专题09 相交线与平行线解答题（期末真题汇编，重庆专用）七年级数学上学期

专题09 相交线与平行线解答题 4大高频考点概览 考点01 补全证明过程 考点02 平行线相关基础证明 考点03 相交线相关基础求解 考点04 平行线相关含辅助线的压轴题 地 城 考点01 补全证明过程 1．（24-25七上·重庆渝北巴蜀常春藤中学·期末）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，，，平分，试说明：． 解：∵平分， ∴ （ ）． ∵（已知）， ∴ （等量代换）． ∴ （ ）． ∴（ ）． ∵（ ）， ∴ ＝ （ ）， ∴（ ）． 【答案】；；角平分线定义；；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；已知；；；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行 【来源】 重庆市渝北区巴蜀常春藤中学2024-2025学年七年级上学期期末数学复习试卷 【分析】本题主要考查的是平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，是解题的关键．根据题意、结合图形，根据平行线的判定定理和性质定理解答即可． 【详解】解：∵平分， ∴（角平分线的定义）． ∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∵（已知）， ∴（同角的补角相等）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 2．（24-25七上·重庆荣昌·期末）已知：如图，直线被所截，平分，，，，求的大小． 补充完成下列推理过程： ，（已知） ， ______（______） （已知）， ______（______） 平分（已知）， （已证）， ______（______） 【答案】；两直线平行，同位角相等；；等量代换；；两直线平行，内错角相等； 【详解】解：，（已知） ， ， （两直线平行，同位角相等）， （已知）， （等量代换）， 平分（已知）， ， （已证）， （两直线平行，内错角相等）． 3．（24-25七上·重庆南川·期末）推理填空： 如图，点是四边形的边上一点，连接，；若，，．求证：． 证明：（已知）， ① （内错角相等，两直线平行）， ② （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （等式性质）， ③ ． （已知）， ④ （等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， （ ⑤ ）． 【答案】①；②；③；④；⑤两直线平行，同位角相等 【来源】重庆市南川区2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试题 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定方法和性质，以及等量代换，进行作答即可． 【详解】解：证明：（已知）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （等式性质）， ． （已知）， （等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）． 4．（24-25七上·重庆巴南·期末）完成下面的推理证明： 已知：点E，F，G分别在上，于点D，，求证：． 证明：， ① （同位角相等，两直线平行）， （② ） ， ③ （等式的基本事实）． （同旁内角互补，两直线平行）． ④ （两直线平行，同位角相等）． ， （⑤ ） （等式的基本事实）． ． 【答案】①；②两直线平行，内错角相等；③；④；⑤垂直的定义 【来源】重庆市巴南区2024-2025学年七年级上学期期末数学试题 【分析】本题考查了平行线的判定与性质和垂直的定义，根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】证明：， ①（同位角相等，两直线平行）， （②两直线平行，内错角相等） ， ③（等式的基本事实）． （同旁内角互补，两直线平行）． ④（两直线平行，同位角相等）． ， （⑤垂直的定义） （等式的基本事实）． ． 故答案为：①；②两直线平行，内错角相等；③；④；⑤垂直的定义 5．（24-25七上·重庆潼南·期末）请将下列证明过程补充完整． 已知：，，求证：． 证明：， （____①____）． （两直线平行，内错角相等） 又， ____②____． ____③____（同旁内角互补，两直线平行） （____④____） （____⑤____） （等式的基本性质）． 【答案】内错角相等，两直线平行；；；两直线平行，同位角相等；对顶角相等 【来源】重庆市潼南区2024--2025学年上学期七年级数学期末考试题 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定定理和性质定理，结合已知过程，逐步推导论证即可． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）   又∵， ∴． ∴（同旁内角互补，两直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等） ∵（对顶角相等） ∴（等式的基本性质）． 6．（24-25七上·重庆巴蜀·期末）已知：如图，，，求证：． 证明：（邻补角定义）， 又（已知）， （ ）， （ ）， ______． （已知）， ______， （ ）， （两直线平行，同位角相等）． 【答案】同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；；；同位角相等，两直线平行． 【来源】重庆巴蜀2024-2025学年七年级上学期期末数学试题 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，补角的性质，由补角性质可得，进而得到，即得到，推导出，即可得，由此得到，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵（邻补角的定义）， 又∵（已知）， ∴（同角的补角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴， ∵（已知）， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）． 故答案为：同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；；；同位角相等，两直线平行． 7．（24-25七上·重庆八中·期末）已知：如图，，分别平分与并交对边于点、．当时，求证：．请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明条件或理由． 证明：，分别平分与（_________） ________，．（_________） ，（已知） ，（等量代换） ．（___________） ，（____________） ，（____________） ______，（等量代换） ．（                 ） 【答案】已知；；角平分线的定义；已知； 同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行 【来源】重庆市第八中学校2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试题 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，根据平行线的性质与判定条件，角平分线的定义结合已给推理过程证明即可． 【详解】证明：，分别平分与，（已知） ， ．（角平分线的定义） ，（已知） ，（等量代换） ，（已知） ，（同旁内角互补，两直线平行 ） ，（两直线平行，内错角相等） ，（等量代换） ．（同位角相等，两直线平行） 故答案为：已知；；角平分线的定义；已知；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行 8．（24-25七上·重庆西南大学附中·期末）已知：如图，在三角形中，，平分，点是线段延长线上一点，点在线段上，连接交于点，． 求证：． 请完善下面的证明过程，并在括号里填写相应的推理依据． 证明：平分 （ ① ） ② （ ③ ） ④ （ ⑤ ） （ ⑥ ） （ ⑦ ） ⑧ 【答案】角平分线的定义；；等量代换；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；垂直的定义； 【来源】重庆市西南大学附属中学校2024—-2025学年七年级上学期期末数学试题 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质与判定，垂直的定义；根据角平分线的定义，平行线的性质与判定以及垂直的定义，完成填空，即可求解． 【详解】证明：平分 （角平分线的定义） （等量代换） （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，同位角相等） （垂直的定义） 9．（24-25七上·重庆丰都·期末）如图，四边形中，，于点D，于点F．求证：．地 城 考点02 平行线相关基础证明 【答案】见解析 【来源】重庆市丰都县2024-2025学年七年级上学期期末数学试卷 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，先证明，得到，再结合垂线的定义证明，得到，则可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．（24-25七上·重庆渝中·期末）如图，，平分与相交于F，．求证：． 【答案】详见解析 【详解】证明：∵平分 ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 11．（24-25七上·重庆巴南·期末）如图：，，求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：，， ， ， ， ， ， ， ． 12．（24-25七上·重庆四川外国语附中·期末）如图，直线，点A，C在直线上，点B，D在直线上． (1)如图1，若，且，求证：；（请写出必要的推理依据） (2)如图2，若，，平分，平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 13．（24-25七上·重庆忠县·期末）如图，∠B=42°，∠1=∠2+10°，∠ACD=64°，∠ACD的平分线与BA的延长线相交于点E． （1）请你判断BF与CD的位置关系，并说明理由； （2）求∠3的度数． 【答案】（1）BF∥CD；（2）148° 【详解】解：（1）BF∥CD，理由如下： 因为∠B=42°，∠1=∠2+10°，且三角形内角和为180° 所以∠2=64° 又因为∠ACD=64°，所以∠ACD=∠2，因此BF∥CD； （2）因为CE平分∠ACD，所以∠DCE=∠ACD=32° 因为BF∥CD，所以∠3=180°－ 32°=148°． 考点：平行线的判定和性质，三角形的内角和定理，角平分线的性质 【点睛】平行线的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握． 14．（24-25七上·重庆巴南鱼洞南区·期末）如图，四边形中，，，分别是，的平分线． (1)与有什么关系，为什么？ (2)与有什么关系？请说明理由． 【答案】(1)；理由见解析 (2)，理由见解析 【来源】重庆市巴南区鱼洞南区2024-2025学年七年级上学期期末数学试卷 【分析】本题考查了平行线的判定，多边形的内角和，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握四边形内角和为、同位角相等，两直线平行． （1）由角平分线的定义得，，根据四边形的内角和可得，进而可求出结论； （2）由互余的性质可得，根据平行线的判定即可得出． 【详解】（1）解：，理由： ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 在中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．（24-25七上·重庆梁平·期末）如图，已知∠CBG为△ABC的外角，BD平分∠CBG，且∠ACB＝∠CAB，AE⊥BC，垂足为E，延长AE与BD交于点D，F为BC边上一点，DF平分∠CDB． （1）求证：AC∥BD； （2）若∠CAD＝24°，∠EDF＝6°，求∠DCE的度数． 【答案】（1）见解析；（2）∠DCE的度数为78°． 【详解】（1）证明：∵∠CBG为△ABC的外角， ∴∠CBG=∠ACB+∠CAB， ∵BD平分∠CBG， ∴∠CBD=∠CBG， ∵∠ACB=∠CAB=∠CBG， ∴∠ACB=∠CBD， ∴AC∥BD； （2）解：∵AE⊥BC， ∴∠AEC=∠DEB=∠CED=90°， ∵∠CAD=24°， ∴∠ACE=66°， ∵AC∥BD， ∴∠DBC=∠ACE=66°，∠CAD=∠BDE=24°， ∵∠EDF=6°， ∴∠BDF=∠BDE-∠EDF=18°， ∵DF平分∠CDB， ∴∠CDF=∠BDF=18°， ∴∠CDE=∠CDF-∠EDF=12°， ∴∠DCE=90°-∠CDE=78°． 16．（24-25七上·重庆永川·期末）如图，直线，相交于点，平分．地 城 考点03 相交线相关基础求解 (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ； （2）解：∵， ∴设，， 根据题意得， 解得， ∴， ∴， ． 17．（24-25七上·重庆永川·期末）如图，直线，交于点，，垂足为O． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【来源】重庆市永川区2024-2025学年七年级上学期期末质量监测数学试题 【分析】此题考查了垂直的定义，平角、邻补角． （1）根据垂直定义求出，进而求出的度数，再利用平角的定义得到答案； （2）根据和，求出，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 18．（24-25七上·重庆开州·期末）如图，直线，相交于点O，把分成两部分． (1)的对顶角为__________，的邻补角为__________； (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：的对顶角为，的邻补角为， 故答案为：， （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 19．（24-25七上·重庆大足·期末）如图，直线和交于点，射线平分，． (1)求的度数； (2)若射线于点，请补全图形，并求的度数． 【答案】(1) (2)①当在上方时，图见解析，；②当在下方时，图见解析， 【来源】重庆市大足区2024-2025学年七年级上学期期末数学试题 【分析】（1）由角平分线定义，对顶角，邻补角的概念，可得出答案； （2）分两种情况，由垂直的定义可求解． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）①当在上方时， ∵， ∴， ∴； ②在下方时， ∵， ∴， ∴． ∴当在上方时，；当在下方时，． 20．（24-25七上·重庆江津·期末）如图，点A，O，B在同一条直线上，OD，OE分别平分和． (1)求的度数； (2)如果，求的度数． 【答案】(1)90° (2)155° 【详解】（1）解：∵点A，O，B在同一条直线上， ∴∠AOB＝180°， ∵OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC， ∴， ∴ ； （2）∵∠COD＝65°，OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC， ∴∠AOC＝2∠COD＝2×65°＝130° ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣130°＝50°， ∴， ∴∠AOE＝∠AOC+∠COE＝130°+25°＝155°． 21．（24-25七上·重庆长寿区·期末）如图，已知、、三点在同一条直线上，平分，平分． (1)若，求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因为A、、三点在同一条直线上， 所以． 因为， 所以， 又因为平分， 所以． （2）解：因为平分，平分， 所以，， 又因为， 所以， 所以． 22．（24-25七上·重庆实验外国语·期末）已知如图，直线AB、直线CD相交于点O，OE是内的一条射线，且，． (1)求的度数； (2)如图2，射线OM平分，射线ON在内部，且，求的度数． 【答案】(1) (2) 【来源】重庆市重庆实验外国语学校2024-2025学年七年级上学期期末数学试题 【详解】（1）解：∵OE⊥CD， ∴∠COE=90°， ∵∠AOE:∠AOC=1:2， ∴∠AOC=90°× =60°， ∴∠BOD=∠AOC=60°； （2）由（1）可知：∠BOD=60°， ∴∠AOD=180°-∠BOD=180°-60°=120°， ∵OM平分∠AOD， ∴∠AOM= ×120°=60°， ∴∠BOM=180°-∠AOM=180°-60°=120°， ∴∠BON= ∠BOM=×120°=80°， ∴∠DON=∠BON-∠BOD=80°-60°=20°． 23．（24-25七上·重庆酉阳·期末）如图，点在直线上，平分，⊥． （1）已知，求的大小； （2）若，请通过计算判断是否平分． 【答案】（1）；（2）平分 【来源】重庆市酉阳土家族苗族自治县2024-2025学年七年级上学期期末数学试题 【详解】解：（1）∵OC平分∠BOD，∠DOC=26°， ∴∠BOC=∠DOC=26°， ∵OE⊥OC， ∴∠EOC=90°， 又∵∠EOC+∠BOC+∠AOE=180°， ∴∠AOE=180°-∠EOC-∠BOC=64°； （2）平分，理由如下： ∵OC平分∠BOD，∠BOC=α， ∴∠BOD=2∠BOC=2α ∴∠AOD=180°-∠BOD=180°-2α， ∵∵OE⊥OC， ∴∠EOC=90°， 又∵∠EOC+∠BOC+∠AOE=180°， ∴∠AOE=180°-∠EOC-∠BOC=90°-α； ∴∠AOD=2∠AOE， ∴平分. 24．（24-25七上·重庆九龙坡·期末）已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．地 城 考点04 平行线相关含辅助线压轴题 （1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为：　 ；（不需要证明） 如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：　 ；（不需要证明） （2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数； （3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数． 【答案】（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不变，30° 【来源】重庆市九龙坡区2024-2025学年七年级上学期期末数学考试试题 【分析】（1）过E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；过F作FH∥AB，易得FH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解； （2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2（∠BME+∠END）+∠BMF-∠FND=180°，可求解∠BMF=60°，进而可求解； （3）根据平行线的性质及角平分线的定义可推知∠FEQ=∠BME，进而可求解． 【详解】解：（1）过E作EH∥AB，如图1， ∴∠BME＝∠MEH， ∵AB∥CD， ∴HE∥CD， ∴∠END＝∠HEN， ∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END， 即∠BME＝∠MEN﹣∠END． 如图2，过F作FH∥AB， ∴∠BMF＝∠MFK， ∵AB∥CD， ∴FH∥CD， ∴∠FND＝∠KFN， ∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND， 即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND． 故答案为∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND． （2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND． ∵NE平分∠FND，MB平分∠FME， ∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END， ∵2∠MEN＋∠MFN＝180°， ∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF﹣∠FND＝180°， ∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF﹣∠FND＝180°， 即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF﹣∠FND＝180°， 解得∠BMF＝60°， ∴∠FME＝2∠BMF＝120°； （3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°． 由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END， ∵EF平分∠MEN，NP平分∠END， ∴∠FEN＝∠MEN＝（∠BME＋∠END），∠ENP＝∠END， ∵EQ∥NP， ∴∠NEQ＝∠ENP， ∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝（∠BME＋∠END）﹣∠END＝∠BME， ∵∠BME＝60°， ∴∠FEQ＝×60°＝30°． 25．（24-25七上·重庆万州·期末）已知AB∥CD，CF平分∠ECD． （1）如图1，若∠DCF=25°，∠E=20°，求∠ABE的度数． （2）如图2，若∠EBF=2∠ABF，∠CFB的2倍与∠CEB的补角的和为190°，求∠ABE的度数． 【答案】（1）∠ABE=30°；（2）∠ABE=30° 【来源】重庆市万州区2024-2025学年七年级上学期期末数学试题 【分析】（1）假设CE与AB相交于点G，由题意易得∠DCE=50°，则有∠CGA=∠BGE=130°，然后根据三角形内角和可求解； （2）假设CE与AB、BF相交于点M、N，设∠ABF=x，∠DCF=∠FCE=y，则有∠EBF=2x，∠ABE=3x，∠DCE=2y，根据题意可得∠AMC=180°-2y，∠E=2y-3x，2∠CFB-∠CEB=10°，进而根据三角形内角和及角的和差关系可求解． 【详解】解：（1）假设CE与AB相交于点G，如图所示： ∵CF平分∠DCE，∠DCF=25°， ∴∠DCE=50°， ∵AB∥DC， ∴∠DCE+∠AGC=180°， ∴∠AGC=130°， ∴∠EGB=∠AGC=130°， ∵∠E=20°， ∴∠ABE=30°； （2）假设CE与AB、BF相交于点M、N，如图所示： 设∠ABF=x，∠DCF=y， ∵∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE， ∴∠EBF=2x，∠ABE=3x，∠FCE=y，∠DCE=2y， ∵AB∥DC， ∴∠DCE+∠AMC=180°， ∴∠EMB=∠AMC=180°-2y， ∵∠E+∠EMB+∠ABE=180°， ∴∠E=2y-3x， ∵∠E+∠ENB+∠FBE=180°， ∴∠ENB=180°+x-2y， ∵∠CFB+∠CNF+∠FCE=180°， ∴∠CFB=y-x， ∵∠CFB的2倍与∠CEB的补角的和为190°， ∴2∠CFB-∠CEB=10°， ∴， 解得：， ∴∠ABE=30°． 26．（24-25七上·重庆大渡口·期末）问题情境：如图 1，，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．小明的思路是：如图 2，过 P 作，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110° 问题迁移： (1)如图 3，，点 P 在射线 OM 上运动，当点 P 在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由 (2)在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时， 点 P 与 点A、B、O三点不重合，请你直接写出∠CPD、 间的数量关系． 【答案】(1) (2)或． 【详解】（1）解： 证明：如图，过点P作， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：当P在线段的延长线上时， 证明：如图，过点P作， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴ ∴； 如图，当P在线段的延长线上时，如图，过点P作， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵ ， ∴， ∴； 综上所述：或． 27．（24-25七上·重庆一中·期末）如图，已知直线，点A在直线上，点B、C在直线上，射线是的三等分线，即，平分，．    (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，在上有一点F，满足，且平分交于点G，试探究与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，绕点A顺时针旋转，速度为每秒，记旋转中的为，的三等分线为，即，同时绕点B逆时针旋转至，速度始终为每秒，当与射线重合时，立即以原来速度的一半逆时针旋转，当运动到与射线重合时，整个运动停止，设旋转时间为t秒，在旋转过程中，当时，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)t的值为或 【来源】重庆市第一中学校2024-2025学年七年级上学期期末数学试题 【分析】（1）利用角平分线定义求出，进而求出，结合，则可求，，然后根据平行线的性质求解即可； （2）设，则，，，，由平行线的性质求出，，，，根据角平分线的定义求出，则，即可得出结论； （3）当与射线重合时，，返回时，当与重合，，当与射线重合时，，当在的延长线时，，分；；；讨论，根据平行线的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解： 理由：如图，    设，则 ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴， 当与射线重合时，，返回时，当与重合，，当与射线重合时，，当在的延长线时，， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 当时，    则 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去）； 当时，    则 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去）； 当时，    则 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去）； 综上，t的值为或． 28．（24-25七上·重庆南岸·期末）已知：． (1)如图1，点在，之间，请说明； (2)如图2，请用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，请直接用等式表示，，，，之间的数量关系 【答案】(1)见解析 (2)．理由见解析 (3) 【来源】重庆市南岸区2024-2025学年七年级上学期期末数学试题 【详解】（1）解：如图所示：过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： 如图所示：过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴； （3）解：，理由见解析， 如图：过点作，过点作，过点作， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴； 29．（24-25七上·重庆万州·期末）如图，，A、B分别为直线、上两点，且，若射线绕点A顺时针旋转至后立即回转，射线绕点B逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒，且a、b满足．（友情提醒：钟表指针走动的方向为顺时针方向） (1)_______，________； (2)若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直． (3)若射线绕点A顺时针先转动18秒，射线才开始绕点B逆时针旋转，在射线到达之前，问射线再转动多少秒时，射线、射线互相平行？ 【答案】(1)6；1 (2)； (3)秒或秒． 【来源】重庆市万州区2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试题 【详解】（1）解： ， ，， ，， 故答案为：6，1； （2）解：设至少旋转秒时，射线、射线互相垂直． 如图，设旋转后的射线、射线交于点，则， ， ， ， ， 又，， ， ； （3）解：设射线再转动秒时，射线、射线互相平行． 如图，射线绕点顺时针先转动18秒后，转动至的位置，， 分两种情况： ①当时，，， ， ，， 当时，， 此时，， 解得； ②当时，，， ， ，， 当时，， 此时，， 解得； 综上所述，射线再转动秒或秒时，射线、射线互相平行． 30．（24-25七上·重庆潼南·期末）问题情境：如图1，，，，求度数．小明的思路是：过作，如图2，通过平行线性质来求． （1）按小明的思路，易求得的度数为______； 问题迁移： （2）如图3，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，，则、、之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你判断、、间的数量关系并证明． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）当在延长线时，；当在延长线时， 【详解】解：（1）过点作，如图2所示， ， ， ，， ，， ，， ． （2）， 理由是：如图3，过作交于， ， ， ，， ； （3）当在延长线时，如图所示， ， ，， ． 当在延长线时，如图所示， ， ，， ． 31．（24-25七上·重庆渝中区·期末）已知，直线，点E为直线上一定点，直线交于点F，平分 (1)如图1，当时， °； (2)点P为射线上一点，点M为直线上的一动点，连接，过点P作交直线于点N． ①如图2，点P在线段上，若点M在点E左侧，求与的数量关系； ②点P在线段的延长线上，当点M在直线上运动时，的一边恰好与射线平行，直接写出此时的度数（用含α的式子表示）． 【答案】(1)55 (2)①，②或 【详解】（1）∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：55； （2）①过点P作，如图， 则 ∴， ∵， ∴， 即， ∴ ∵， ∴， ∴， ②当时，如图， ∵， ∴ ∴， ∵平分 ∴ ∵， ∴， 当时，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵平分 ∴ ∵ ∴， ∵， ∴ ∴ ． 故∠PNF的度数为或． 32．（24-25七上·重庆梁平·期末）学习情境·类比探究 问题情境：如图，，，，求的度数． (1)小机灵同学看过图形后立即口答出：，请你补全他的推理依据． 如图2，过点作， ， ， （_____） ，． （_____） ，， ，． ．（_____） 问题迁移： (2)如图，，当点在线段上运动时，，，求与、之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点在射线上，且在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请直接写出与、之间的数量关系． 【答案】(1)平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换 (2)，理由见解析 (3)或，理由见解析 【来源】重庆市梁平区2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试题 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定并且作出平行的辅助线是解答本题的关键． （1）根据平行线的判定与性质填写即可； （2）过作交于，推出，根据平行线的性质得出，，代入，即可得出答案； （3）画出图形（分两种情况：点在的延长线上，点在的延长线上），根据平行线的性质得出，，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图2，过点作， ， ， （平行于同一条直线的两条直线互相平行） ，． （两直线平行，同旁内角互补） ，， ，． ．（等量代换） 故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换； （2）解：，理由：过点作交于点， ， ， ，， ； （3）解：或， 当点在延长线上时，过点作交延长线于点， ， ， ，， ； 当点在延长线上时，过点作交于点， ， ， ，， ， 综上，或． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题09相交线与平行线解答题 ☆4大高频考点概览 考点01补全证明过程 考点02平行线相关基础证明 考点03相交线相关基础求解 考点04平行线相关含辅助线的压轴题 目目 考点01 补全证明过程 1.(24-25七上重庆渝北巴蜀常春藤中学期末)把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，∠E=∠1，∠3+LABC=180°，BE平分∠ABC,试说明：DF∥AB. D63 2 解：BE平分∠ABC, _=_(). :∠E=∠1（已知）， ·_=-(等量代换)· -(_) .∠A+∠ABC=180°(_) :∠3+∠ABC=180°(_)， -=-（_), .DF II AB () 2.(24-25七上重庆荣昌期末)己知：如图，直线AB,CD被EF,MN所截，MF平分∠EMN,∠1=60°， ∠2=96°，∠EFD=120°，求∠MFN的大小. 1/14 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 A C 2 D 补充完成下列推理过程： :∠1=60°，∠EFD=120°（已知） :∠1+∠EFD=60°+120°=180°， AB∥CD :∠2=96°（己知）， =96°( :MF平分∠EMN(己知)， R∠EMF∠EMN=48g :AB‖CD(已证)， .∠MFN=∠ =48°() 3.(24-25七上重庆南川期末)推理填空： 如图，点E是四边形ABCD的边BC上一点，连接AE,ED;若∠I=∠2，∠4=∠5，∠AEC=LADC.求 证：∠B=∠7. D 3% 4 6 2X7 B E 证明：：∠1=∠2（己知）， :①（内错角相等，两直线平行）， :∠3=②（两直线平行，内错角相等）· :∠AEC=∠ADC(已知)， ∠AEC-∠7=∠ADC-∠3（等式性质）， ·③ :∠4=∠5（己知）， 2/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :④（等量代换）， .AB∥DE(内错角相等，两直线平行)， :∠B=∠7（⑤）. 4.(24-25七上·重庆巴南期末)完成下面的推理证明： 己知：点E,F,G分别在AB,BC,AC上，BD⊥AC于点D,∠I=∠A,∠2+∠4=180°，求证：EG⊥AC. B 4 证明：∠1=∠A, :①（同位角相等，两直线平行）， :L2=L3(②_) :∠2+∠4=180°， :③_（等式的基本事实） :BD∥EG(同旁内角互补，两直线平行)， :④（两直线平行，同位角相等）. :BD⊥AC, .LBDA=90°（⑤_） :∠EGA=90°（等式的基本事实). EG⊥AC. 5.(24-25七上·重庆潼南期末)请将下列证明过程补充完整. 己知：∠A=∠CDF,∠B+∠CDE=I80°，求证：∠1=∠2. H 证明：：∠A=∠CDF, :AB∥CD(①）. 3/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠B=∠C(两直线平行，内错角相等) 又：∠B+∠CDE=180°， ·②+LCDE=180°. :③ (同旁内角互补，两直线平行) .∠BFD=∠2（④） ·∠BFD=∠1（⑤） :∠1=∠2（等式的基本性质). 6.(24-25七上重庆巴蜀期末)已知：如图，∠1+∠2=180°，∠3=LB,求证：∠ACB=∠4. D 2 B 证明：：∠1+∠DFE=180°（邻补角定义）， 又：∠1+∠2=180°（已知）， ∠2=∠DFE(_), .AB‖EF(_), .∠3=∠ :∠3=∠B(已知)， ∠B=∠， DE∥BC(_), :∠ACB=∠4（两直线平行，同位角相等）· 7.(24-25七上重庆八中期末)已知：如图∠BAD=∠BCD,AE,CF分别平分∠BAD与∠BCD并交对 边于点E、F,当∠2+∠4=180°时，求证：CF∥AE,请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注 明条件或理由. D 3△ H 证明：：AE,CF分别平分∠BAD与∠BCD,( 2 4/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠BAD=∠BCD,(己知) .∠1=∠2，（等量代换） :∠2+∠4=180°.( :AD∥BC,( ∠1=∠3， ( ∠2=， (等量代换) :AE∥CF.( 8.(24-25七上重庆西南大学附中期末)已知：如图，在三角形DBF中，DE⊥BF,DE平分∠BDF,点 A是线段BD延长线上一点，点C在线段EF上，连接4C交DF于点M,∠A=)∠BDF. B EC F 求证：AC⊥BF. 请完善下面的证明过程，并在括号里填写相应的推理依据， 证明：：DE平分∠BDF :∠BDE=I∠BDF(_①) 2 1 ∠A= ∠BDF ∠A=_②_(_③_) AC∥_④_(_⑤_) .∠ACB=∠DEB(_⑥_) ·DE⊥BF ∠DEB=90°（_⑦_) LACB=_⑧ AC⊥BF 目目 考点02 平行线相关基础证明 9.(24-25七上重庆丰都期末)如图，四边形ABCD中，∠A=116°，∠ABC=64°，BD⊥DC于点D, 5/14 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 EF⊥DC于点F.求证：∠1=∠2. A D 2 E 10.(24-25七上·重庆渝中期末)如图，AB∥CD,AE平分∠BAD,CD与AE相交于F,∠CFE=∠E,求 证：AD∥BC, 11.(24-25七上重庆巴南期末)如图：∠1+∠2=180°，∠3=∠B,求证：∠AED=∠C. E 12.(24-25七上重庆四川外国语附中·期末)如图，直线MN∥PQ,点A,C在直线MN上，点B,D在 直线PO上. G CN M CN PB D O P B D 图1 图2 (I)如图1，若AE⊥AB,且∠EAM+∠CDQ=90°，求证：AB∥CD;(请写出必要的推理依据) (2)如图2，若AB∥CD,AE⊥AB,AG平分∠EAM,DF平分∠CDB,∠EAG=20°，求∠CFD的度数. 13.(24-25七上·重庆忠县期末)如图，∠B=42°，∠1=∠2+10°，∠ACD=64°，∠ACD的平分线与BA的 延长线相交于点E. 6/14 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D A (1)请你判断BF与CD的位置关系，并说明理由； (2)求∠3的度数 14.(24-25七上重庆巴南鱼洞南区期末)如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE,DF分别是 ∠ABC,∠ADC的平分线. D ● B (1)∠1与∠2有什么关系，为什么？ (2)BE与DF有什么关系？请说明理由. 15.(24-25七上·重庆梁平.期末)如图，已知∠CBG为△ABC的外角，BD平分∠CBG,且∠ACB=∠CAB ,AE⊥BC,垂足为E,延长AE与BD交于点D,F为BC边上一点，DF平分∠CDB. C E F B G (1)求证：ACBD: (2)若∠CAD=24°，∠EDF=6°，求∠DCE的度数. 目目 考点03 相交线相关基础求解 16.(24-25七上重庆永川期末)如图，直线AB,CD相交于点0，OA平分∠E0C. 7/14 函学科网 www zxxk com 让教与学更高效 E D (1)若∠E0C=86°，求∠BOD的度数； (2)若LE0C:LE0D=4:5,求∠BOD的度数. 17.(24-25七上·重庆永川期末)如图，直线AB,CD交于点0,0E1AB,垂足为O. E D B (1)若∠E0D=32°，求LC0B的度数； (2)若LA0C:LC0B=2:7,求∠E0D的度数. 18.(24-25七上·重庆开州期末)如图，直线AB,CD相交于点O,OE把∠BOD分成两部分. D A ○ (1)∠AOC的对顶角为 ,∠BOE的邻补角为 (2)若∠A0C=70°，且LB0E:LE0D=2:3,求∠AOE的度数. 19.(24-25七上·重庆大足·期末)如图，直线AB和CD交于点0，射线OE平分∠A0D,∠B0D=46°. E A D (1I)求LC0E的度数： (2)若射线OF⊥AB于点O,请补全图形，并求LEOF的度数。 20.(24-25七上重庆江津期末)如图，点A,O,B在同一条直线上，OD,OE分别平分∠A0C和 8/14 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 ∠BOC. E B (1)求LDOE的度数； (2)如果LC0D=65°，求∠A0E的度数. 21.(24-25七上·重庆长寿区·期末)如图，已知A、0、B三点在同一条直线上，0D平分∠A0C,OE平 分∠BOC. D E 0 B (1)若LB0C=62°，求∠D0C的度数： (2)求∠E0C+∠D0C的度数 22.(24-25七上重庆实验外国语期末)已知如图，直线AB、直线CD相交于点O,OE是∠A0D内的一 条射线，且OE⊥CD,∠AOE:∠A0C=1:2. D R 图1 图2 (1)求∠BOD的度数； (②)如图2，射线OM平分∠AOD,射线ON在∠BOM内部，且∠BON=?∠BOM,求∠DON的度数. 23.(24-25七上·重庆酉阳·期末)如图，点0在直线AB上，0C平分∠BOD,OE10C. (1)己知∠D0C=26°，求∠A0E的大小： (2)若LBOC=a,请通过计算判断OE是否平分LAOD. 9/14 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点04 平行线相关含辅助线压轴题 24.(24-25七上重庆九龙坡期末)已知，AB‖CD.点M在AB上，点N在CD上. (1)如图1中，∠BME、∠E、∠EWD的数量关系为：一；（不需要证明） 如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：一；（不需要证明） (2)如图3中，NE平分∠FND,MB平分∠FME,且2∠E十∠F=180°，求∠FME的度数； (3)如图4中，∠BME=6O°，EF平分∠MEN,NP平分∠END,且EQNP,则∠FEQ的大小是否发生变 化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数， 9 M D C D C 图1 图2 图3 图4 25.(24-25七上重庆万州期末)已知ABIICD,CF平分∠ECD. (1)如图1，若∠DCF=25°，∠E=20°，求∠ABE的度数 (2)如图2，若∠EBF-2∠ABF,∠CFB的2倍与∠CEB的补角的和为190°，求∠ABE的度数. D D B E E 图1 图2 26.(24-25七上·重庆大渡口期末)问题情境：如图1，AB∥CD,∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC 的度数.小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB,通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110° A B A B D D 图1 图2 问题迁移： (I)如图3，AD∥BC,点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠a,∠BCP= ∠B,∠CPD、∠a、∠β之间有何数量关系？请说明理由 10/14