专题08 三棱锥、三棱台外接球和内切球题型归纳（立体几何专题）讲义-2026届高三数学二轮专题复习

专题08 三棱锥、三棱台外接球和内切球题型归纳 （第八章 立体几何专题） 题型一 三棱锥外接球问题 2 题型二 三棱锥内切球问题 3 题型三 三棱台外接球问题 3 题型四 三棱台内切球问题 4 题型五 综合题型与技巧总结 4 思维导图 1．球与多面体的接、切 定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体的外接球。 定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多面体的内切球。 2.补形法（补长方体或正方体） ①墙角模型（三条线两个垂直） 题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图） ②对棱相等模型（补形为长方体） 题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，） 3、单面定球心法（定+算） 步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥中，选中底面，确定其外接圆圆心（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心）； ②过外心做（找）底面的垂线，如图中面,则球心一定在直线（注意不一定在线段上）上； ③计算求半径:在直线上任取一点如图：则，利用公式可计算出球半径. 4.汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球） 题设：如图3-1，图3-2，图3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面； 第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理： 5.内切球的有关知识与方法 1．若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直. 2．内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.（类比：与多边形的内切圆）. 3．正多面体的内切球和外接球的球心重合. 4．正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合. 5．基本方法：体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法）. 题型一 三棱锥外接球问题 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 1、 单选题 1．已知球是正三棱锥的外接球，，过点作球的截面，若截面面积为，则直线与该截面所成的角为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东�校联考一模）在四面体中，，，则它的外接球的表面积（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2025上·湖南郴州�高三联考开学考试）阳马和鳖臑[biēnào]是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱（图2，图3），称为堑堵.再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开（图4），得四棱锥和三棱锥各一个.以矩形为底，有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马（图5）.余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑（图6）.若图1中的长方体是棱长为1的正方体，则下列结论正确的是（    ） A．鳖臑中的四个直角三角形全等 B．堑堵的表面积等于阳马与鳖臑的表面积之和 C．鳖臑的体积等于阳马体积的一半 D．鳖臑的内切球表面积为 4．（2025上·江西�高三统考开学考试）截角四面体是由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点处的小棱锥所得的多面体.如图，将棱长为6的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面，得到所有棱长均为2的截角四面体，则（    ）    A．直线与平面所成角为 B． C．该截角四面体的表面积为 D．该截角四面体外接球的表面积为 三、填空题 5．（2025上·江西南昌�高二南昌二中校考阶段练习）如图，是正四棱锥，是正方体，其中，，则该几何体的表面积 ； 6．（2025下·河北�高三校联考期末）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，，则四棱锥外接球表面积为 ；若点是线段上的动点，则的最小值为 ． 四、解答题 7．（2025下·安徽�高一统考期末）如图，在直三棱柱中，点到平面的距离为的面积为. (1)求直三棱柱的体积. (2)若直线与平面所成的角为分别为的中点，且. （i）求直三棱柱的外接球的表面积； （ii）求二面角的大小. 题型二 三棱锥内切球问题 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、单选题 1．（25-26高三上·河南·阶段练习）《九章算术·商功》中定义的鳖臑，是指四个面都是直角三角形的三棱锥．在如图所示的鳖臑中，平面，，则鳖臑的外接球和内切球的半径之比为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·全国·周测）如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，已知，则下列结论错误的是（   ） A．圆锥SO的侧面积为 B．三棱锥体积的最大值为 C．圆锥SO内切球的半径为 D．若，E为线段AB上的动点，则的最小值为 二、多选题 3．（2025高三·全国·专题练习）若正三棱锥的底面边长为3，高为，则该正三棱锥的（    ） A．体积为 B．表面积为 C．外接球的表面积为 D．内切球的表面积为 4．（2025·广东肇庆·模拟预测）半径为3的球O上相异三点A，B，C构成边长为3的等边三角形，点P为球O上一动点，则当三棱锥P-ABC的体积最大时（    ） A．三棱锥O-ABC的体积为 B．三棱锥O-ABC的内切球半径为 C．三棱锥P-ABC的体积为 D．平面ABC与平面PAB所成角的正切值为 三、填空题 5．（25-26高三上·上海松江·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面，，，E为垂足，F为BD中点，则下列结论正确的序号是 ． ①若AD的长为定值，则该三棱锥外接球的半径也为定值 ②若AC的长为定值，则该三棱锥内切球的半径也为定值 ③若BD的长为定值，则EF的长也为定值 6．（25-26高三上·四川成都·开学考试）在正三棱锥中，，，三棱锥的内切球球心为O，若在此三棱锥中再放入一个球，使其与三个侧面及内切球O均相切，则球的半径为 ． 四、解答题 7．（25-26高三上·浙江·阶段练习）如图1，边长为的菱形中，对角线，沿着对角线将和翻折至和的位置，使得，得到三棱锥（如图2），，，，分别为棱，，，的中点. (1)证明：； (2)记三棱锥的外接球和内切球半径分别为和，求的值； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 8．（2025·湖南郴州·一模）在四棱锥中，底面为直角梯形，满足，底面.点为棱的中点，点为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成夹角的余弦值； (3)设点为三棱锥的内切球球面上一动点，求三棱锥体积的最大值. 题型三 三棱台外接球问题 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、单选题 1．（25-26高三上·贵州·阶段练习）已知在正三棱台中，的面积为，的面积为，该正三棱台的体积为，则该正三棱台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知正三棱台的上底面边长为，高为，体积为，则该正三棱台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 3．（2023·安徽芜湖·模拟预测）已知正三棱台的上、下底面边长分别为，，且侧棱与底面所成角的正切值为3，则该正三棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2023·河北唐山·模拟预测）如图，在三棱台中，表示体积，下列说法正确的是（    ） A． B．成等比数列 C．若该三棱台存在内切球，则 D．若该三棱台存在外接球，则 5．（25-26高三上·安徽阜阳·开学考试）在正三棱台中，，侧面与底面所成二面角的大小为，设正三棱台的各个顶点都位于球O的表面上，则（    ） A．若，则正三棱台的高为 B．若，则球O的表面积为 C．点O到平面ABC的距离随的增大而增大 D．点O到平面的距离随的增大先减小后增大 三、填空题 6．（2025·河南南阳·模拟预测）已知正三棱台的上、下底面边长分别为1和2，且体积不大于，若该棱台的外接球球心位于棱台内部（不含表面），则外接球表面积的取值范围是 . 7．（2025·山东青岛·三模）已知正三棱台，，，，则该正三棱台的体积为 ． 8．（25-26高三上·陕西西安·开学考试）正三棱台的上､下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上､下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的表面积为 . 题型四 三棱台内切球问题 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、单选题 1．（2025·云南·三模）正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的表面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南永州·模拟预测）正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（21-22高三上·重庆渝中·阶段练习）正四面体的棱长为，如图甲，，，分别是，，上的点，平面底面，半径为的球在三棱台内部且与底面和平面都相切，记三棱锥的体积为.如图乙，将正四面体倒置后，，，分别是，，上的点，且平面底面，此时球内切于三棱锥，记三棱台的体积为，若三棱锥的体积，则球的表面积是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2025·全国·模拟预测）在正三棱台中，，，侧棱与底面ABC所成角的正切值为．若该三棱台存在内切球，则此正三棱台的体积为 ． 三、解答题 5．（24-25高三上·浙江·开学考试）在正三棱台中，已知，，三棱台的高. (1)求棱台的体积； (2)若球与正三棱台内切（与棱台各面都相切），求球的表面积. 题型五 综合题型与技巧总结 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、单选题 1．（2025·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 2．（2025·江西·高考模拟题）在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2025·新疆乌鲁木齐·二模）如图，菱形边长为，，为边的中点将沿折起，使到，且平面平面，连接，则下列结论中正确的是（    ） A． B．四面体的外接球表面积为 C．与所成角的余弦值为 D．直线与平面所成角的正弦值为 4．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，点O是顶点A在底面BCD内的射影，M为AO的中点，则（    ） A． B．四面体的体积为 C．点D到平面BCM的距离为 D．三棱锥与的外接球体积相等 三、填空题 5．（2025·河北秦皇岛·一模）内切球半径为1的正四棱锥的外接球半径的最小值为 . 6．（2025·山东菏泽·一模）如图，在中，，，E是的中点，D是边上靠近A的四等分点，将沿翻折，使A到点P处（P点在平面上方），得到四棱锥.则 ①的中点M运动轨迹长度为 ； ②四棱锥外接球表面积的最小值为 . 四、解答题 7．（2025·安徽·模拟预测）如图，在四棱台中，平面，，. (1)求证：； (2)若三棱锥的外接球表面积为，求平面与平面夹角的余弦值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 三棱锥、三棱台外接球和内切球题型归纳 （第八章 立体几何专题） 题型一 三棱锥外接球问题 2 题型二 三棱锥内切球问题 3 题型三 三棱台外接球问题 3 题型四 三棱台内切球问题 4 题型五 综合题型与技巧总结 4 思维导图 1．球与多面体的接、切 定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体的外接球。 定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多面体的内切球。 2.补形法（补长方体或正方体） ①墙角模型（三条线两个垂直） 题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图） ②对棱相等模型（补形为长方体） 题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，） 3、单面定球心法（定+算） 步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥中，选中底面，确定其外接圆圆心（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心）； ②过外心做（找）底面的垂线，如图中面,则球心一定在直线（注意不一定在线段上）上； ③计算求半径:在直线上任取一点如图：则，利用公式可计算出球半径. 4.汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球） 题设：如图3-1，图3-2，图3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面； 第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理： 5.内切球的有关知识与方法 1．若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直. 2．内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.（类比：与多边形的内切圆）. 3．正多面体的内切球和外接球的球心重合. 4．正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合. 5．基本方法：体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法）. 题型一 三棱锥外接球问题 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、单选题 1．已知球是正三棱锥的外接球，，过点作球的截面，若截面面积为，则直线与该截面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作平面，垂足为，由正三棱锥性质求出及外接球的半径，进而求得，利用球的截面性质求解. 【详解】如图，作平面，垂足为，则是正三角形的中心， 因为 ，， 所以，则， 因为，取的中点，所以， ， 设正三棱锥外接球的半径为，则，得， 所以，故， 设过点的球的截面圆的半径为，圆心为，为截面圆上一点， ，则， 所以，则， 所以与该截面所成角为，故， ，即与该截面所成角为. 故选：C. 2．（2025·山东�校联考一模）在四面体中，，，则它的外接球的表面积（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由四面体棱长的特点，可将其与长方体结合，求得长方体体对角线即可求得外接球表面积. 【详解】因为，， 所以可以将四面体“放入”一个长方体中，如图所示： 设长方体的长、宽、高分别为， 则有，即有， 则长方体的体对角线长为，即外接球半径为， 故外接球的表面积. 故选：D 二、多选题 3．（2025上·湖南郴州�高三联考开学考试）阳马和鳖臑[biēnào]是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱（图2，图3），称为堑堵.再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开（图4），得四棱锥和三棱锥各一个.以矩形为底，有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马（图5）.余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑（图6）.若图1中的长方体是棱长为1的正方体，则下列结论正确的是（    ） A．鳖臑中的四个直角三角形全等 B．堑堵的表面积等于阳马与鳖臑的表面积之和 C．鳖臑的体积等于阳马体积的一半 D．鳖臑的内切球表面积为 【答案】CD 【分析】由条件，求鳖臑的各棱长，判断A，结合多面体表面积定义及堑堵、鳖臑、阳马的结构特征求出它们的表面积，判断B，根据锥体体积公式求鳖臑和阳马的体积判断C，利用鳖臑的体积和表面积可求其内切球的半径，结合球的表面积公式求球的表面积判断D. 【详解】由已知，， 所以，， 所以和不全等，A错误； 堑堵的表面积， 由已知，， 所以， 阳马的表面积， 鳖臑的表面积，， 所以堑堵的表面积不等于阳马与鳖臑的表面积之和，B错误， 鳖臑的体积， 阳马的体积， 所以鳖臑的体积等于阳马体积的一半，C正确； 设鳖臑的内切球的半径为， 因为鳖臑的表面积，鳖臑的体积，又， 所以， 所以鳖臑的内切球表面积为，D正确. 故选：CD. 4．（2025上·江西�高三统考开学考试）截角四面体是由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点处的小棱锥所得的多面体.如图，将棱长为6的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面，得到所有棱长均为2的截角四面体，则（    ）    A．直线与平面所成角为 B． C．该截角四面体的表面积为 D．该截角四面体外接球的表面积为 【答案】BCD 【分析】根据线面角、勾股定理、几何体的表面积、几何体外接球等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由题意得，将截角四面体还原为正四面体，如图1所示， 因为，平面平面， 所以与平面所成的角即为原正四面体的侧棱与底面所成的角，设为， 原正四面体底面的等边三角形的边长为，外接圆半径， 所以原正四面体的高为， 所以，所以，故A错误； 连接，，则，所以， 由正四面体中对棱互相垂直，可得，所以， 在直角中，，所以B正确； 由题意知，截角四面体由4个边长为2的正三角形，4个边长为2的正六边形构成， 所以其表面积为，故C正确； 如图2所示，取上下底面的中心分别为，，外接球的球心为，连接，，，， 因为截角四面体上、下底面的距离为， 设外接球的半径为，则， 即，解得， 所以外接球的表面积为，所以D正确. 故选：BCD    【点睛】要求几何体外接球的表面积或体积，关键是判断出球心的位置，并计算出外接球的半径.判断圆心位置的方法，可以考虑补形成长方体（正方体）、球的几何性质等知识来求解.求解线面角有关问题，可以作出线面角，也可以利用几何体的高来求解. 三、填空题 5．（2025上·江西南昌�高二南昌二中校考阶段练习）如图，是正四棱锥，是正方体，其中，，则该几何体的表面积 ； 【答案】/ 【分析】先计算正四棱锥的斜高，即可求得几何体的表面积. 【详解】题意得正四棱锥的斜高， 故几何体表面积为. 故答案为：. 6．（2025下·河北�高三校联考期末）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，，则四棱锥外接球表面积为 ；若点是线段上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质确定球心，即可计算半径及表面积，利用翻折后，由平面上两点之间距离最短确定Q位置，再由余弦定理求解最小值. 【详解】如图，    设中点为O， 由底面，底面，所以, 又，，平面，所以平面， 又平面，所以，同理可得， 因为，，所以， 所以在中， ， 所以O为四棱锥外接球的球心，为该球半径， 所以其表面积为； 将绕AC翻折到与所在面重合，此时运动到处，连接，交AC于点Q，如图，    此时最小，因为，， 所以，又，， 所以. 所以的最小值为. 故答案为： ； 四、解答题 7．（2025下·安徽�高一统考期末）如图，在直三棱柱中，点到平面的距离为的面积为. (1)求直三棱柱的体积. (2)若直线与平面所成的角为分别为的中点，且. （i）求直三棱柱的外接球的表面积； （ii）求二面角的大小. 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【分析】（1）根据计算即可求解； （2）（i）根据线面角及垂直关系可得且，进而可得棱的长度，确定外接球的球心，求出半径，根据表面积公式计算即可；（ii）作出二面角的平面角，计算即可求解. 【详解】（1）因为， 所以； （2）（i）在直三棱柱中，平面， 所以即为直线与平面所成角的平面角， 即，所以，即四边形为正方形， 因为分别为的中点，且， 所以且， 因为平面，所以， 因为，且， 所以平面， 因为平面，所以， 在正方形中，， 因为，且平面， 所以平面，即， 所以， 因为，所以， 直三棱柱底面为等腰直角三角形， 所以球心为点，半径为， ，所以， 所以球的表面积为. （ii）过点作的垂线，垂足为，连接， 因为平面，且平面， 所以，， 因为，且，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以即为二面角的平面角， 在中，由（2）知，，， 则， 所以， 所以， 由（2）知，，则， 所以，即二面角的大小为. 题型二 三棱锥内切球问题 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、单选题 1．（25-26高三上·河南·阶段练习）《九章算术·商功》中定义的鳖臑，是指四个面都是直角三角形的三棱锥．在如图所示的鳖臑中，平面，，则鳖臑的外接球和内切球的半径之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用已知条件将三棱锥放入正方体中可求外接球的半径，再利用等体积法可求内切球的半径. 【详解】由平面，，得, 因为且平面，所以平面, 又平面，得. 由，得. 于是将三棱锥放入正方体中，如下图： 三棱锥 的外接球即为正方体的外接球，其设外接球的半径为， 则，解得. 设内切球的球心为，半径为， 因为内切球的球心到各个面的距离等于半径， 所以，， ， ， ，得. 所以. 故选：B 2．（25-26高三上·全国·周测）如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，已知，则下列结论错误的是（   ） A．圆锥SO的侧面积为 B．三棱锥体积的最大值为 C．圆锥SO内切球的半径为 D．若，E为线段AB上的动点，则的最小值为 【答案】C 【分析】根据圆锥的侧面积公式计算判断A，应用棱锥体积公式计算判断B，应用内切球结合三角形内切圆计算判断C，应用展开图计算求出距离和最小值判断D. 【详解】由，得， ，又，可得． 对于选项A，圆锥SO的侧面积为，故A正确； 对于选项B，当时，的面积最大， 此时， 则三棱锥体积的最大值为，故B正确； 对于选项C，圆锥SO内切球的半径，就是内切圆的半径， 设为r，则，可得，故C错误； 对于选项D，，， 又为等边三角形，则． 将以AB为轴旋转到与共面，得到， 则为等边三角形，， 如图，． ， 由余弦定理得，， 的最小值为，故D正确． 故选：C 二、多选题 3．（2025高三·全国·专题练习）若正三棱锥的底面边长为3，高为，则该正三棱锥的（    ） A．体积为 B．表面积为 C．外接球的表面积为 D．内切球的表面积为 【答案】ABD 【分析】A：由三棱锥体积公式可求结果；B：根据条件计算出正三棱锥的棱长，由此可计算出表面积；C：确定出外接球的球心，则半径可求，由此可求外接球表面积；D：根据等体积法求解出内切球的半径，由此可求内切球的表面积. 【详解】如图，正三棱锥的体积，故A正确；    取的中点，连接，则在正三棱锥中，， 作平面，垂足为，则，由正三棱锥的性质可知在上，且， 可得，则，又，则， 则三棱锥的表面积为，故B正确； 设三棱锥的外接球的球心为，半径为，则在上，连接， 则，解得，则其外接球的表面积为，故C错误； 设三棱锥的内切球的半径为，由等体积法可得，解得， 故三棱锥的内切球表面积为，故D正确. 故选：ABD. 4．（2025·广东肇庆·模拟预测）半径为3的球O上相异三点A，B，C构成边长为3的等边三角形，点P为球O上一动点，则当三棱锥P-ABC的体积最大时（    ） A．三棱锥O-ABC的体积为 B．三棱锥O-ABC的内切球半径为 C．三棱锥P-ABC的体积为 D．平面ABC与平面PAB所成角的正切值为 【答案】BCD 【分析】由正弦定理和勾股定理得到棱锥的高，再由体积公式可得A错误；由等体积法可得B正确；由棱锥的体积公式可得C正确；分析得是二面角的平面角，其中是中点，解直角三角形即可验算 D正确. 【详解】对于A，设的中心为， 由正弦定理可得， 由球的截面性质可得平面， 所以， 所以三棱锥的体积为，故A错误； 对于B，设三棱锥的内切球半径为， 由等体积法可得，解得，故B正确； 对于C，当点到平面的距离最大时，三棱锥的体积最大， 此时棱锥的高为， 所以三棱锥的体积为，故C正确； 对于D，连接并延长交于点，由的中心为， 所以点必定为中点，且，连接， 当三棱锥P-ABC的体积最大时，面，面， 所以， 又因为，面， 所以面， 又因为面， 所以， 又因为，面面，面，面， 所以是二面角的平面角， 在直角三角形中，，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 5．（25-26高三上·上海松江·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面，，，E为垂足，F为BD中点，则下列结论正确的序号是 ． ①若AD的长为定值，则该三棱锥外接球的半径也为定值 ②若AC的长为定值，则该三棱锥内切球的半径也为定值 ③若BD的长为定值，则EF的长也为定值 【答案】①③ 【分析】根据给定条件，利用线面垂直的判定性质证得，再利用直角三角形斜边上的中线性质推理判断①③；举例计算判断②即可. 【详解】取的中点O，由平面平面，得， 则，而平面，于是平面， 又平面，则，，因此， 则O为三棱锥外接球的球心，是直径，因此该三棱锥外接球的半径为定值，①正确； 由平面平面，得 ，而， 平面 ，则平面 ，平面， 因此，，即的长为定值，③正确； 由①知，，而，平面， 取，则， 三棱锥的体积， 三棱锥的表面积， 设三棱锥内切球半径， 取，则， 三棱锥的体积， 三棱锥的表面积， 设三棱锥内切球半径，显然， 因此当的长为定值，三棱锥内切球的半径不为定值，②错误. 所以正确命题的序号是①③. 故答案为：①③ 6．（25-26高三上·四川成都·开学考试）在正三棱锥中，，，三棱锥的内切球球心为O，若在此三棱锥中再放入一个球，使其与三个侧面及内切球O均相切，则球的半径为 ． 【答案】 【分析】设内切球O的半径为，球的半径为.由题意可得三棱锥的体积和表面积.由等积法得.用一平行于底面且与球O上部相切的平面去截此三棱锥得到一个小棱锥, 求此小棱锥的高，再根据相似关系求得小棱锥的体积和表面积，进而由等积法求得球的半径. 【详解】设内切球O的半径为，球的半径为.设此棱锥的高为,底面的中心为，三棱锥的表面积为. 因为底面边长为，底面的高，， 所以， 棱锥的高, 侧面的高， 三棱锥的体积 所以， 所以三棱锥的表面积为. 由等积法知，得. 用一平行于底面且与球上部相切的平面截此三棱锥， 棱锥的内切球半径即为球的半径，设棱锥的高为， 三棱锥的表面积为. 因为棱台的高为， 所以， 根据相似关系，， 棱锥的表面积为， 根据等体积法，得，解得. 故答案为：. 四、解答题 7．（25-26高三上·浙江·阶段练习）如图1，边长为的菱形中，对角线，沿着对角线将和翻折至和的位置，使得，得到三棱锥（如图2），，，，分别为棱，，，的中点. (1)证明：； (2)记三棱锥的外接球和内切球半径分别为和，求的值； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）连接，，，，应用平行公理及菱形的定义证明为菱形，即可证结论； （2）设，中点分别为，，同（1）证明得，，将该三棱锥放回长、宽、高分别为4，4，2的长方体，进而确定三棱锥的外接球半径，应用等体积法确定三棱锥的内切球半径，即可得； （3）在（2）所得长方体中构建合适的空间直角坐标系，标注相关点坐标，求出对应平面的法向量，应用向量法求面面角的余弦值. 【详解】（1）如图，连接，，，， 则，且，，且， 所以，且，同理，且， 所以四边形为菱形，则； （2）设，中点分别为，，由（1）同理得，， 所以可将该三棱锥放回长、宽、高分别为4，4，2的长方体中（如图）， 所以三棱锥的外接球半径， ， 三棱锥的表面积， 所以，即，得， 所以； （3）以为原点，所在直线分别为，，轴，建立如图空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，，， 设平面的一个法向量为，则， 即，令，所以， 设平面的一个法向量为，则， 即，令，所以， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 8．（2025·湖南郴州·一模）在四棱锥中，底面为直角梯形，满足，底面.点为棱的中点，点为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成夹角的余弦值； (3)设点为三棱锥的内切球球面上一动点，求三棱锥体积的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）方法一，由线面平行的判定定理进行求证，方法二，由面面平行的判定定理进行求证； （2）求出平面与平面的法向量，代入向量夹角公式即可求解； （3）三棱锥的内切球球心为，半径为，由等体积法可求出，再求出球心到平面的距离，即可求解． 【详解】（1）方法一：证明：连接， 是中点，是中点， 是的中位线，故. 又平面平面， 根据线面平行的判定定理，可得平面. 方法二： 证明：取的中点，连接. 是中点，是中点，. 又平面平面，故平面. 同理可证平面. 又平面，所以平面平面. 平面平面. （2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，，. .设平面的法向量为， 则， 令，得 .设平面PCD的法向量为， 则， 令，得 设平面与平面所成的夹角为，则 故平面与平面所成夹角的余弦值为. （3）三棱锥的内切球球心为，半径为， 三棱锥的表面积为， 则， 由等体积法可知：，则， 由题意，得球心， 则，得点到平面的距离， 而，得， 因此三棱锥体积的最大值为． 题型三 三棱台外接球问题 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、单选题 1．（25-26高三上·贵州·阶段练习）已知在正三棱台中，的面积为，的面积为，该正三棱台的体积为，则该正三棱台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得正三棱台上下底面边长及高，设为该正三棱台的外接球球心， 由题可得，据此可得t及R，可得表面积. 【详解】， ，设正三棱台的高为， 则正三棱台的体积为， 如图，设，分别是的中心，设分别是的中点， 则三点共线，三点共线， ，， 设为该正三棱台的外接球球心，半径为，则在直线上， 设 若点在的同侧，则， 所以 ，则， 故. 若点在的异侧，则 （矛盾）， 故选：D. 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知正三棱台的上底面边长为，高为，体积为，则该正三棱台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据台体体积公式计算出正三棱台下底面边长，利用正三棱台的几何性质计算出球心到下底面的距离，可求出外接球的半径，结合球体表面积公式可求得结果. 【详解】设正三棱台的下底面边长为，则其下底面积为，上底面面积为， 所以，该三棱台的体积为， 整理可得，因为，解得， 如下图，设正三棱台的上、下底面的中心分别为、， 由正三棱台的几何性质可知，外接球球心在直线上， 正的外接圆半径为，正的外接圆半径为， 设，若球心在线段上，则， 设球的半径为，则， 即，解得，不合乎题意； 所以，球心在射线上，则， ，即，解得. 所以，，故该正三棱台的外接球表面积为. 故选：D. 3．（2023·安徽芜湖·模拟预测）已知正三棱台的上、下底面边长分别为，，且侧棱与底面所成角的正切值为3，则该正三棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图形，由正三棱台的对称性可得，正三棱台的外接球的球心落在上底面中心与下底面中心的连线上，先求出三棱台的高，再由外切球的性质得到外接球的半径. 【详解】分别取、的中心，连结，过作，    因为，由正弦定理得，得，同理可得，所以， 因为正三棱台，所以平面，∥， 所以平面，所以为侧棱与底面所成的角， 所以，所以， 设正三棱台的外接球球心O，因为为上底面截面圆的圆心，为下底面截面圆的圆心， 所以由正三棱台的性质可知，其外接球的球心在直线EF上， 设外接球O的半径为R，所以，，， 即，， 当在EF的延长线上时，可得，无解； 当在线段EF上时，轴截面中由几何知识可得，解得， 所以正三棱台的外接球表面积为. 故选：D 二、多选题 4．（2023·河北唐山·模拟预测）如图，在三棱台中，表示体积，下列说法正确的是（    ）    A． B．成等比数列 C．若该三棱台存在内切球，则 D．若该三棱台存在外接球，则 【答案】ABD 【分析】对于A，根据等体积转换进行判断；对于B，根据三棱台可以拆3个三棱锥以及其体积公式进行判断；对于C，根据三棱锥有内切球，作截面与内切球相切，则此球也是三棱台的内切球进行判断；对于D，三棱台的外接球在上下底面的投影点为两个底面三角形的外心，得出三个直角梯形全等，再进行判断. 【详解】对于A，如图1，因为，， 又在梯形因为，所以，所以.故A正确； 对于B，设三棱台上底面面积为，下底面面积为，高为h, 则， 又， 所以，所以， 所以成等比数列，故B正确； 对于C，如图2，设平面，三棱锥的内切球为球，作截面与球相切， 则球也是三棱台的内切球， 显然中最小，即不一定相等，故C错误；    对于D，如图3，若该三棱台的外接球为为球，球在上下底面的投影点为， 则分别为的外心，所以，， 平面，平面， 因为平面，所以，同理可证， 所以四边形是一个直角梯形，同理可得四边形，也是直角梯形， 所以三个直角梯形全等，则，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：多面体的外接球球心在组成多面体各面的投影点为该多边形的外心，由外心作该面的垂线，两条垂线的交点即为球心. 5．（25-26高三上·安徽阜阳·开学考试）在正三棱台中，，侧面与底面所成二面角的大小为，设正三棱台的各个顶点都位于球O的表面上，则（    ） A．若，则正三棱台的高为 B．若，则球O的表面积为 C．点O到平面ABC的距离随的增大而增大 D．点O到平面的距离随的增大先减小后增大 【答案】ABD 【分析】先计算和的外接圆半径，分析出外接圆圆心的位置，分别设为M和，再联合分析所在平面以及侧面，通过勾股定理联立等式解出高h和角度θ的关系，然后建立二维直角坐标系，求出球心O的坐标，最后逐项分析各个选项即可． 【详解】对于A，由题意可知，和都在一个圆上，由于和都为等边三角形，在和中分别作三角形中线AD和，连接，则和所在圆的圆心分别在AD和上，设为M和， 根据正弦定理，圆M的半径，圆的半径为， 根据正三角形的性质，，，又因为，所以，所以平面，所以即为侧面与底面所成二面角，由题意可知， 现将平面单独取出来，如图所示，过D作DE垂直于E，则在梯形中易知，， 设，则，，过A作AF垂直于F， 则， 所以， 现将等腰梯形取出来，如图所示，过B作BP垂直于P，则在等腰梯形中，，而，所以， 因为在正三棱柱中，，所以， 也即，解得， 当，则，故A正确； 对于B，由于正三棱台上下底面平行，所以根据球的对称性可知，外接球的球心O必在直线上，又因为A、A1在球面上，所以球心O还在的垂直平分线上， 以为原点建立直角坐标系，由于，，所以，，中点坐标为，的斜率为， 所以垂直平分线的直线方程为，垂直平分线于y轴的交点即为球心O，，则球的半径，当时，，球的表面积为，故B正确； 对于C，点O到平面ABC的距离为，由前述可知，令，所以，当，也即时，记此时，则时，，时，，所以随增大时点O到平面ABC的距离先减小后增大，故C错误； 对于D，点O到平面的距离为，可令，，当，也即时，则时，，时，，随增大时点O到平面的距离先减小后增大，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题 6．（2025·河南南阳·模拟预测）已知正三棱台的上、下底面边长分别为1和2，且体积不大于，若该棱台的外接球球心位于棱台内部（不含表面），则外接球表面积的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出正三棱台高的范围，再利用球的截面性质建立方程，求出球半径的范围即可. 【详解】如图，令正三棱台上下底面正三角形中心分别为， 则，， 设正三棱台的高为，则，解得， 设球的半径为，显然球心在线段上（不含端点） 因此，，解得， 且，而，当且仅当时取等号，得， ，解得， 因此，， 所以外接球表面积的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解. 7．（2025·山东青岛·三模）已知正三棱台，，，，则该正三棱台的体积为 ． 【答案】 【分析】将正三棱台补成正三棱锥，计算出三棱锥、的体积，作差后可得正三棱台的体积. 【详解】将正三棱台补成正三棱锥， 设点在平面的射影点为点，则为正的中心，如下图所示：    由棱台的性质可知，所以，故， 所以为的中点，所以， 由正弦定理可得，故， 所以， 又因为，所以， 同理可知，点到平面的距离为， 故， 因此正三棱台的体积为. 故答案为：. 8．（25-26高三上·陕西西安·开学考试）正三棱台的上､下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上､下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的表面积为 . 【答案】 【分析】利用内切球的性质，从截面形状分析数量关系，进而求出棱台表面积. 【详解】 如图，上底面边上的中线为，下底面边上的中线为. 根据内切球的性质可知，球与三个平面的切点分别在、、上. 考察截面 . 根据勾股定理易知，，. 圆与相切于,其中 分别为棱台上下底面的中心，为斜高， 因，， 由切线长定理，易得，，则, 上底面面积为，下底面面积为， 因此三棱台的表面积为. 故答案为： 题型四 三棱台内切球问题 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、单选题 1．（2025·云南·三模）正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由几何体结构特征，得到内切球与上、下底面切点为上下底的重心，作截面图，设内切球半径为r，根据球的性质，求得，得到正三棱台的高为，结合棱台的表面积公式，即可求解. 【详解】由题意知，正三棱台的上、下底边长分别为和， 可得上下底正三角形的高分别为，， 由几何体结构特征，可得内切球与上、下底面切点为上下底的重心， 故如图甲所示，作截面，得到图乙， 设内切球半径为r，则，解得，所以正三棱台的高为6， 所以. 故选：D． 2．（2025·湖南永州·模拟预测）正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】由截面图结合等面积法和勾股定理列出关于r的等量关系求出r即可求解. 【详解】由题可知上下底正三角形的高分别为， 由几何体结构特征结合题意可知内切球与上、下底面切点为上下底的重心， 故如左图所示作截面，得到右图，设内切球半径为， 则有即， 所以正三棱台的高为6. 故选：D. 3．（21-22高三上·重庆渝中·阶段练习）正四面体的棱长为，如图甲，，，分别是，，上的点，平面底面，半径为的球在三棱台内部且与底面和平面都相切，记三棱锥的体积为.如图乙，将正四面体倒置后，，，分别是，，上的点，且平面底面，此时球内切于三棱锥，记三棱台的体积为，若三棱锥的体积，则球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，可知本题的本质就是在正四面体中寻找一个平面，使得同一个球与上部分的小四面体内切，同时与下面部分的棱台的上下底面相切，通过计算可知一个正四面体的高是它的内切球半径的4倍，由题中条件可求出正四面体的高，设三棱锥的内切球的半径为，可知三棱锥的高为以及棱台的高为，最后根据求出，从而得出球的表面积. 【详解】解：本题的本质就是在正四面体中寻找一个平面， 使得同一个球与上部分的小四面体内切，同时与下面部分的棱台的上下底面相切， 若一个正四面体的棱长为时，则底面外接圆半径为， 可得正四面体的高， 若正四面体的内切球半径为，底面积为S， 则，则， 即正四面体的高是它的内切球半径的4倍， 由题可知，正四面体的棱长为， 则正四面体的高， 设三棱锥的内切球的半径为，则三棱锥的高为， 而球与三棱台的上下底面相切，即棱台的高为， 所以正四面体的高，故， 所以球的表面积是. 故选：A. 二、填空题 4．（2025·全国·模拟预测）在正三棱台中，，，侧棱与底面ABC所成角的正切值为．若该三棱台存在内切球，则此正三棱台的体积为 ． 【答案】 【分析】取BC和的中点分别为P，Q，上、下底面的中心分别为，，设，内切球半径为r，根据题意求出侧棱长以及，，再根据切线的性质及等腰梯形和梯形的几何特点列方程组求出半径即可. 【详解】如图，取BC和的中点分别为P，Q， 上、下底面的中心分别为，， 设，内切球半径为r，因为，棱台的高为2r， 所以， ，同理． 因为内切球与平面相切，切点在上， 所以①， 在等腰梯形中，②， 由①②得． 在梯形中，③， 由②③得，代入得，则棱台的高， 所以棱台的体积为． 故答案为：.    三、解答题 5．（24-25高三上·浙江·开学考试）在正三棱台中，已知，，三棱台的高. (1)求棱台的体积； (2)若球与正三棱台内切（与棱台各面都相切），求球的表面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接代入台体的体积公式求解. （2）利用上下底面之间的距离为内切球的直径求解. 【详解】（1）因为，分别为下底面，上底面面积. . （2）因为上下底面相互平行且均与内切球相切， 故上下底面之间的距离为内切球的直径， 所以，故球O的半径. 所以球的表面积． 题型五 综合题型与技巧总结 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、单选题 1．（2025·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求得，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台补成正三棱锥，与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，根据比例关系可得，进而可求正三棱锥的高，即可得结果. 【详解】解法一：分别取的中点，则， 可知， 设正三棱台的为， 则，解得， 如图，分别过作底面垂线，垂足为，设， 则，， 可得， 结合等腰梯形可得, 即，解得， 所以与平面ABC所成角的正切值为； 解法二：将正三棱台补成正三棱锥， 则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角， 因为，则， 可知，则， 设正三棱锥的高为，则，解得， 取底面ABC的中心为，则底面ABC，且， 所以与平面ABC所成角的正切值. 故选：B. 2．（2025·江西·高考模拟题）在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】中点到四面体的四个顶点的距离相等，是四面体的外接球的球心. 【详解】如图， 设矩形对角线的交点为，则由矩形对角线互相平分，可知． ∴点到四面体的四个顶点的距离相等， 即点为四面体的外接球的球心， ∴外接球的半径，则． 故选：C. 二、多选题 3．（2025·新疆乌鲁木齐·二模）如图，菱形边长为，，为边的中点将沿折起，使到，且平面平面，连接，则下列结论中正确的是（    ） A． B．四面体的外接球表面积为 C．与所成角的余弦值为 D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】BCD 【分析】利用空间关系证明线面垂直和线线垂直，利用直角三角形的性质找到四面体的外接球球心，从而可求球的表面积，也可以建立空间直角坐标系，利用向量法来判断选项． 【详解】 将沿折起，使到，且平面平面， 由于菱形，，所以是等边三角形， 又因为为的中点，所以， 又因为平面平面，平面， 所以平面，又因为平面， 所以 ，，两两垂直，以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 对于，， ，， ，与不垂直，故A错误； 对于，由菱形，，可知， 因为平面，又因为平面， 所以，又因为，平面， 所以平面，又因为平面， 所以，取的中点为，可得， 又因为平面，又因为平面， 所以，即， 所以有， 则点是四面体的外接球球心，故外接球的半径， 由勾股定理可得：， ， 即四面体的外接球表面积为：，故B正确； 对于C，， 设与所成角的为， 则， 所以与所成角的余弦值为，故C正确； 对于D，，，， 设平面的法向量， 则，取，得， 所以直线与平面所成角的正弦值为，故D正确． 故选：． 4．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，点O是顶点A在底面BCD内的射影，M为AO的中点，则（    ） A． B．四面体的体积为 C．点D到平面BCM的距离为 D．三棱锥与的外接球体积相等 【答案】ACD 【分析】根据正四面体的结构特征及已知有判断A；利用、及棱锥的体积公式判断B、C；求出三棱锥与的外接球半径判断D. 【详解】由题设，则，故， 所以，故，则，A对； 由且， 所以，B错； 由且，， 若点D到平面BCM的距离，则，可得，C对； 对于，其外接球球心在直线上，若其半径为，则， 所以，可得， 对于，其外接球球心在直线上，若其半径为，则， 所以，可得， 所以，即三棱锥与的外接球体积相等，D对. 故选：ACD 三、填空题 5．（2025·河北秦皇岛·一模）内切球半径为1的正四棱锥的外接球半径的最小值为 . 【答案】/ 【分析】设出底面边长和高后，结合正四棱锥外接球与内切球性质用底面边长及高表示出外接球半径与内切球半径，而后作商，多次换元将式子化简后结合基本不等式计算即可. 【详解】设正四棱锥底面边长为，高为，底面的中心为，连接， 则，，所以， 设外接球球心为，内切球球心为，则，在上， 因为，所以， 在中，，化简得， 因为， 所以， 所以 ， 令，则， 令，则， 令，则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，注意到，故. 故答案为：. . 6．（2025·山东菏泽·一模）如图，在中，，，E是的中点，D是边上靠近A的四等分点，将沿翻折，使A到点P处（P点在平面上方），得到四棱锥.则 ①的中点M运动轨迹长度为 ； ②四棱锥外接球表面积的最小值为 . 【答案】 【分析】因为到中点的距离等于（定值），且点在平面上方，所以的轨迹是以中点为圆心，为半径的半圆，进而可求周长；确定四棱锥底面外接圆的圆心及半径，当该点为球心时，四棱锥外接球的表面积最小. 【详解】因为到中点的距离等于，且点在平面上方， 所以的轨迹是以中点为圆心，为半径的半圆， 所以的中点运动轨迹长度为； 因为四边形的外心为的中点，所以四边形的外接圆的半径 所以四棱锥外接球的球心在过四边形的外心且垂直平面的直线上， 设四棱锥外接球的半径为，设球心到四边形的外心的距离为， 则，当时，等号成立， 所以四棱锥外接球表面积的最小值为. 故答案为：；. 四、解答题 7．（2025·安徽·模拟预测）如图，在四棱台中，平面，，. (1)求证：； (2)若三棱锥的外接球表面积为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)根据勾股定理证得,由平面推得，根据线面垂直的判定定理可得平面，进而得到． (2)由三棱锥的外接球表面积为，求得的长度，建立恰当的空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，即可求得两个平面夹角的余弦值． 【详解】（1）因为，所以四边形为平行四边形， . 在中，，. 由余弦定理可得，， 所以，所以为直角三角形，所以. 因为平面平面，所以， 因为平面平面，且， 所以平面， 因为平面，所以． （2）由(1)知，两两垂直， 所以三棱锥的外接球的直径长为,半径为, 故，解得. 因为,,所以, 由平面，知点在底面的投影是的中点． 以为坐标原点，如图所示建立空间直角坐标系，则， 所以. 设为平面的一个法向量，则 令，则为平面的一个法向量. 易知平面的一个法向量为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $