精品解析：天津市南开中学2025-2026学年高一上学期质量监测（一）数学试卷

南开中学2025-2026学年度第一学期质量监测（一） 高一数学试卷 考试时间：120分钟 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共150分． 第I卷 一、选择题（共60分，每题5分） 1. 下列表述中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由元素与集合间的关系求解． 【详解】对于A项，集合中有一个元素为0，而不是空集，故A项错误； 对于B项，集合里的元素是一个点，是点集， 而集合里的元素是两个数，是数集，它们是不相等的，故B项错误； 对于C项，是有理数，则，故C项错误； 对于D项，0是自然数，则，故D项正确． 故选：D 2. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合的运算，先求，再求即可. 【详解】由题知，， 又，则， 又，则 故选：A 3. 命题““的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定的定义求解即可. 【详解】根据全称量词命题的否定， 命题““的否定为. 故选：A 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充要条件的判断方法即得. 【详解】当时，成立， 当时，不一定成立，例如， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 5. 若为实数，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】代入特殊值，可判断A的正误；利用作差法，可判断B的正误；根据不等式的性质，可判断C、D的正误，即可得答案. 【详解】选项A：当时，满足， 此时，，故A错误； 选项B：， 因为，所以， 所以，即，故B错误； 选项C：若，则，故C错误； 选项D：若，则，， 所以，故D正确. 故选：D 6. 中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代微积拾级》中首次将“function”译做“函数”并沿用至今．为什么这么翻译？书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.19世纪70年代以后，随着集合概念的出现，函数概念又进而用更严谨的集合和对应语言表述，即为我们课本中所学的函数定义．已知集合，，则下列四个图形中能表示从集合到集合的函数关系的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据各项的图象，结合已知及函数的定义分析判断是否存在函数关系即可. 【详解】A：对于自变量时，没有函数值与之对应，不符； B：对于任意自变量，均有唯一确定的函数值与之对应，符合； C：图中显然存在自变量，对应的函数值不在区间内，不符； D：图中显然存在自变量，对应有两个函数值，不符. 故选：B 7. 已知集合，若集合有且仅有2个子集，则的取值是（　　） A. 2 B. -2 C. 0，2 D. -2，0，2 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，集合为单元素集，分和分别求解，再验证即可. 【详解】因为一个集合有个元素，则子集有个， 由题意可得，集合为单元素集， （1）当时，，此时集合的两个子集是； （2）当时，则，解得， 当时，集合的两个子集是； 当时，此时集合的两个子集是． 综上所述，的取值为-2，0，2. 故选：D． 8. 不等式的解集是或，则（ ） A. 7 B. 8 C. 3 D. -8 【答案】B 【解析】 【分析】由题意知：和是方程的两根，由韦达定理可解得系数的值. 【详解】因为不等式的解集是或，所以，且和是方程的两个根，所以，解得，则. 故选：. 9. 已知函数，若，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】由分段函数的解析式，分类讨论求解实数的值即可. 【详解】当时，由可得，解得，不满足题意，故舍去； 当时，由可得，解得（不满足题意，舍去）或； 所以实数的值为. 故选：B 10. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合基本不等式，求得的最小值，进而求得的最小值，得到答案. 【详解】由题意知：实数，且， 又 因为 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以，即的最小值为. 故选：B 11. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意转化为对任意的恒成立，利用二次函数的性质求解即可. 【详解】由于，故， 因此对任意的恒成立， 则， 而函数开口向上， 则，解得， 则实数的取值范围是. 故选：C 12. 南开是中国北方话剧的摇篮，今年是话剧《一元钱》在南开首演的一百一十周年．为纪念这一历史，刚刚从我校毕业并仍心系母校的欧阳南德与上官琐艾同学为学校设计了一座“和静庄舞台”，希望新剧的火焰、进步的思潮仍在今日的南开闪耀．下图为“和静庄舞台”的平面示意图，它的设计灵感来自南开中学的校徽，四边形与EFGH为两个共中心但不一定等大的正方形，位于中间的八边形区域（即两个正方形的公共部分）为舞台，阴影部分的五个等腰直角三角形为贵宾席，其余三个等腰直角三角形区域组成后台区域．试问：当贵宾席面积（即五个阴影等腰直角三角形面积总和）为定值时，舞台面积的最大值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设、上的贵宾席的等腰直角三角形的边长分别为、，从而有，进而得舞台面积，再应用基本不等式求最大值. 【详解】设上的贵宾席的两个等腰直角三角形的边长，上的贵宾席的三个等腰直角三角形的边长为， 所以，即，且正方形的边长为， 所以舞台面积， 当且仅当，即时，等号成立， 此时. 故选：B 第Ⅱ卷 二、填空题（共40分，每小题5分） 13. 已知全集，集合，，或，那么阴影部分表示的集合为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据韦恩图知阴影部分为，再应用集合的交补运算求集合即可. 【详解】由图知，阴影部分为，而，又， 所以. 故答案为： 14. 已知函数的定义域为，则函数的定义域是_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数定义域的定义解答即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以令，解得. 所以函数的定义域是. 故答案为：. 15. 若函数，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】令求出，即可得对应的函数值. 【详解】令，可得，所以. 故答案为： 16. 已知使关于的不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由题意为不等式解集的真子集，分别讨论、和三种情况，可得不等式解集，分析即可得答案. 【详解】由题意，是不等式成立的一个充分不必要条件， 所以为不等式解集的真子集， 当时，不等式解集为， 因为是的真子集，所以满足题意； 当时，不等式解集为， 因为是的真子集，所以满足题意； 当时，不等式解集为， 要使是的真子集，只需， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 17. 已知函数，的值域为，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】函数的表达式中含有绝对值，讨论去绝对值化成分段函数，结合函数图象求解. 【详解】由， 可得分段函数， 画出对应函数图象： 的值域为，且，, 所以的值能使得取得最小值； 由图可知：. 故答案为：. 18. 已知关于的不等式的解集为，且实数满足，，则实数的取值范围是_______________. 【答案】或 【解析】 【分析】由题得，结合韦达定理表示出，从而解不等式组即可得解. 【详解】因为的解集为， 所以是的两根， 所以，， 所以，则， 即，解得或. 故答案为：或. 19. 已知正实数满足，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据基本不等式的性质进行求解即可. 【详解】因为，所以， 化简可得. 因为，所以. 当且仅当，即时等号成立， 此时取得最小值. 故答案为：. 20. 函数在数学上称为“高斯函数”，也叫“取整函数”，其中表示不大于的最大整数，如，，．设不等式的解集为，若，其中，，，且，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】分别讨论、、和几种情况，分别求出的值，代入不等式中，结合解集，分析讨论，可得关于a，b的不等式组，根据线性规划的处理方法，即可求出答案. 【详解】当时，，不等式为，即， 由于解集A中无上的解，所以在上恒成立， 所以当时，，当时，恒成立； 当时，，不等式为， A中解集为，且，则， 所以的解集包含，其中p为的正根， 所以当时，； 当时，，不等式为，即， A中解集为，且，则， 所以的解集包含，其中q为的正根， 所以当时，，且； 当时，，不等式为，即， A中解集为，且，则， 所以的解集包含，，即， 综上，，将约束条件转化为线性规划问题， 设目标函数，即， 作出可行域，如图 联立，可得交点为， 当过点时，有最大值，且为， 所以的取值范围是. 故答案为： 三、解答题（共50分，其中第21、22题每题8分，第23、24题每题10分，第25题14分） 21. 解下列关于的不等式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可； （2）化分式不等式为，进而求解即可； （3）化简不等式为，进而求解即可； （4）分，，三种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 由，则， 解得，所以不等式的解集为. 【小问2详解】 由，则， 即，解得或， 所以不等式的解集为. 【小问3详解】 由，则， 即，则，解得， 所以不等式的解集为. 【小问4详解】 由， 当时，不等式为，解得，则； 当时，不等式为，解得，则； 当时，不等式为，解得，则. 综上所述，不等式的解集为. 22. 解关于的不等式：，． 【答案】 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 【解析】 【分析】讨论、，并应用含参的一元二次不等式的解法求解集. 【详解】当时，， 当时，， 若，即，可得或， 时，则，可得或， 时，则，可得， 若，即，则，可得， 若，即，则，可得或， 综上， 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 23. 临近新年，车厘子、榴梿等高档水果受到人们青睐.老张水果店瞄准商机，准备新进一大批车厘子来满足市场需求，同时为提高销售量，老张水果店特准备举办一场车厘子促销活动.据市场调查发现，当每斤车厘子的售价定为元时，销售量为斤.现批发商为配合老张水果店的活动，将供货价格分为固定价格与浮动价格两部分，即：供货价格＝固定价格＋浮动价格，其中固定价格为50元/斤，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：斤）成反比，比例系数为20. （1）试将总利润表示成关于的函数； （2）当每斤车厘子售价定为多少时，总利润最大，为多少？ 【答案】（1）（）. （2）100元，1980元. 【解析】 【分析】（1）由每斤车厘子的售价定为元时，销售量为斤和供货价格＝固定价格＋浮动价格求解； （2）由（1）的结论，利用二次函数的性质求解. 【小问1详解】 解：设每斤车厘子的售价定为元时，总利润为， 由得， （）. 【小问2详解】 总利润， ， 所以当售价元时，总利润达到最大； 总利润元， 即每斤车厘子售价定为100元时，车厘子总利润最大，为1980元. 24. 已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）设命题，，若命题为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）或； （2）或. 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式求集合，再根据交集为空，讨论、，列不等式求参数范围； （2）根据特称命题的否定为真命题，将问题化为在上恒成立，结合对应二次函数性质及分类讨论求参数范围. 【小问1详解】 由，而， 若，即时，满足， 若，即时，因为， 故或，可得或，此时或， 综上，或； 【小问2详解】 由题设，，为真命题， 所以在上恒成立， 由的对称轴为，且开口向上， 而， 当，即时，不等式恒成立， 当，即时， 若，即时，在上单调递减， 只需，可得或，此时； 若，即时，只需， 所以，整理得，不满足前提； 若，即时，在上单调递增， 只需，可得或，此时； 综上，或. 25. 定义已知函数,． （1）若在上有解，求实数的取值范围； （2）设函数,当,时，求函数的解析式，并求函数的值域； （3）已知,当时，恒有成立，求的最大值． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）可将其转化为开口向上的二次函数与轴是否有交点的问题； （2）我们可求得函数与的交点，结合函数的新定义，分析何时取或的解析式,求得的解析式，进而求得函数的值域； （3）要使恒有成立，须当时，与的符号始终相同，再结合的范围，可知与有公共零点,再结合韦达定理求得与的关系式，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 在上有解，即在上有解. 因此有,得或. 【小问2详解】 当时,, 令,即,即,解得或, 当或时,;当时，, 因为,所以; 当时,函数为递减函数，所以; 当时,为递增函数，且,故. 当时，函数为递增函数，所以; 所以所以函数的值域为. 【小问3详解】 解：因为,可得函数为单调递增函数， 且, 当时，,使得恒有成立，则需; 当时，,要使得恒有成立，则需, 由的开口向上，设其零点分别为, 设,则的解集为的解集为, 要使得当时，恒有成立，则满足且, 令,可得,可得, 又因为,可得, 则, 因为,可得, 当且仅当时，即时成立，所以, 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南开中学2025-2026学年度第一学期质量监测（一） 高一数学试卷 考试时间：120分钟 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共150分． 第I卷 一、选择题（共60分，每题5分） 1. 下列表述中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 命题““的否定为（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若为实数，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代微积拾级》中首次将“function”译做“函数”并沿用至今．为什么这么翻译？书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.19世纪70年代以后，随着集合概念的出现，函数概念又进而用更严谨的集合和对应语言表述，即为我们课本中所学的函数定义．已知集合，，则下列四个图形中能表示从集合到集合的函数关系的是（ ）． A. B. C. D. 7. 已知集合，若集合有且仅有2个子集，则的取值是（　　） A. 2 B. -2 C. 0，2 D. -2，0，2 8. 不等式的解集是或，则（ ） A. 7 B. 8 C. 3 D. -8 9. 已知函数，若，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 11. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 12. 南开是中国北方话剧的摇篮，今年是话剧《一元钱》在南开首演的一百一十周年．为纪念这一历史，刚刚从我校毕业并仍心系母校的欧阳南德与上官琐艾同学为学校设计了一座“和静庄舞台”，希望新剧的火焰、进步的思潮仍在今日的南开闪耀．下图为“和静庄舞台”的平面示意图，它的设计灵感来自南开中学的校徽，四边形与EFGH为两个共中心但不一定等大的正方形，位于中间的八边形区域（即两个正方形的公共部分）为舞台，阴影部分的五个等腰直角三角形为贵宾席，其余三个等腰直角三角形区域组成后台区域．试问：当贵宾席面积（即五个阴影等腰直角三角形面积总和）为定值时，舞台面积的最大值为（ ）． A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（共40分，每小题5分） 13. 已知全集，集合，，或，那么阴影部分表示的集合为_____． 14. 已知函数的定义域为，则函数的定义域是_______. 15. 若函数，则_____． 16. 已知使关于的不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是_____． 17. 已知函数，的值域为，则的取值范围是______． 18. 已知关于的不等式的解集为，且实数满足，，则实数的取值范围是_______________. 19. 已知正实数满足，则的最小值为______． 20. 函数在数学上称为“高斯函数”，也叫“取整函数”，其中表示不大于的最大整数，如，，．设不等式的解集为，若，其中，，，且，则的取值范围是_____． 三、解答题（共50分，其中第21、22题每题8分，第23、24题每题10分，第25题14分） 21. 解下列关于的不等式： （1）； （2）； （3）； （4）． 22. 解关于的不等式：，． 23. 临近新年，车厘子、榴梿等高档水果受到人们青睐.老张水果店瞄准商机，准备新进一大批车厘子来满足市场需求，同时为提高销售量，老张水果店特准备举办一场车厘子促销活动.据市场调查发现，当每斤车厘子的售价定为元时，销售量为斤.现批发商为配合老张水果店的活动，将供货价格分为固定价格与浮动价格两部分，即：供货价格＝固定价格＋浮动价格，其中固定价格为50元/斤，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：斤）成反比，比例系数为20. （1）试将总利润表示成关于的函数； （2）当每斤车厘子售价定为多少时，总利润最大，为多少？ 24. 已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）设命题，，若命题为真命题，求实数的取值范围． 25. 定义已知函数,． （1）若在上有解，求实数的取值范围； （2）设函数,当,时，求函数的解析式，并求函数的值域； （3）已知,当时，恒有成立，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $