专题02 二次函数图象和性质与系数的问题（3大题型）（专项训练）数学北师大版九年级下册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题02二次函数图象和性质与系数的问题 月录 A题型建模·专项突破 题型一、一次函数、反比例函数、二次函数图像综合判断问题 题型二、二次函数中含参数的图像和性质… 题型三、二次函数图像与各项系数符号问题 8 B综合攻坚·能力跃升 题型建模·专项突破 题型一、一次函数、反比例函数、二次函数图像综合判断问题 1.(24-25九年级上湖南岳阳阶段练习)一次函数y=ax+b与反比例函数y=C在同平面直角坐标系中的 图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象在平面直角坐标系中的位置可能是() 外 2.(24-25九年级下·山东潍坊·期末)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则反比例函数 y=“与一次函数y=cx-b在同一平面直角坐标系内的图象可能是() 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.(24-25九年级下.安徽安庆阶段练习)在平面直角坐标系中，直线y=abx+c(a,b,c是常数且a≠0 ，:0,c学0)的位置如图，则揽物线y=r+c+e和双曲线y=空在同一坐标系中的图象可能为(> VA 义 4.(24-25九年级下广东梅州开学考试)在同一平面直角坐标系中，函数y=ar-b(a≠0)和y=C(c≠0)的 大致图象如图所示，则函数y=ax2+br+c(a≠0)的图象大致为() 题型二、二次函数中含参数的图像和性质 5.(2025·四川成都模拟预测)关于x的二次函数y=ax2-2ax+c,下列说法错误的是() A.函数图象的对称轴是直线x=1 B.当x>1时，y的值随x值的增大而增大 C.函数图象一定经过点(0，C D.当c=0时，函数图象与x轴一定有两个交点 6.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-(a+2)x+2经过点A(-2,),B(m,p).则下列说法错误的是() A.若1=0，抛物线的对称轴为直线x=- 2/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B.若t=0且p<0,则m的取值范围为m<-2或m>1 C.若t<0,则抛物线的开口向下 D.若t<0,点C(n,q)在该拋物线上，m<n且5m+5n<-13,则有p>9 7.已知二次函数y=mx2-4mx+2+m(m≠0)，下列结论正确的是() A.当m=-1时，函数图象的顶点坐标为(2，-3) B.当x>2时，y的值随x的增大而增大 C.当m=1,y≤3时，x的取值范围是0<x<4 D.当-1≤x≤4时，y的最大值为8，则m=1或m=-2 8.(24-25九年级上·天津河北期末)已知二次函数y=a(x+1川x-m(a为非零常数，1<m<2),当 x<-1时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是() ①当x>2时，y随x的增大而减小； ②若图象经过点(0,1，则-1<a<0; ③若(-2025，y),(2025,y2)是函数图象上的两点，则y<2; ④老图象上两点[小（a对 切正数，总有八>片，则1<m≤ A.①② B.①③ C.①②③ D.①③④ 题型三、二次函数图像与各项系数符号问题 9.(24-25九年级下·广东汕头阶段练习)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图象如图所示，顶点坐标为 （-2,-9a),下列结论：①abc>0;②4a+2b+c<0;③9a-b+c=0;④若函数y=-1,可整理为方程 a(x+5)x-1)=-1,且有两个根x,和x2,x<x2,则-5<x<x<1;⑤若方程ax2+bx+c=1有四个根，则 这四个根的和为-8，其中正确的结论有()个. A.2 B.3 C.4 D.5 10.(24-25九年级下·安微合肥期中)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的图象如图所示， 对称轴为直线x=-1,则下列判断中，错误的是（) 3/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 V A.c<-3a B.若点A(b-3,y),B(b-1,y2在该抛物线上，且在x轴的下方，则y<2 C.ax2+bx+c+k=0(k>0)一定有两个不相等的实数根 D.m(am+b)≥-a(m为实数) 11.(2025·宁夏银川模拟预测)如图所示，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴是直线x=1,且 经过点(0,2).有下列结论：①abc>0;②a+b≥m(am+b)(m为常数)；③若点(2，y), (-2在该数图象上，则%<<：国-号a<子其中正嘴的是 (填序号) 12.(2024九年级下·湖南长沙.竞赛)如图，已知二次函数y=x2+bx+c与x轴交于A、B,点A在x轴的 -1与0之间，且A、B位于原点两侧，与y轴的负半轴交于C,且点C在y轴的-2与-3之间，顶点D在直 线1：y=-9上，则下列说法：①bc>0;②5<b<6;③AB=6;④S。4D=27,其中正确的结论有 (填写序号). VA -2-1 2345767 5 6 4/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(2025九年级·全国专题练习)已知二次函数y=ax2+c,且ac>0,则该函数的图象可能是() B D 2.(25-26九年级上·吉林·期中)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论错误的是（) 3 A.abc<0 B.2a+b=0 C.b2-4ac<0 D.9a+3b+c<0 3.(25-26九年级上四川眉山期中)一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中 大致的图象可能是() ·水 D 4.（25-26九年级上浙江杭州阶段练习)点Ax,y),B(x2,y2),是抛物线y=ax2-4ax+1(a是常数，且 a>0)上的两个点.下列结论：①抛物线与y轴的交点是(0,1)；②抛物线的对称轴是直线x=-2;③当 y=y2=1时，AB=4;④当x>x2>2时，月<y2;⑤当0≤x≤2时，y有最大值是1.其中正确结论的个 数是() A.①③⑤ B.①③ C.①②⑤ D.③⑤ 5.(25-26九年级上辽宁抚顺阶段练习)已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表： 5/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3 y 5 0 -4 -3 0 下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x=2;③当0<x<4时，y>0;④抛物线与x轴 的两个交点间的距离是4；⑤若A-3,y),B(-4,y,)是抛物线上两点，则y<y2.其中正确的个数是() A.2 B.3 C.4 D.5 6.(2025山东青岛模拟预测)已知一次函数y=-bx+a的图象如图所示，则反比例函数y=C和二次函数 y=ax2+bx-c在同一坐标系中的图象可能是() D 7.(24-25九年级上浙江宁波期中)如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(-1,0)，与y轴 的交点B在(0,2)与(0,3)之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2.下列结论，正确的是() ①abc<0; ②9a+3b+c>0; 若点如小点 是函数图象上的两点，则y>y2; 3<a< ④ 2 5 5 6/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 VA B A X=2 A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 二、填空题 8.(25-26九年级上四川南充阶段练习)己知抛物线y=-2x2-4x+m,若其顶点在x轴上，则 m= 9.(25-26九年级上重庆阶段练习)己知抛物线y=x2+2x+c经过三点A(-3,y)、B(-1,y2)、C(3,y),则 片、、的大小关系是·（用“<”符号连接） 10.(25-26九年级上安微六安阶段练习)抛物线y=x2-(b-1)x+2b的顶点在y轴上，则该抛物线的顶点 坐标为」 11.(25-26九年级上·吉林松原阶段练习)己知二次函数y=ax2+bx+ca≠0)的图象如图所示，对称轴为 直线x=1.有下列5个结论：①abc>0;②a-b+c<0;③4a+2b+c>0;④3a+c>0;⑤ nan+b)>a+b,（n为实数且n≠1)其中正确的结论有一· y◆= 12.(2025甘肃酒泉一模)抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如表： X -2 -1 0 2 … 4 6 6 从表可知，下列说法中正确的是」 (填写序号) ①抛物线与x轴的一个交点为(3,0)； ②函数y=ax2+bx+c的最大值为6； ③抛物线的对称轴是直线x一2 ④在对称轴左侧，y随x增大而增大。 13.(25-26九年级上·安徽合肥阶段练习)已知二次函数y=ax2-6ax+9a>0): 7/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)该二次函数的图象的对称轴为直线； (2)若ABC的顶点坐标分别为A(2,3),B(3,6),C(4,3),且此函数的图象与ABC只有两个交点，则a 的取值范围是」 14.（2023安微宣城二模)已知二次函数y=-x2+mx+3-2m. (1)若二次函数的图象经过点(1，m),则n= (2)将二次函数y=-x2+mx+3-2m的图象向下平移2个单位长度，所得到的二次函数顶点纵坐标的最小 值为 三、解答题 15.(25-26九年级上·云南玉溪阶段练习)已知函数y=(m-3xm-1+12x-1是关于x的二次函数. (I)求满足条件的m的值： (2)当-2≤x≤2，求y的取值范围， 16.(25-26九年级上·北京·阶段练习)已知二次函数y=x2+bx+1. (1)若b=-1,求该二次函数图象的对称轴及最小值： (2)若对于任意的0≤x≤2，都有y≥-1，求b的取值范围. 17.(25-26九年级上江苏准安阶段练习)己知二次函数y=x2+m+1(m是常数)的图象抛物线记为图象 C.图象C经过点Am,y)和点B(2m+1,2). (1)用m表示图象C的顶点坐标 (2)若m=0,则y= ，y2= ,由此尝试比较大小：片； (3)若将第(2)问中条件“m=0”改成“m≥0”，那么结论乃与的大小关系还成立吗？请说明理由. 18.(25-26九年级上·安徽·阶段练习)已知抛物线y=x2-4bx+c. (1)若点(3，c在抛物线上. ①求抛物线的对称轴； ②当1≤x≤4时，y的最大值为6，求抛物线的函数表达式： ②当0≤x≤1时，y=-4hx+c0<力<最大值与最小值的差为，求b的值 19.(25-26九年级上江苏南通·阶段练习)在二次函数y=x2-2x+3(t>0)中. (1)若它的图象过点(2,1)，则t的值为多少？ (2)当0≤x≤3，y的最小值为-4，求出t的值； (3)如果Am-2,a),B(4,b),C(m,a都在这个二次函数的图象上，且a<b≤3.求m的取值范围. 20.(25-26九年级上河北那台阶段练习)如图，已知抛物线C:y=2+br-3经过点4-10，B5,6), 2 M是C的顶点 8/9 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B A O1 M (1)求a,b的值及点M的坐标； (2)将抛物线C平移，使其顶点落在x轴上，得到抛物线C2,C,的对称轴为直线x=h. ①当G平移路程最短时，直接写出C,的解析式； ②动点Q(x,y)在抛物线C2上，当-1≤x≤4时，%的最小值为2，求h的值： ③我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点.连接AB,C,与线段AB只有一个交点F,且AF与BF上的整 点个数比为5：2，直接写出h的取值范围. 9/9 专题02 二次函数图象和性质与系数的问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、一次函数、反比例函数、二次函数图像综合判断问题 1 题型二、二次函数中含参数的图像和性质 4 题型三、二次函数图像与各项系数符号问题 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、一次函数、反比例函数、二次函数图像综合判断问题 1．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）一次函数与反比例函数在同平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据一次函数和反比例函数图象经过的象限求参数，二次函数图象与其系数的关系，根据一次函数与反比例函数图象经过的象限可得，，则可得到二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴，且对称轴在y轴右侧，据此结合函数图象可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∵反比例函数的图象分布在第一、三象限， ∴， ∴二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴， ∵对称轴为直线， ∴二次函数的对称轴在y轴右侧， ∴四个选项中，只有C选项中的函数图象符合题意， 故选：C． 2．（24-25九年级下·山东潍坊·期末）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，首先根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案． 【详解】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故， 则反比例函数的图象在第二、四象限， 一次函数经过第一、三、四象限， 故选：A． 3．（24-25九年级下·安徽安庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线（，，是常数且，，）的位置如图，则抛物线和双曲线在同一坐标系中的图象可能为（     ）． A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数、二次函数和反比例函数的图象与系数的关系.先根据一次函数的图象判断a，b，c的范围，再判断反比例函数的图象，最后再利用抛物线的图象即可得到答案. 【详解】直线的函数图象经过二、三、四象限， ， ， ∴双曲线的图象经过第一、三象限，故A和C错误. ∵，所以抛物线的图象与y轴相交于其负半轴，B选项错误. 故选：D. 4．（24-25九年级下·广东梅州·开学考试）在同一平面直角坐标系中，函数和的大致图象如图所示，则函数的图象大致为（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象、二次函数的图象，根据反比例函数图象与系数的关系、一次函数图象与系数的关系、二次函数图象与系数的关系进行解答即可，熟练掌握相关函数图象与其系数的关系是关键． 【详解】解：一次函数图象经过第一、二、四象限， ，即， 反比例函数的图象在第二四象限， ， ，，， 函数图象开口向下，对称轴为直线，在轴左侧，与轴交点在负半轴，选项A符合． 故选：A． 题型二、二次函数中含参数的图像和性质 5．（2025·四川成都·模拟预测）关于x的二次函数，下列说法错误的是（   ） A．函数图象的对称轴是直线 B．当时，y的值随x值的增大而增大 C．函数图象一定经过点 D．当时，函数图象与x轴一定有两个交点 【答案】B 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，由题意得，函数图象的对称轴是直线；若，则当时，y的值随x值的增大而增大，若，则当时，y的值随x值的增大而减小；由题意可知函数图象一定经过点，当时，根据，可知函数图象与x轴一定有两个交点，即可得出答案． 【详解】解：函数图象的对称轴是直线， 故A选项正确，不符合题意； 若，则当时，y的值随x值的增大而增大，若，则当时，y的值随x值的增大而减小， 故B选项不正确，符合题意； 将代入，得， ∴函数图象一定经过点， 故C选项正确，不符合题意； ∵， ∴当时，， ∴此时函数图象与x轴一定有两个交点， 故D选项正确，不符合题意． 故选：B． 6.在平面直角坐标系中，拋物线经过点，．则下列说法错误的是（    ） A．若，抛物线的对称轴为直线 B．若且，则的取值范围为或 C．若，则抛物线的开口向下 D．若，点在该拋物线上，且，则有 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质： 若，把点代入，求出a的值，可求出抛物线解析式，再把解析式化为顶点式，即可求解；求出抛物线与x轴的另一个交点为，再根据二次函数的图象，即可求解； 若，把点代入可得，再由，可得，，从而得到抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，然后根据，可得，再根据，可得到对称轴的距离大于对称轴的距离，即可求解． 【详解】解：当时，点， 把点代入得：， 解得：， ∴该函数解析式为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线；选项A说法正确，不符合题意； 令，则， 解得：， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，m的取值范围为或；选项B说法正确，不符合题意； 若， 把点代入得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线开口向下，选项C说法正确，不符合题意； 抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴到对称轴的距离大于对称轴的距离， ∴．选项D说法错误，符合题意； 故选：D． 7.已知二次函数，下列结论正确的是（    ） A．当时，函数图象的顶点坐标为 B．当时，的值随的增大而增大 C．当，时，的取值范围是 D．当时，的最大值为8，则或 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．根据条件和二次函数的性质，逐项分析判断原说法的正误即可． 【详解】解：A、当时，，顶点坐标是，故原说法错误，不符合题意； B、当时，，当时，的值随的增大而增大，但前提条件没有说，故原说法错误，不符合题意； C、当时，，当时，，解得，故原说法错误，不符合题意； D、抛物线对称轴是直线． 若，则时，的最大值为8， ∴， ∴； 若，则时，的最大值为8， ∴， ∴． ∴当时，的最大值为8，则或，正确，符合题意； 故选：D． 8．（24-25九年级上·天津河北·期末）已知二次函数（a为非零常数，），当时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（   ） ①当时，y随x的增大而减小； ②若图象经过点，则； ③若，是函数图象上的两点，则； ④若图象上两点，对一切正数n，总有，则. A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：①：∵二次函数（a为非零常数，）， ∴，，， 又∵当时，y随x的增大而增大， ∴，开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小， 故①正确； ②：∵二次函数（a为非零常数，），当时，y随x的增大而增大， ∴， 若图象经过点，则，得， ∵，， ∴ ， 故②错误； ③：又∵对称轴为直线，， ∴ ， ∴若，是函数图象上的两点，2025离对称轴近些，则， 故③正确； ④若图象上两点，对一切正数n，总有，， 则满足 ， 解得 ， 故④正确； ∴①③④正确；②错误． 故选：D． 题型三、二次函数图像与各项系数符号问题 9．（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论：①；②；③；④若函数，可整理为方程，且有两个根和，，则；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为，其中正确的结论有(   )个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图像性质，准确分析判断是解题的关键．利用顶点式得到，根据抛物线的开口向上得到，则，，于是可对①进行判断；解方程得抛物线与轴的交点坐标为，，利用时，可对②进行判断；把，代入中可对③进行判断；根据抛物线与直线有两个交点，交点的横坐标分别为和，则可对④进行判断；由于方程有个根，方程有个根，则利用根与系数的关系可对⑤进行判断． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， ， 抛物线的开口向上， ， ，， ，所以①错误； 当时，， 解得，， 抛物线与轴的交点坐标为，， 时，， ，所以②错误； ， ，所以③正确； 方程有两个根和， 抛物线与直线有两个交点，交点的横坐标分别为和， ，所以④正确； 方程有四个根， 方程有个根，方程有个根， 所有根之和为，所以⑤正确． 综上所述，正确的有：③④⑤． 故选：B． 10．（24-25九年级下·安徽合肥·期中）二次函数（，，是常数，）的图象如图所示，对称轴为直线，则下列判断中，错误的是（   ） A． B．若点，在该抛物线上，且在轴的下方，则 C．一定有两个不相等的实数根 D．（为实数） 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键；根据二次函数图象来判断各项系数的正负，可判断选项A；根据可知点和都在对称轴左侧，且点A离对称轴距离远，即，故B正确；将一元二次方程的解转为二次函数与直线的交点问题，即可判断Ｃ；由抛物线开口向下，顶点坐标为，即得出，即有，即，故D错误． 【详解】解：由图象知，时，， ． 对称轴为直线， ∴， ∴， ，即，故A正确； ∵图象开口向下，与y轴交点位于x轴上方， ∴，， ∴， ∴点和都在对称轴左侧，且点A离对称轴距离远． 该抛物线上的点在对称轴的左边离对称轴距离越远，点的纵坐标越小， ，故B正确； 根据图象可知，当时，抛物线与的图象有两个交点， 有两个不相等的实数根，故C正确； 抛物线开口向下，顶点坐标为， ， ，即，故D错误． 故选：D． 11．（2025·宁夏银川·模拟预测）如图所示，二次函数的图象的对称轴是直线，且经过点．有下列结论：①；②（m为常数）；③若点，，在该函数图象上，则；④．其中正确的是 （填序号）． 【答案】②③④ 【分析】本题考查根据二次函数的图象判断二次函数系数的符号，以及式子的符号．①根据开口方向，对称轴，以及与轴的交点位置，判断出，，的符号，即可得到的符号；②求出二次函数的最值，进行判断即可；③根据抛物线的对称性，进行判断即可；④综合对称轴和c的值，以及当时，，结合，，进行判断即可．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 【详解】解：①抛物线的开口向下，，对称轴为直线：，，图象过，，所以；故①错误； ②由图象可知，当时，函数取得最大值为， ， 为常数），故②正确； ③抛物线开口向下， 抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ， ，故③正确； ④由图可知：当时，， ，， ， ； ，， ， ， ，故④正确． 综上，正确的是②③④． 故答案为②③④． 12．（2024九年级下·湖南长沙·竞赛）如图，已知二次函数与轴交于、，点在轴的与0之间，且、位于原点两侧，与轴的负半轴交于，且点在轴的与之间，顶点在直线上，则下列说法：①；②；③；④，其中正确的结论有 （填写序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生对函数基本性质、函数与坐标轴的交点、顶点等的求解熟悉，这是一个综合性很好的题目． ①，则，，故，即可求解；②由顶点可得，而，故，即可求解；③由顶点可得函数的表达式为：，故，故，即可求解；④根据，即可求解． 【详解】解：①由图象可知，，， ， ，故①正确，符合题意； ②抛物线的顶点在直线上， ， ， ， ， ， ，故错误，不符合题意； ③抛物线的顶点在直线上， 函数的表达式为：， 令，则 解得， 故，正确，符合题意； ④，正确，符合题意； 故答案为：①③④． 一、单选题 1．（2025九年级·全国·专题练习）已知二次函数，且，则该函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系是解题的关键．依次判断图象是否符合函数特征即可． 【详解】解：A、图象过，而，所以顶点为，不符合题意； B、，所以同号，当开口向上时即此时，则顶点为，符合题意； C、图象过，而，所以顶点为，不符合题意； D、，所以同号，当开口向下时即此时，则顶点为，不符合题意； 故选：B ． 2．（25-26九年级上·吉林·期中）二次函数的图象如图所示，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点、判别式等性质是解题的关键． 分别根据二次函数的图象性质，如开口方向、对称轴、与坐标轴的交点、判别式等，对每个选项进行分析判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴， ∴， ∵抛物线与轴交点在正半轴， ∴ ∴，故A项正确，不符合题意． ∵对称轴， ∴，故B项正确，不符合题意． ∵抛物线与轴有两个交点， ∴，故C项错误，符合题意． ∵当时，函数图象在轴下方， ∴，故D项正确，不符合题意． 故选：C． 3．（25-26九年级上·四川眉山·期中）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中大致的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查二次函数及一次函数的图像的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数、一次函数图像与系数的关系逐项判断即可． 【详解】解：一次函数和二次函数都经过轴上的， 两个函数图象交于轴上的同一点，排除D； 当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除A； 当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，排除B； 故选：C． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）点，，是抛物线（是常数，且）上的两个点．下列结论：①抛物线与轴的交点是；②抛物线的对称轴是直线；③当时，；④当时，；⑤当时，有最大值是1．其中正确结论的个数是（    ） A．①③⑤ B．①③ C．①②⑤ D．③⑤ 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数开口方向，与轴的交点，与轴的交点，对称轴，以及函数图像逐一判断各选项，即可得到结果． 【详解】解：抛物线是常数，且， 当时，， 抛物线与轴的交点是， 故结论①正确，此结论符合题意； 抛物线的对称轴为， 故结论②错误，此结论不符合题意； ，是抛物线上的两个点，， 、两点关于对称轴对称， ， ， 而抛物线与轴的交点是，即当时的一个根为，则另一个根为， ， 故结论③正确，此结论符合题意； 抛物线是常数，且， 抛物线的开口向上， 在对称轴的右侧的函数图像，随的增大而增大， ， ，两点位于对称轴的右侧， ， 故结论④错误，此结论不符合题意； 当时，随的增大而减小， 当时，有最大值，最大值为1， 故结论⑤正确，此结论符合题意； 综上所述，正确的结论为①③⑤， 故选：A． 5．（25-26九年级上·辽宁抚顺·阶段练习）已知二次函数的与的部分对应值如表： 0 2 3 4 5 0 0 下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④抛物线与轴的两个交点间的距离是4；⑤若，是抛物线上两点，则．其中正确的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的对称性，根据当时和当时的函数值相同，可得对称轴为直线，再由顶点的纵坐标小于时的函数值可得函数开口向上，据此可判断①②；根据函数与x轴交于和可判断③④；函数开口向上，则离对称轴越远函数值越大，据此求出两点到对称轴的距离即可判断⑤． 【详解】解：∵当时和当时的函数值相同， ∴对称轴为直线，故②正确； ∵， ∴顶点的纵坐标小于时的函数值， ∴函数开口向上，故①正确； ∵函数开口向上，且与x轴交于和， ∴当时，，故③错误； ∵函数与x轴交于和， ∴抛物线与轴的两个交点间的距离是4，故④正确； ∵函数开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵，是抛物线上两点，且， ∴，故⑤正确； 故选：C． 6．（2025·山东青岛·模拟预测）已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数和二次函数在同一坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质，一次函数的图象性质，二次函数的图象性质．根据一次函数的性质得到，，得到抛物线开口向上，对称轴在轴右边，则排除选项B和C，再根据反比例函数与二次函数的图象性质判断即可； 【详解】解：对于一次函数，由图象知，， ∴，，对于二次函数， ∵，， ∴开口向上，对称轴在轴右边，则排除选项B和C； ∵选项A和D中，二次函数的图象与轴的交点都在原点下方， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象经过一、三象限， ∴选项A符合题意， 故选：A． 7．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论，正确的是（　　） ①； ②； ③若点，点是函数图象上的两点，则； ④． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．观察图象可知，抛物线开口向下，故，对称轴在y轴右侧，故，交点在y轴正半轴，故，从而可判断①；根据对称轴和A点坐标为，可得出抛物线与x轴的另一交点坐标为，则当时，，从而可判断②；找到点的对称点为，利用增减性可判断③；对称轴为直线，从而，当时，，即，即，又由，可得，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴2，即， ∵二次函数与y轴的交点与之间（不包括这两点）， ∴， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与x轴相交于点，对称轴为直线， ∴二次函数的图象与x轴相交于点，， ∴时，，故②正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴，故③不正确； ∵二次函数的图象与x轴交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 故选：B． 二、填空题 8．（25-26九年级上·四川南充·阶段练习）已知抛物线，若其顶点在x轴上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解当顶点在轴上时，抛物线与轴有唯一的公共点．根据抛物线的顶点在轴上时，抛物线与轴的交点只有一个，因此根的判别式，可据此求出的值． 【详解】解：抛物线的顶点在轴上， ，即， 解得． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）已知抛物线经过三点A、B、C，则、、的大小关系是 ．（用“”符号连接） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质． 根据抛物线的开口方向以及对称轴的位置即可判断． 【详解】解：抛物线的开口向上，且对称轴为直线， 离对称轴直线最近，值最小，离对称轴直线最远，值最大， ，， ， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·安徽六安·阶段练习）抛物线的顶点在轴上，则该抛物线的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得，然后得出b的值，进而问题可求解． 【详解】解：由函数可知对称轴为直线， ∵抛物线的顶点在轴上， ∴， 解得：， ∴原函数的解析式为， ∴该抛物线的顶点坐标为； 故答案为． 11．（25-26九年级上·吉林松原·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线．有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（为实数且）其中正确的结论有 ． 【答案】①④⑤ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象和性质的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．根据抛物线开口方向和对称以及与轴的交点情况可以对①进行判断；根据时，，可对②进行判断；利用抛物线的对称轴可得时，，可对③进行判断；由对称轴为直线可得与的关系，将代入可判断④；利用二次函数的最值则可对⑤进行判断． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ， ∵抛物线的对称轴在轴右侧， ∵抛物线与轴交于负半轴， 故①正确； ②当时，， 故②错误； ③∵抛物线的对称轴为直线， ∴与时的函数值相同， ∴时，，即， 故③错误； ④∵， 将代入，得， 故④正确； ⑤∵抛物线的对称轴为直线， ∴时，函数的最小值为， 当时，， ∴（为实数且）， 故⑤正确； 故答案为：①④⑤． 12．（2025·甘肃酒泉·一模）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如表： 从表可知，下列说法中正确的是 填写序号 ①抛物线与轴的一个交点为； ②函数的最大值为； ③抛物线的对称轴是直线； ④在对称轴左侧，随增大而增大． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了抛物线的性质：抛物线是轴对称图形，它与轴的两个交点是对称点，对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点；时，函数有最大值，在对称轴左侧，随增大而增大． 根据表中数据和抛物线的对称性，可得到抛物线的开口向下，对称轴为，当时，，再根据抛物线的性质即可进行判断． 【详解】解：根据图表，和时，，则抛物线对称轴为直线， 当，，根据抛物线的对称性，当时，， 即抛物线与轴的交点为和； 根据表中数据得到抛物线的开口向下， 当时，函数有最大值，即最大值大于6， 并且在直线的左侧，随增大而增大． 所以①③④正确，②错． 故答案为：①③④． 13．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数． （1）该二次函数的图象的对称轴为直线 ； （2）若的顶点坐标分别为，，，且此函数的图象与只有两个交点，则的取值范围是 ． 【答案】 ； 或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （）直接利用抛物线的对称轴公式可得答案； （）先根据抛物线的图象判断抛物线的顶点在三角形的内部或抛物线刚刚过和，两种情况进行解答即可． 【详解】解：（）该二次函数的图象的对称轴为直线， 故答案为：； （）∵二次函数的图象的对称轴为直线， ∴点在抛物线对称轴上， ∵，， ∴点，关于对称轴对称， ∴是等腰三角形， 由二次函数，， ∴抛物线的开口向上，顶点坐标为， ∵此函数的图象与只有两个交点， 抛物线的顶点在三角形的内部时， ∴，解得：， 抛物线顶点在线段下方且恰好经过和， ∴当时，此函数的图象与只有两个交点， ∴，解得：，满足， ∴的取值范围是或， 故答案为：或． 14．（2023·安徽宣城·二模）已知二次函数． （1）若二次函数的图象经过点，则 ． （2）将二次函数的图象向下平移2个单位长度，所得到的二次函数顶点纵坐标的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换以及二次函数的最值，关键是掌握平移的性质． （1）把代入二次函数解析式，解方程即可． （2）把二次函数解析式化为顶点式，根据平移的性质得出平移后的二次函数解析式，从而得到新函数的顶点坐标，最后根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】解：（1）二次函数的图象经过点， ，解得， 故答案为：． （2）， 将该二次函数的图象向下平移个单位长度， ， 所得到的二次函数顶点纵坐标为， ， ， 所得到的二次函数顶点纵坐标的最小值为． 故答案为：． 三、解答题 15．（25-26九年级上·云南玉溪·阶段练习）已知函数是关于x的二次函数． (1)求满足条件的m的值； (2)当，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）根据二次函数的定义，进行求解即可； （2）根据二次函数的增减性，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数， ∴且， ∴； （2）由（1）可知，二次函数的解析式为， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，函数值最小为； 当时，函数值最大为5， ∴． 16．（25-26九年级上·北京·阶段练习）已知二次函数． (1)若，求该二次函数图象的对称轴及最小值； (2)若对于任意的，都有，求的取值范围． 【答案】(1)对称轴为，最小值为； (2)b的取值范围为． 【分析】本题考查二次函数图象与性质及二次函数的顶点式， （1）把二次函数解析式转化为顶点式即可求解； （2）先求得抛物线的对称轴，再根据抛物线的位置分类讨论：①对称轴在轴及其左侧时，②对称轴在段内，③对称轴在直线及其右侧时，由二次函数的性质求解即可． 熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， 对称轴为直线， 当时，函数值最小，最小值为； （2）解：， 对称轴为直线， ①当即，即对称轴在轴及其左侧时， 当时，随的增大而增大， 当时，最小，最小值为， ； ②当即时，即对称轴在段内时， 当时，最小，最小值为， 令，则， 解得：， ； ③当即，即对称轴在直线及其右侧时， 当时，随的增大而减小， 当时，最小，最小值为， 令，则， 解得：， 此情况不存在； 综上所述，b的取值范围为． 17．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）已知二次函数（m是常数）的图象抛物线记为图象C．图象C经过点和点． (1)用m表示图象C的顶点坐标________； (2)若，则________，________，由此尝试比较大小：______； (3)若将第（2）问中条件“”改成“”，那么结论与的大小关系还成立吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)1，2， (3)还成立，理由见解析 【分析】本题考查了的图象与性质； （1）根据的性质求解即可； （2）当时，可求出、，然后把点A、B的横坐标分别代入函数解析式，求出、，即可求解； （3）根据的增减性求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标为， 故答案为：； （2）解：当时，， ∴； 当时，， ∴， ∴， 故答案为：1，2，； （3）解：还成立； 理由：在中，， ∴抛物线开口向上，在对称轴y轴的右侧，y随x的增大而增大， ∵， ∴， ∴． 18．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）已知抛物线． (1)若点在抛物线上． ①求抛物线的对称轴； ②当时，y的最大值为6，求抛物线的函数表达式； (2)当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 【答案】(1)①直线；② (2) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）①将点代入函数表达式求得b的值，再把原式化为顶点式求解即可；②根据二次函数的开口方向和对称轴方程可得函数在时的最大值为，结合题意求得c的值，即可得到函数表达式； （2）先得到抛物线的开口向上，对称轴为直线，然后根据题意分当时、当时和三种情况，分别利用二次函数的性质得到最大值和最小值，再根据最大值与最小值的差列方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵点在抛物线上， ∴， 解得， ∴， ∴该抛物线的对称轴为直线； ②由①可知，该抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，当，y有最大值，最大值为， ∵当时，y的最大值为6， ∴， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：∵， ∴该抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴， ∵ ∴①当时，即， 当时，函数取得最小值为，当时，函数取得最大值为， ∵最大值与最小值的差为， ∴，即， 解得， ∵， ∴舍去； ②当时，即， 当时，函数取得最小值为，当时，函数取得最大值为， ∵最大值与最小值的差为， ∴，即， 解得， ∵， ∴舍去； ③当时，即， 当时，函数取得最大值为，当时，函数取得最小值为， ∵最大值与最小值的差为， ∴， 解得， 综上所述，当，最大值与最小值的差为时，b的值为． 19．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）在二次函数中． (1)若它的图象过点，则的值为多少？ (2)当，的最小值为，求出的值； (3)如果，，都在这个二次函数的图象上，且．求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识，注意分类讨论． （1）把点代入二次函数式中，即可求解； （2）根据抛物线的对称轴的位置分与两种情况考虑，结合二次函数的图象与性质即可求解； （3）根据A、C两点的坐标知，A、C关于抛物线的对称轴对称，可求得，且点A在抛物线对称轴的左边，点C在抛物线对称轴的右边，分与两种情况即可求解． 【详解】（1）解：把点代入二次函数式中，得：， 解得：； （2）解：，则抛物线的对称轴为直线， 当时，当，则函数值随自变量的增大而减小，函数在取得最小值， ∴， 解得：， 但， 故不符合题意； 当时，当，函数在顶点处取得最小值， ∴， 解得：， ∵， ∴； 综上所述，； （3）解：根据A、C两点的坐标知，A、C关于抛物线的对称轴对称， 则，且点A在抛物线对称轴的左侧，点C在抛物线对称轴的右侧， ∵当时，， ∴抛物线与y轴的交点为，此点关于抛物线对称轴的对称点为， 当时，A、B两点在抛物线对称轴的左侧， ∴， 即， 解得：； 当时，C、B两点在抛物线对称轴的右侧， ∴， 即， 解得：； 综上，或． 20．（25-26九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，已知抛物线经过点，，M是的顶点． (1)求a，b的值及点 M 的坐标； (2)将抛物线 平移，使其顶点落在x轴上，得到抛物线的对称轴为直线． ①当 平移路程最短时，直接写出的解析式； ②动点在抛物线上，当时，的最小值为2，求 h的值； ③我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点．连接，与线段只有一个交点 F，且与上的整点个数比为，直接写出h的取值范围． 【答案】(1)，点M的坐标为 (2)①；②h的值为6或；③ 【分析】本题考查二次函数的性质，平移以及整点问题，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键， （1）根据题意将点代入求出的值即可得到函数解析式，再将函数解析式化成顶点式即可得到M的坐标； （2）①要使平移路程最短，即顶点到轴的垂直距离最短，根据抛物线顶点坐标求出平移后的顶点坐标，进而得到的解析式；②根据抛物线的对称轴和开口方向，分情况讨论动点在不同区间时的最小值，从而求出的值；③先求出线段的表达式，得到整点个数，再根据与上的整点个数比为，得到点的横坐标，结合图象求出的取值范围． 【详解】（1）解：将，代入中， 解得：，； ∴的解析式为：， ∴点M的坐标为：； （2）解：①当抛物线向上平移1个长度单位时，平移路程最短，此时抛物线的顶点坐标为：， ∴的解析式为：； ②由题意可知的解析式为：， 当，时，随的增大而增大， ∴当时，取最小值2，即， 解得：（舍），； 当，时，当时，的最小值为0，不符合题意； 当，时，随的增大而减小， ∴当时，取最小值2，即， 解得：（舍），； 综上所述，h的值为6或； ③设直线解析式为，将，代入得： ， 解得：， ∴直线解析式为， ∵， ∴线段AB上的整点为：，，，，，，， ∵与上的整点个数比为5 ∶ 2， ∴上有5个整点，上有2个整点， ∴与线段的交点的横坐标在范围内有交点， 将代入中， 解得：，； 将代入中， 解得：， ． 当时，图象如下图所示，符合与线段只有一个交点； 当时，图象如下图所示，不符合与线段只有一个交点，故舍去． ∴h的取值范围是． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $