3.3 二项式定理与杨辉三角（第一课时）教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第二册

该高中数学教学设计聚焦“二项式定理与杨辉三角”核心知识点，以投篮问题（10次投篮投中次数的情况数求和）为情境导入，联系组合知识搭建学习支架，引导学生从具体问题过渡到抽象定理的探究。 本资料亮点突出，情境导入贴近生活让学生用数学眼光观察现实世界数量关系，通过分析(a+b)³展开式自主总结规律的探究式教学培养数学思维与推理能力，结合杨辉三角渗透数学历史文化，例题与分层练习助学生用数学语言表达和应用定理。对学生提升探究与解题能力，对教师提供系统教学流程与反思建议，便于高效开展教学。

课题 3.3 二项式定理与杨辉三角（第一课时） 学科 数学 教材 人教B版（2019）选择性必修第二册 章节 第三章第三节 课程类型 新授 课时安排 2课时 年级 高二 教学目标及教学重点、难点 教学目标及重难点： · 1.能用基本计数原理证明二项式定理。 · 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.【重点】 · 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。【难点】 核心素养 · 培养学生的数学推理和逻辑思维能力。 · 加深学生对数学历史文化的理解和尊重，培养民族自豪感。 教学方法和手段 。 教学方法 · 启发式教学：通过引导学生观察杨辉三角的特点，发现二项式系数的规律。 · 探究式教学：让学生自主探究二项式定理与杨辉三角之间的关系，培养探究能力。 · 合作学习：组织学生进行小组讨论，共同解决问题，培养团队协作精神。 教学手段： · 多媒体辅助教学。 教学过程(表格描述) 教学环节 主要教学活动 设置意图 情境导入 创设问题情境：小张在进行投篮练习，共投了10次，只考虑是否投中，那么不难知道，投篮结果可以分为11类：投中0次，投中1次，投中2次……投中10次。二投中10次只有1（即种情况，投中1次有种情况，投中2次有种情况……投中10次有种情况。因此，小张投篮10次，结果共有 ++++……+ 种情况，那么上式的结果是多少呢? 师生活动：学生自主思考，教师引导学生上式的结果可以用我们本节所学的组合知识来解。 教师通过创设问题情景导入本节课的知识点 新课讲解 知识点：二项式定理 教师讲解：我们知道 (a+b)1=a+b (a+b)2=a2+2ab+b2 而且 (a+b)3 容易看到，上述得到的展开式的过程是繁琐的，如果用这样的方法得到，等的展开式，就更麻烦了。那么我们有没有其他办法得出呢？ 尝试与发现：从 出发，观察中右边各项是如何形成的， 由此总结出一般规律。 师生活动： （1）学生对进行分析，注意到 ① 展开式中的任何一项都是在右边3个括号中各取一个字母相乘得到的（例如第一个括号取，第二个取，第三个取，则得到），因此展开式中每一项都一定是3次项，即展开式中只能含有，； （2）教师引导学生，①式右边展开后有多少个呢？要得到，①式右边的3个括号中，要有1个取（剩下的2个取）因此共有种取法， 所以有个， 同理可知： ①式右边展开后有个 类似地，可以看成式右边的3个括号中取0个得到的结果，而可以看成①式右边的3个括号中，要有3个取； （3）师生共同总结：因此 （4）教师拓展的解法，类似 教师讲解：一般地，当n时正整数时，有 . 上述公式称为二项式定理，等式右边的式子称为的展开式，共有n+1项，其中式子是展开式的第k+1项，通常表示为. 叫做第k+1项的二项式系数，我们将展开式的第k+1项称为二项展开式的通项，记作 例1、写出的展开式. 【师生活动】 学生通过对二项式定理的理解，求出a,b,n的值进行计算，教师给出解题过程。 【解析】 在二项式定理中令， 可得 例2、 求的展开式中含x3的项. 【师生活动】 学生自主思考，完成题目，教师出示正确答案 。 【解析】 解：因为 所以展开式中的第k+1项为 要使此项含x3，必须有9–2k = 3，从而有k = 3， 所以展开式中含x3的项为 例3、 求二项式的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数. 【师生活动】 学生通过二次项的通项公式分析本题，教师给出解题过程。 【解析】 解：由已知得二项展开式的通项为 ∴第6项的二项式系数为 第6项的系数为 【注意】 1.二项式定理 (1)各项的次数和都等于二项式的幂指数n. (2)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零，字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. 2.二项式的通项、二项式系数 (1)通项是的展开式的第k＋1项，这里k＝0，1，…，n，该项的二项式系数是而不是，字母a的次数是组合数下、上标的差，字母b的次数和组合数上标相同，a与b次数之和为n. (2)二项式的通项和的展开式的通项是有区别的，应用二项式定理时，其中的a和b是不能随便交换的． (3)注意二项式系数与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时为负． 杨辉三角的介绍：阐述杨辉三角的构造方法，展示其规律性。 当堂练习 教师出示PPT练习题，学生自主完成，教师点评 安排适量的练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。 课堂总结 总结归纳本节课知识点 回顾本节课的主要内容和知识点，加深学生的记忆和理解。 板书设计 1、 引入 二、杨辉三角 构造方法：逐行生成，数字规律 示例展示：前几行的杨辉三角 三、二项式定理 定义：展开式的一般形式 性质：二项式系数的对称性、增减性、最大值 四、示例 五、应用 举例：用二项式定理解决实际问题 六、课堂小结 总结二项式定理与杨辉三角的关联 强调数学历史文化的重要性 教学设计反思 一、教学内容反思 在讲解杨辉三角和二项式定理时，我注重了它们之间的内在联系，帮助学生建立了清晰的知识体系。 学生在理解二项式定理的性质时表现出较高的兴趣，课堂互动积极。 举例部分能够贴近学生生活，使抽象的理论知识具体化，有助于学生更好地理解和应用。 二、教学方法反思 采用了启发式和探究式教学，引导学生自主发现规律，培养了学生的观察能力和归纳能力。 小组合作学习的形式有助于提高学生的团队协作能力和解决问题的能力。 在讲解过程中，我注重了知识的连贯性和系统性，使学生能够形成完整的知识框架。 三、学生表现反思 大部分学生能够积极参与课堂讨论，主动提出问题和观点。 部分学生在应用二项式定理解决实际问题时表现出一定的困难，需要在后续教学中加强练习和指导。 学生在理解和记忆杨辉三角的规律时表现出一定的差异，需要针对不同层次的学生进行差异化教学。 四、存在问题与改进措施 存在部分学生课堂参与度不高的问题，需要在下一次教学中加强课堂互动和提问环节的设计。 对于二项式定理的应用部分，可以设计更多具有挑战性的练习题，以提高学生的解题能力和思维水平。 针对学生在理解杨辉三角规律时的差异，可以设计分层教学方案，以满足不同学生的需求。 五、总结与展望 本节课通过讲解杨辉三角和二项式定理的关联，使学生深刻理解了它们在数学中的重要地位和应用价值。在今后的教学中，我将继续注重知识的系统性和连贯性，同时加强对学生解题能力和思维水平的培养。 学科网（北京）股份有限公司 $