3.2.1 第2课时 函数的最大（小）值 教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦函数最大（小）值的定义及求解方法，通过生活实例（利润、面积问题）导入，衔接初中二次函数知识，引导从具体问题抽象出数学定义，构建从实例到抽象的学习支架。 亮点是情境导入贴近生活培养数学眼光，定义探究结合图像直观与逻辑辨析发展严谨思维，例题覆盖不同函数及实际应用，助力学生用数学语言表达问题，提升抽象能力与应用意识，为教师提供结构化教学流程与思想方法渗透。

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 秋季 课题 3.2.1 函数的基本性质（第2课时）----函数的最大（小）值 教科书 书 名：普通高中教科书数学必修第一册教材 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年6月 教学目标 1. 理解函数最大值、最小值的定义，明确定义中 “任意”“存在” 等关键词的含义； 2. 掌握求一次函数、二次函数在给定区间上最值的方法； 3. 能利用函数单调性求单调函数的最值； 4. 能将简单的实际问题转化为函数最值问题并求解。 教学内容 教学重点： 1. 函数最大值、最小值的定义理解。 2. 求二次函数在给定闭区间上的最值，利用单调性求单调函数的最值。 教学难点： 1. 函数最值定义中“任意x∈I”“存在x₀∈I”的逻辑关系理解； 2. 实际问题中函数模型的构建与最值求解。 教学过程 1、 情境导入 1.展示生活实例： 实例1：某商店销售一种商品，每件成本为40元，售价为x元（60≤x≤100），销售量为y=-2x+200件，如何定价才能使利润最大？ 实例2：用长为20m的篱笆围成一个矩形菜园，矩形的长和宽分别为多少时，菜园的面积最大？ 设计意图：选取贴近学生生活的经济利润、几何面积问题，让学生直观感受“最值”问题的现实意义，激发学习兴趣和探究欲望；两个实例均能通过列函数关系式转化为数学问题，既衔接初中已学的二次函数最值知识，又为后续抽象“函数最值” 定义提供具体载体，实现 “从具体到抽象” 的认知过渡. 2.提出问题：上述实例都涉及“最大”的问题，在数学中，我们可以通过“函数”来刻画这种数量关系，如何从函数的角度定义“最大值”“最小值”？又该如何求解呢？ 引出课题——函数的最大（小）值。 设计意图：通过提炼实例的共性（均求“最大”值），引导学生从具体问题中抽象出数学核心问题，培养学生的归纳概括能力；衔接前文实例，激发学生的认知冲突：初中已学特定函数（二次函数）的最值求解，为何需要重新定义？如何将特殊函数的最值推广到一般函数？从而引发学生对“一般化定义”的探究兴趣，为后续学习单调性法、图像法求最值奠定认知基础。 二、新知探究 1. 函数最值的定义探究 （1）直观感知： 展示函数图像：①一次函数 y=2x+1（x∈R）；②二次函数 y=x²（x∈R）；③二次函数 y=-x²+4（x∈[-2,2]）。 提问：观察图像，哪些函数存在“最高点”或“最低点”？“最高点”的纵坐标有什么特点？“最低点”的纵坐标有什么特点？ 学生观察回答，教师引导：函数 y=2x+1（x∈R）图像无限延伸，无最高点和最低点；y=x²（x∈R）图像有最低点，最低点纵坐标为0；y=-x²+4（x∈[-2,2]）图像有最高点，最高点纵坐标为4。 设计意图：选取三类典型函数图像，覆盖“无最值”“仅有最小值”“仅有最大值”三种情况，让学生直观感知“最值是否存在”与函数图像形态、定义域的关联，提问设计聚焦“是否存在最值”“最值对应的纵坐标特征”，引导学生从“图像形态”向“数量关系”过渡，为后续抽象出最值定义埋下伏笔，实现“直观感知→初步概括”的认知递进。 （2）抽象定义： 结合y=-x²+4（x∈[-2,2]）分析“最大值”：对于任意x∈[-2,2]，都有f (x)≤f (0)=4，此时称4是函数在[-2,2]上的最大值，0是最大值点。 结合y=x²（x∈R）分析“最小值”：对于任意 x∈R，都有f (x)≥f (0)=0，此时称0是函数在R上的最小值，0是最小值点。 引导学生类比总结函数最大值、最小值的定义（板书定义）： 最大值：设函数y=f (x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意x∈I，都有f (x)≤M；②存在x₀∈I，使得f (x₀)=M。则称M是函数 y=f (x)的最大值。 最小值：设函数y=f (x)的定义域为I，如果存在实数m满足：①对于任意x∈I，都有f (x)≥m；②存在x₀∈I，使得f (x₀)=m。则称m是函数y=f (x)的最小值。 设计意图：延续前文直观感知的函数实例，从具体函数的“最高点 / 最低点”特征切入，将“图像语言”转化为“文字语言”，再抽象为“符号定义”，降低定义学习的难度，同时衔接初中二次函数中“顶点坐标与最值” 的知识，实现新旧知识的融合，深化对“最值本质是函数值的‘上界 / 下界’且能取到”的理解，而非被动记忆定义条文。 定义辨析：提问“任意 x∈I” 和“存在 x₀∈I”能否省略？若省略“任意 x∈I”，会出现什么问题？（举例：函数 y=-x²+4，若只说“存在 x=0 使 f (x)=4”，不能说明4是最大值，因为可能有其他x使 f (x)>4）通过辨析强化定义理解。 设计意图：针对定义中两个易被忽略的核心条件设计辨析问题，直击学生可能存在的认知误区（如将“存在某点的函数值最大”等同于“函数最大值”），帮助学生把握定义的本质内涵；让学生理解数学定义的“每一个条件都不可或缺”，体会数学学科的严谨性。 2. 单调性与函数最值的关系探究 （1）提出问题： 若函数y=f (x)在闭区间[a,b]上单调递增，它的最值在哪个点取得？若单调递减呢？ 设计意图：通过设问建立“单调性”与“最值”的关联，实现新旧知识的自然衔接，问题聚焦“闭区间”和“单调性”两个关键条件，避免学生偏离重点，以开放性问题引发学生思考，激发学生的探究欲。 （2）小组合作探究： 给出实例： ①f (x)=2x+1（x∈[1,3]）（单调递增）；②f (x)=-x+2（x∈[0,4]）（单调递减）。 小组任务：画出函数图像，分析最值的位置，总结规律。 设计意图：选取两个简单典型的一次函数实例，兼具“单调递增”“单调递减”两种情况，且定义域为闭区间，降低探究难度，让学生能快速聚焦“单调性与最值位置”的关联，在讨论、互助中深化理解，通过“画图→分析→总结”的流程，引导学生经历“实践→观察→归纳”的探究过程，体会数学结论的生成逻辑。 （3） 成果展示与总结： 若函数y=f (x)在闭区间[a,b] 上单调递增，则f (x) 的最大值为 f (b)，最小值为 f (a)； 若函数在闭区间 [a,b] 上单调递减，则 f (x) 的最大值为 f (a)，最小值为 f (b) （板书结论，学生做笔记） 设计意图：让学生自主展示探究成果，增强学生的成就感和参与感，教师提炼总结并板书核心结论，突出重点、强化记忆，形成“提出问题→探究验证→总结结论”的完整逻辑闭环，让学生体会数学知识的严谨性和系统性。 三、例题讲解 例1：（求二次函数的最值）求函数 f (x)=x²-2x+3 在下列区间上的最值： （1）x∈R；（2）x∈[0,3]；（3）x∈[2,4] 分析：先通过配方法将函数化为顶点式f (x)=(x-1)²+2，确定对称轴x=1。 求解过程： （1）x∈R时，因为(x-1)²≥0，所以f (x)≥2，当x=1时，f (x)取得最小值2，无最大值。 （2）x∈[0,3]时，对称轴x=1∈[0,3]，则最小值为f (1)=2；比较端点值f (0)=3，f (3)=6，最大值为 6。 （3）x∈[2,4]时，对称轴x=1∉[2,4]，函数在[2,4] 上单调递增，最小值为f (2)=3，最大值为f (4)=11。 总结：二次函数在闭区间上的最值求解步骤： ①化顶点式，找对称轴； ②判断对称轴是否在区间内； ③若在，顶点处为一个最值，端点处为另一个最值；若不在，区间端点处取得最值。 设计意图：例题以学生初中熟悉的二次函数为载体，三个小问呈现“无区间限制→对称轴在区间内→对称轴在区间外”的梯度，“由浅入深、由易到难”，渗透“数形结合”与“转化与化归”思想：通过配方法将一般二次函数化为顶点式（转化思想），借助对称轴判断函数在区间内的单调性（数形结合，以“数”（对称轴）刻画“形”（增减趋势）），强化数学思想方法的渗透。 例2：（利用单调性求最值）已知函数，求函数的最大值和最小值. 分析：由函数 的图象(图3.2-5) 可知, 函数在区间 [2，6]上单调递减.所以，函数 在区间 [2，6]的两个端点上分别取得最大值和最小值.2 .5 解： 且 则 由 得 于是 即 所以，函数 在区间 [2，6]上单调递减. 因此，函数 在区间 [2，6]的两个端点上分别取得最大值与最小值. 在x=2时取得最大值，最大值是2；在x=6时取得最小值，最小值是0.4. 设计意图：例1聚焦二次函数，例2选取分式函数这一初中未系统学习的新函数类型，打破学生对“最值求解仅局限于二次函数”的认知，培养学生将“闭区间上单调函数的最值在端点取得”这一核心结论迁移到不同函数类型的能力。例题通过完整的“取值→作差→变形→判号→下结论”步骤示范，既巩固单调性证明的关键技能，又将其与最值求解结合，解决“单调性学了怎么用”的疑问。 思考：回顾本节课开始时候提出的两个实际问题，你能用今天学习的知识解决这两个问题吗？ 师生活动：教师指导学生独立解决课前提出的两个问题，巡视指导，选学生展示。 设计意图：与课前引入形成呼应，同时让学生体会函数单调性和函数最值在实际生活中的应用，突出数学与实际生活的联系，同时培养学生将文字语言转化为数学语言的能力。 三、课堂小结 1. 引导学生回顾：本节课学习了函数最值的定义、求法及实际应用。 2. 提炼数学思想：数形结合思想、转化与化归思想（实际问题转化为函数最值问题）。 3. 学生分享：通过本节课的学习，你有哪些收获？还有哪些疑问？ 设计意图：引导学生梳理“定义—求法—应用”核心脉络，构建结构化知识体系，形成教学闭环，强化重点知识记忆。显性化数形结合、转化与化归思想，为后续复杂函数最值学习提供思想指引。 四、课后作业 1. 教科书P81练习第1, 2, 3题。 2. 课时作业对应小节。 学科网（北京）股份有限公司 $