专题05 函数性质（期末真题汇编，辽宁专用）高一数学上学期人教B版

专题05 函数性质 7大高频考点概览 考点01 函数的定义域和值域 考点02 函数的奇偶性 考点03 函数的单调性 考点04 单调性和奇偶性的综合应用 考点05 函数的对称性 考点06 零点问题 考点07 函数新定义 地 城 考点01 函数的定义域和值域 一、单选题 1．(24-25高一上·辽宁朝阳建平县实验中学·期末)函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省朝阳市建平县实验中学2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题 【分析】换元法，令，得到，从而得到函数值域. 【详解】令，则， 则， 故当时，取得最大值，最大值为， 所以的值域为. 故选：D 2．(24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末)已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省葫芦岛市2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试卷 【分析】求出函数的定义域，根据函数解析式有意义，对于函数，可得出关于的不等式，即可解得函数的定义域. 【详解】对于函数，，则， 所以，函数的定义域， 对于函数，有，即，解得. 因此，函数的定义域为. 故选：D. 3．(24-25高一上·辽宁丹东·期末)若函数的定义域为，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省丹东市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】令，可求出的值，令可求出的值，令可求出的值. 【详解】令，可得，故， 令可得，即，解得， 令可得，即，解得. 故选：D. 4．(24-25高一上·辽宁五校联考·期末)已知函数，则（   ） A．2 B．3 C．5 D．33 【答案】B 【来源】辽宁省五校联考2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题 【分析】根据给定的分段函数，依次判断代入计算即得. 【详解】函数，则， 所以. 故选：B. 二、填空题 5．(24-25高一上·辽宁丹东·期末)已知函数，，则 . 【答案】 【来源】辽宁省丹东市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】利用分段函数求值即可得解. 【详解】由题意得： 则有， 故答案为：. 6．(24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末)已知，则 . 【答案】2 【来源】辽宁省葫芦岛市2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试卷 【分析】要求的值，需要先找到时的值，然后将其代入已知等式中求解. 【详解】令，则，得. 把代入中， 此时，那么. 故答案为：2. 地 城 考点02 函数的奇偶性 一、单选题 1．已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】2011-2012学年河北省南宫中学高一12月月考数学试卷 【分析】利用是偶函数可判断出函数的对称轴，再利用当时，恒成立，判断出函数的单调性，即可求解. 【详解】当时，恒成立， 当时，，即， 函数在上为增函数， 函数是偶函数，即， 函数的图象关于直线对称，， 又函数在上为增函数，， 即，. 故选：B. 二、填空题 2．(24-25高一上·辽宁鞍山普通高中·)已知定义在上函数满足，都有.据此可构造函数 ，且知是 .（填”奇“或”偶“）函数，在上为 .（填”增“或”减”）函数. 【答案】 奇 减 【来源】辽宁省鞍山市普通高中2024-2025学年高一上学期质量监测数学试题 【分析】不妨设，不等式可化为，观察不等式两侧的结构特点考虑构造函数，结合单调性的定义及奇函数定义确定结论. 【详解】不妨设，不等式可化为， 故， 观察不等式两侧的结构特点考虑构造函数， 由已知，， 所以函数在上单调递减， 函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以函数为奇函数. 故答案为：；奇，减. 3．(24-25高一上·辽宁锦州·期末)已知函数是定义域为的奇函数，函数是奇函数，则 ． 【答案】 【来源】辽宁省锦州市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】根据函数图图象变换以及奇函数性质，可以得到函数的所有对称中心个（可以利用数学归纳法证明这一结论），进而得到所有自变量为偶数时的函数值，对于其余的函数值，利用相应对称中心两两结合求和得到相邻两项的和，再利用等差数列求和公式分组求和，可得答案. 【详解】函数的图象向右平移个单位，向下平移个单位，可得函数的图象， 因为函数是奇函数，即该函数图象关于成中心对称， 所以函数的图象关于成中心对称. 根据一个对称中心关于另外一个对称中心的对称点也是函数图象的对称中心，可以得到函数以点为对称中心，即当时，. 下面用数学归纳法证明： （1）当时，由是奇函数， 所以， 即， 所以， 即， 所以时命题正确； （2）假设当时，命题正确，即成立, 那么当时， ， 由函数是奇函数，则， 所以， 即， 即时命题正确. 根据数学归纳法，可得，， 所以（）是函数的图象的对称中心， 分别取，， 可得（），（）， . 故答案为：. 4．已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【来源】湖南省衡阳市第八中学2024届高三适应性考试数学试题 【分析】根据题意，得到，联立方程组，求得，结合题意转化为成立，构造，得到在单调递增，利用二次函数的性质，分类讨论，即可求解. 【详解】因为是奇函数，是偶函数，满足， 可得， 联立方程组，解得， 又因为对任意的，都有成立， 所以，所以成立， 构造， 所以由上述过程可得在单调递增， (i)若，则对称轴，解得； (ii) 若，在单调递增，满足题意； (iii) 若，则对称轴恒成立； 综上可得，，即实数的取值范围为. 故答案为：. 三、解答题 5．(24-25高一上·辽宁鞍山普通高中·)已知是自然对数的底数，函数， (1)求证：是偶函数； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】辽宁省鞍山市普通高中2024-2025学年高一上学期质量监测数学试题 【分析】（1）利用偶函数的定义证明即可； （2）结合指数函数的单调性得在上单调递减，在上单调递增，然后根据偶函数性质和单调性将不等式转化为，平方后解一元二次不等式即可. 