专题21.4 解一元二次方程-因式分解法（高效培优讲义）数学人教版九年级上册

专题21.4 因式分解法 教学目标 1. 掌握因式分解法解一元二次方程。 2. 掌握整体法（换元法）解方程，并能够利用整体法（换元法）求相关式子的值。 3. 掌握解一元二次方程的所有方法，能够根据不同的一元二次方程选择不同的方法熟练的进行求解。 教学重难点 1. 重点 （1）因式分解法解一元二次方程； （2）整体法（换元法）解方程或求值； 2. 难点 （1）因式分解法中利用十字相乘法解一元二次方程； （2）整体法解方程与整体法的应用求值。 知识点01 因式分解法解一元二次方程 1. 因式分解法解一元二次方程的定义： 解一元二次方程时，先分解因式，使方程化成两个一次式的乘积等于0的形式，再使两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种方法叫做因式分解法。依据是若，则A＝ 或B＝ 。 2. 因式分解的方法： ①提公因式法： ； ②公式法：平方差公式： ； 完全平方公式： ； ③十字相乘法：分解，若且，则 。 3. 因式分解法解一元二次方程的步骤： ①移项：将方程的右边化为0； ②分解：把方程左边因式分解成两个一次式的积的形式； ③转化：令每一个一次式都等于0，转化成两个一元一次方程； ④求解：解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。 【即学即练1】 1．分解因式：6a2+3ab＝　 　 ． 2．因式分解：x2﹣1＝　 　 ． 3．分解因式：a2﹣4ab+4b2＝　 　 ． 4．因式分解：x2﹣2x﹣35＝ 　 　 ． 【即学即练2】 5．用因式分解法解下列方程： （1）4x2﹣144x＝0 （2）2（5x﹣1）2＝3（1﹣5x） （3）2x+6＝（3+x）2 （4）（x﹣2）2﹣2x+4＝0． 知识点02 整体法（换元法）解方程 1. 整体法（换元法）解方程： 在解一元二次方程时，有时候会把含有未知数的一个式子看作一个整体，然后用一个简单的字母表示，起达到方程简化的目的，在解其方程的方法叫做整体法或换元法。 例题讲解：【例】解方程． 解：设，则原方程可化为． 解得． 当y=1时，即x-1=1，解得x=2； 当y=4时，即x-1=4，解得x=5． 所以原方程的解为x1=2，x2=5． 【即学即练1】 6．阅读材料，解答问题． 材料：为解方程（x2﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝0， 我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2． 原方程化为y2﹣3y＝0，① 解得y1＝0，y2＝3． 当y＝0时，x2﹣1＝0，所以x2＝1，x＝±1； 当y＝3时，x2﹣1＝3，所以x2＝4，x＝±2． 所以原方程的解为x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2． 解答问题： （1）填空： 在由原方程得到方程①的过程中，利用　 　 法达到了降幂的目的，体现了　 　 的数学思想； （2）解方程：（x2+3）2﹣4（x2+3）＝0． 【即学即练2】 7．请先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题： 已知（x+y﹣3）（x+y+4）＝﹣10，求x+y的值． 解：设t＝x+y，则原方程变形为： （t﹣3）（t+4）＝﹣10，即t2+t﹣2＝0． 解得t1＝﹣2，t2＝1． 所以x+y＝﹣2或x+y＝1． 问题：已知（x2+y2﹣4）（x2+y2+2）＝7，求x2+y2的值． 【即学即练3】 8．一元二次方程a（x+h）2+k＝0的两根分别为﹣3，1，则方程a（2x+h﹣3）2+k＝0（a≠0）的两根分别为（　　） A．x1＝﹣6，x2＝﹣2 B．x1＝0，x2＝﹣1 C．x1＝﹣9，x2＝﹣1 D．x1＝0，x2＝2 知识点03 用合适的方法解一元二次方程 1. 一元二次方程的解法比较： 解法 适用方程类型 方法重点 直接开方法 形如或（均为常数）的一元二次方程 开平方 配方法 适用于一切一元二次方程。多用于二次项系数为1，一次项系数为偶数的一元二次方程 配方：当二次项系数为1时，配一次项系数一半的平方 公式法 适用于一切一元二次方程 确定a，b，c的值带入求根公式 因式分解法 适用于右边为0，方程左边能因式分解成两个一次式乘积的形式的一元二次方程。 因式分解 【即学即练1】 9．用适当的方法解下列方程： （1）（x﹣1）2＝（2x+3）2 （2）x2+4x﹣5＝0 （3） （4）4（2x+1）2﹣4（2x+1）+1＝0． 题型01 用因式分解法解一元二次方程 【典例1】用因式分解法解下列方程： （1）x2+x＝0； （2）4x2﹣121＝0； （3）3x（2x+1）＝4x+2； （4）（x﹣4）2＝（5﹣2x）2． 【变式1】用因式分解法解下列方程： （1）x2+16x＝0； （2）5x2﹣10x＝﹣5； （3）x（x﹣3）+x﹣3＝0； （4）2（x﹣3）2＝9﹣x2． 【变式2】用因式分解法解下列方程： （1）（x+2）2＝3x+6； （2）（3x+2）2﹣4x2＝0； （3）5（2x﹣1）＝（1﹣2x）（x+3）； （4）2（x﹣3）2+（3x﹣x2）＝0． 题型02 用合适的方法解一元二次方程 【典例1】选用合适的方法解下列方程： （1）（x+4）2＝5（x+4）； （2）（x+1）2＝4x； （3）（x+3）2＝（1﹣2x）2； （4）2x2﹣10x＝3． 【变式1】选择合适的方法解一元二次方程： （1）4（x﹣5）2＝16； （2）3x2+2x﹣3＝0； （3）x2； （4）（x+3）（x﹣1）＝5． 题型03 用整体法（换元法）解方程 【典例1】阅读材料，解答问题： 解方程：x4﹣6x2+5＝0； 解：设x2＝y，则原方程可化为y2﹣6y+5＝0． 解得y1＝5，y2＝1． 当y＝5时，x2＝5，∴；当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1； ∴原方程有四个解：，，x3＝1，x4＝﹣1． 以上方法叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料的解题思想与解题步骤，解下列方程，（x2﹣2x）2﹣2（x2﹣2x）﹣3＝0． 【变式1】阅读下列材料： 为解方程x4﹣x2﹣6＝0，可将方程变形为（x2）2﹣x2﹣6＝0，然后设x2＝y，则（x2）2＝y2，原方程化为y2﹣y﹣6＝0①，解①得y1＝﹣2，y2＝3．当y1＝﹣2时，x2＝﹣2无意义，舍去；当y2＝3时，x2＝3，解得，∴原方程的解为． 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． 利用以上学习到的方法解方程：（x2﹣2x）2﹣5x2+10x+6＝0． 【变式2】阅读材料： 为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将（x2﹣1）视为一个整体；然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程化为y2﹣5y+4＝0．① 解得y1＝4，y2＝1． 当y1＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5，∴， 当y2＝1时，x2﹣1＝1，∴x2＝2，∴． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： （1）x4﹣x2﹣6＝0； （2）（x2﹣2x）2﹣5x2+10x﹣6＝0． 【变式3】解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4，当y＝1时，即x﹣1＝1，解得x＝2；当y＝4时，即x﹣1＝4，解得x＝5，所以原方程的解为x1＝2，x2＝5；解方程（x2+2x）2﹣18（x2+2x）+45＝0时，我们可以将x2+2x看成一个整体，设x2+2x＝y，则原方程可化为 y2﹣18y+45＝0，解得y1＝15，y2＝3，当y＝15时，即x2+2x＝15，解得x1＝3，x2＝5；当y＝3时，即x2+2x＝3，解得x3＝1，x4＝﹣3；所以原方程的解为x1＝3，x2＝﹣5，x3＝1，x4＝﹣3；以上解法称为换元法． 请利用这种方法解方程： （1）（x+5）2﹣4（x+5）+3＝0； （2）（x2﹣4x）2﹣2（x2﹣4x）﹣15＝0． 题型04 利用整体法（换元法）求式子的值 【典例1】若有理数a、b满足（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝15，则a2+b2＝（　　） A．4 B．2 C．±4 D．±2 【变式1】已知实数m、n满足（m2+2n2﹣2）（m2+2n2+3）＝6，则m2+2n2的值为（　　） A．﹣4 B．3 C．4 D．3或﹣4 【变式2】已知实数x满足（a2+b2）2﹣4（a2+b2）﹣12＝0，则代数式a2+b2+1的值是（　　） A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣5或3 【变式3】如果实数x满足，那么，的值是 　 　 ． 题型05 根据一个方程的解求另一个方程的解 【典例1】若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2025，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx+2＝b必有一根为（　　） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【变式1】若x＝2025是关于x的方程ax2+bx+1＝0的一个根，则关于x的方程a（x+2）2+bx+2b＝﹣1必有一个根为（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 【变式2】已知方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝4，x2＝﹣5，则方程a（x+1）2+b（x+1）+c＝0的解　 　 ． 【变式3】若关于x的方程x2+hx﹣k＝0（其中h、k均为常数）的解是x1＝2，x2＝﹣3，则关于y的方程（﹣y+2）2+h（﹣y+2）﹣k＝0的解是　 　 ． 题型06 解含绝对值的方程 【典例1】有人说“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学好数学的重要法宝．阅读下列例题及其解答过程： 例：解方程x2﹣2|x|﹣3＝0． 解：①当x≥0时，原方程为x2﹣2x﹣3＝0， 解得x1＝﹣1（与x≥0矛盾，舍去），x2＝3． ②当x＜0时，原方程为x2+2x﹣3＝0， 解得x1＝1（与x＜0矛盾，舍去），x2＝﹣3． 所以原方程的根是x1＝3，x2＝﹣3． 在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论． 任务：请参照上述方法解方程：x2﹣|x|﹣2＝0． 【变式1】阅读下面的材料，解答问题． 材料：解含绝对值的方程：x2﹣3|x|﹣10＝0． 解：分两种情况： ①当x≥0时，原方程化为x2﹣3x﹣10＝0，解得x1＝5，x2＝﹣2（舍去）； ②当x＜0时，原方程化为x2+3x﹣10＝0，解得x3＝﹣5，x4＝2（舍去）． 综上所述，原方程的解是x1＝5，x2＝﹣5． 请参照上述方法解方程x2﹣|x+1|﹣1＝0． 【变式2】阅读下面的例题与解答过程： 例．解方程：x2﹣|x|﹣2＝0 解：当x≥0时，原方程可化为x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）； 当x＜0时，原方程可化为x2+x﹣2＝0，解得x1＝1，x2＝﹣2（不合题意，舍去）； ∴原方程的解是x1＝2，x2＝﹣2． 在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想﹣﹣﹣分类讨论．请仿照上述例题的解答过程，解下列方程： （1）x2﹣2|x|＝0； （2）x2﹣2x﹣4|x﹣1|﹣4＝0． 1．解下列方程：①3x2﹣27＝0；②x2﹣3x﹣1＝0；③（x+2）（x+4）＝x+2；④2（3x﹣1）2＝3x﹣1．较简便的方法是（　　） A．依次为直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法 B．依次为因式分解法，公式法，配方法，直接开平方法 C．①用直接开平方法，②③用公式法，④用因式分解法 D．①用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法 2．若2，3是方程x2+bx+c＝0的两个实数根，则x2+bx+c可以分解为（　　） A．（x+2）（x+3） B．（x﹣2）（x﹣3） C．（x+2）（x﹣3） D．（x﹣2）（x+3） 3．方程2x（x+3）+5（3+x）＝3+x的根是（　　） A．x＝2 B．x＝3 C．x1＝2，x2＝3 D．x1＝﹣2，x2＝﹣3 4．关于x的一元二次方程（2x﹣1）（x+m）＝0有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D． 5．定义运算：a☆b＝a2﹣ab﹣b，例如：3☆2＝32﹣3×2﹣2＝1，则方程x☆2024＝1的解为（　　） A．x1＝﹣1，x2＝2025 B．x1＝﹣1，x2＝﹣2025 C．x1＝1，x2＝2025 D．x1＝1，x2＝﹣2025 6．若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣12x+32＝0的两根，则该菱形的边长为（　　） A． B．8 C． D．10 7．已知x是实数，且满足（x2+4x）2+3（x2+4x）﹣18＝0，则x2+4x的值为（　　） A．3 B．3或﹣6 C．﹣3或6 D．6 8．若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一个根为x＝2024，则方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b必有一根为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 9．关于x的方程x2﹣2mx+m2＝4的两个根x1，x2满足x1＝2x2+3，且x1＞x2，则m的值为（　　） A．﹣3 B．1 C．3 D．9 10．已知方程（x+a）（x+b）＝0有M个解，方程（ax+1）（bx+1）＝0有N个解，其中a≠b，则（　　） A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝N﹣1或M＝N+2 C．M＝N或M＝N+1 D．M＝N或M＝N﹣1 11．小聪同学解方程x2＝4x得到x＝4，则他漏掉一个根是x＝　 　 ． 12．已知a、b是实数，且满足（a2+b2）2+3（a2+b2）﹣4＝0，a2+b2＝　 　 ． 13．已知三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程x2﹣4x+3＝0的一个根，则这个三角形的周长为 　 　 ． 14．刘聪同学发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数a2+b﹣1．例如，把 （3，﹣2）放入其中，就会得到32+（﹣2）﹣1＝6．现将实数对（m，﹣2m）放入其中，得到实数﹣1，则m的值是　 　 ． 15．对于实数a，b，定义运算“※”：a※b．例如4※2，因为4＞2，所以4※2＝4﹣2＝2．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则x1※x2＝　 　 ． 16．用适当的方法解方程： （1）4（x+1）2＝36； （2）x2﹣2x+8＝0； （3）（y+3）（y﹣1）＝2； （4）． 17．对于任意实数a，b（a≠0）规定一种新运算a*b＝ab+ab﹣2．例如：3*2＝32+3×2﹣2＝13．请根据上述定义解决以下问题： （1）计算：（﹣2）*3． （2）若（﹣x）*2的值为1，求x的值． 18．阅读下列材料： 解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+6＝0， 解：设x2﹣1＝y，则原方程化为y2﹣5y+6＝0， 解得y1＝2，y2＝3． 当y＝2时，x2﹣1＝2，解得：； 当y＝3时，x2﹣1＝3，解得x＝±2． ∴原方程的解为：，，x3＝2，x4＝﹣2． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． （1）请用上述方法解下列方程：（2x﹣5）2﹣4（2x﹣5）+3＝0； （2）已知实数x，y满足（x2+y2+3）2﹣7x2﹣7y2﹣21＝8，求x2+y2的值． 19．阅读下面的例题与解答过程： 解方程：x2﹣|x|﹣2＝0． 解：当x≥0时，x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝2，x2＝﹣1（舍去）； 当x＜0时，x2+x﹣2＝0，解得x3＝﹣2，x4＝1（舍去）． ∴原方程的解是x1＝2，x2＝﹣2． 在上面的解答过程中，我们对绝对值符号内的代数式的正负性进行了分类讨论，这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论思想． 请仿照上述例题的解答过程，利用分类讨论思想解下列方程： （1）x2﹣2|x|＝0； （2）x2﹣2x﹣4|x﹣1|+5＝0． 20．材料阅读：材料1：符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为a1b2﹣a2b1．如5×（﹣4）﹣2×（﹣3）＝﹣14． 材料2：我们已经学习过求解一元一次方程、二元一次方程组、分式方程等方程的解法，虽然各类方程的解法不尽相同，但是蕴含了相同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，还可以解一些新的方程．例如，求解部分一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，我们可以利用因式分解把它转化为一元一次方程来求解．如解方程：x2+3x+2＝0．∵x2+3x+2＝（x+1）（x+2），∴（x+1）（x+2）＝0．故x+1＝0或x+2＝0．因此原方程的解是x1＝﹣1，x2＝﹣2． 根据材料回答以下问题． （1）二阶行列式　 　 ； （2）求解12中x的值； （3）结合材料，若m，n，且m﹣n＝0，求x的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21.4 因式分解法 教学目标 1. 掌握因式分解法解一元二次方程。 2. 掌握整体法（换元法）解方程，并能够利用整体法（换元法）求相关式子的值。 3. 掌握解一元二次方程的所有方法，能够根据不同的一元二次方程选择不同的方法熟练的进行求解。 教学重难点 1. 重点 （1）因式分解法解一元二次方程； （2）整体法（换元法）解方程或求值； 2. 难点 （1）因式分解法中利用十字相乘法解一元二次方程； （2）整体法解方程与整体法的应用求值。 知识点01 因式分解法解一元二次方程 1. 因式分解法解一元二次方程的定义： 解一元二次方程时，先分解因式，使方程化成两个一次式的乘积等于0的形式，再使两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种方法叫做因式分解法。依据是若，则A＝ 0 或B＝ 0 。 2. 因式分解的方法： ①提公因式法： ； ②公式法：平方差公式： ； 完全平方公式： ； ③十字相乘法：分解，若且，则 。 3. 因式分解法解一元二次方程的步骤： ①移项：将方程的右边化为0； ②分解：把方程左边因式分解成两个一次式的积的形式； ③转化：令每一个一次式都等于0，转化成两个一元一次方程； ④求解：解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。 【即学即练1】 1．分解因式：6a2+3ab＝　3a（2a+b）　 ． 【答案】3a（2a+b）． 【解答】解：6a2+3ab＝3a（2a+b）， 故答案为：3a（2a+b）． 2．因式分解：x2﹣1＝　（x+1）（x﹣1）　 ． 【答案】（x+1）（x﹣1）． 【解答】解：根据平方差公式分解因式得： x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）， 故答案为：（x+1）（x﹣1）． 3．分解因式：a2﹣4ab+4b2＝　（a﹣2b）2　 ． 【答案】（a﹣2b）2． 【解答】解：原式＝a2﹣2×a×2b+（2b）2＝（a﹣2b）2， 故答案为：（a﹣2b）2． 4．因式分解：x2﹣2x﹣35＝ 　（x﹣7）（x+5）　 ． 【答案】（x﹣7）（x+5）． 【解答】解：x2﹣2x﹣35＝（x﹣7）（x+5）． 故答案为：（x﹣7）（x+5）． 【即学即练2】 5．用因式分解法解下列方程： （1）4x2﹣144x＝0 （2）2（5x﹣1）2＝3（1﹣5x） （3）2x+6＝（3+x）2 （4）（x﹣2）2﹣2x+4＝0． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）4x（x﹣36）＝0， 所以x1＝0，x2＝36． （2）移项得2（5x﹣1）2﹣3（1﹣5x）＝0， 提公因式得（1﹣5x）[2（1﹣5x）﹣3]＝0． 所以1﹣5x＝0，2﹣10x﹣3＝0． 则x1，x2． （3）2（x+3）﹣（3+x）2＝0， 提公因式得（x+3）（2﹣3﹣x）＝0， 解得x1＝﹣3，x2＝﹣1． （4）（x﹣2）2﹣2（x﹣2）＝0． 提公因式得（x﹣2）（x﹣2﹣2）＝0， 所以x1＝2，x2＝4． 知识点02 整体法（换元法）解方程 1. 整体法（换元法）解方程： 在解一元二次方程时，有时候会把含有未知数的一个式子看作一个整体，然后用一个简单的字母表示，起达到方程简化的目的，在解其方程的方法叫做整体法或换元法。 例题讲解：【例】解方程． 解：设，则原方程可化为． 解得． 当y=1时，即x-1=1，解得x=2； 当y=4时，即x-1=4，解得x=5． 所以原方程的解为x1=2，x2=5． 【即学即练1】 6．阅读材料，解答问题． 材料：为解方程（x2﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝0， 我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2． 原方程化为y2﹣3y＝0，① 解得y1＝0，y2＝3． 当y＝0时，x2﹣1＝0，所以x2＝1，x＝±1； 当y＝3时，x2﹣1＝3，所以x2＝4，x＝±2． 所以原方程的解为x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2． 解答问题： （1）填空： 在由原方程得到方程①的过程中，利用　换元　 法达到了降幂的目的，体现了　转化　 的数学思想； （2）解方程：（x2+3）2﹣4（x2+3）＝0． 【答案】（1）换元，转化； （2）x1＝1，x2＝﹣1， 【解答】解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降幂的目的，体现了转化的数学思想， 故答案为：换元，转化； （2）（x2+3）2﹣4（x2+3）＝0， 设x2+3＝a，则原方程化为：a2﹣4a＝0， 解得：a1＝0，a2＝4， 当a＝0时，x2+3＝0，此方程无解； 当a＝4时，x2+3＝4，解得：x＝±1， 所以原方程的解是x1＝1，x2＝﹣1． 【即学即练2】 7．请先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题： 已知（x+y﹣3）（x+y+4）＝﹣10，求x+y的值． 解：设t＝x+y，则原方程变形为： （t﹣3）（t+4）＝﹣10，即t2+t﹣2＝0． 解得t1＝﹣2，t2＝1． 所以x+y＝﹣2或x+y＝1． 问题：已知（x2+y2﹣4）（x2+y2+2）＝7，求x2+y2的值． 【答案】5． 【解答】解：设t＝x2+y2＞0， ∴原方程变形为（t﹣4）（t+2）＝7， 去括号，移项得，t2﹣2t﹣15＝0， ∴t1＝5，t2＝﹣3（舍去） ∴x2+y2＝5． 【即学即练3】 8．一元二次方程a（x+h）2+k＝0的两根分别为﹣3，1，则方程a（2x+h﹣3）2+k＝0（a≠0）的两根分别为（　　） A．x1＝﹣6，x2＝﹣2 B．x1＝0，x2＝﹣1 C．x1＝﹣9，x2＝﹣1 D．x1＝0，x2＝2 【答案】D 【解答】解：由题知， 将一元二次方程a（x+h）2+k＝0中的“x”用“2x﹣3”替换， 可得方程a（2x+h﹣3）2+k＝0． 因为一元二次方程a（x+h）2+k＝0的两根分别为﹣3，1， 所以2x﹣3＝﹣3或1， 解得x＝0或2， 即方程a（2x+h﹣3）2+k＝0（a≠0）的两根分别为x1＝0，x2＝2． 故选：D． 知识点03 用合适的方法解一元二次方程 1. 一元二次方程的解法比较： 解法 适用方程类型 方法重点 直接开方法 形如或（均为常数）的一元二次方程 开平方 配方法 适用于一切一元二次方程。多用于二次项系数为1，一次项系数为偶数的一元二次方程 配方：当二次项系数为1时，配一次项系数一半的平方 公式法 适用于一切一元二次方程 确定a，b，c的值带入求根公式 因式分解法 适用于右边为0，方程左边能因式分解成两个一次式乘积的形式的一元二次方程。 因式分解 【即学即练1】 9．用适当的方法解下列方程： （1）（x﹣1）2＝（2x+3）2 （2）x2+4x﹣5＝0 （3） （4）4（2x+1）2﹣4（2x+1）+1＝0． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）（x﹣1）2＝（2x+3）2， 开方得：x﹣1＝±（2x+3）， 解得：x1＝﹣4，x2； （2）x2+4x﹣5＝0， （x+5）（x﹣1）＝0， x+5＝0，x﹣1＝0， x1＝﹣5，x2＝1； （3）， b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×1＝4， x， x11，x21； （4）4（2x+1）2﹣4（2x+1）+1＝0， [2（2x+1）﹣1]2＝0， 2（2x+1）﹣1＝0， x1＝x2． 题型01 用因式分解法解一元二次方程 【典例1】用因式分解法解下列方程： （1）x2+x＝0； （2）4x2﹣121＝0； （3）3x（2x+1）＝4x+2； （4）（x﹣4）2＝（5﹣2x）2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）x（x+1）＝0， x＝0或x+1＝0， ∴x1＝0，x2＝﹣1； （2）（2x+11）（2x﹣11）＝0， 2x+11＝0或2x﹣11＝0， ∴x1，x2； （3）（2x+1）（3x﹣2）＝0， 2x+1＝0或3x﹣2＝0， ∴x1，x2； （4）（x﹣4+5﹣2x）（x﹣4﹣5+2x）＝0， （1﹣x）（3x﹣9）＝0， 1﹣x＝0或3x﹣9＝0， ∴x1＝1，x2＝3． 【变式1】用因式分解法解下列方程： （1）x2+16x＝0； （2）5x2﹣10x＝﹣5； （3）x（x﹣3）+x﹣3＝0； （4）2（x﹣3）2＝9﹣x2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）原方程可变形为： x（x+16）＝0， x＝0或x+16＝0． ∴x1＝0，x2＝﹣16． （2）原方程可变形为 x2﹣2x+1＝0， （x﹣1）2＝0． ∴x1＝x2＝1． （3）原方程可变形为 （x﹣3）（x+1）＝0， x﹣3＝0或x+1＝0 ∴x1＝3，x2＝﹣1． （4）原方程可变形为 2（x﹣3）2+x2﹣9＝0， （x﹣3）（2x﹣6+x+3）＝0， 即（x﹣3）（3x﹣3）＝0． x﹣3＝0或3x﹣3＝0． ∴x1＝3，x2＝1． 【变式2】用因式分解法解下列方程： （1）（x+2）2＝3x+6； （2）（3x+2）2﹣4x2＝0； （3）5（2x﹣1）＝（1﹣2x）（x+3）； （4）2（x﹣3）2+（3x﹣x2）＝0． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）原方程可变形为 （x+2）（x+2﹣3）＝0， （x+2）（x﹣1）＝0． x+2＝0或x﹣1＝0． ∴x1＝﹣2，x2＝1． （2）原方程可变形为 （3x+2﹣2x）（3x+2+2x）＝0， 即（x+2）（5x+2）＝0． x+2＝0或5x+2＝0． ∴x1＝﹣2，x2． （3）原方程可变形为 （2x﹣1）（5+x+3）＝0， 即（2x﹣1）（x+8）＝0 2x﹣1＝0或x+5＝0 ∴x1，x2＝﹣8． （4）原方程可变形为 2（x﹣3）2﹣x（x﹣3）＝0， （x﹣3）（2x﹣6﹣x）＝0， （x﹣3）（x﹣6）＝0． x﹣3＝0或x﹣6＝0． ∴x1＝3，x2＝6． 题型02 用合适的方法解一元二次方程 【典例1】选用合适的方法解下列方程： （1）（x+4）2＝5（x+4）； （2）（x+1）2＝4x； （3）（x+3）2＝（1﹣2x）2； （4）2x2﹣10x＝3． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）（x+4）2＝5（x+4）； （x+4）2﹣5（x+4）＝0， （x+4）（x+4﹣5）＝0， ∴x+4＝0，x﹣1＝0， ∴x1＝﹣4，x2＝1； （2）（x+1）2＝4x， 整理得，x2﹣2x+1＝0， （x﹣1）2＝0， ∴x1＝x2＝1； （3）（x+3）2＝（1﹣2x）2， x+3＝±（1﹣2x）， ∴x+3＝1﹣2x，x+3＝﹣1+2x， ∴x1，x2＝4； （4）2x2﹣10x＝3， 2x2﹣10x﹣3＝0， a＝2，b＝﹣10，c＝﹣3，b2﹣4ac＝100+24＝124＞0， ∴x， ∴x1，x2． 【变式1】选择合适的方法解一元二次方程： （1）4（x﹣5）2＝16； （2）3x2+2x﹣3＝0； （3）x2； （4）（x+3）（x﹣1）＝5． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）2（x﹣5）＝±4， 即有2（x﹣5）＝4或2（x﹣5）＝﹣4， ∴x1＝7，x2＝3． （2）a＝3，b＝2，c＝﹣3，则△＝22﹣4•3•（﹣3）＝40， ∴x， ∴x1，x2． （3）（x）（x）＝0， ∴x0或x0， ∴x1，x2． （4）去括号移项整理得，x2+2x﹣8＝0， ∴（x+4）（x﹣2）＝0， ∴x+4＝0或x﹣2＝0， ∴x1＝﹣4，x2＝2． 题型03 用整体法（换元法）解方程 【典例1】阅读材料，解答问题： 解方程：x4﹣6x2+5＝0； 解：设x2＝y，则原方程可化为y2﹣6y+5＝0． 解得y1＝5，y2＝1． 当y＝5时，x2＝5，∴；当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1； ∴原方程有四个解：，，x3＝1，x4＝﹣1． 以上方法叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料的解题思想与解题步骤，解下列方程，（x2﹣2x）2﹣2（x2﹣2x）﹣3＝0． 【答案】x1＝3，x2＝﹣1，x3＝x4＝1． 【解答】解：设y＝x2﹣2x，则y2﹣2y﹣3＝0， ∴y1＝3，y2＝﹣1， ∴x2﹣2x＝3或x2﹣2x＝﹣1， x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1， x2﹣2x+1＝0，解得x3＝x4＝1． ∴x1＝3，x2＝﹣1或x3＝x4＝1． 【变式1】阅读下列材料： 为解方程x4﹣x2﹣6＝0，可将方程变形为（x2）2﹣x2﹣6＝0，然后设x2＝y，则（x2）2＝y2，原方程化为y2﹣y﹣6＝0①，解①得y1＝﹣2，y2＝3．当y1＝﹣2时，x2＝﹣2无意义，舍去；当y2＝3时，x2＝3，解得，∴原方程的解为． 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． 利用以上学习到的方法解方程：（x2﹣2x）2﹣5x2+10x+6＝0． 【答案】． 【解答】解：（x2﹣2x）2﹣5x2+10x+6＝0， （x2﹣2x）2﹣5（x2﹣2x）+6＝0， 设y＝x2﹣2x，则（x2﹣2x）2＝y2， 原方程化为y2﹣5y+6＝0， 解得y1＝2，y2＝3． 当y1＝2时，x2﹣2x＝2，解得； 当y2＝3时，x2﹣2x＝3，解得x＝3，﹣1． 原方程的解为． 【变式2】阅读材料： 为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将（x2﹣1）视为一个整体；然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程化为y2﹣5y+4＝0．① 解得y1＝4，y2＝1． 当y1＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5，∴， 当y2＝1时，x2﹣1＝1，∴x2＝2，∴． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： （1）x4﹣x2﹣6＝0； （2）（x2﹣2x）2﹣5x2+10x﹣6＝0． 【答案】（1），；（2），，x3＝x4＝1． 【解答】解：（1）设y＝x2，原方程可化为：y2﹣y﹣6＝0， 解得：y1＝3，y2＝﹣2， 当y＝3时，x2＝3， ，， 当y＝﹣2时，x2＝﹣2，此方程无实数根， ∴原方程的解是：，； （2）设y＝x2﹣2x，原方程可化为：y2﹣5y﹣6＝0， y1＝6，y2＝﹣1， 当y＝6时，x2﹣2x＝6， ，， 当y＝﹣1时，x2﹣2x＝﹣1， x3＝x4＝1， ∴原方程的解为：，，x3＝x4＝1． 【变式3】解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4，当y＝1时，即x﹣1＝1，解得x＝2；当y＝4时，即x﹣1＝4，解得x＝5，所以原方程的解为x1＝2，x2＝5；解方程（x2+2x）2﹣18（x2+2x）+45＝0时，我们可以将x2+2x看成一个整体，设x2+2x＝y，则原方程可化为 y2﹣18y+45＝0，解得y1＝15，y2＝3，当y＝15时，即x2+2x＝15，解得x1＝3，x2＝5；当y＝3时，即x2+2x＝3，解得x3＝1，x4＝﹣3；所以原方程的解为x1＝3，x2＝﹣5，x3＝1，x4＝﹣3；以上解法称为换元法． 请利用这种方法解方程： （1）（x+5）2﹣4（x+5）+3＝0； （2）（x2﹣4x）2﹣2（x2﹣4x）﹣15＝0． 【答案】（1）x1＝2，x2＝5； （2）x1＝﹣1，x2＝5，x3＝1，x4＝3． 【解答】解：（1）设x+5＝y，则y2﹣4y+3＝0， 解得：y1＝1，y2＝3； 当y＝1时，即x﹣1＝1，解得x＝2； 当y＝3时，即x﹣1＝3，解得x＝4， ∴x1＝2，x2＝5； （2）设x2﹣4x＝y，则y2﹣2y﹣15＝0， 解得：y1＝5，y2＝﹣3； 当y＝5时，即x2﹣4x＝5，解得x1＝﹣1，x2＝5； 当y＝﹣3时，即x2﹣4x＝﹣3，解得x3＝1，x4＝3； ∴x1＝﹣1，x2＝5，x3＝1，x4＝3． 题型04 利用整体法（换元法）求式子的值 【典例1】若有理数a、b满足（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝15，则a2+b2＝（　　） A．4 B．2 C．±4 D．±2 【答案】A 【解答】解：∵（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝（a2+b2）2﹣12＝15， ∴（a2+b2）2＝16， ∵a2≥0，b2≥0， ∴a2+b2＝4． 故选：A． 【变式1】已知实数m、n满足（m2+2n2﹣2）（m2+2n2+3）＝6，则m2+2n2的值为（　　） A．﹣4 B．3 C．4 D．3或﹣4 【答案】B 【解答】解：设k＝m2+2n2， ∴原方程变为：（k﹣2）（k+3）＝6． ∴k2+k﹣6＝6． ∴k2+k﹣12＝0． ∴k＝3或k＝﹣4． ∵m和n为实数， ∴m2+2n2≥0，故舍去k＝﹣4． ∴k＝3． 故选：B． 【变式2】已知实数x满足（a2+b2）2﹣4（a2+b2）﹣12＝0，则代数式a2+b2+1的值是（　　） A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣5或3 【答案】A 【解答】解：设x＝a2+b2， ∴x2﹣4x﹣12＝0， （x+2）（x﹣6）＝0， 解得，x＝﹣2（舍去）或x＝6， ∴原式＝6+1＝7， 故选：A． 【变式3】如果实数x满足，那么，的值是 　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：∵， ∴， ， 设，则m2﹣2m﹣3＝0， 因式分解得：（m﹣3）（m+1）＝0， ∴m﹣3＝0或m+1＝0， 解得：m＝3或m＝﹣1， 当m＝3时，则， 整理得：x2﹣3x+1＝0， ∴， 解得：，， 经检验，，都是方程的解， ∴的值为3； 当m＝﹣1时，则， 整理得：x2+x+1＝0， Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4＝﹣3＜0， ∴时，方程无解． 综上所述，的值为3， 故答案为：3． 题型05 根据一个方程的解求另一个方程的解 【典例1】若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2025，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx+2＝b必有一根为（　　） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【解答】解：一元二次方程a（x﹣1）2+bx+2＝b变形为一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0， ∵关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2025， ∴对于一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0有x﹣1＝2025， 解得x＝2026， 即一元二次方程a（x﹣1）2+bx+2＝b必有一根为2026． 故选：C． 【变式1】若x＝2025是关于x的方程ax2+bx+1＝0的一个根，则关于x的方程a（x+2）2+bx+2b＝﹣1必有一个根为（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 【答案】A 【解答】解：关于x的方程a（x+2）2+bx+2b＝﹣1变形为a（x+2）2+b（x+2）+1＝0， 此方程可看作关于（x+2）的一元二次方程， ∵x＝2025是关于x的方程ax2+bx+1＝0的一个根， ∴x+2＝2025是关于x的方程a（x+2）2+b（x+2）+1＝0的一个根， ∴x+2＝2025， 解得x＝2023， ∴关于x的方程a（x+2）2+bx+2b＝﹣1必有一个根为x＝2023． 故选：A． 【变式2】已知方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝4，x2＝﹣5，则方程a（x+1）2+b（x+1）+c＝0的解　x1＝3，x2＝﹣6　 ． 【答案】x1＝3，x2＝﹣6． 【解答】解：设t＝x+1，则方程化为at2+bt+c＝0， 由条件可知方程为at2+bt+c＝0的解是t1＝4，t2＝﹣5， 当t＝4时，x+1＝4，解得x＝3； 当t＝﹣5时，x+1＝﹣5，解得x＝﹣6， ∴方程a（x+1）2+b（x+1）+c＝0的解是x1＝3，x2＝﹣6． 故答案为：x1＝3，x2＝﹣6． 【变式3】若关于x的方程x2+hx﹣k＝0（其中h、k均为常数）的解是x1＝2，x2＝﹣3，则关于y的方程（﹣y+2）2+h（﹣y+2）﹣k＝0的解是　y1＝0，y2＝5　 ． 【答案】y1＝0，y2＝5． 【解答】解：由题知， 因为关于x的方程x2+hx﹣k＝0（其中h、k均为常数）的解是x1＝2，x2＝﹣3， 所以关于y的方程（﹣y+2）2+h（﹣y+2）﹣k＝0的解满足﹣y+2＝2或﹣3， 解得y1＝0，y2＝5． 故答案为：y1＝0，y2＝5． 题型06 解含绝对值的方程 【典例1】有人说“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学好数学的重要法宝．阅读下列例题及其解答过程： 例：解方程x2﹣2|x|﹣3＝0． 解：①当x≥0时，原方程为x2﹣2x﹣3＝0， 解得x1＝﹣1（与x≥0矛盾，舍去），x2＝3． ②当x＜0时，原方程为x2+2x﹣3＝0， 解得x1＝1（与x＜0矛盾，舍去），x2＝﹣3． 所以原方程的根是x1＝3，x2＝﹣3． 在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论． 任务：请参照上述方法解方程：x2﹣|x|﹣2＝0． 【答案】x1＝2，x2＝﹣2． 【解答】解：（1）当x≥0时，则x2﹣x﹣2＝0， 解得：x1＝2，x2＝﹣1（舍去）； （2）当x＜0时，则x2+x﹣2＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝1（舍去）； ∴综上所述，x1＝2，x2＝﹣2． 【变式1】阅读下面的材料，解答问题． 材料：解含绝对值的方程：x2﹣3|x|﹣10＝0． 解：分两种情况： ①当x≥0时，原方程化为x2﹣3x﹣10＝0，解得x1＝5，x2＝﹣2（舍去）； ②当x＜0时，原方程化为x2+3x﹣10＝0，解得x3＝﹣5，x4＝2（舍去）． 综上所述，原方程的解是x1＝5，x2＝﹣5． 请参照上述方法解方程x2﹣|x+1|﹣1＝0． 【答案】x1＝2，x2＝﹣1． 【解答】解：x2﹣|x+1|﹣1＝0， 分两种情况： ①当x+1≥0时，即x≥﹣1时， 原方程可化为：x2﹣（x+1）﹣1＝0， 整理得：x2﹣x﹣2＝0， 解得x1＝2，x2＝﹣1； ②当x+1＜0时，即x＜﹣1时， 原方程可化为：x2+（x+1）﹣1＝0， 整理得：x2+x＝0， 解得x3＝﹣1（舍去），x4＝0（舍去）， 综上所述，原方程的解是x1＝2，x2＝﹣1． 【变式2】阅读下面的例题与解答过程： 例．解方程：x2﹣|x|﹣2＝0 解：当x≥0时，原方程可化为x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）； 当x＜0时，原方程可化为x2+x﹣2＝0，解得x1＝1，x2＝﹣2（不合题意，舍去）； ∴原方程的解是x1＝2，x2＝﹣2． 在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想﹣﹣﹣分类讨论．请仿照上述例题的解答过程，解下列方程： （1）x2﹣2|x|＝0； （2）x2﹣2x﹣4|x﹣1|﹣4＝0． 【答案】（1）x1＝0，x2＝2，x3＝﹣2； （2）x2＝6，x3＝﹣4． 【解答】解：（1）当x＜0时，x2+2x＝0，解得x3＝﹣2，x4＝0（舍去）； 当x≥0时，x2﹣2x＝0，解得x1＝0，x2＝2； ∴原方程的解为x1＝0，x2＝2，x3＝﹣2； （2）当x≥1时，x2﹣2x﹣4x+4﹣4＝0，即x2﹣6x＝0，解得x1＝0（舍去），x2＝6， 当x＜1时，x2﹣2x+4x﹣4﹣4＝0，即x2+2x﹣8＝0，解得x3＝﹣4，x4＝2（舍去）， ∴原方程组的解为x2＝6，x3＝﹣4，． 1．解下列方程：①3x2﹣27＝0；②x2﹣3x﹣1＝0；③（x+2）（x+4）＝x+2；④2（3x﹣1）2＝3x﹣1．较简便的方法是（　　） A．依次为直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法 B．依次为因式分解法，公式法，配方法，直接开平方法 C．①用直接开平方法，②③用公式法，④用因式分解法 D．①用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法 【答案】D 【解答】解：①3x2﹣27＝0适合直接开平方法； ②x2﹣3x﹣1＝0适合公式法； ③（x+2）（x+4）＝x+2适合因式分解法； ④2（3x﹣1）2＝3x﹣1适合因式分解法； 故选：D． 2．若2，3是方程x2+bx+c＝0的两个实数根，则x2+bx+c可以分解为（　　） A．（x+2）（x+3） B．（x﹣2）（x﹣3） C．（x+2）（x﹣3） D．（x﹣2）（x+3） 【答案】B 【解答】解：∵2，3是方程x2+bx+c＝0的两个实数根， ∴x2+bx+c＝（x﹣2）（x﹣3）． 故选：B． 3．方程2x（x+3）+5（3+x）＝3+x的根是（　　） A．x＝2 B．x＝3 C．x1＝2，x2＝3 D．x1＝﹣2，x2＝﹣3 【答案】D 【解答】解：整理得：（2x+5﹣1）（x+3）＝0， 2x+5﹣1＝0或x+3＝0， x1＝﹣2，x2＝﹣3， 故选：D． 4．关于x的一元二次方程（2x﹣1）（x+m）＝0有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D． 【答案】D 【解答】解：（2x﹣1）（x+m）＝0， 解得或x＝﹣m， ， ∴． 故选：D． 5．定义运算：a☆b＝a2﹣ab﹣b，例如：3☆2＝32﹣3×2﹣2＝1，则方程x☆2024＝1的解为（　　） A．x1＝﹣1，x2＝2025 B．x1＝﹣1，x2＝﹣2025 C．x1＝1，x2＝2025 D．x1＝1，x2＝﹣2025 【答案】A 【解答】解：根据题中的新定义得：x2﹣2024x﹣2024＝1， ∴x2﹣2024x﹣2025＝0， （x+1）（x﹣2025）＝0， ∴x+1＝0或x﹣2025＝0， ∴x1＝﹣1，x2＝2025． 故选：A． 6．若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣12x+32＝0的两根，则该菱形的边长为（　　） A． B．8 C． D．10 【答案】A 【解答】解：由方程x2﹣12x+32＝0得， x1＝4，x2＝8， 所以菱形的两条对角线长度为4和8， 则菱形的边长为：． 故选：A． 7．已知x是实数，且满足（x2+4x）2+3（x2+4x）﹣18＝0，则x2+4x的值为（　　） A．3 B．3或﹣6 C．﹣3或6 D．6 【答案】A 【解答】解：（x2+4x）2+3（x2+4x）﹣18＝0， 分解因式得：（x2+4x﹣3）（x2+4x+6）＝0， 可得x2+4x﹣3＝0或x2+4x+6＝0， 而x2+4x+6＝0中，△＝16﹣24＜0，无解， 则x2+4x＝3． 故选：A． 8．若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一个根为x＝2024，则方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b必有一根为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【解答】解：由题知， 方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b可变形为a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣3＝0． 因为方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一个根为x＝2024， 所以x﹣1＝2024， 解得x＝2025， 即方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b必有一根为x＝2025． 故选：D． 9．关于x的方程x2﹣2mx+m2＝4的两个根x1，x2满足x1＝2x2+3，且x1＞x2，则m的值为（　　） A．﹣3 B．1 C．3 D．9 【答案】C 【解答】解：∵x2﹣2mx+m2＝4， ∴（x﹣m+2）（x﹣m﹣2）＝0， ∴x﹣m+2＝0或x﹣m﹣2＝0， ∵x1＞x2， ∴x1＝m+2，x2＝m﹣2， ∵x1＝2x2+3， ∴m+2＝2（m﹣2）+3， 解得m＝3． 故选：C． 10．已知方程（x+a）（x+b）＝0有M个解，方程（ax+1）（bx+1）＝0有N个解，其中a≠b，则（　　） A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝N﹣1或M＝N+2 C．M＝N或M＝N+1 D．M＝N或M＝N﹣1 【答案】C 【解答】解：（x+a）（x+b）＝0，可得x+a＝0或x+b＝0，即x＝﹣a或x＝﹣b， ∵a≠b， ∴M＝2， 当a＝0，b≠0时，方程变为bx+1＝0．解得x，此时N＝1， 当a≠0，b＝0时，方程变为ax+1＝0，解得x，此时N＝1， 当a≠0，b≠0时，方程变为ax+1＝0或bx+1＝0解得x或x，此时N＝2， ∴当a＝0或b＝0时，M＝2，N＝1，M＝N+1；当a≠0且b≠0时，M＝2，N＝2，M＝N． ∴M＝N或M＝N+1． 故选：C． 11．小聪同学解方程x2＝4x得到x＝4，则他漏掉一个根是x＝　0　 ． 【答案】0． 【解答】解：x2＝4x， x2﹣4x＝0 x（x﹣4）＝0， x＝0或x﹣4＝0， 所以x1＝0，x2＝4． 故答案为：0． 12．已知a、b是实数，且满足（a2+b2）2+3（a2+b2）﹣4＝0，a2+b2＝　1　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设t＝a2+b2（t≥0）， 由原方程，得 t2+3t﹣4＝0， 整理，得 （t+4）（t﹣1）＝0， 解得t＝﹣4（舍去）或t＝1． 所以a2+b2＝1． 故答案为：1． 13．已知三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程x2﹣4x+3＝0的一个根，则这个三角形的周长为 　8　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：x2﹣4x+3＝0， （x﹣1）（x﹣3）＝0， 所以x1＝1，x2＝3． ∵1+2＞3 不成立， ∴由三角形的三边关系可知它的第三边长为3， ∴三角形周长为2+3+3＝8． 故答案为：8． 14．刘聪同学发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数a2+b﹣1．例如，把 （3，﹣2）放入其中，就会得到32+（﹣2）﹣1＝6．现将实数对（m，﹣2m）放入其中，得到实数﹣1，则m的值是　0或2　 ． 【答案】0或2． 【解答】解：由题意得：m2+（﹣2m）﹣1＝﹣1， m2﹣2m＝0， m（m﹣2）＝0， 解得m＝0或2． 故答案为：0或2． 15．对于实数a，b，定义运算“※”：a※b．例如4※2，因为4＞2，所以4※2＝4﹣2＝2．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则x1※x2＝　4或1　 ． 【答案】4或1． 【解答】解：∵x2﹣5x+6＝0， ∴（x﹣2）（x﹣3）＝0， 解得：x1＝2，x2＝3或x1＝3，x2＝2． 当x1＝2，x2＝3时，x1※x2＝2×3﹣2＝4； 当x1＝3，x2＝2时，x1※x2＝3﹣2＝1． ∴x1※x2＝4或1． 故答案为：4或1． 16．用适当的方法解方程： （1）4（x+1）2＝36； （2）x2﹣2x+8＝0； （3）（y+3）（y﹣1）＝2； （4）． 【答案】（1）x1＝2，x2＝﹣4； （2）无解： （3）y1＝﹣1，y2＝﹣1； （4）x1＝x2． 【解答】解：（1）4（x+1）2＝36， （x+1）2＝9， ∴x+1＝±3， ∴x1＝2，x2＝﹣4； （2）x2﹣2x+8＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4×1×8＝﹣28＜0， ∴原方程无解； （3）（y+3）（y﹣1）＝2， y2+2y﹣5＝0， y2+2y+1＝6，即（y+1）2＝6， ∴y+1， ∴y1＝﹣1，y2＝﹣1； （4）， （x﹣1）2＝0， ∴x﹣1＝0， ∴x1＝x2． 17．对于任意实数a，b（a≠0）规定一种新运算a*b＝ab+ab﹣2．例如：3*2＝32+3×2﹣2＝13．请根据上述定义解决以下问题： （1）计算：（﹣2）*3． （2）若（﹣x）*2的值为1，求x的值． 【答案】（1）﹣16； （2）x1＝﹣1，x2＝3． 【解答】解：（1）（﹣2）*3＝（﹣2）3+（﹣2）×3﹣2＝﹣16； （2）∵a*b＝ab+ab﹣2， （﹣x）*2＝（﹣x）2﹣2x﹣2＝x2﹣2x﹣2， x2﹣2x﹣3＝0， ∴（x+1）（x﹣3）＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3． 18．阅读下列材料： 解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+6＝0， 解：设x2﹣1＝y，则原方程化为y2﹣5y+6＝0， 解得y1＝2，y2＝3． 当y＝2时，x2﹣1＝2，解得：； 当y＝3时，x2﹣1＝3，解得x＝±2． ∴原方程的解为：，，x3＝2，x4＝﹣2． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． （1）请用上述方法解下列方程：（2x﹣5）2﹣4（2x﹣5）+3＝0； （2）已知实数x，y满足（x2+y2+3）2﹣7x2﹣7y2﹣21＝8，求x2+y2的值． 【答案】（1）x1＝3，x2＝4； （2）5． 【解答】解：（1）设2x﹣5＝a，则原方程可化为a2﹣4a+3＝0， 分解因式可得：（a﹣1）（a﹣3）＝0， 解得：a1＝1，a2＝3， 当a＝1时，可得：2x﹣5＝1， 解得：x＝3， 当a＝3时，可得：2x﹣5＝3， 解得：x＝4， ∴原方程的解为x1＝3，x2＝4； （2）原方程整理得：（x2+y2+3）2﹣7（x2+y2）﹣21＝8， 设x2+y2＝b， 则原方程化为（b+3）2﹣7b﹣21＝8， 整理得：b2﹣b﹣20＝0， 分解因式可得：（b﹣5）（b+4）＝0， 解得：b1＝5，b2＝﹣4， 当b＝5时，x2+y2＝5， 当b＝﹣4时，x2+y2＝﹣4（不符合题意，舍去）， ∴x2+y2＝5． 19．阅读下面的例题与解答过程： 解方程：x2﹣|x|﹣2＝0． 解：当x≥0时，x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝2，x2＝﹣1（舍去）； 当x＜0时，x2+x﹣2＝0，解得x3＝﹣2，x4＝1（舍去）． ∴原方程的解是x1＝2，x2＝﹣2． 在上面的解答过程中，我们对绝对值符号内的代数式的正负性进行了分类讨论，这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论思想． 请仿照上述例题的解答过程，利用分类讨论思想解下列方程： （1）x2﹣2|x|＝0； （2）x2﹣2x﹣4|x﹣1|+5＝0． 【答案】（1）x1＝0，x2＝2，x3＝﹣2； （2）x1＝x2＝3，得x3＝x4＝﹣1． 【解答】解：（1）当x≥0时，x2﹣2x＝0，解得x1＝0，x2＝2； 当x＜0时，x2+2x＝0，解得x3＝﹣2，x4＝0（舍去）； ∴原方程的解为x1＝0，x2＝2，x3＝﹣2； （2）当x≥1时，x2﹣2x﹣4x+4+5＝0，即x2﹣6x+9＝0，解得x1＝x2＝3， 当x＜1时，x2﹣2x+4x﹣4+5＝0，即x2+2x+1＝0，解得x3＝x4＝﹣1， ∴原方程组的解为x1＝x2＝3，得x3＝x4＝﹣1． 20．材料阅读：材料1：符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为a1b2﹣a2b1．如5×（﹣4）﹣2×（﹣3）＝﹣14． 材料2：我们已经学习过求解一元一次方程、二元一次方程组、分式方程等方程的解法，虽然各类方程的解法不尽相同，但是蕴含了相同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，还可以解一些新的方程．例如，求解部分一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，我们可以利用因式分解把它转化为一元一次方程来求解．如解方程：x2+3x+2＝0．∵x2+3x+2＝（x+1）（x+2），∴（x+1）（x+2）＝0．故x+1＝0或x+2＝0．因此原方程的解是x1＝﹣1，x2＝﹣2． 根据材料回答以下问题． （1）二阶行列式　11　 ； （2）求解12中x的值； （3）结合材料，若m，n，且m﹣n＝0，求x的值． 【答案】（1）11； （2）x1＝2，x2＝﹣4； （3）x1＝﹣1，x2＝6． 【解答】解：（1）由题知， 5×7﹣6×4＝11． 故答案为：11． （2）由12得， x（x+4）﹣（2x﹣4）＝12， 整理得，x2+2x﹣8＝0， 解得x1＝2，x2＝﹣4． （3）由题知， m＝x2+3x，n＝8x+6． 因为m﹣n＝0， 所以x2+3x﹣8x﹣6＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝6． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$