专题02 不等式性质和基本不等式（期末真题汇编，辽宁专用）高一数学上学期人教B版

专题02 不等式性质和基本不等式 3大高频考点概览 考点01 不等式的性质 考点02 解不等式 考点03 用基本不等式求最值 地 城 考点01 不等式的性质 一、单选题 1．(24-25高一上·辽宁五校联考·期末)已知a，b均为正实数，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省五校联考2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题 【分析】根据给定条件，作差比较大小. 【详解】由a，b均为正实数，， 得 ，当且仅当时取等号， 所以. 故选：D 2．(24-25高一上·辽宁锦州·期末)某污水处理厂为使处理后的污水达到排放标准，需要加入某种药剂，加入药剂后，药剂的浓度（单位：）随时间（单位：h）的变化关系可近似的用函数刻画．由此可以判断，要使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过（   ） A．1h B．2h C．3h D．4h 【答案】C 【来源】辽宁省锦州市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】利用基本不等式求解最值可得． 【详解】依题意，，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故由此可判断，若使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过3h． 故选：C 3．(23-24高一上·辽宁县级重点高中协作体·期末)“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【来源】辽宁省县级重点高中协作体2023-2024学年高一上学期末考试数学试题 【分析】根据不等式的性质和充分必要条件的判定方法进行判断. 【详解】因为，所以，所以. 若，不妨设，则，即. 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：B 4．(23-24高一上·辽宁丹东·期末)已知，且，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省丹东市2023-2024学年高一上学期期末教学质量监测数学试题 【分析】由题意有且，利用不等式的性质判断各选项的结论是否正确. 【详解】且，则有，， ，则，A选项错误； ，的符号未知，不能确定，B选项错误； ，当时，，C选项错误； ，，，D选项正确. 故选：D 二、多选题 5．(24-25高一上·辽宁沈阳·期末)以下命题正确的选项是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【来源】辽宁省沈阳市2024-2025学年高一上学期1月期末质量监测数学试题 【分析】利用不等式的基本性质可判断AD选项，利用特殊值法可判断B选项，利用作差法可判断C选项. 【详解】对于A选项，由，可得，又因为，则，A对； 对于B选项，取，，，显然有，， 但，B错； 对于C选项，因为，则， 因为，但由于， 故，从而有，所以，，即，C对； 对于D选项，因为且，由不等式的性质可得，D对. 故选：ACD. 6．(23-24高一上·辽宁沈阳·期末)若，，下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【来源】辽宁省沈阳市2023-2024学年高一上学期期末教学质量监测（1月）数学试题 【分析】利用不等式性质和作差法以及基本不等式一一分析即可. 【详解】对A，因为，所以，又，所以，A选项错误； 对B，因为，所以B选项正确； 对C，因为，，，所以C选项正确； 对D，因为，由均值不等式得，又，所以不能取等，D选项正确， 故选：BCD. 地 城 考点02 解不等式 一、单选题 1．(24-25高一上·辽宁大连第二十四中学·期末)关于x的一元二次方程的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷 【分析】由方程的解集和根与系数关系得的关系，并由得a的正负，代入不等式后即可求解. 【详解】∵关于x的一元二次方程的解集为， ，即，，即. ， 即，即，解得. 故选：A. 2．(24-25高一上·辽宁抚顺六校协作体·期末)若“存在，使得”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】辽宁省抚顺市六校协作体2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷 【分析】原命题为假，则命题的否定为真，再由二次不等式的判别式建立不等关系，解出实数的取值范围. 【详解】设：存在，使得，为假命题， 则：，，为真命题. 所以，所以. 故选：C. 二、填空题 3．(23-24高一上·辽宁县级重点高中协作体·期末)已知，且，则的最小值为 . 【答案】9 【来源】辽宁省县级重点高中协作体2023-2024学年高一上学期末考试数学试题 【分析】将所给条件式变形，结合基本不等式得关于的不等式，求解即可. 【详解】由，得，即. 因为，所以， 当且仅当时，取等号， 令，则，解得或（舍去）， 即，当且仅当时，取等号， 故的最小值是9. 故答案为：9． 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是注意到关于的式子其积为定值，从而利用基本不等式得解. 三、解答题 4．(24-25高一上·辽宁锦州·期末)关于的方程的解集为． (1)求； (2)求关于的不等式的解集； (3)求关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【来源】辽宁省锦州市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】（1）根据韦达定理列式求解即可； （2）根据一元二次不等式的解法求解即可； （3）将分式不等式化简，然后转化为一元二次不等式求解即可. 【详解】（1）因为的解集为， 所以且，解得； （2）， 所以， 所以不等式的解集为； （3），即，所以， 即，所以， 因此不等式的解集为. 5．(23-24高一下·辽宁七校·)已知函数 (1)解关于的不等式； (2)若方程有两个正实数根，求的最小值. 【答案】(1)答案见解析； (2)6. 【来源】辽宁省七校2023-2024学年高一下学期期初考试数学试卷 【分析】（1）解含参一元二次不等式，即可得答案； （2）根据方程有两个正实数根可得相应不等式组，进而表示出，采用换元法结合基本不等式即可求得答案. 【详解】（1）不等式即为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 综上可知：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. （2）方程有两个正实数根， 即有两个正实数根 故，解得， 所以 令，则，故 当且仅当即时取得等号， 故的最小值为6. 地 城 考点03 用基本不等式求最值 一、单选题 1．(24-25高一上·辽宁大连第二十四中学·期末)已知正实数，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷 【分析】由，令，则问题转化为求的最小值，利用基本不等式计算可得. 【详解】因为， 令，则， 又，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 即的最小值为，当且仅当时取等号， 所以的取值范围是. 故选：C 2．(24-25高一上·辽宁沈阳五校协作体·期末)已知正实数、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【来源】辽宁省沈阳市五校协作体2024-2025学年高一上学期期末联考数学试题 【分析】根据已知条件结合基本不等式建立不等式，从而解出的最大值. 【详解】∵ ∴， ∴，即，当且仅当时取等号， 故选：B 3．(24-25高一上·辽宁协作体·期末)已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省协作体2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷 【分析】利用基本不等式求解. 【详解】因为正数，满足， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为， 故选：D 二、多选题 4．(24-25高一上·辽宁大连第二十四中学·期末)“计算是数学大厦的根基”，下列计算中正确的是（    ） A．若，则 B．不等式的解集为 C．若，则 D．若，则的最小值为 【答案】ABD 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷 【分析】利用作差法及不等式的性质判断A，利用零点分段法解绝对值不等式，即可判断B，利用特殊值判断C，利用乘“1”法及基本不等式判断D. 【详解】对于A：因为， 所以，所以， 则，故A正确； 对于B：不等式，即， 即或或， 解得或或， 所以不等式的解集为，故B正确； 对于C：当时，显然满足，但是，故C错误； 对于D：因为，，所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号，故D正确. 故选：ABD 5．(24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末)下列说法正确的有（    ） A．的最小值为 B．已知，则的最小值为 C．若正数、为实数，若，则的最大值为 D．设、为实数，若，则的最大值 【答案】BD 【来源】辽宁省葫芦岛市2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试卷 【分析】取，利用基本不等式可判断A选项；利用基本不等式可判断B选项；由已知等式变形得出，将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式可判断C选项；由基本不等式可得出关于的不等式，可求出的最大值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，函数无最小值，A错； 对于B选项，当时，则， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当时，函数的最小值为，B对； 对于C选项，因为正数、满足，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为，C错； 对于D选项，因为、为实数，且， 则， 可得，解得， 当且仅当时，即当时，取最大值，D对. 故选：BD. 6．(24-25高一上·辽宁丹东·期末)若正实数，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【来源】辽宁省丹东市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】根据基本不等式可判断ABC的真假，利用二次函数的性质可判断D的真假． 【详解】对A：因为，所以，当且仅当，即时取“”，故A错误； 对B：因为 ， 当且仅当，即时取“”，故B正确； 对C：因为 ， 又，所以. 所以，当且仅当时取“”，故C正确； 对D：由且，得，. 所以 ，. 所以当时，取得最小值，此时，，，故D正确. 故选：BCD 三、填空题 7．(24-25高一上·辽宁五校联考·期末)若，则的最大值为 ． 【答案】1 【来源】辽宁省五校联考2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题 【分析】由已知可知，代入到所求式子，进行分离变形，然后结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，所以， 则 ， 所以， 当且仅当，时取等号． 故答案为： 8．(24-25高一上·辽宁沈阳·期末)不等式对恒成立，则 . 【答案】 【来源】辽宁省沈阳市2024-2025学年高一上学期1月期末质量监测数学试题 【分析】分析可知，关于的方程的两根分别为、，利用韦达定理求出、的值，即可得解. 【详解】由，即或，解得或， 由，即，解得， 因为不等式对恒成立， 当或时，，则， 当时，，则， 由上可知，关于的方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，，可得，， 因此，. 故答案为：. 四、解答题 9．(24-25高一上·辽宁抚顺六校协作体·期末)已知，，且. (1)求的最小值： (2)求的最小值； (3)求的最大值. 【答案】(1) (2)6 (3) 【来源】辽宁省抚顺市六校协作体2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷 【分析】（1）根据基本不等式的乘“1”法即可求解， （2）根据指数幂的运算，结合基本不等式即可求解， （3）根据基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为，所以 因为，，所以，， 所以， 所以， 当且仅当时，即时等号成立， 所以的最小值为. （2）因为， 所以. 当且仅当时，即时等号成立， 所以的最小值6. （3）因为，即，因为，，所以， 所以 整理有：， 因为，所以，， 所以， 即，当且仅当，即时，取等号， 所以的最大值为. 10．(23-24高一上·辽宁朝阳建平县实验中学·期末)冷链物流是指以冷冻工艺为基础、制冷技术为手段，使冷链物品从生产、流通、销售到消费者的各个环节始终处于规定的温度环境下，以减少冷链物品损耗的物流活动.随着人民食品安全意识的提高及线上消费需求的增加，冷链物流市场规模也在稳步扩大.某冷链物流企业准备扩大规模，决定在2024年初及2025年初两次共投资4百万元，经预测，每年初投资的百万元在第（，且）年产生的利润（单位：百万元），记这4百万元投资从2024年开始的第年产生的利润之和为. (1)比较与的大小； (2)求两次投资在2027年产生的利润之和的最大值. 【答案】(1) (2) 【来源】辽宁省朝阳市建平县实验中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题 【分析】（1）由求出，，再由作差法比较大小即可得出答案. （2）先求出两次投资在2027年产生的利润之和，再由基本不等式或判别式求出的最大值. 【详解】（1）表示2024年及2025年各投资2百万元， 由题意得， ， ， 所以. （2）两次投资在2027年产生的利润之和为百万元， 设2024年初投资百万元，则2025年初投资百万元， 2024年初投资的百万元在2027年产生的利润为（百万元）， 2025年初投资的百万元在2027年产生的利润为（百万元）， 所以. 解法一： ，设， 则，两边平方得， 由得，所以， 当时取等号. 所以，. 所以两次投资在2027年产生的利润之和的最大值为百万元. 解法二： ， 当且仅当，即时取等号， 所以，两次投资在2027年产生的利润之和的最大值为百万元. 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 不等式性质和基本不等式 3大高频考点概览 考点01 不等式的性质 考点02 解不等式 考点03 用基本不等式求最值 地 城 考点01 不等式的性质 一、单选题 1．(24-25高一上·辽宁五校联考·期末)已知a，b均为正实数，若，则（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·辽宁锦州·期末)某污水处理厂为使处理后的污水达到排放标准，需要加入某种药剂，加入药剂后，药剂的浓度（单位：）随时间（单位：h）的变化关系可近似的用函数刻画．由此可以判断，要使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过（   ） A．1h B．2h C．3h D．4h 3．(23-24高一上·辽宁县级重点高中协作体·期末)“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．(23-24高一上·辽宁丹东·期末)已知，且，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．(24-25高一上·辽宁沈阳·期末)以下命题正确的选项是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 6．(23-24高一上·辽宁沈阳·期末)若，，下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 地 城 考点02 解不等式 一、单选题 1．(24-25高一上·辽宁大连第二十四中学·期末)关于x的一元二次方程的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·辽宁抚顺六校协作体·期末)若“存在，使得”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．(23-24高一上·辽宁县级重点高中协作体·期末)已知，且，则的最小值为 . 三、解答题 4．(24-25高一上·辽宁锦州·期末)关于的方程的解集为． (1)求； (2)求关于的不等式的解集； (3)求关于的不等式的解集． 5．(23-24高一下·辽宁七校·)已知函数 (1)解关于的不等式； (2)若方程有两个正实数根，求的最小值. 地 城 考点03 用基本不等式求最值 一、单选题 1．(24-25高一上·辽宁大连第二十四中学·期末)已知正实数，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·辽宁沈阳五校协作体·期末)已知正实数、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 3．(24-25高一上·辽宁协作体·期末)已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 二、多选题 4．(24-25高一上·辽宁大连第二十四中学·期末)“计算是数学大厦的根基”，下列计算中正确的是（    ） A．若，则 B．不等式的解集为 C．若，则 D．若，则的最小值为 5．(24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末)下列说法正确的有（    ） A．的最小值为 B．已知，则的最小值为 C．若正数、为实数，若，则的最大值为 D．设、为实数，若，则的最大值 6．(24-25高一上·辽宁丹东·期末)若正实数，满足，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 7．(24-25高一上·辽宁五校联考·期末)若，则的最大值为 ． 8．(24-25高一上·辽宁沈阳·期末)不等式对恒成立，则 . 四、解答题 9．(24-25高一上·辽宁抚顺六校协作体·期末)已知，，且. (1)求的最小值： (2)求的最小值； (3)求的最大值. 10．(23-24高一上·辽宁朝阳建平县实验中学·期末)冷链物流是指以冷冻工艺为基础、制冷技术为手段，使冷链物品从生产、流通、销售到消费者的各个环节始终处于规定的温度环境下，以减少冷链物品损耗的物流活动.随着人民食品安全意识的提高及线上消费需求的增加，冷链物流市场规模也在稳步扩大.某冷链物流企业准备扩大规模，决定在2024年初及2025年初两次共投资4百万元，经预测，每年初投资的百万元在第（，且）年产生的利润（单位：百万元），记这4百万元投资从2024年开始的第年产生的利润之和为. (1)比较与的大小； (2)求两次投资在2027年产生的利润之和的最大值. 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $