高一数学上学期期中模拟卷（沪教版2020必修第一册第1～3章，高效培优·提升卷）

2025-2026学年高一数学上学期期中模拟卷 提升卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第一册第1章~第3章。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1．已知，化简： . 2．命题，，若是的必要非充分条件，则实数的取值范围是 ． 3．学校举办秋季运动会时，高一（2）班共有24名同学参加比赛，有12人参加游泳比赛，有9人参加田赛，有13人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有3人，同时参加游泳比赛和径赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则同时参加田赛和径赛的有 人． 4．命题：“的充要条件是 是 命题． 5．方程组解集为 . 6．已知，则的取值范围为 . 7．若，且，则的值为 ． 8．设，是方程的两根，则 ． 9．已知正实数a，b；若，则的最小值为 . 10．已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 . 11．已知正实数，满足，则的最小值为 . 12．已知，则的值为 . 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）每题有且只有一个正确选项. 13．已知a＞0，将表示成有理指数幂，其结果是（   ） A． B． C． D． 14．下列各式中，正确的个数是（    ）． ①；②；③；④；⑤；⑥． A． B． C． D． 15．已知，若，则（   ） A． B． C． D． 16．已知正数x、y满足，不等式恒成立.则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤. 17．（14分）对数的运算大大增加了解决代数问题的效率，延长了天文学家的寿命. (1)设、是关于x的方程的两个实数根，求：的值； (2)已知，且，若，，求：的值. 18．（14分）（1）已知、为实数，，求的值； （2）已知一元二次方程的两根为与，求的值； （3）设为实数，解关于的不等式：． 19．（14分）某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容： 例：求的最小值． 解：利用基本不等式 (，，)，得到， 于是， 当且仅当时，取到最小值． (1)老师请你模仿例题，研究的最小值， [提示：(，，，)]； (2)研究的最小值； (3)当时，求的最小值． 20．（18分）设函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围； (3)解关于的不等式：. 21．（18分）定义集合，对任意的，，定义，设是的至少含有两个元素的子集，集合中的最小值称为的特征，记作． (1)当时，直接写出下述两个集合的特征：， (2)当时，设且，求中元素个数的最大值； (3)当时，设且，求中元素个数的最大值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期期中模拟卷 提升卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第一册第1章~第3章。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1．已知，化简： . 【答案】 【分析】利用指数的运算法则即可得解. 【详解】. 故答案为： 2．命题，，若是的必要非充分条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将必要不充分条件转化为，即可求解. 【详解】由于是的必要非充分条件，故， 因此或，解得， 故答案为： 3．学校举办秋季运动会时，高一（2）班共有24名同学参加比赛，有12人参加游泳比赛，有9人参加田赛，有13人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有3人，同时参加游泳比赛和径赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则同时参加田赛和径赛的有 人． 【答案】4 【分析】设同时参加田赛和径赛的有人，由题意作出韦恩图，根据题意可得出关于的等式，即可得解. 【详解】设同时参加田赛和径赛的有人，由题意作出韦恩图， 结合图形得： ， 解得． 同时参加田赛和径赛的有4人． 故答案为：4． 4．命题：“的充要条件是 是 命题． 【答案】真 【分析】根据绝对值不等式以及分式不等式进行判断. 【详解】，，通分可得， 即，所以， 则或，此时满足； 当且时，， 因为，所以，即， 当且时，， 因为，所以，即， 所以“的充要条件是 是真命题， 故答案为：真. 5．方程组解集为 . 【答案】 【分析】分别求解分式不等式与绝对值不等式，再取交集可得. 【详解】由 由得或，解得①； 又或，解得，或②. 由①②解得. 则不等式的解集为. 故答案为：. 6．已知，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据不等式的性质得解. 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为： 7．若，且，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】利用指数幂的运算求解. 【详解】解：因为，且，所以， 所以， 故答案为： 8．设，是方程的两根，则 ． 【答案】 【分析】先由韦达定理得，，然后化简求解即可. 【详解】因为，是方程的两根， 所以由韦达定理可知，. 则 . 故答案为：. 9．已知正实数a，b；若，则的最小值为 . 【答案】1 【分析】由得，则，，代入后利用基本不等式求最小值即可. 【详解】由，得，则，即，同理可得； 因此，由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立； 故答案为： 10．已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 . 【答案】 【分析】分析可知有一个不等于3的实数解，分类讨论最高项系数以及根的个数，运算求解即可. 【详解】由题意可知：方程有且仅有一解， 等价于有一个不等于3的实数解， 1.当时，解为，满足题意； 2.当时，只有一解时， 则，解得， 若，则，解得，符合题意； 3.当时，且有两解但3是方程的解， 故，解得； 综上所述，实数取值集合为. 故答案为：. 11．已知正实数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】化简可得，结合基本不等式求其最小值. 【详解】因为正实数，满足， 当且仅当且时，即时取等号. 故答案为：. 12．已知，则的值为 . 【答案】或 【分析】对这两个式子两边同时取对数，结合对数运算性质化简，再联立由完全平方公式即可求解. 【详解】，则①， 则②， ①+②得：， 或. 故答案为：或 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）每题有且只有一个正确选项. 13．已知a＞0，将表示成有理指数幂，其结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根式与分数指数幂的关系结合指数幂运算法则化简即可得答案. 【详解】. 故选：C. 14．下列各式中，正确的个数是（    ）． ①；②；③；④；⑤；⑥． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系进行分析，从而确定正确答案. 【详解】①，集合与集合的关系不能用“”，所以①错误. ②，的元素完全相同，所以，所以②正确. ③，空集是任何集合的子集，所以正确. ④，空集是没有元素，有一个元素，所以④错误. ⑤，中有个元素，有一个元素，所以⑤错误. ⑥，元素与集合的关系是属于或不属于，所以⑥错误. 所以正确的有个. 故选：B 15．已知，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合对数的运算，化简可得，得到并解出方程组即可. 【详解】由题可得：， 即， 所以，解得：. 所以. 故选：B. 16．已知正数x、y满足，不等式恒成立.则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将恒成立问题转化为最值问题，利用基本不等式求最值即可. 【详解】因为，， 所以由基本不等式可得， 等号成立当且仅当，即， 综上所述，的最小值为； 因为不等式恒成立，所以， 所以实数m的取值范围是. 故选：C. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤. 17．（14分）对数的运算大大增加了解决代数问题的效率，延长了天文学家的寿命. (1)设、是关于x的方程的两个实数根，求：的值； (2)已知，且，若，，求：的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据韦达定理列出关于和的方程，然后利用换底公式进行化简，代入计算即可； （2）将对数式转化为指数式，利用指数运算和对数运算的性质求值即可. 【详解】（1）因为、是关于x的方程的两个实数根， 所以由韦达定理得， 由得，则； 由得，所以，即， 则. （2）由，得，由，得，则； 所以，即， 故. 18．（14分）（1）已知、为实数，，求的值； （2）已知一元二次方程的两根为与，求的值； （3）设为实数，解关于的不等式：． 【答案】（1）6  （2）（3）见解析 【分析】（1）根据指数幂的运算，平方即可求解， （2）根据韦达定理即可求解， （3）分类讨论，即可根据一元一次不等式的求解得解. 【详解】（1）由可得，故， （2）一元二次方程的两根为与，故， 因此， （3）由可得， 若，则，解得，此时不等式的解为， 若，则，解得，此时不等式的解为， 若，若，此时不等式的解为,若，则不等式的解为. 19．（14分）某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容： 例：求的最小值． 解：利用基本不等式 (，，)，得到， 于是， 当且仅当时，取到最小值． (1)老师请你模仿例题，研究的最小值， [提示：(，，，)]； (2)研究的最小值； (3)当时，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）模仿例题，结合提示证明，由此可求结论； （2）先证明，由此可求的最小值； （3）先证明，由此可求的最小值. 【详解】（1）由，结合提示可得，当且仅当时取等号， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以当时，取最小值，最小值为； （2）由，， 当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以当时，取最小值，最小值为． （3）由，知， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以当时，取到最小值，最小值为． 20．（18分）设函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围； (3)解关于的不等式：. 【答案】(1)2 (2)： (3)答案见解析 【分析】（1）由二次不等式与二次方程的关系，得到方程的解，即可求出实数的值； （2）整理不等式，将不等式左边看成关于的一次函数，代入两端点不等式成立即可解出的解集； （3）整理不等式，讨论参数的取值，得到相应不等式的解集即可. 【详解】（1）由题意知，是方程的两个根， 则，则. （2）， 则对于实数时恒成立， 则，即， 解得，∴ 则的取值范围为. （3）依题意，等价丁， 当时，不等式可化为，解集为. 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为. 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为或； ③当时，，不等式的解集为或； 综上，当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为. 21．（18分）定义集合，对任意的，，定义，设是的至少含有两个元素的子集，集合中的最小值称为的特征，记作． (1)当时，直接写出下述两个集合的特征：， (2)当时，设且，求中元素个数的最大值； (3)当时，设且，求中元素个数的最大值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题需要理解题目给出的特征的定义，灵活运用集合的性质进行求解.应用转化与化归的方法. 【详解】（1）由题意,. （2）根据题意，中的元素的形式为，其中， 可将作为两个元素之间的差异或距离，为了简单起见，不妨将简化为一个由和排列而成的位数的形式； 当时，一共有个元素，根据集合的互异性，代入公式计算得到，即其特征值. 可列举为可以用各位数字相减的方式计算两个元素之间的距离. 当时，，即元素间的最小距离变为，可以通过添加或者的方式将四位数变为五位数， 此时可以给原本的距离为的两个元素分别添加不同的数字的方式保持集合中元素的数量不减少，并将最小距离变为. 故满足题意的集合中元素个数最大为. （3）由小问2可得，满足，且的集合中元素数量最大为16. 下面考虑，，与之前操作同理，通过增加一位数的方式为距离为的两元素之间的距离增加为， 以此类推，当，时，进行同样操作即可保证元素个数不减少. 又由可知，通过增加位数进行的操作不会使得元素之间距离变小， 即满足，的集合中元素在进行添加位数的操作之前必定满足，， 满足，的集合中的元素个数不会大于满足，的集合中元素的个数， 故满足，最大值为. 【点睛】本题考查集合的新定义，集合的含义与表示、集合的运算以及集合之间的关系，正确理解新定义是关键，综合性较强，属于难题． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期期中模拟卷 提升卷·参考答案 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1． 2． 3．4 4．真 5． 6． 7．/ 8． 9．1 10． 11． 12．或 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）每题有且只有一个正确选项. 题号 13 14 15 16 答案 C B B C 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤. 17．（14分） 【详解】（1）因为、是关于x的方程的两个实数根， 所以由韦达定理得，（3分） 由得，则；（5分） 由得，所以，即， 则. （7分） （2）由，得，由，得，则；（10分） 所以，即，（12分） 故. （14分） 18．（14分） 【详解】（1）由可得，故，（4分） （2）一元二次方程的两根为与，故，（6分） 因此，（8分） （3）由可得， 若，则，解得，此时不等式的解为，（10分） 若，则，解得，此时不等式的解为，（12分） 若，若，此时不等式的解为,若，则不等式的解为.（14分） 19．（14分） 【详解】（1）由，结合提示可得，当且仅当时取等号，（2分） 所以，（3分） 当且仅当时，等号成立， 所以当时，取最小值，最小值为；（5分） （2）由，， 当且仅当时等号成立，（7分） 所以，当且仅当时，等号成立， 所以当时，取最小值，最小值为．（8分） （3）由，知，（10分） 当且仅当时，即时，等号成立，（12分） 所以，当且仅当时，等号成立， 所以当时，取到最小值，最小值为．（14分） 20．（18分） 【详解】（1）由题意知，是方程的两个根，（2分） 则，则. （4分） （2）， 则对于实数时恒成立，（6分） 则，即， 解得，∴ 则的取值范围为. （10分） （3）依题意，等价丁， 当时，不等式可化为，解集为.（11分） 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为. （12分） 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为；（13分） ②当时，，不等式的解集为或；（15分） ③当时，，不等式的解集为或；（17分） 综上，当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为. （18分） 21．（18分） 【详解】（1）由题意,. （4分） （2）根据题意，中的元素的形式为，其中， 可将作为两个元素之间的差异或距离，为了简单起见，不妨将简化为一个由和排列而成的位数的形式；（6分） 当时，一共有个元素，根据集合的互异性，代入公式计算得到，即其特征值. 可列举为可以用各位数字相减的方式计算两个元素之间的距离. （7分） 当时，，即元素间的最小距离变为，可以通过添加或者的方式将四位数变为五位数，（8分） 此时可以给原本的距离为的两个元素分别添加不同的数字的方式保持集合中元素的数量不减少，并将最小距离变为. 故满足题意的集合中元素个数最大为. （10分） （3）由小问2可得，满足，且的集合中元素数量最大为16. 下面考虑，，与之前操作同理，通过增加一位数的方式为距离为的两元素之间的距离增加为，（12分） 以此类推，当，时，进行同样操作即可保证元素个数不减少. （14分） 又由可知，通过增加位数进行的操作不会使得元素之间距离变小， 即满足，的集合中元素在进行添加位数的操作之前必定满足，，（16分） 满足，的集合中的元素个数不会大于满足，的集合中元素的个数， 故满足，最大值为.（18分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $