专题10 弧长和扇形面积（数学竞赛真题汇编）九年级全国通用

专题10 弧长和扇形面积 1．（2023七年级上·辽宁沈阳·竞赛）一个圆柱形鱼缸，底面积是平方厘米，高是30厘米，里面盛有一些水，把一个底面半径10厘米的圆锥形实心铸件完全浸没在水中，鱼缸的水面上升了2厘米，则这个圆锥的高是（   ）厘米． A．2 B．4 C．6 D．8 2．（2023·山东竞赛）如图1，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为1cm的圆形，使之恰好围成图2所示的一个圆锥，则圆锥的高为（ ）. A．cm B．4cm C．cm D．cm 3．（2023九年级上·江苏·竞赛）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，且为半圆的，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积分别为、、，则下列结论正确的是（      ）． A． B． C． D． 4．（2023九年级下·安徽宣城·竞赛）如图，边长为的正方形的中心与半径为的的圆心重合，，分别是，的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 5．（2023八年级·广东深圳·竞赛）已知如图正方形的边长为4，点E为边上一动点，于F，为等腰直角三角形，．当点E从点B运动到点C时，点G的运动路径长为（   ） A．4 B． C．π D． E． 6．（2023九年级上·浙江宁波·竞赛）已知为的直径，为半圆的中点，为上的一动点，延长至点，使，若，当点从点运动到点时，线段扫过的面积为 ． 7．（2024八年级下·广西·竞赛）如图，菱形的边长为，，将菱形绕点顺时针旋转，使与重合，则在旋转过程中，点所走的路径的长为 （结果不取近似值） 8．（2023九年级·广东·竞赛）古希腊数学家希波克拉底曾研究过如图所示的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为的斜边，直角边，．若以，为直径的两个半圆的弧长总长度为，则以斜边为直径的半圆面积的最小值为 ． 9．（2023九年级下·浙江宁波·竞赛）在直角坐标系xOy中，直线交x轴、y轴于点E，F，点B的坐标是，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足为A，C．点D是线段上的动点，以为对称轴，作与成轴对称的．当直线l经过点A时（如图），求点D由C到O的运动过程中，线段扫过的图形与重叠部分的面积 ． 10．（2023九年级·江西赣州·竞赛）如图，将半径为1、圆心角为的扇形纸片，在直线上向右作无滑动的滚动至扇形处，则顶点O经过的路线总长为 ． 11．（2023八年级下·甘肃平凉·竞赛）如图所示，边长为3厘米与5厘米的两个正方形并排放在一起．在大正方形中画一段以它的一个顶点为圆心，边长为半径的圆弧．则阴影部分的面积是多少？（取3）． 12．（2023九年级上·黑龙江哈尔滨·竞赛）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)将平移得到，且的对应点，点的对应点分别是，画出平移后的； (2)画出绕点顺时针旋转后得到； (3)在（2）的条件下，直接写出点旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）． 1．（2024九年级·全国·竞赛）在平面直角坐标系中，已知点，将线段绕原点旋转，则线段所扫过的区域的面积为（    ）． A． B． C． D．11 2．（2024九年级·全国·竞赛）过圆心的三条半径将半径为的圆分割成了面积之比为的三个扇形，分别以这三个扇形为侧面展开图的圆锥的底面圆的半径之和为（    ）． A． B． C． D． 3．（2024七年级·全国·竞赛）如图所示，已知正方形，分别以线段为直径作半圆，则图形中空白部分①与②的面积之差是（    ）． A． B． C． D． 4．（2024九年级·全国·竞赛）如图，已知在中，现将绕点逆时针旋转后得到，那么在旋转的过程中，点所走过的路径长为（    ）．    A． B． C． D． 5．（2024九年级·全国·竞赛）如图所示为一个物体的三视图，根据图示信息可得该物体侧面展开图的面积为（    ）    A． B． C． D． 6．（2024九年级·全国·竞赛）如图所示的太极图是一个中心对称图形，整个图形呈圆形，若其直径为，则黑色部分的面积为 （结果保留）． 7．（2024九年级·全国·竞赛）如图，扇形与扇形的圆心角都是，连接，如果图中阴影部分的面积为，，那么 ． 8．（2024八年级·全国·竞赛）如图，一个边长为的等边沿着直线翻滚，点依次翻滚到点的位置，当点到达点的位置时，点所经过的路程为 ． 9．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在直角中，两直角边分别为，将绕点按逆时针方向旋转后得到，点的对应点恰在的延长线上，为点旋转到点的轨迹，则图中阴影部分的面积为 ．    10．（2024九年级·全国·竞赛）如图为某种杯子的示意图，其上、下两个面都是圆形，周长分别为，，其中一条母线长，求这种杯子的侧面积．    11．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在中，，延长到点，使得，以点为圆心，以为半径作交的延长线于点，连接．    (1)求证：与相切； (2)若，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 12．（2024九年级·全国·竞赛）如图，点为等腰直角斜边的中点，与分别相切于点，交于点的延长线交的延长线于点，已知． (1)求的长； (2)求证：； (3)求由、和所围成的图形（阴影部分）的面积． 13．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在中，为直径，弦，垂足为点，以为直径的圆交于点，连接的延长线交于点，连接，若，求图中阴影部分的面积．（结果保留） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 弧长和扇形面积 1．（2023七年级上·辽宁沈阳·竞赛）一个圆柱形鱼缸，底面积是平方厘米，高是30厘米，里面盛有一些水，把一个底面半径10厘米的圆锥形实心铸件完全浸没在水中，鱼缸的水面上升了2厘米，则这个圆锥的高是（   ）厘米． A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程实际应用．根据题意设这个圆锥的高是x厘米，再列出一元一次方程即可得到本题答案． 【详解】解：设这个圆锥的高是x厘米，根据题意得， 解得， 答：这个圆锥的高是6厘米． 故选：C． 2．（2023·山东竞赛）如图1，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为1cm的圆形，使之恰好围成图2所示的一个圆锥，则圆锥的高为（ ）. A．cm B．4cm C．cm D．cm 【答案】C 【详解】利用已知得出底面圆的半径为：1，周长为2π，进而得出母线长，即可得出答案． 解：∵半径为1cm的圆形， ∴底面圆的半径为：1，周长为2π， 扇形弧长为：2π=， ∴R=4，即母线为4cm， ∴圆锥的高为：=（cm）． 故选C． 3．（2023九年级上·江苏·竞赛）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，且为半圆的，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积分别为、、，则下列结论正确的是（      ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接AC，根据△AOC的面积=△BOC的面积，得S2＜S1，再由S1占半圆面积的，可得S3大于半圆面积的 ，即可求解． 【详解】解：连接AC， ∵AB为半圆O的直径， ∴∠ACB=90°，点O为AB的中点， ∴△AOC的面积=△BOC的面积， ∵S1大于△AOC的面积， ∴S2＜S1， ∵S1占半圆面积的， ∴S2小于半圆面积的 ∴S3大于半圆面积的， ∴． 故选：D 4．（2023九年级下·安徽宣城·竞赛）如图，边长为的正方形的中心与半径为的的圆心重合，，分别是，的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆面积的计算，正方形的性质，勾股定理，正确识别图形是解题的关键． 延长交于，先根据勾股定理算出，根据圆和正方形的面积公式进行列式计算，即可得到结论． 【详解】解：延长交于，连接，过点O作于H． ∵边长为的正方形的中心与半径为的的圆心重合， ∴ 在中， ， ∵， ∴， ∴， 则图中阴影部分的面积 故选：A． 5．（2023八年级·广东深圳·竞赛）已知如图正方形的边长为4，点E为边上一动点，于F，为等腰直角三角形，．当点E从点B运动到点C时，点G的运动路径长为（   ） A．4 B． C．π D． E． 【答案】C 【分析】设、、的中点分别为I、H、J，连接，，，根据， ，点F在以I为圆心，2为半径的圆弧上运动，求出，证明（），得，点G在以H为圆心，2为半径的圆弧上运动，根据G和F对应，得点G的运动路径长与点F的运动路径长相等，即得． 【详解】解：设、、的中点分别为I、H、J，连接，，， 则， ∴， ∵， ∴， ∴点F在以I为圆心，2为半径的圆弧上运动， ∵点E从点B运动到点C， ∴点F从点B运动到点J， ∴， ∵是等腰直角三角形， ，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（）， ∴， ∴点G在以H为圆心，2为半径的圆弧上运动， ∵G和F对应， ∴点G的运动路径长与点F的运动路径长相等， ∴点G的运动路径长为π， 故选：C． 6．（2023九年级上·浙江宁波·竞赛）已知为的直径，为半圆的中点，为上的一动点，延长至点，使，若，当点从点运动到点时，线段扫过的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形的面积的计算，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决央问题，属于中考填空题中的压轴题．如图，连接，延长到G，使得，连接，，由，推出，推出点E的运动轨迹是以G为圆心，为半径的圆上的一部分(即弧，)，当点D从点A运动到点C时，线段扫过的面积，由此计算即可解决问题 【详解】解：依题意，为的直径，为半圆的中点，为上的一动点，延长至点，使，如图： 连接，延长到G，使得，连接，， ∵ ∴ ∵当点从点运动到点时，为的直径，为半圆的中点， ∴， ∵， ∴，都是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴点E的运动轨迹是以G为圆心，为半径的圆上的一部分(即弧，)， ∴当点D从点A运动到点C时，线段扫过的面积 故答案为： 7．（2024八年级下·广西·竞赛）如图，菱形的边长为，，将菱形绕点顺时针旋转，使与重合，则在旋转过程中，点所走的路径的长为 （结果不取近似值） 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、旋转的性质、弧长的计算方法；熟练掌握菱形的性质并能进行推理计算是解决问题的关键．连接，交于，再证明是等边三角形，得出，再求出，根据弧长公式即可得出结果． 【详解】解：连接，交于，如图所示： 菱形的边长为，， ，，， ， 与重合， ， 是等边三角形， ，，， ， 点所走的路径的长为； 故答案为： 8．（2023九年级·广东·竞赛）古希腊数学家希波克拉底曾研究过如图所示的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为的斜边，直角边，．若以，为直径的两个半圆的弧长总长度为，则以斜边为直径的半圆面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】设，，由题意可得．根据勾股定理可得：．以斜边为直径的半圆面积，再利用二次函数的性质即可得出． 【详解】解：设，， 以，为直径的两个半圆的弧长总长度为， 则， 化简为：． ， ∴． ∴以斜边BC为直径的半圆面积 当且仅当a= 2时，以斜边BC为直径的半圆面积的最小值为π． 故答案为：π． 9．（2023九年级下·浙江宁波·竞赛）在直角坐标系xOy中，直线交x轴、y轴于点E，F，点B的坐标是，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足为A，C．点D是线段上的动点，以为对称轴，作与成轴对称的．当直线l经过点A时（如图），求点D由C到O的运动过程中，线段扫过的图形与重叠部分的面积 ． 【答案】 【分析】先求出直线，再确定C点的运动轨迹是以点B为圆心，为半径的圆，可知所求面积为弓形，利用扇形和等边三角形的面积公式即可求解． 【详解】 ∵点B的坐标是， ∴， ∵直线经过点A， ∴， ∴直线， ∵，点D由C到O的运动过程中，线段扫过的图形是扇形， ∴当点D与重合时，点与重合，且线段扫过的图形与重叠部分是弓形， ∴当点在直线上时，， ∴是等边三角形， ∴， ∴重叠部分的面积为， 故答案为：． 10．（2023九年级·江西赣州·竞赛）如图，将半径为1、圆心角为的扇形纸片，在直线上向右作无滑动的滚动至扇形处，则顶点O经过的路线总长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是理解顶点O经过的路线可得，则顶点O经过的路线总长为三个扇形的弧长，难度一般．仔细观察顶点O经过的路线可得，顶点O经过的路线可以分为三段，分别求出三段的长，再求出其和即可． 【详解】解：顶点O经过的路线可以分为三段，当弧切直线l于点B时，有直线l，此时O点绕点B转过了； 第二段：直线l到直线l，O点绕动点转动，而这一过程中弧始终是切于直线l的，所以O与转动点的连线始终垂直直线l，所以O点在水平运动，此时O点经过的路线长为的弧长，即为的弧长； 第三段：直线l到O点落在直线l上，O点绕不动点A转过了； 所以，O点经过的路线总长； 故答案为 11．（2023八年级下·甘肃平凉·竞赛）如图所示，边长为3厘米与5厘米的两个正方形并排放在一起．在大正方形中画一段以它的一个顶点为圆心，边长为半径的圆弧．则阴影部分的面积是多少？（取3）． 【答案】阴影部分面积为 【分析】本题考查了正方形的性质、扇形面积公式，先求出，从而可得，再由扇形面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∴，即， ∴ 阴影部分面积． 12．（2023九年级上·黑龙江哈尔滨·竞赛）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)将平移得到，且的对应点，点的对应点分别是，画出平移后的； (2)画出绕点顺时针旋转后得到； (3)在（2）的条件下，直接写出点旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）． 【答案】(1)图象见解析 (2)图象见解析 (3) 【分析】（1）根据平移变换的性质找出对应点即可得出平移后的三角形； （2）根据旋转变换的性质找出对应点画出图形即可得出结果； （3）点旋转到点的过程中所经过的路径为以为圆心，为半径的圆的，根据圆的周长公式即可计算． 本题是三角形的综合题，考查了作图--平移变换，旋转变换，弧长的计算，熟记平移变换、旋转变换的性质是解题的关键． 【详解】（1）向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到； 按同样的平移方法，得到的点分别为； 如图： （2）找到绕点顺时针旋转后得到点，连接三点即可得到： （3）， 点旋转到点的过程中所经过的路径为以为圆心，为半径的圆的， ∴其长度为． 1．（2024九年级·全国·竞赛）在平面直角坐标系中，已知点，将线段绕原点旋转，则线段所扫过的区域的面积为（    ）． A． B． C． D．11 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、扇形的面积，先根据勾股定理得，，再根据扇形的面积公式即可求解，熟练掌握勾股定理及扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：，根据勾股定理得， ，， 线段所扫过的区域的面积为：， 故选A． 2．（2024九年级·全国·竞赛）过圆心的三条半径将半径为的圆分割成了面积之比为的三个扇形，分别以这三个扇形为侧面展开图的圆锥的底面圆的半径之和为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形的弧长，圆锥的底面圆的半径，由圆的半径求出圆的周长，根据面积比可得三个扇形的弧长，即可求出以这三个扇形为侧面展开图的圆锥的底面圆的半径，进而求解，理解圆锥的底面圆的等于扇形的弧长是解题的关键． 【详解】解：∵圆的半径为， ∴圆的周长为， ∵过圆心的三条半径将圆分割成了面积之比为的三个扇形 ∴三个扇形的弧长为， 即三个圆锥的底面圆的周长分别为， ∴底面圆的半径分别为， ∴以这三个扇形为侧面展开图的圆锥的底面圆的半径之和为， 故选：． 3．（2024七年级·全国·竞赛）如图所示，已知正方形，分别以线段为直径作半圆，则图形中空白部分①与②的面积之差是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了扇形的面积计算公式及不规则图形的面积计算方法．找出正方形内四个图形面积之间的联系是解题的关键．找出空白部分①的面积=正方形的面积（两个半圆的面积空白部分②的面积），根据这个公式变形计算即可． 【详解】解：由题意，知：空白部分①的面积=正方形的面积（两个半圆的面积空白部分②的面积）， 空白部分①的面积=正方形的面积两个半圆的面积空白部分②的面积， 整理得：空白部分①的面积-空白部分②的面积=正方形的面积两个半圆的面积． 空白部分①的面积-空白部分②的面积=． 故选：A． 4．（2024九年级·全国·竞赛）如图，已知在中，现将绕点逆时针旋转后得到，那么在旋转的过程中，点所走过的路径长为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，旋转性质，弧长公式，根据弧长公式计算即可． 【详解】根据题意，得， 故， 又， 故， 故选C． 5．（2024九年级·全国·竞赛）如图所示为一个物体的三视图，根据图示信息可得该物体侧面展开图的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一个物体三视图（主视图，左视图，俯视图）的基本概念，由三视图得到圆锥体的高以及底面圆的半径是解本题的关键．首先由主视图和左视图可以得到该物体为圆锥体且圆锥体的高为，再由俯视图得到圆锥体的底面圆的半径为，由勾股定理求得圆锥的母线长，最后由求解． 【详解】提示：该物体为圆锥，底面周长为， 母线长为， 侧面展开图的面积为． 故选：B 6．（2024九年级·全国·竞赛）如图所示的太极图是一个中心对称图形，整个图形呈圆形，若其直径为，则黑色部分的面积为 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了圆的面积公式，根据求解即可． 【详解】由题意得，黑色部分的面积为， 故答案为：． 7．（2024九年级·全国·竞赛）如图，扇形与扇形的圆心角都是，连接，如果图中阴影部分的面积为，，那么 ． 【答案】5 【分析】本题考查利用扇形面积公式求不规则图形面积，根据圆心角都是直角，则绕O顺时针旋转后与重合，由阴影部分面积等于大扇形面积减去小扇形面积，即可得到答案； 【详解】解：由题意可得，如图所示， ， ∵扇形与扇形的圆心角都是， ∴绕点O顺时针旋转后与重合， ∴， ∴， 解得， 故答案为：5． 8．（2024八年级·全国·竞赛）如图，一个边长为的等边沿着直线翻滚，点依次翻滚到点的位置，当点到达点的位置时，点所经过的路程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质以及弧长公式，是找规律题型，翻转第一次转动 ，它走的路程是圆心角是的圆弧，翻转第二次转动 它走的路程是圆心角是的圆弧，这样反复进行2014次，这一过程中一共行走了2014个半径为，圆心角为 圆弧，根据圆的弧长公式求出点走的路程即可，关键是找出旋转变化前后经过的路程，进而求出总路程. 【详解】解： 故答案为：． 9．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在直角中，两直角边分别为，将绕点按逆时针方向旋转后得到，点的对应点恰在的延长线上，为点旋转到点的轨迹，则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】 【分析】此题考查了旋转的性质、扇形面积公式、解直角三角形等知识，先求出直角三角形的面积和，再求出扇形面积，利用直角三角形面积减去扇形扇形面积即可得到答案． 【详解】在直角中，两直角边分别为， ∴，， ∴， ∵将绕点按逆时针方向旋转后得到， ∴， ∴扇形的面积为 ∴阴影部分的面积为． 故答案为： 10．（2024九年级·全国·竞赛）如图为某种杯子的示意图，其上、下两个面都是圆形，周长分别为，，其中一条母线长，求这种杯子的侧面积．    【答案】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，相似三角形的判定与性质，将圆台的问题转化为圆锥的问题来解是解题的关键．根据圆周长可求出两个圆的半径，将杯子补形成圆锥，利用相似三角形的判定与性质，列出方程，并求解的长，即得两圆锥的母线长，再利用圆锥侧面积的计算公式计算两圆锥的侧面积之差，即得答案． 【详解】如图，沿着杯子轴截面的母线延长，相交于点C，则点C在两圆圆心的连线上，连结，， 这种杯子上、下两个面都是圆形，周长分别为，， ，， 解得，， ， ， ， 即， 解得， ， 杯子的侧面积为． 答：这种杯子的侧面积为．    11．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在中，，延长到点，使得，以点为圆心，以为半径作交的延长线于点，连接．    (1)求证：与相切； (2)若，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，锐角三角函数，切线的判定，等腰三角形的判定等知识．证切线连半径是必作的辅助线． （1）连接，易得是等边三角形，则得，，则得，从而，结论即得证； （2）由题意得，由三角函数可求得，由阴影部分的面积即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵， ∴； ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴与相切；    （2）解：∵， ∴； 在中，， ∴阴影部分的面积 ． 12．（2024九年级·全国·竞赛）如图，点为等腰直角斜边的中点，与分别相切于点，交于点的延长线交的延长线于点，已知． (1)求的长； (2)求证：； (3)求由、和所围成的图形（阴影部分）的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了切线的性质、正方形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、求弧长、扇形面积公式、圆周角定理、三角形外角的定义及性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，由题意得出，且半径，证明四边形为正方形，得出，，再由弧长公式计算即可得出答案； （2）证明得出，由圆周角定理结合对顶角相等得出，由三角形外角的定义及性质得出，即可得证； （3）由（1）（2）可得，求出，，，连接，再由阴影部分的面积为计算即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，连接， 点分别为与的切点， ，且半径， 为等腰直角的斜边， ，， 四边形为正方形， ，， ； （2）解：， ， ， 而， ， ， ， 又， ； （3）解：由上述结论可知，， ， ， ， 连接， 则， 阴影部分的面积为． 13．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在中，为直径，弦，垂足为点，以为直径的圆交于点，连接的延长线交于点，连接，若，求图中阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】阴影部分的面积为 【分析】本题考查不规则图形面积的计算，圆周角定理以及勾股定理，掌握扇形面积的计算，直径所对的圆周角是直角以及勾股定理是正确解答的关键．根据直径所对的圆周角是直角，勾股定理以及扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：， ， 为小圆的直径， ， ， ， ， 解得， 即的半径为． ， ∵点是中点，，即， ∴是的中位线， ∴，则， 为的直径， ， ， 阴影部分的面积为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $