精品解析：北京市海淀区2025-2026学年高三上学期期中练习数学试题

海淀区2025-2026学年第一学期期中练习 高三数学 2025.11 本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ） A. B. C. D. 4 3. 已知向量，在正方形网格上的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 设，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数（ ） A. 有最大值，也有最小值 B. 没有最大值，有最小值 C. 有最大值，没有最小值 D. 没有最大值，也没有最小值 6. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 是偶函数 B. C. 是奇函数 D. 7. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知角，是象限角，则“存在，使得”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求面积的方法，他把这种方法称为“三斜求积术”．如果把这种方法写成公式，就是，其中，，是三角形的三边，是三角形的面积．若，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 10. 已知数列满足，，为的前项和，则下列结论错误的是（ ） A. 存在，使得成立 B. 存在，使得且对任意成立 C. 对任意，存在，使得成立 D. 对任意奇数，存在和，使得成立 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数的定义域是______． 12. 已知等差数列中，，且，则的公差______． 13. 若向量，，则______；______． 14. 设函数若存在点在函数的图象上，则的一个取值为______，的最小值为______． 15. 某社区内有一扇形草坪如图．，扇形的半径为60米，．甲从圆心出发，沿以每秒1米的速度向慢走，同时乙从出发，沿以每秒米的速度向慢跑．若经过秒，甲和乙所在位置分别为和，记的长度为米．给出下列四个结论： ①当时，； ②函数在区间上单调递增； ③方程在区间上恰有一个根； ④若函数在处取得最小值，则． 其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）若，且是函数的一个零点，直线是曲线的一条对称轴，求的值． 17. 已知数列的前项和为，且． （1）求的值； （2）求的通项公式； （3）若的各项都为正数，记，求． 18. 已知函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得唯一确定，求： （1）曲线在点处的切线方程； （2）函数的单调区间． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，本题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 19. 某城市公园计划将园内三角形区域（如图）．建造为多功能区，其中米，米，． （1）求的长度； （2）公园拟在边上设置休息点与，不重合．，同时将，，修建为三种不同功能的AI智慧步道，其每米造价分别为0.1万元，0.2万元，0.3万元．记，三段AI智慧步道的造价总和记为（单位：万元）． ①将表示为的函数； ②若不超过48万元，求的最大值．只需写出结论． 20. 已知函数有两个极值点．记，． （1）若点在直线上，求的值； （2）若函数的图象上存在点，使得是以为顶点的等腰三角形，求的取值范围． 21. 给定正整数，已知是一个行列的数表，其中．若数表同时满足如下三个性质，则称数表具有性质： ①对任意，有； ②对任意，且，有； ③对任意，有． （1）判断数表是否具有性质，并说明理由； （2）若数表具有性质，求的最小值； （3）若数表具有性质，记，求的最大值（表示集合中最大的数，表示集合中的元素个数）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海淀区2025-2026学年第一学期期中练习 高三数学 2025.11 本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解一元二次不等式求集合B，再结合题设韦恩图确定阴影部分的集合. 【详解】因为， 所以阴影部分表示的集合为， 故选：A 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的几何意义得到，再利用共轭复数的概念和复数的乘法计算法则即可得到答案. 【详解】由题意得，则. 故选：D. 3. 已知向量，在正方形网格上的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】直接建立平面直角坐标系，再根据向量的坐标运算可得. 【详解】建立平面直角坐标系可得，，， 所以，所以. 故选：A. 4. 设，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对A反例即可；对B和C利用不等式性质即可判断；对D，去绝对值，再比较大小即可. 【详解】对于A：，则，则，故A错误； 对于B：，所以，B错误： 对于C：因为，所以，所以，C错误； 对于D，由题知，又因为，则，即，故D正确， 故选：D 5. 函数（ ） A. 有最大值，也有最小值 B. 没有最大值，有最小值 C. 有最大值，没有最小值 D. 没有最大值，也没有最小值 【答案】B 【解析】 【分析】先换元设，再应用指数函数的值域及二次函数单调性计算求解. 【详解】因为函数， 设， 当函数单调递减，当函数单调递增， 所以当时，函数取最小值，函数无最大值. 故选：B. 6. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 是偶函数 B. C. 是奇函数 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数图象变换的知识求得，结合导数确定正确答案. 【详解】函数的图象向左平移个单位长度， 得到函数，则是奇函数，A选项错误. ，B选项正确. 为偶函数，C选项错误. ，D选项错误. 故选：B 7. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数奇偶性排除AB，再利用函数单调性或是极限值即可排除D. 【详解】，定义域为，关于原点对称， 当时，则，且，显然图中没有符合的， 当时， ，其既不恒等于， 也不恒等于，则其不具有奇偶性，即为非奇非偶函数，故AB错误； 当时，取的情况，此时，则，则CD图象不适合， 则只考虑的情况， 当时，取的情况，此时均在上单调递减，则在上单调递减，故D错误， 从极限角度考虑则当，且时，此时，则，故D错误. 故选：C. 8. 已知角，是象限角，则“存在，使得”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据正切函数的性质及充分必要条件的定义可得. 【详解】因角，是象限角，且，正切函数的最小正周期为，且为奇函数. 所以，即.所以充分性成立. 反过来，当，即， 根据正切函数的性质可得，存在，使得，即. 所以必要性成立.所以“存在，使得”是“”的充要条件. 故选：C. 9. 我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求面积的方法，他把这种方法称为“三斜求积术”．如果把这种方法写成公式，就是，其中，，是三角形的三边，是三角形的面积．若，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】对A，C选项可用平方数大于等于0进行判断得出，对C，D选项用基本不等式判断. 【详解】当时，，再由，且. 所以, 当且仅当，即或时等号成立， 所以时，，故A错误，C错误； 当时，，再由，且. 所以， 当且仅当时，即等号成立，故B正确，D错误. 故选：B 10. 已知数列满足，，为的前项和，则下列结论错误的是（ ） A. 存在，使得成立 B. 存在，使得且对任意成立 C. 对任意，存在，使得成立 D. 对任意奇数，存在和，使得成立 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设有且，对于从第二项开始符号不定，再结合各项的描述，应用特例法，对不同项赋予不同符号的组合判断各项的正误即可. 【详解】由题设是首项为1，公比为2的等比数列，则，且， 对于A：若，，，此时，对； 对于B：存在数列，使得对任意，都有且成立， 此条件等价于且对任意成立， 构造数列，该数列满足，， 此时，，满足条件，故B正确； 对于C：当时，成立； 当时，通过选择前项符号为正且第项符号为负，则，故C正确； 对于D：当时，， 当时，（其中）。 由于，令括号内为， 因为为奇数，后续项为偶数，所以必为奇数， 则为一个2倍的奇数，即该数能被2整除但不能被4整除。所以，其形式为型奇数， 因此，（）不可能等于型的奇数，例如，又， 故不存在使得，所以D错误。 故选：D 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数的定义域是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用对数函数和二次根式的性质建立不等式组，求解参数即可. 【详解】由题意得，解得. 故答案为： 12. 已知等差数列中，，且，则的公差______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式即可即可. 【详解】，解得. 故答案为：2. 13. 若向量，，则______；______． 【答案】 ①. ； ②. . 【解析】 【分析】根据数量积的坐标运算及夹角公式直接计算可得. 【详解】因，，所以. 又，， 所以，且，所以. 故答案为；. 14. 设函数若存在点在函数的图象上，则的一个取值为______，的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用分段函数性质结合题意求解第一空，结合一元二次方程性质求解第二空即可. 【详解】当时，将点代入， 得到，解得，则的一个取值为， 当时，满足，则， 由题意得此方程在上有解，得到，解得， 则的最小值为. 故答案为：1；0 15. 某社区内有一扇形草坪如图．，扇形的半径为60米，．甲从圆心出发，沿以每秒1米的速度向慢走，同时乙从出发，沿以每秒米的速度向慢跑．若经过秒，甲和乙所在位置分别为和，记的长度为米．给出下列四个结论： ①当时，； ②函数在区间上单调递增； ③方程在区间上恰有一个根； ④若函数在处取得最小值，则． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】先根据甲、乙的运动速度和时间得出的表达式，再利用余弦定理求出的表达式，结合导数逐一分析各个结论后可得正确的选项. 【详解】由题意得，. 在中，， 根据余弦定理， 可得. 结论①： 当时，， 故，即，所以①正确； 结论②： 设，则. 当时，， 故，而，， 故，即在上单调递增， 所以在上也单调递增，所以②正确； 结论③： 若，则， 化简可得. 设，则. 当时，，故， 故，故在单调递增，且， 所以在上无零点，即方程在区间上无根，所以③错误； 结论④：因为，其中， 设，， 则， 当，故，故， 故当时， 当，故，故， 故， 故当时， 故在上单调递增，而，， 故存在，使得， 且当时，，当时，， 故在取最小值，即在取最小值，其中， 故④正确. 故答案为：①②④. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）若，且是函数的一个零点，直线是曲线的一条对称轴，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式与二倍角公式化简原函数，再结合整体代入法求解单调区间即可. （2）利用正弦函数的性质求出和，最后求出即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 令，则， 所以函数的单调递增区间为； 【小问2详解】 因为是函数的一个零点， 所以令，而，则， 可得，解得， 因为直线是曲线的一条对称轴， 所以，解得， 因为，所以令，得到， 故. 17. 已知数列的前项和为，且． （1）求的值； （2）求的通项公式； （3）若的各项都为正数，记，求． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法求解参数即可. （2）利用前项和与通项公式的关系求解通项公式即可. （3）结合题意确定，再结合指数幂的性质和等差数列求和公式求解即可. 【小问1详解】 对于，令， 可得，解得或. 【小问2详解】 当时，，此时， 则， 当时，则，可得， 得到，即， 则，化简得， 可得是以为首项，为公比的等比数列， 故. 【小问3详解】 因为的各项都为正数，所以， 则. 18. 已知函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得唯一确定，求： （1）曲线在点处的切线方程； （2）函数的单调区间． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，本题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）选择①，不符合题意； 选择②或③，切线方程为． （2） 单调递增区间为，单调递减区间为. 【解析】 【分析】（1）结合题意求出的解析式，再结合导数的几何意义求解切线方程即可. （2）利用导数的性质结合函数的定义域求解单调区间即可. 【小问1详解】 选择条件①，可得， 此时无法使得唯一确定，故排除， 选择条件②，可得，解得， 选择条件③，因为，所以， 可得，解得， 故选择条件②或条件③可使得唯一确定，且在两种情况下一致， 故，，定义域为， 而，，则切线方程为. 【小问2详解】 由已知得，， 令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 综上，单调递增区间为，单调递减区间为. 19. 某城市公园计划将园内三角形区域（如图）．建造为多功能区，其中米，米，． （1）求的长度； （2）公园拟在边上设置休息点与，不重合．，同时将，，修建为三种不同功能的AI智慧步道，其每米造价分别为0.1万元，0.2万元，0.3万元．记，三段AI智慧步道的造价总和记为（单位：万元）． ①将表示为的函数； ②若不超过48万元，求的最大值．只需写出结论． 【答案】（1）； （2）①，其中；②. 【解析】 【分析】（1）直接利用余弦定理即可求解； （2）①利用正弦定理分别求出，，从而得到表达式，再写出的表达式，最后求出范围即可； ②根据解得，再结合即可得到的最大值. 【小问1详解】 在三角形中， 由余弦定理， 代入，得到， 解得． 【小问2详解】 ①，则 因为， 所以， 在三角形中，由正弦定理， 所以，， 又， 所以，其中． ②若，即，即，即 因为，因此只需，化简得， 则，当，则， 则，解得， 再考虑到，其中，， 故的最大值为． 20. 已知函数有两个极值点．记，． （1）若点在直线上，求的值； （2）若函数的图象上存在点，使得是以为顶点的等腰三角形，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对求导，然后解方程，找到函数的极值点，利用点A在直线上这一条件，可以建立关于a的方程，从而求解a的值； （2）先求出A，B两点的坐标，再根据是以P为顶点的等腰三角形得到，然后通过距离公式可得，则所求问题转化为：当时，有实数解，求的范围．令，利用导数研究其单调性及最值，结合零点存在性定理列出不等式求解a的取值范围． 【小问1详解】 ，得， 令，即， ∵函数有两个极值点 ∴方程有两个不等的实根，则， ∴解方程得． 因为点在直线上，所以， 即， 解得． 【小问2详解】 由（1）可知，其中， 则， ， 所以，， 设，因为是以为顶点的等腰三角形，所以， 则， 展开并化简可得：. 即所求问题转化为：当时，有实数解，求的范围. 令，， 令，所以，其中， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因此，当时，有极大值，也是最大值， 且， 当时，，，，， 当时，，，，， 要使有实数解，则， 因为，所以，解得. 因此，的取值范围是． 21. 给定正整数，已知是一个行列的数表，其中．若数表同时满足如下三个性质，则称数表具有性质： ①对任意，有； ②对任意，且，有； ③对任意，有． （1）判断数表是否具有性质，并说明理由； （2）若数表具有性质，求的最小值； （3）若数表具有性质，记，求的最大值（表示集合中最大的数，表示集合中的元素个数）． 【答案】（1）不具有； （2）5； （3）最大值. 【解析】 【分析】（1）取，验证即可； （2）求出数表元素总和为，再求出，再构造出时的数表即可； （3）分，然后利用递推构造可求最大值. 【小问1详解】 数表不具有性质， 因为取，则有，不满足条件③． 【小问2详解】 由①②知数表中的元素总和为． 设， 又由③，有，解得． 又当时，可构造数表具有性质， 所以的最小值为5． 【小问3详解】 当时，由（2）知， 所以的最大值为． 当时， 因为，所以． 若，则，矛盾． 所以． 所以． 当时，若，则， 此时，矛盾． 所以． 又可构造数表具有性质，且， 所以的最大值为7． 当时，，且 当时， 若，不同列的元素的和的和至少为，矛盾； 故，此时， 当时，构造如下符合条件的矩阵： 此时， 当时，可得前者基础上最右列（除）均为1，最下面一行均为0， 此时， 依次利用类似的构造方法则可得一个符合条件的矩阵， ， 所以当时，最大值为， 综上所述，最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $