专题03 平面向量（期末真题汇编，辽宁专用）高一数学上学期人教B版

专题03 平面向量 4大高频考点概览 考点01 平面向量的线性运算 考点02 向量的坐标运算 考点03 根据向量运算求参数值 考点04 结合基本不等式求范围 地 城 考点01 平面向量的线性运算 一、单选题 1．(24-25高一上·辽宁锦州·期末)在中，为边上一点，与交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】辽宁省锦州市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】根据向量的线性运算，结合图象，利用作为基底，表示，根据共线定理的推论，建立方程，可得答案. 【详解】由题意作图如下： 由，则， 所以， 由共线，则，由，则， 所以，整理可得， 由共线，则，解得，即， 由， 则，所以. 故选：B. 2．(24-25高一上·辽宁五校联考·期末)如图，在平行四边形ABCD中，为对角线的交点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】辽宁省五校联考2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题 【分析】根据向量的运算法则可得结果. 【详解】. 故选：A 3．(24-25高一上·辽宁沈阳·期末)是平面内不共线两向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】A 【来源】辽宁省沈阳市2024-2025学年高一上学期1月期末质量监测数学试题 【分析】求出向量，再利用向量共线列式求出值. 【详解】由，，得， 由，，三点共线，得，又，不共线， 则，所以. 故选：A 4．(24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末)在中，为边上的中线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】辽宁省葫芦岛市2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试卷 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】如图， 故选：C. 5．(24-25高一上·辽宁朝阳·期末)如图，四边形中，为线段的中点，为线段上靠近的一个四等分点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省朝阳市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】由题意，为线段的中点， 则 ． 故选：D． 6．(24-25高一上·辽宁大连第二十四中学·期末)①平行向量就是共线向量；②若向量与是共线向量，则、、、四点共线；③若非零向量与满足，则、互为相反向量.其中正确的有（    ）个. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷 【分析】根据共线向量、相反向量的定义判断即可. 【详解】对于①：平行向量就是共线向量，故①正确； 对于②：若向量与是共线向量，则直线直线或、、、四点共线，故②错误； 对于③：若非零向量与满足，即，所以、互为相反向量，故③正确. 故选：C 二、多选题 7．(24-25高一上·辽宁大连大连育明高级中学·期末)下列命题正确的是（    ） A．若，则存在唯一实数使得 B．“”是“”的必要不充分条件 C．已知为平面内两个不共线的向量，则可作为平面的一组基底 D．若点为的重心，则 【答案】BCD 【来源】辽宁省大连市大连育明高级中学2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题 【分析】A注意、为零向量，则不唯一，即可判断；B根据充分、必要性的定义，结合条件间的推出关系判断；C根据基底的性质判断；D由重心是中线的交点，应用向量加法、数乘的几何意义判断. 【详解】A：若、为零向量，满足前提，但不唯一，错； B：对于，如非零向量，显然此时不成立； 对于，必有，故“”是“”的必要不充分条件，对； C：由为不共线的向量，若，，显然无解， 所以也不共线，故可作为平面的一组基底，对； D：由重心是中线的交点，如下图示为平行四边形，过的中点， 则，且，故，对. 故选：BCD 8．(24-25高一上·辽宁丹东·期末)已知向量、、都是单位向量，，则（   ） A． B． C． D．与共线 【答案】AC 【来源】辽宁省丹东市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】由已知可得出，可判断A选项；在等式两边平方可得出，利用平面向量数量积的运算性质可判断B选项；由已知可得出，结合平面向量数量积的运算性质可判断C选项；利用平面向量共线的基本定理可判断D选项. 【详解】对于A选项，向量、、都是单位向量，，则， 所以，A对； 对于B选项，在等式两边平方可得， 即，则，则， 所以，故，B错； 对于C选项，因为，则， 所以，， 所以 ，故，C对； 对于D选项，， 若与共线，则存在，使得， 即，可得，即， 这与矛盾，假设不成立，D错. 故选：AC. 9．(24-25高一上·辽宁实验中学分校（实验北）·期末)下列命题正确的是（    ） A．若向量共线，则必在同一条直线上 B．若为平面内任意三点，则 C．若点为的重心，则 D．已知向量，若，则 【答案】BCD 【来源】辽宁省实验中学分校（实验北）2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷 【分析】由向量共线的定义判断A，由向量运算性质判断B，由向量运算性质结合三角形重心的性质可判断C，由向量共线的坐标运算判断D. 【详解】对于A，若向量 ，共线， 只需两个向量方向相同或相反即可， 则A, B, C, D不必在同一直线上，故A错误； 对于B，由向量线性运算性质知，故B正确； 对于C，若点G为的重心， 设AB中点为M，则， 由重心性质知， 所以，故C正确； 对于D，因为向量， 所以， 化简得，故D正确. 故选：BCD. 10．(24-25高一上·辽宁重点中学协作校·期末)《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深遂的哲理解释了自然，社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形，其中为正八边形的中心，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D．和不能构成一组基底 【答案】ACD 【来源】辽宁省重点中学协作校2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题 【分析】利用相等向量的定义可判断A选项；利用平面向量的加法可判断B选项；利用平面向量加法的平行四边形法则可判断C选项；推导出，可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意知，，，， 所以，，所以，，所以，， 又因为，由相等向量的定义可知，，A对； 对于B选项，，B错； 对于C选项，根据平面向量的加法法则可知， 为以、为邻边的正方形中以为始点的一条对角线所对应的向量， 所以，，所以，， 又因为，故，C对； 对于D选项，连接，如下图所示：    由正八边形的几何性质可得， ，， 又因为，则为等腰三角形，则， 所以，， 所以，，所以，， 因为，所以，，故和共线，即和不能构成一组基底，D对. 故选：ACD. 11．(24-25高一上·辽宁大连·期末)下列关于向量说法，正确的是（   ） A．若，，则 B．在△ABC中，若，则△AOC与△ABC的面积之比为 C．两个非零向量，，若，则与共线且反向 D．若，则存在唯一实数使得 【答案】BC 【来源】辽宁省大连市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】对于A，举例判断，对于B，设为的中点，连接，则可得，从而分析判断，对于C，对已知等式两边平方化简进行判断，对于D，举例判断. 【详解】对于A，当时，因为零向量与任意向量都平行，所以，成立，而此时不一定平行，所以A错误， 对于B，因为，所以，设为的中点，连接， 则，所以，所以点到的距离等于点到的距离的3倍， 所以△AOC与△ABC的面积之比为，所以B正确， 对于C，由，得，化简得， 所以，所以与的夹角为，所以与共线且反向，所以C正确， 对于D，当时，不存在唯一实数使得，所以D错误. 故选：BC 12．(24-25高一上·辽宁朝阳·期末)下列关于平面向量的说法错误的是（   ） A．若是共线的单位向量，则 B．若，则 C．若，则不是共线向量 D．若，则一定存在实数，使得 【答案】ACD 【来源】辽宁省朝阳市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】由方向可判断A，由相等向量概念可判断B，由共线向量的概念可判断C，由且时，可判断D； 【详解】是共线的单位向量，则或，A错误； 向量相等，即大小相等，方向相同，B正确； 若也有可能长度不等，但方向相同或相反，即共线，C错误； 若，不一定存在实数，使得，如且时，命题不成立，D错误． 故选：ACD． 三、填空题 13．(24-25高一上·辽宁大连大连育明高级中学·期末)在四边形中，，点是四边形所在平面上一点，满足．设分别为四边形与的面积，则 ． 【答案】 【来源】辽宁省大连市大连育明高级中学2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题 【分析】若分别为的中点，得到，根据已知得，且为梯形，再应用梯形、三角形面积公式求四边形与的面积，即可结果. 【详解】由， 所以，若分别为的中点，如下图， 则，即，又，则， 故，所以， 综上，， 令梯形的高为，则，， 所以. 故答案为： 14．(24-25高一上·辽宁丹东·期末)在中，是上一点，且，用基底表示向量，则 . 【答案】 【来源】辽宁省丹东市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】由题意可得出，利用平面向量的减法可得出关于、的表达式. 【详解】如下图所示： 在中，是上一点，且，则， 所以，，故. 故答案为：. 四、解答题 15．(24-25高一上·河北保定部分高中·期中)如图，在中，.设. (1)用表示； (2)若为内部一点，且.求证：三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【来源】河北省保定市部分高中2024-2025学年高一（1 3）上学期11月期中考试数学试题 【分析】（1）借助向量加法法则与减法法则计算即可得； （2）借助向量线性运算法则可用表示出，再利用向量共线定理推导即可得证. 【详解】（1）， ； （2）， 又，故， 故三点共线. 16．(24-25高一上·辽宁大连第二十四中学·期末)在中，点D为边上靠近A的三等分点，点M为形内一点.    (1)如图，若点M满足 求与的面积之比； (2)若点O为的外心，点M满足 延长线交于点N， 求k的值. 【答案】(1) (2) 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷 【分析】（1）延长至使，可以得到四边形是平行四边形，然后根据，所以，又，所以，进而得到答案. （2）由，得，设，由及向量的运算法则可得，又因为，列得方程组，求解即可得的值. 【详解】（1）M是所在平面内一点，延长至使. ，， 连接，因为向量和向量平行且模相等，则四边形是平行四边形. 由于，所以，又，所以， 在平行四边形中，，所以与的面积之比为.    （2），. 设，，， ，， ， 又， ，解得. 所以.    地 城 考点02 向量的坐标运算 一、单选题 1．(24-25高一上·辽宁大连第二十四中学·期末)已知向量，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷 【分析】首先求出的坐标，再根据向量模的坐标表示计算可得. 【详解】因为，， 所以，所以. 故选：D 2．(24-25高一上·辽宁锦州·期末)，若，则（ ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【来源】辽宁省锦州市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】由向量的坐标求得向量的坐标，由向量平行的坐标关系建立方程，求得的值. 【详解】由得， ∵，，∴，解得. 故选：A. 3．(24-25高一上·辽宁丹东·期末)已知向量，，若，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【来源】辽宁省丹东市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】根据平面向量平行的结论求参数. 【详解】因为，所以 . 故选：A 二、多选题 4．(24-25高一上·辽宁五校联考·期末)下列各组向量中，不能作为基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【来源】辽宁省五校联考2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题 【分析】结合坐标运算，根据平面向量的基底定义逐个选项判断即可. 【详解】要使平面中两个向量作为基底， 必须满足是非零向量，且不共线，即不存在倍数关系，故A正确； 对于B，由，B正确； 对于D，由，D正确； 对于C，两向量不存在倍数关系，所以C错误. 故选：ABD 三、填空题 5．(24-25高一上·辽宁鞍山普通高中·)已知向量，且 ，则 . 【答案】 【来源】辽宁省鞍山市普通高中2024-2025学年高一上学期质量监测数学试题 【分析】由向量坐标运算法则求，结合向量平行的坐标表示求，再求的坐标，再由模的坐标表示求结论. 【详解】因为， 所以， 因为 ， 所以， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 6．(24-25高一上·辽宁大连第二十四中学·期末)平面直角坐标系内点，，，若O、A、B三点共线，则线段AB上靠近点A的三等分点的坐标为 . 【答案】 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷 【分析】首先根据三点共线可求得，可求.再根据向量共线定理与向量加法运算即可求解. 【详解】，， ，. ∵O、A、B三点共线， ，解得或（舍去）. ，，. 设线段AB上靠近点A的三等分点为C， 则，. 故答案为：. 四、解答题 7．(24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末)在中，是重心，直线过点，交于点，交于点. (1)求； (2)若为正实数，求的最小值. 【答案】(1) (2)6 【来源】辽宁省葫芦岛市2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试卷 【分析】（1）法一，由重心坐标公式即可求解；法二，由可求解； （2）由三点共线得到，再结合基本不等式即可求解； 【详解】（1）设点，由中心坐标公式得： ， ， 又， 所以，， 故 法二： 根据题意：， 所以，. （2）由， 得， 所以 因为三点共线， 所以. 则 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为6. 地 城 考点03 根据向量运算求参数值 一、单选题 1．(24-25高一上·辽宁大连大连育明高级中学·期末)如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于，连接并延长交于点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【来源】辽宁省大连市大连育明高级中学2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题 【分析】由共线、共线分别可得、，进而得、求参数，得，最后由且共线求参数. 【详解】由共线，则，， 所以①， 由共线，则，， 所以②， 由①②知：，则，故， 由，则， 由共线，则，可得. 故选：A 【点睛】关键点点睛：令、，利用不同参数及表示出为关键. 二、填空题 2．(24-25高一上·辽宁沈阳回民中学·期末)如图，在中，为线段AC上靠近点的三等分点，若，则 . 【答案】/ 【来源】辽宁省沈阳市回民中学2024-2025学年高一上学期期末质量监测数学试题 【分析】结合图形由向量的减法和三点共线可求； 【详解】， 因为为线段AC上靠近点的三等分点，所以， 所以， 又三点共线，所以， 故答案为：. 地 城 考点04 结合基本不等式求范围 一、单选题 1．(24-25高一上·辽宁重点中学协作校·期末)如图，在中，为线段上一点，且，为线段的中点，过点的直线分别交直线、于、两点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】辽宁省重点中学协作校2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题 【分析】利用平面向量的基本定理推导出，即，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为，则，所以，， 因为为的中点，则， 因为、、三点共线，设，则， 所以，， 因为，，则，， 所以，， 因为、不共线，所以，，所以，， 所以，，即， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：C. 二、多选题 2．(24-25高一上·辽宁锦州·期末)已知与夹角为，若且，，则的可能值为（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】CD 【来源】辽宁省锦州市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】利用数量积的性质表示模长，根据基本不等式，可得答案. 【详解】由，则， 整理可得，由，当且仅当时取等号， 则，解得，所以， 由，则选项AB错误，选项CD正确. 故选：CD. 3．(24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末)如图，在梯形中，，，为线段的中点，与交于点，为线段上的一个动点，则（    ） A． B．向量与共线 C． D．若，则最大值 【答案】ACD 【来源】辽宁省葫芦岛市2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试卷 【分析】利用平面向量的基本定理求出关于、的表达式，可判断A选项；利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式，结合平面向量共线的基本定理可判断B选项；推导出，可得出、、面积的关系，可判断C选项；分析可知存在，使得，利用平面向量的基本定理可得出关于的表达式，可求出的最大值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意可知，，则， 因为为的中点，则，即， 所以，， 因为，则存在，使得， 因为、、三点共线，则存在，使得， 即，可得， 因为、不共线，所以，，解得，故，A对； 对于B选项，， 所以，、不共线，B错； 对于C选项，因为为的中点，则， 因为，则， 故，同理可得， 所以，，C对； 对于D选项，因为为线段上一个动点，则存在，使得， 所以，， 因为、不共线，则，，故， 因此，的最大值为，D对. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于选择基底，将问题中相关的向量利用基本向量加以表示，再结合平面向量相关知识求解. 三、解答题 4．(24-25高一上·辽宁大连·期末)如图，在中，.    (1)若E是BD的中点，试用和表示； (2)若G是AD上一点，且，过点G的直线交AB于点F，交AC于点H.若，，其中，均为正实数，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【来源】辽宁省大连市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【分析】（1）利用向量的加减法运算法则，结合平面向量基本定理求解； （2）由已知条件可得，再由F，G，H三点共线，得，然后利用基本不等式可求得答案. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 因为E是BD的中点， 所以 ； （2）由，，得，， 因为，， 所以， 因为F，G，H三点共线，所以， 则 当且仅当时， 即时，等号成立， 所以的最小值为. 5．(24-25高一上·辽宁鞍山普通高中·)如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与边交于两点（点与点不重合），设，    (1)求的值； (2)求的最小值，并求此时的值. 【答案】(1) (2)时，的最小值. 【来源】辽宁省鞍山市普通高中2024-2025学年高一上学期质量监测数学试题 【分析】（1）结合向量的线性运算，根据平面向量基本定理列式求解； （2）结合（1）的结论，利用基本不等式常数代换技巧求解最值即可. 【详解】（1）如图所示，延长交于，已知点是的重心， 故为中点，所以，    所以， 所以，①. 因为三点共线，设，即， ②， 由①②得， 所以，即. （2）由题意可知，且. 所以， 当且仅当，即时取等号， 又因为，所以时，的最小值. 6．(24-25高一上·辽宁重点中学协作校·期末)如图，在等腰梯形中，，，为线段中点，与交于点，连接，为线段上的一个动点. (1)用基底表示； (2)求的值； (3)设，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【来源】辽宁省重点中学协作校2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题 【分析】（1）解法一：由平面向量的线性运算法可得，，结合可得出关于的表达式，再由可得结果； 解法二：将表示为的表达式，将表示为的表达式，代入可得结果； （2）设，，将表示为基底的表达式，结合平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，解出的值，即可得出的值； （3）设，将表示为的表达式，利用平面向量的基本定理可得出关于的表达式，求出的取值范围，再结合二次函数的基本性质可求出的取值范围. 【详解】（1）解法一：由向量的线性运算法则可得①，②， 因为为线段中点，则，由题意可得， ①②得，整理得：， 则 解法二：因为①， ②， 将②代入①得. （2）由与交于点，设③， 设，可得，即④， 由③④得，消去得，所以，即. （3）由题意，可设， 代入中并整理可得. 又，故，可得. 因为，且函数在上单调递减，所以， ， 因为函数在单调递减， 所以，，， 所以的取值范围为. 7．(24-25高一上·辽宁五校联考·期末)如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点． (1)若，求实数x，y的值； (2)若，求实数的值； (3)如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【来源】辽宁省五校联考2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题 【分析】（1）根据向量的线性运算以为基底表示，进而求解； （2）根据向量的线性运算以为基底表示,又因为两向量共线所以具有倍数关系，求出的值； （3）根据向量的线性运算以为基底表示，又因为三点共线，所以系数之和为1，得出，然后应用基本不等式中1的代换求出的最小值. 【详解】（1）因为所以， 所以, 所以. （2）由题意可知：， ， 又因为三点共线，所以存在实数使得, ， 所以，解得：， 所以. （3）易知， 由（2）知， 又因为三点共线,所以，又， 所以：， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 平面向量 4大高频考点概览 考点01 平面向量的线性运算 考点02 向量的坐标运算 考点03 根据向量运算求参数值 考点04 结合基本不等式求范围 地 城 考点01 平面向量的线性运算 一、单选题 1．(24-25高一上·辽宁锦州·期末)在中，为边上一点，与交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·辽宁五校联考·期末)如图，在平行四边形ABCD中，为对角线的交点，则（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·辽宁沈阳·期末)是平面内不共线两向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为（    ） A．3 B． C． D．2 4．(24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末)在中，为边上的中线，则（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一上·辽宁朝阳·期末)如图，四边形中，为线段的中点，为线段上靠近的一个四等分点，则（   ） A． B． C． D． 6．(24-25高一上·辽宁大连第二十四中学·期末)①平行向量就是共线向量；②若向量与是共线向量，则、、、四点共线；③若非零向量与满足，则、互为相反向量.其中正确的有（    ）个. A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 7．(24-25高一上·辽宁大连大连育明高级中学·期末)下列命题正确的是（    ） A．若，则存在唯一实数使得 B．“”是“”的必要不充分条件 C．已知为平面内两个不共线的向量，则可作为平面的一组基底 D．若点为的重心，则 8．(24-25高一上·辽宁丹东·期末)已知向量、、都是单位向量，，则（   ） A． B． C． D．与共线 9．(24-25高一上·辽宁实验中学分校（实验北）·期末)下列命题正确的是（    ） A．若向量共线，则必在同一条直线上 B．若为平面内任意三点，则 C．若点为的重心，则 D．已知向量，若，则 10．(24-25高一上·辽宁重点中学协作校·期末)《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深遂的哲理解释了自然，社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形，其中为正八边形的中心，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D．和不能构成一组基底 11．(24-25高一上·辽宁大连·期末)下列关于向量说法，正确的是（   ） A．若，，则 B．在△ABC中，若，则△AOC与△ABC的面积之比为 C．两个非零向量，，若，则与共线且反向 D．若，则存在唯一实数使得 12．(24-25高一上·辽宁朝阳·期末)下列关于平面向量的说法错误的是（   ） A．若是共线的单位向量，则 B．若，则 C．若，则不是共线向量 D．若，则一定存在实数，使得 三、填空题 13．(24-25高一上·辽宁大连大连育明高级中学·期末)在四边形中，，点是四边形所在平面上一点，满足．设分别为四边形与的面积，则 ． 14．(24-25高一上·辽宁丹东·期末)在中，是上一点，且，用基底表示向量，则 . 四、解答题 15．(24-25高一上·河北保定部分高中·期中)如图，在中，.设. (1)用表示； (2)若为内部一点，且.求证：三点共线. 16．(24-25高一上·辽宁大连第二十四中学·期末)在中，点D为边上靠近A的三等分点，点M为形内一点.    (1)如图，若点M满足 求与的面积之比； (2)若点O为的外心，点M满足 延长线交于点N， 求k的值. 地 城 考点02 向量的坐标运算 一、单选题 1．(24-25高一上·辽宁大连第二十四中学·期末)已知向量，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．(24-25高一上·辽宁锦州·期末)，若，则（ ） A． B．0 C．1 D．2 3．(24-25高一上·辽宁丹东·期末)已知向量，，若，则（   ） A． B．2 C． D． 二、多选题 4．(24-25高一上·辽宁五校联考·期末)下列各组向量中，不能作为基底的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 5．(24-25高一上·辽宁鞍山普通高中·)已知向量，且 ，则 . 6．(24-25高一上·辽宁大连第二十四中学·期末)平面直角坐标系内点，，，若O、A、B三点共线，则线段AB上靠近点A的三等分点的坐标为 . 四、解答题 7．(24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末)在中，是重心，直线过点，交于点，交于点. (1)求； (2)若为正实数，求的最小值. 地 城 考点03 根据向量运算求参数值 一、单选题 1．(24-25高一上·辽宁大连大连育明高级中学·期末)如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于，连接并延长交于点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 二、填空题 2．(24-25高一上·辽宁沈阳回民中学·期末)如图，在中，为线段AC上靠近点的三等分点，若，则 . 地 城 考点04 结合基本不等式求范围 一、单选题 1．(24-25高一上·辽宁重点中学协作校·期末)如图，在中，为线段上一点，且，为线段的中点，过点的直线分别交直线、于、两点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．(24-25高一上·辽宁锦州·期末)已知与夹角为，若且，，则的可能值为（   ） A．2 B． C． D．1 3．(24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末)如图，在梯形中，，，为线段的中点，与交于点，为线段上的一个动点，则（    ） A． B．向量与共线 C． D．若，则最大值 三、解答题 4．(24-25高一上·辽宁大连·期末)如图，在中，.    (1)若E是BD的中点，试用和表示； (2)若G是AD上一点，且，过点G的直线交AB于点F，交AC于点H.若，，其中，均为正实数，求的最小值. 5．(24-25高一上·辽宁鞍山普通高中·)如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与边交于两点（点与点不重合），设，    (1)求的值； (2)求的最小值，并求此时的值. 6．(24-25高一上·辽宁重点中学协作校·期末)如图，在等腰梯形中，，，为线段中点，与交于点，连接，为线段上的一个动点. (1)用基底表示； (2)求的值； (3)设，求的取值范围. 7．(24-25高一上·辽宁五校联考·期末)如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点． (1)若，求实数x，y的值； (2)若，求实数的值； (3)如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，求的最小值． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $