. 解得x1=一5（不符合题意，舍去），x2=2. .10(x+3)+x=10×(2+3)+2=52. 答：这个两位数为52. 7 第2课时平均变化率与销售问题 当堂练习 1.国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加.2022年至2024年某地区快递 业务收入由749亿元增加到1033亿元.设该地区2022年至2024年快递业务收入的年 平均增长率为x,则可列方程为 (C) A.749(1+2x)=1033 B.749×2(1+x)=1033 C.749(1+x)2=1033 D.749+749(1+x)+749(1+x)2=1033 2.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品的售 价为a元，则可卖出(350一10a)件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%.若 商店计划要赚400元，则每件商品的售价为25元（取整数），需要卖出100件商品。 3.糜子黄酒是陕北人民在整理、挖掘、继承民间酿酒工艺的基础上，采用最新技术和现代 理化分析手段研制开发的一种风味独特的新型保健酒，因其香气浓郁、入口微甜、后味 醇厚，以及极高营养价值，深受省内外人们的喜欢.某超市今年10月份糜子黄酒的销量 为150瓶，经过两个月的连续增长，到12月份糜子黄酒的销量达到了216瓶.求该超市 这两个月糜子黄酒销量的月平均增长率， 解：该超市这两个月糜子黄酒销量的月平均增长率为x. 根据题意，得150(1十x)2=216.解得x1=0.2=20%,x2=一2.2（不符合题意，舍去）. 答：该超市这两个月糜子黄酒销量的月平均增长率为20%. 4.为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技 设备，每台设备成本价为30万元.经过市场调研发现，每台售价为35万元时，年销售量 为550台；每台售价为40万元时，年销售量为500台.假定该设备的年销售量（单位：台） 和销售单价（单位：万元）成一次函数关系， (1)求年销售量y与销售单价x的函数关系式； (2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于60万元，如果该公司想获得8000万元 的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？ 解：(1)设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=kx十b(k≠0). 35k+b=550 k=-10, 将(35,550)，(40,500)分别代入y=kx+b,得 解得 40k+b=500, 1b=900. 故年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=一10x+900; (2)设此设备的销售单价为x万元，则每台设备的利润为(x一30)万元，销售数量为（一10x十900）台. 根据题意，得(x一30)（一10x+900)=8000.整理，得x2-120x十3500=0.解得x1=50,x2=70. ,此设备的销售单价不得高于60万元，.x=50. 答：该设备的销售单价应是50万元. ·8· 第3课时几何图形问题 当堂练习 1.王叔叔从市场上买了一块长为80c,宽为70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱.如 图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为xc的正方形后，剩余的部分刚好能围 成一个底面积为3000cm的无盖长方体工具箱.根据题意可列方程为 ( A.(80-x)(70-x)=3000 B.80×70-4x2=3000 C.(80-2.x)(70-2.x)=3000 D.80×70-4x2-(70+80)x=3000 2.要用一条长24cm的铁丝围成一个斜边长是10cm的直角三角形，则两直角边的长分别 为 (B) A.5 cm,9 cm B.6 cm,8 cm C.4 cm,10 cm D.7 cm,7 cm 50cm 3.在一幅长50cm,宽30cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅 矩形挂图，如图.如果要使整个矩形挂图的面积是1800cm.设金色 纸边的宽为xcm,那么x满足的方程为(50+2x)(30+2x)=1800· 4.某小区计划建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为a=36m的墙，另三边用总长为59m 的篱笆围成.围成的花圃是如图所示的矩形ABCD,并在BC边上留有一扇1m宽的门. 若围成的花圃面积为400m,求AD的长. 解：设AD的长为rm≤6.则AB的长为9-(30)m 根据题意，得x(30-）=400 整理，得x2一60x+800=0. 解得x1=20,x2=40. x≤36，.x=20,.AD的长为20m. 5.如图，要设计一副宽20cm、长30cm的图案，其中有一横一竖的彩条，横、竖彩条的宽度 之比为2：3.如果要彩条所占面积是图案面积的19%，问横、竖彩条的宽度各为多少？ 解：设横彩条的宽为2xcm,竖彩条的宽为3.xcm. 30 cm 根据题意，得(20-2x)(30一3x)=(1一19%)×20×30. 20cm 整理，得x2-20x+19=0. 解得x1=1,x2=19. 当x=19时，2x=38>20,不符合题意，舍去..x=1. 答：横彩条的宽为2cm,竖彩条的宽为3cm. 9