【详解】（1）因为是定义域为关于原点对称， 又，所以为偶函数； （2）因为函数是定义域为上偶函数，所以只需判断上单调性即可； 易知，任取， ， 因为，所以， 得，即， 所以在上是单调增函数 由偶函数性质可得在上单调递减， 因此可得在上单调递减，在上单调递增； 由是偶函数得知对函数来说，距离其对称轴轴越近，函数值越小， 因此不等式等价于，即， 也即，整理可得，解得或； 所以不等式的解集为. 6．(24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末)已知函数为奇函数. (1)求实数的值，并判断函数的单调性（不必说明理由）； (2)解不等式； (3)设函数，若对，总，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，函数是定义域上的增函数 (2) (3) 【来源】辽宁省葫芦岛市2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试卷 【分析】（1）由奇函数的性质可得出，可求出的值，然后利用函数奇偶性的定义证明即可，然后利用指数函数的单调性可判断出函数在其定义域上的单调性； （2）利用函数的单调性结合奇偶性可将不等式变形为，利用指数函数的单调性解之即可； （3）分析可知，函数的值域为函数在上的值域的子集，可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】（1）对任意的，， 所以，的定义域为且函数为奇函数， 所以，则， 因为， 所以是奇函数，符合题意，故成立； ，是定义域上的增函数，理由如下： 对任意的、且，则， 所以， ，即， 所以，函数为上的增函数. （2）因为函数是实数集上的增函数又是奇函数， 所以由可得， 所以，，可得，即， 因为，则，解得， 所以不等式的解集为. （3）因为函数，显然，所以有 可得，则，则， 因为 ， 令，当时，， 设，所以，， 于是当时，， 对，总，使得成立， 所以，函数的值域为函数在上的值域的子集，即， 所以有，解得，即实数的取值范围为. 地 城 考点03 函数的单调性 一、解答题 1．(24-25高一上·辽宁沈阳·期末)已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)设函数，判断函数在区间上的单调性，并给出证明； (3)设函数，求证：函数在区间上有且只有一个零点. 【答案】(1)； (2)单调递减，证明见解析； (3)证明见解析. 【来源】辽宁省沈阳市2024-2025学年高一上学期1月期末质量监测数学试题 【分析】（1）利用奇函数的定义求出值. （2）求出并判断单调性，再利用函数单调性定义推理证明. （3）由（2）的结论，结合对数函数单调性判断的单调性，再利用零点存在性定理推理得证. 【详解】（1）函数的定义域为，由是奇函数，得， 即，整理得， 而不恒为0，所以. （2）由（1）知，，函数在区间上单调递减， 任意，， 由，得，因此，即， 所以函数在区间上单调递减. （3）由（1）知，函数， 则函数，由（2）知，函数在上单调递减， 而函数在上单调递增，因此函数在上单调递减， 而，则存在唯一，使得， 所以函数在区间上有且只有一个零点. 2．(24-25高一上·辽宁重点中学协作校·期末)已知函数 (1)判断的单调性，并用单调性的定义证明； (2)若，都有成立，求实数m的取值范围； (3)是否存在正实数，使得在上的取值范围是？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)在上单调递增；证明见解析 (2) (3)存在，且. 【来源】辽宁省重点中学协作校2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题 【分析】(1)直接由指数函数单调性，单调性的定义证明即可； (2)将原问题转换为不等式，对恒成立，通过换元法以及对勾函数性质即可得解； (3)由函数单调性以及换元法转换为一元二次方程根的分布问题即可得解. 【详解】（1）在上单调递增； 证明：的定义域为.任取，不妨设， 则 因为，所以，即，， 所以，即， 故在上单调递增 （2）由题意，即 则 ，易知在上单调递增， 所以， 所以即在上恒成立. 令，故 令，则单调递增，当时， 故即 所以实数的取值范围为. （3）假设存在正实数t满足题意，易知在上单调递增， 所以 所以，为关于的方程的两个不等实数根， 令，即关于u的一元二次方程有两个不等正根，， 所以，解得且 所以存在正实数满足题意，t的取值范围且. 3．(24-25高一上·辽宁五校联考·期末)已知函数为偶函数． (1)求实数的值； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义进行证明； (3)设函数的反函数为，若关于的方程有唯一的实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)在上是单调递增函数，证明见解析 (3)或 【来源】辽宁省五校联考2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题 【分析】（1）根据得到方程，求出； （2）利用函数的单调性定义证明即可. （3）先根据反函数的概念求得，将题干方程转化为有唯一的实数解，令，则有唯一的正实数解，结合二次函数的性质分析即可求解. 【详解】（1）因为是偶函数，所以， 即，整理得恒成立，又不恒为0， 所以，即. （2）在上是单调递增函数． 证明如下：任取，设，则 因为，所以， 又因为，所以， 所以，即， 所以在上是单调递增函数． （3）函数的反函数为， 方程有唯一的实数解， 即有唯一的实数解， 又为定义域上的单调递增函数，所以有唯一的实数解， 令，则有唯一的正实数解， 即有唯一的正实数解， 当即时，方程，解得，不满足题意， 当即时，记，则， 当即时，函数开口向下，且， ，则必然与轴有两个交点，且分布在轴两侧， 即有唯一的正实数解，符合题意； 当即时，函数开口向上，且， 则要使有唯一的正实数解，则， 解得； 综上所述，实数的取值范围为或. 4．已知定义域为的函数是奇函数． (1)求的值； (2)判断的单调性并用定义证明； (3)若存在，使成立，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)函数在上是减函数，证明见解析； (3) 【来源】2015-2016学年湖南省益阳市箴言中学高一12月月考数学试卷 【分析】（1）首先由是奇函数可知，得出，后面再根据当时，有恒等式成立即可求出； （2）根据函数单调性定义即可证得函数单调递减； （3）结合函数奇偶性、单调性将不等式转换为，由题意可知问题等价于，由此即可得解. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，所以， 又因为，所以， 将代入，整理得， 当时，有，即恒成立， 又因为当时，有，所以，所以. 经检验符合题意，所以. （2）由（1）知：函数， 函数在上是减函数. 设任意，且， 则 由，可得，又， 则，则， 则函数在上是减函数. （3）因为存在，使成立， 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以不等式可转化为， 又因为函数在上是减函数， 所以，所以， 令， 由题意可知：问题等价转化为， 又因为，所以. 地 城 考点04 单调性和奇偶性的综合应用 一、单选题 1．(24-25高一上·辽宁大连·期末)已知函数定义域为，，对任意的，，当时，有.若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】辽宁省大连市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】令，证明函数在上单调递减，根据单调性列不等式即可求解. 【详解】由题意可知，当时，有， 即，即， 令，则当时，， 则函数在上单调递减， 由，可得， 即，所以，解得， 即实数a的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于令，证明函数在上单调递减. 2．(24-25高一上·辽宁锦州·期末)已知函数，若，则的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【来源】辽宁省锦州市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】设，，根据当时，判断两个函数的符号关系得到必需过点点，建立，的关系，根据图象和一元二次函数根的关系，列出不等式求解即可． 【详解】设，，则在上为增函数，且， 若当时，则满足当时，，当时，， 即必需过点点，则，即， 此时函数与满足如图所示： 此时， 则满足函数，所以，即a的最小值为. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题主要考查不等式恒成立问题，构造函数转化为两个函数的符号相反，利用数形结合是解决本题的关键． 3．(24-25高一上·辽宁五校联考·期末)已知函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】辽宁省五校联考2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题 【分析】构造函数，由对数的运算性质得到其为奇函数，再由复合函数的单调性得到其为递增函数，然后利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可； 【详解】由题意可得令，定义域为， 则， 所以，即为奇函数， 又由复合函数的单调性可得在定义域上为增函数， 所以， 等价于，解得或. 故选：B. 4．(24-25高一上·辽宁沈阳五校协作体·期末)已知函数是定义域为的函数，，对任意、，均有，已知、为关于的方程的两个解，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省沈阳市五校协作体2024-2025学年高一上学期期末联考数学试题 【分析】由韦达定理可得出，可得出，且，分析函数的对称性和单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可求得的取值范围. 【详解】因为、为关于的方程的两个解， 则，解得，由韦达定理可得， 因为函数是定义域为的函数，，即， 所以，函数的图象关于点对称，则且， 因为对任意、，均有，即， 所以，函数在上为增函数，则该函数在上也为增函数， 从而可知，函数在上为增函数， 由可得，解得，所以，， 因此，关于的不等式的解集为. 故选：D. 【点睛】方法点睛：利用函数的对称性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数对称性的区别. 5．(24-25高一上·辽宁重点中学协作校·期末)已知定义域为的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】辽宁省重点中学协作校2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题 【分析】由题可得不等式等价于，根据单调性即可解出. 【详解】因为为偶函数，且， 所以不等式等价于， 又在上单调递增， ，即或 解得或. 所以不等式的解集为. 故选：B. 二、解答题 6．(24-25高一上·辽宁大连·期末)已知函数（其中a为常数）是定义域为的偶函数. (1)求的解析式，并直接写出的单调区间和最小值； (2)解不等式. 【答案】(1)，的单调减区间是，单调增区间是，最小值是 (2). 【来源】辽宁省大连市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】（1）由是偶函数列式子可求得，再判断函数的单调性，结合单调性即可得函数的最小值； （2）由奇偶性和单调性将转化为，再解绝对值不等式即可得答案. 【详解】（1）因为是偶函数，所以对，都有 即， 整理得，所以， ， 令，则， 由可得，所以， 则， 所以函数在上单调递增， 结合奇偶性可得的单调减区间是，单调增区间是， 的最小值是. （2）因为是偶函数，且在是增函数， 所以等价于， 解得：， 所以不等式的解集是. 7．(24-25高一上·辽宁沈阳五校协作体·期末)已知函数，. (1)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (2)若不等式，对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【来源】辽宁省沈阳市五校协作体2024-2025学年高一上学期期末联考数学试题 【分析】（1）由条件化简方程为，令得到关于的二次函数，由函数定义域求函数值域即可. （2）将函数解析式代入不等式，通过换元并由单调性求出参数范围，用分离常数得到不等式，讨论函数的单调性,通过定义域求得最大值，从而求得实数的取值范围. 【详解】（1）∵，由， ∴在有解， 令，所以， 当时；当趋向于0或时趋向于1，即. （2），即， 令，则， 因为，为增函数，所以， 所以化为对任意的恒成立， 在上单调递减， 当时，取得最大值为， 所以，实数的取值范围为. 地 城 考点05 函数的对称性 一、单选题 1．(24-25高一上·辽宁丹东·期末)已知函数的对称中心为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】辽宁省丹东市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】根据反比例函数的对称性即函数图象的变换可确定函数的对称中心. 【详解】因为： . 由的图象关于原点对称，将向左平移1个单位，再向下平移1个单位，可得的图象. 所以的对称中心为：. 故选：C 二、多选题 2．(24-25高一上·辽宁五校联考·期末)定义域为R的函数满足，且函数的图像关于直线对称，则（   ） A．的图像关于点对称 B．的图像关于点对称 C． D．若，则 【答案】ACD 【来源】辽宁省五校联考2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题 【分析】利用函数奇偶性，对称性与周期性的性质，逐一分析各选项即可得解. 【详解】由，得，所以， 所以的图像关于点对称，故选项A正确； 由得，即， 所以的图像关于点对称，又因为函数的图像关于直线对称， 则，所以，所以， 所以，即，所以是周期函数，且周期为， 故选项B错误，C正确； 若，且的图像关于点对称，所以，所以， 所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论： （1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立； （2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为. 三、填空题 3．(24-25高一上·辽宁大连第二十四中学·期末)已知函数关于点对称，其反函数为，若与的图象关于点对称，则关于x的不等式的解集为 . 【答案】 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷 【分析】由对称性待定，研究的性质，借助函数间对称与图象变换逐步求解研究各函数及性质.先由互为反函数可求，进而求出，再由与的图象关于点对称可求出，转化不等式为同构形式，从而构造函数，根据单调性分类讨论求解不等式可得. 【详解】由函数关于点对称， 则，所以， 故， 解得，即， 所以函数的定义域为，值域为， 在和上都单调递减，且图象关于对称； 因为函数是的反函数， 由互为反函数的两函数关于直线对称可知， 函数的定义域为，且图象关于对称， 令，解得 故，其在和上都单调递减； 函数的定义域为，且图象关于对称. ，其在和上都单调递减， 且当时，；当时，； 又由与的图象关于点对称， 则函数的定义域为，且图象关于对称. ，其在和上都单调递减， 且当时，；当时，； 故，则有， 由， 由不可能小于1，故. 首先有，或，解得或. 得， 则可化为， 构造函数，则， 又函数的定义域为，且在和上也都单调递减， 当时，，则；当时，，； 当，即时， 恒有成立； 当时，由在上单调递减， 故由，可得， 解得，此时满足不等式组，故. 故，或，验证知满足或. 综上所述，不等式的解集为. 【点睛】关键点点睛：解决此题关键有二，一是理清各函数间的联系， 逐步求解研究函数及性质；二是同构变换，转化不等式为同构形式，进而构造函数研究单调性求解不等式. 4．(24-25高一上·辽宁沈阳五校协作体·期末)已知函数为奇函数，则函数的图象关于 对称. 【答案】 【来源】辽宁省沈阳市五校协作体2024-2025学年高一上学期期末联考数学试题 【分析】由奇函数得到函数对称中心，再由函数的平移变换的关系求出函数的对称中心. 【详解】由题意可知函数关于点中心对称， 因为函数由函数向左平移1个单位得到， 所以函数关于点中心对称， 函数由向上平移1个单位得到， 所以函数关于点中心对称， 故答案为：. 地 城 考点06 零点问题 一、单选题 1．(24-25高一上·辽宁大连·期末)用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【来源】辽宁省大连市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】由零点存在性定理即可判断； 【详解】因为，， 所以零点所在的区间，再计算的符号， 故选：C 2．(24-25高一上·辽宁重点中学协作校·期末)已知，方程有6个不同实数解，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】辽宁省重点中学协作校2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题 【分析】令，构建，分析可知函数有2个零点，结合函数的图像，讨论零点分布即可得解. 【详解】作出函数的图像，如图所示： 令，构建， 若方程有6个不同实数解， 则函数有2个零点，不妨设， 结合函数的图像，有如下几种情况： 若，则，解得； 若，则，解得， 此时的零点为2，不合题意； 若，则，无解，不合题意； 综上所述：的取值范围为. 故选：A. 3．(24-25高一上·辽宁沈阳·期末)已知函数，若是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】辽宁省沈阳市2024-2025学年高一上学期1月期末质量监测数学试题 【分析】根据函数图象可得、各有两解，从而可用表示四根之和，结合的范围可求和的范围. 【详解】函数的图象如图，不妨令， 观察图象，得，且，， 由，得， 因此， 设，函数在为增函数，， 则，所以的取值范围是. 故选：A 【点睛】关键点点睛：作出给定的函数图象，结合图形建立函数关系是解决本题的关键. 二、多选题 4．(24-25高一上·辽宁大连·期末)已知若方程有四个不同的解，，，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【来源】辽宁省大连市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】作出函数的图象可得：，，所以，则ABC选项可得，然后，则，利用函数的单调性求解可得D. 【详解】作出函数的图象，如下图所示： 方程有四个不同的解， 则，，故A错误，C正确； ，所以，故B正确； 设，所以， 因为，所以，则， 则的取值范围为， 故D正确； 故选：BCD. 5．(24-25高一上·辽宁鞍山普通高中·)下列说法正确的是（    ） A．函数的零点是 B．若定义在上的函数满足，则为增函数 C．函数的定义域为，则 D．已知函数，则的值为3 【答案】AC 【来源】辽宁省鞍山市普通高中2024-2025学年高一上学期质量监测数学试题 【分析】A选项，令方程等于0，即可求得零点；B选项，由函数单调性的定义即可判断；C选项，根据函数有意义的条件，分母不为0，对参数进行分类讨论；D选项，由分段函数的定义即可求解. 【详解】A选项，令，解得， 所以函数的零点是，故A选项正确； B选项，根据增函数的定义可知， 若定义在[1，2]上的函数满足，则不一定为增函数， 例如函数，， 满足条件， 但函数在上单调递减，在上单调递增， 故函数不是增函数，故B选项错误； C选项，函数的定义域为，， 当时，符合题意， 当时，，解得， 综上，，故C选项正确； D选项，， 因为， 所以，故D选项错误； 故选：AC. 6．(24-25高一上·辽宁鞍山普通高中·)已知函数，若，且，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．若方程有个不同的实根，则 D．若方程有个不同的实根，则 【答案】BCD 【来源】辽宁省鞍山市普通高中2024-2025学年高一上学期质量监测数学试题 【分析】根据解析式画出函数大致图象，令得，数形结合可得且，结合函数零点知识依次判断各项正误. 【详解】根据解析式可得函数大致图象如下， 令，则， 所以且， 故，A错； 因为，所以，B对； 由， 可得或， 由图知，对应有2个不同解， 故对应必有3个不同解，所以，C对； 对于D:， 由图，当时原方程无解； 当时，，对应唯一的x的值，此时原方程只有1个解，不符； 当时，或各有一个值， 前者有3个、2个、1个x的值与之对应，后者只有1个x的值与之对应， 此时原方程共有4个、3个、2个解，不符题意； 令，得或或， 当时，或或各有一个值， 若，无解； 若，有2个x的值与之对应； 若，有1个x的值与之对应， 故原方程共有3个不同解，不符； 当时，或或，分别有1个解、2个解、1个解， 原方程共有4个解，不符； 当时，或或各有1个值， 若，有2个x的值与之对应； 若，有2个x的值与之对应； 若，有1个x的值与之对应， 故原方程共5个不同解，符合； 当时，有1个解或有2个解，原方程共3个解，不符； 当时，，原方程只有1个解，不符； 综上，满足题设，D对. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：D项，注意从负到正依次讨论的范围，结合图象确定对应范围，进而判断解的个数. 7．(23-24高一上·辽宁葫芦岛·)已知定义域为的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．若函数在内恒成立，则 C．对任意实数，方程至多有6个解 D．方程有4个解，分别为，，，，则 【答案】BD 【来源】辽宁省葫芦岛市2023-2024学年高一上学期1月普通高中学业质量监测考试数学试题 【分析】由条件可得为奇函数，由的值的大小可判断A；作出函数的图象，数形结合可判断B；取时，结合图形，求解判断直线与函数的图象交点的个数可判断C；选项D，不妨设，根据图象可得及的范围，由二次函数的对称性可知，求出时的解析式，进而得的关系式，结合函数的单调性求出的范围，即可判断D. 【详解】定义域为的函数满足， 即，所以函数为奇函数，， 选项A，，得，故A错误； 作出函数的图象，如图所示，    选项B，若函数在内恒成立，由图可知，， 由解得或，所以，故B正确； 选项C，取时，如图所示，    当时，联立方程组，化简得， 设函数， 因为，且对称轴为， 所以方程在上有两个不相等的实数根， 所以直线与函数图象在有2个交点. 设，，则函数在上单调递增， ∵，， ∴函数在上只有一个零点， 所以直线与函数图象在有1个交点， 所以当时，直线与函数的图象有3个交点， 因为函数与函数均为奇函数， 所以当时，直线与函数的图象有3个交点， 又当时，直线与函数的图象有1个交点， 所以直线与函数图象有7个交点，故C错误； 选项D，当时，方程有4个解， 不妨设，    根据图象可得， 因为有4个解，，所以， 所以，解得， 所以， 由二次函数的对称性可知，的解满足， 因为函数为奇函数，且当时，， 所以当时，，则， 所以， 则，得， 所以， 设， 又因为函数在上单调递增， 所以， 所以，故D正确. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：解决函数零点（方程的根）问题的方法： （1）直接解方程法（适用于方程易解的情形）； （2）利用零点存在性定理； （3）图象法：①研究函数的图象与x轴的交点；②转化为两个函数图象的交点问题． 三、填空题 8．(24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末)已知函数，若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【来源】辽宁省葫芦岛市2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试卷 【分析】零点问题转化为直线与函数的图象有四个交点，作出函数图象数形结合可得结果. 【详解】由得，， 问题转化为直线与函数的图象有四个交点，作出函数图象如下： 由图可知，的取值范围为. 故答案为：. 地 城 考点07 函数新定义 一、多选题 1．(24-25高一上·辽宁重点高中沈阳郊联体·期末)（多选）定义区间的长度为，记函数（其中）的定义域的长度为，则下列说法正确的有（    ） A． B．的值域为 C．在上单调递增 D．给定常数，当时，的最小值为 【答案】ACD 【来源】辽宁省重点高中沈阳市郊联体2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷 【分析】A选项，解一元二次不等式，求出定义域，得到；B选项，由基本不等式得到函数值域；C选项，由定义法判断出函数的单调性；D选项，先得到的单调性，进而得到的最小值为或，作差法比较大小，得到答案. 【详解】A选项，，其中，解得， 故，A正确； B选项，，，当且仅当，即时，等号成立， 又，故的值域为，B错误； C选项，任取且， 则 ， 又且，故， 故，即， 故在上单调递增，C正确； D选项，和C选项同理，由定义法可知，在上单调递减， 结合C选项知，给定常数，当时，单调递增， 当时，单调递减， 故的最小值为或， 其中，， 又 ， 由于，，，， 所以，即， 所以的最小值为，D正确. 故选：ACD 二、解答题 2．(24-25高一上·辽宁大连·期末)两个定义域相同的函数和，存在实数m，n，使，则称为和的函数. (1)函数为和的函数，且.判断函数的图象是否有对称中心，并说明理由. (2)函数为和的函数，且. ①判断单调性，并用单调性定义证明； ②证明：函数有且只有两个零点，，且. 【答案】(1)有对称中心，理由见解析 (2)①在和都是单调递增函数，证明见解析；②证明见解析 【来源】辽宁省大连市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】（1）根据可求解，进而根据求解函数的对称性， （2）根据函数单调性的定义即可作差求解， （3）根据函数的单调性，结合零点存在性定理可得，使得，结合可知，即可求解. 【详解】（1）， 因为，所以， 有对称中心， 理由如下：的定义域为，且，都有， ， 所以的图象关于中心对称 （2）， 因为，所以， ，定义域为，因为， ①在和都是单调递增函数， 证明：任取，，且， 因为，所以，，，所以， 所以在是单调递增函数， 同理，当时，， 所以在是单调递增函数， ②证明：因为，所以，， 取 当时，， 当时，，即， 因为在是单调递增函数，若，则是在的唯一零点， 若，则，使得， 由单调性可得是在的唯一零点， 因为，都有， 且 所以是的零点，由单调性可得是在的唯一零点， 综上所述，函数有且只有两个零点，， 因为，又，所以. 【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的常用方法： (1) 直接法： 令则方程实根的个数就是函数零点的个； (2) 零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题. 3．(24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末)若两函数与同时满足下列两个条件：①定义域为的非常值函数；②均有，则称为的“函数”. (1)判断函数是否为的“函数”； (2)若为的“函数”，判断函数的奇偶性，并证明； (3)在（2）的条件下，如果，当时，，且对所有实数均成立，求满足要求的最小正数，并说明理由. 【答案】(1)不是的“函数”， (2)是奇函数，证明见解析 (3)，理由见解析 【来源】辽宁省葫芦岛市2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试卷 【分析】（1）利用新定义代入计算验证即可； （2）根据奇函数的定义及函数新定义的概念即可求解； （3）根据奇函数的性质及赋值法，结合递推关系判定周期性，再用反证法判定最小正周期即可. 【详解】（1）不是“函数”， 易知① ② 显然①②两式不相等，即不是的“函数”， （2）为奇函数. 令，则有， 令，则有， 两式相加得， 因为是定义在上的非常值函数，所以不恒为0， 所以，所以是奇函数. （3）令，则 令 ， 因为，所以， 令，则， 令，则 若， 若 ， 则， 综上可知满足题意. 再用反证法证是满足题意的最小正数， 若满足要求，令， 则，即， 故， 而， 所以，矛盾，故不符题意. 所以存在是满足题意的最小正数. 【点睛】关键点点睛：本题关键是利用函数的奇偶性，周期性，结合反证法及赋值法来处理问题. 4．(24-25高一上·辽宁锦州·期末)若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”． (1)若，求证：为上的“4类函数”； (2)已知为上的“2类函数”，且，若时，，都有，求实数的取值范围； (3)若为上的“2类函数”，且，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【来源】辽宁省锦州市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】（1）利用平方差公式得，根据新定义即可证明； （2）根据新定义得，从而得到，设新函数，则，所以在上的单调递增，所以，再由左边，从而得到的取值范围； （3）根据新定义得，分和两种情况讨论，当时，可直接得到，当时，利用得 . 【详解】（1）不妨设，所以， ， 所以是上的“4类函数”. （2）若为上的“2类函数”，则对于任意不同的，都有， 不妨设，则 ，所以，所以， 设，则， 所以为上的增函数， 则， ，当且仅当时等号成立， 所以. （3）证明：因为为上的“2类函数”，则对于任意不同的，都有， 不妨设，则， 当时，成立， 当时，， 因为， 所以 ， 综上所述，. 【点睛】思路点睛：新定义问题解题思路 根据题干中“类函数”的定义，得到“类函数”和“类函数”的定义，第一问中证明“类函数”即证，第二三问中已知“类函数”即已知，利用这个条件进行后续推理.新定义题目的关键就是理解新定义、代入新定义，再与所学知识相联系，从而解决问题. 5．(24-25高一上·辽宁重点中学协作校·期末)对于在区间上有意义的函数，若满足对任意的、，有恒成立，则称在上是“接近”的，否则就称在上是“不接近”的.现有函数 (1)当时，判断函数在上是否“接近”的，说明理由； (2)是否存在实数，使函数在区间上是“不接近”的，若存在，求实数的取值范围；不存在说明理由. 【答案】(1)是“接近”的，理由见解析 (2)不存在，理由见解析 【来源】辽宁省重点中学协作校2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题 【分析】（1）当时，求出函数在区间上的最大值和最小值，结合题中的定义验证即可； （2）假设函数在区间上是“不接近”的，分析可知，当时，，分析函数在区间上的单调性，由结合参变量分离法可得出，再结合恒成立，可求出的取值范围，即可得出结论. 【详解】（1）当时，在是“接近”的，理由如下： 当时，， 因为在上单调递减，为增函数， 故在上单调递减. 则，， 所以， 即、，有， 所以当时，在上是“接近”的. （2）因为， 当时，因为内层函数在上为减函数，外层函数为增函数， 所以，函数在区间上为减函数， 假设函数在区间上是“不接近”的， 则、，使成立. 即恒成立，即， 又因为，， 所以，， 即. 又，可得恒成立， 即， 由，令，则， 则， 令，，令，， 任取、，不妨设， 则 ， 因为，则，，所以即， 所以函数在单调递增， 所以，，， 则，即， 当时，即当时，取最大值，此时取最大值， 当时，即当时，取最小值，此时取最小值，故. 又对于任意的，恒成立，即恒成立， 因为，所以， 即，所以， 所以，且，这样的实数的不存在， 故不存在实数，使函数在区间上是“不接近”的. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 6．(24-25高一上·辽宁沈阳·期末)定义一种新的运算“”：、，都有. (1)对于任意实数、、，试判断与的大小关系； (2)若关于的不等式的解集中的整数恰有个，求实数的取值范围； (3)已知函数，，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【来源】辽宁省沈阳市2024-2025学年高一上学期1月期末质量监测数学试题 【分析】（1）利用题中的定义结合对数的运算性质可得出结论； （2）利用题中定义结合对数的运算性质化简得出，，可知函数的一个零点在区间，则另一个零点在区间，可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围； （3）利用换元法求出函数的值域，可得出函数的值域，利用基本不等式结合对数函数的单调性可求出函数的值域，可得出，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）因为、，，， ， 所以，. （2）因为， 所以，原不等式可化为，即， 为满足题意，必有，解得或， 令，则其对称轴为直线， 由于，，结合（1）可得， 所以，函数的一个零点在区间，则另一个零点在区间， 从而，解得或， 综上所述，实数的取值范围是. （3）因为， ， 设，其中，令，则，则， 所以，，则， 所以函数的值域为， 由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立， 所以，，故函数的值域为， 根据题意，，，即， 解得且， 所以，实数的取值范围是. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，. （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 7．(24-25高一上·辽宁五校联考·期末)若函数的定义域、值域均为，则称为区间上的方正函数． (1)若为区间上的方正函数，求实数的值； (2)是否存在实数对，使得函数为区间上的方正函数？若存在，请写出符合要求的所有实数对，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)不存在；理由见解析. 【来源】辽宁省五校联考2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题 【分析】（1）分析函数在上的单调性，求出函数值域，结合方正函数的定义，可求的值. （2）分析函数的性质，结合单调性和奇偶性，还有方正函数的定义，分析的存在情况. 【详解】（1）因为，函数图象开口向上，且对称轴为， 所以函数在上单调递增， 由题意，为区间上的方正函数， 所以当时，； 当时，，解得或（舍去）. 因此，若为区间上的方正函数，则实数的值为. （2）不存在，理由如下： 对函数，因为， 所以为奇函数，图象关于原点对称， 又当时，，所以函数在上单调递减， 由奇函数性质可知，函数在上单调递减. 如存在实数对，使得函数为区间上的方正函数， 则，即，又， 显然，所以，，所以， 即，解得，这与矛盾. 故不存在实数对，使得函数为区间上的方正函数. 8．(24-25高一上·辽宁丹东·期末)在信号处理技术中，函数的调和零点至关重要，它用于检测系统的稳定性与性能.定义：若集合，称为函数的一个调和零点，的所有调和零点之和记为，表示集合中的所有元素的个数. 已知. (1)当，时，求的值； (2)若，，求、的值. 【答案】(1) (2)或 【来源】辽宁省丹东市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】（1）当，时，解方程，可得出集合，即可求得的值； （2）分两种情况讨论，（i）有个零点，且其中一个零点为，再由函数的三个调和零点之和为零，结合韦达定理可求出的值，进而可求出的值；（ii）有4个零点，且有一个为时，可得出，可求出函数的一个零点为，再由函数的三个调和零点之和为零，结合韦达定理可求出的值，进而可求出的值.即可得解. 【详解】（1）当，时，，令，解得或， 所以，则. （2）根据可知， （ⅰ）有个零点， 令，可知，即， 显然的个零点中必有，另外两个零点分别为、， 当时，， 因为，所以，即 将代入中得 由韦达定理可得，，，整理可得， 解得，，所以，； （ⅱ）有4个零点，且有一个为时，则， 方程， 当时，解得或， 当时，得， ，则， 由韦达定理可得，， 因为，所以，整理可得， 解得，. 综上所述，或. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于对函数的零点个数进行分类讨论，并通过已知条件结合解方程或韦达定理求解. 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 函数性质 7大高频考点概览 考点01 函数的定义域和值域 考点02 函数的奇偶性 考点03 函数的单调性 考点04 单调性和奇偶性的综合应用 考点05 函数的对称性 考点06 零点问题 考点07 函数新定义 地 城 考点01 函数的定义域和值域 一、单选题 1．(24-25高一上·辽宁朝阳建平县实验中学·期末)函数的值域为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末)已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·辽宁丹东·期末)若函数的定义域为，且，，则（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高一上·辽宁五校联考·期末)已知函数，则（   ） A．2 B．3 C．5 D．33 二、填空题 5．(24-25高一上·辽宁丹东·期末)已知函数，，则 . 6．(24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末)已知，则 . 地 城 考点02 函数的奇偶性 一、单选题 1．已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．(24-25高一上·辽宁鞍山普通高中·)已知定义在上函数满足，都有.据此可构造函数 ，且知是 .（填”奇“或”偶“）函数，在上为 .（填”增“或”减”）函数. 3．(24-25高一上·辽宁锦州·期末)已知函数是定义域为的奇函数，函数是奇函数，则 ． 4．已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是 . 三、解答题 5．(24-25高一上·辽宁鞍山普通高中·)已知是自然对数的底数，函数， (1)求证：是偶函数； (2)求不等式的解集. 6．(24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末)已知函数为奇函数. (1)求实数的值，并判断函数的单调性（不必说明理由）； (2)解不等式； (3)设函数，若对，总，使得成立，求实数的取值范围. 地 城 考点03 函数的单调性 一、解答题 1．(24-25高一上·辽宁沈阳·期末)已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)设函数，判断函数在区间上的单调性，并给出证明； (3)设函数，求证：函数在区间上有且只有一个零点. 2．(24-25高一上·辽宁重点中学协作校·期末)已知函数 (1)判断的单调性，并用单调性的定义证明； (2)若，都有成立，求实数m的取值范围； (3)是否存在正实数，使得在上的取值范围是？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 3．(24-25高一上·辽宁五校联考·期末)已知函数为偶函数． (1)求实数的值； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义进行证明； (3)设函数的反函数为，若关于的方程有唯一的实数解，求实数的取值范围． 4．已知定义域为的函数是奇函数． (1)求的值； (2)判断的单调性并用定义证明； (3)若存在，使成立，求的取值范围． 地 城 考点04 单调性和奇偶性的综合应用 一、单选题 1．(24-25高一上·辽宁大连·期末)已知函数定义域为，，对任意的，，当时，有.若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·辽宁锦州·期末)已知函数，若，则的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 3．(24-25高一上·辽宁五校联考·期末)已知函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高一上·辽宁沈阳五校协作体·期末)已知函数是定义域为的函数，，对任意、，均有，已知、为关于的方程的两个解，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一上·辽宁重点中学协作校·期末)已知定义域为的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 6．(24-25高一上·辽宁大连·期末)已知函数（其中a为常数）是定义域为的偶函数. (1)求的解析式，并直接写出的单调区间和最小值； (2)解不等式. 7．(24-25高一上·辽宁沈阳五校协作体·期末)已知函数，. (1)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (2)若不等式，对任意的恒成立，求实数的取值范围. 地 城 考点05 函数的对称性 一、单选题 1．(24-25高一上·辽宁丹东·期末)已知函数的对称中心为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 2．(24-25高一上·辽宁五校联考·期末)定义域为R的函数满足，且函数的图像关于直线对称，则（   ） A．的图像关于点对称 B．的图像关于点对称 C． D．若，则 三、填空题 3．(24-25高一上·辽宁大连第二十四中学·期末)已知函数关于点对称，其反函数为，若与的图象关于点对称，则关于x的不等式的解集为 . 4．(24-25高一上·辽宁沈阳五校协作体·期末)已知函数为奇函数，则函数的图象关于 对称. 地 城 考点06 零点问题 一、单选题 1．(24-25高一上·辽宁大连·期末)用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．(24-25高一上·辽宁重点中学协作校·期末)已知，方程有6个不同实数解，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·辽宁沈阳·期末)已知函数，若是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．(24-25高一上·辽宁大连·期末)已知若方程有四个不同的解，，，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 5．(24-25高一上·辽宁鞍山普通高中·)下列说法正确的是（    ） A．函数的零点是 B．若定义在上的函数满足，则为增函数 C．函数的定义域为，则 D．已知函数，则的值为3 6．(24-25高一上·辽宁鞍山普通高中·)已知函数，若，且，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．若方程有个不同的实根，则 D．若方程有个不同的实根，则 7．(23-24高一上·辽宁葫芦岛·)已知定义域为的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．若函数在内恒成立，则 C．对任意实数，方程至多有6个解 D．方程有4个解，分别为，，，，则 三、填空题 8．(24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末)已知函数，若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为 . 地 城 考点07 函数新定义 一、多选题 1．(24-25高一上·辽宁重点高中沈阳郊联体·期末)（多选）定义区间的长度为，记函数（其中）的定义域的长度为，则下列说法正确的有（    ） A． B．的值域为 C．在上单调递增 D．给定常数，当时，的最小值为 二、解答题 2．(24-25高一上·辽宁大连·期末)两个定义域相同的函数和，存在实数m，n，使，则称为和的函数. (1)函数为和的函数，且.判断函数的图象是否有对称中心，并说明理由. (2)函数为和的函数，且. ①判断单调性，并用单调性定义证明； ②证明：函数有且只有两个零点，，且. 3．(24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末)若两函数与同时满足下列两个条件：①定义域为的非常值函数；②均有，则称为的“函数”. (1)判断函数是否为的“函数”； (2)若为的“函数”，判断函数的奇偶性，并证明； (3)在（2）的条件下，如果，当时，，且对所有实数均成立，求满足要求的最小正数，并说明理由. 4．(24-25高一上·辽宁锦州·期末)若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”． (1)若，求证：为上的“4类函数”； (2)已知为上的“2类函数”，且，若时，，都有，求实数的取值范围； (3)若为上的“2类函数”，且，证明：． 5．(24-25高一上·辽宁重点中学协作校·期末)对于在区间上有意义的函数，若满足对任意的、，有恒成立，则称在上是“接近”的，否则就称在上是“不接近”的.现有函数 (1)当时，判断函数在上是否“接近”的，说明理由； (2)是否存在实数，使函数在区间上是“不接近”的，若存在，求实数的取值范围；不存在说明理由. 6．(24-25高一上·辽宁沈阳·期末)定义一种新的运算“”：、，都有. (1)对于任意实数、、，试判断与的大小关系； (2)若关于的不等式的解集中的整数恰有个，求实数的取值范围； (3)已知函数，，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围. 7．(24-25高一上·辽宁五校联考·期末)若函数的定义域、值域均为，则称为区间上的方正函数． (1)若为区间上的方正函数，求实数的值； (2)是否存在实数对，使得函数为区间上的方正函数？若存在，请写出符合要求的所有实数对，若不存在，请说明理由． 8．(24-25高一上·辽宁丹东·期末)在信号处理技术中，函数的调和零点至关重要，它用于检测系统的稳定性与性能.定义：若集合，称为函数的一个调和零点，的所有调和零点之和记为，表示集合中的所有元素的个数. 已知. (1)当，时，求的值； (2)若，，求、的值. 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $