3.2.1单调性 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数单调性，通过艾宾浩斯遗忘曲线图和数学成绩变化图导入，引导学生观察“下降趋势”“上升趋势”等图像特征，搭建从现实情境到数学变化趋势的联系，作为抽象单调性概念的学习支架。 其亮点在于以现实情境培养数学眼光观察变化趋势，通过探究活动从图像直观过渡到符号语言刻画定义，如用x₁<x₂和f(x₁)<f(x₂)表达“单调递增”，体现数学语言严谨性。定义证明按“取值、作差、变形、定号、结论”步骤教学，结合一次函数和对勾函数实例，培养数学思维逻辑性。学生能逐步理解抽象概念提升证明能力，教师可借清晰结构高效教学。

3.2.1 函数的基本性质----单调性 艾宾浩斯遗忘曲线图 导 新知导入 数学成绩变化图 导 新知导入 曲线的变化趋势不同 呈下降趋势 呈上升趋势 局部上升（下降） 函数图象的这种变化趋势，反映的就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性 学 学习目标 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性。 理解函数的单调性的作用和实际意义。 会用定义证明简单函数的单调性。 4.感悟数学概念的抽象过程及数学符号语言的作用。 探究活动一： 观察图像（上升、下降），怎么用数学语言刻画图像呈上升或下降的趋势？ 图像在该区间从左至右呈上升趋势 图像在该区间从左至右呈下降趋势 单调递增 单调递减 知 新知探索 ——X值增大，函数值Y也增大 ——X值增大，函数值Y反而减小 图像是上升的 “ x 增大 ” x1 ＜ x2 “ x 增大，函数值 f(x) 也增大 ” “ 函数值f(x)也增大“ f(x1)＜f(x2) 当 x1＜x2 时， 都有f(x1)＜f(x2) 用符号表示 用符号表示 用符号表示 知 新识探索 请类比单调递增的定义给出单调递减的定义 那么就称函数f(x)在区间D上 那么就称函数f(x)在区间D上单调递增 知 新知探索 ＞ 单调递减 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数。 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数。 如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间. 探究活动三：若x＝1，2，3，4，时，相应地y＝1，3，4，6， 能否说在区间(0，+∞)上，y 随x 的增大而增大呢？ x y 1 0 3 4 2 知 新知探索 注意“任意” 题型一　判别函数单调性(图像法) 练 课堂练习1 例1 给出函数 y = f (x) 的图象，如图所示，根据图象写出这个函数的单调区间？ 1、在考虑它的单调区间时，端点有定义时包括端点，端点无定义时不包括端点. 2、若一个函数的单调区间有多个时不能用∪连接，用“和”或者“，”连接。 注意 说出下列函数的单调区间 练 课堂练习1 1.y=4x-2 2.y=x+1 3.y=-4x-2 4.y=-x+1 练 课堂练习2 例1 根据定义，研究函数𝒇(𝒙)=𝒌𝒙+𝒃(𝒌≠𝟎)的单调性。 题型二　能利用定义证明简单函数的单调性 解：函数f(x)=kx+b(k≠0)的定义域是R. ∀x1，x2∈R，且 x1<x2，则 f（x1）−f（x2）=kx1+b−kx2+b =kx1−x2. 由 x1<x2，得 x1−x2<0.所以 ②当k<0时，k(x1−x2)>0. 于是 f（x1）−f（x2）>0, 即 f（x1）＞f（x2）. 这时，f(x)=kx+b是减函数. ①当k>0时，k（x1−x2）<0. 于是 f（x1）−f（x2）<0, 即 f（x1）＜f（x2）. 这时，f(x)=kx+b是增函数. 1.取值:任取x1，x2∈D，且x1<x2； 2.作差:f(x1)－f(x2)； 3.变形:通常是因式分解和配方； 4.定号:判断差f(x1)－f(x2)的正负； 5.结论:指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性. 定义法判断函数单调性的步骤： 练 课堂练习2 例2：根据定义证明函数𝒚=𝒙+ 在区间(𝟏,+∞)上单调递增. 证明： ∀x1，x2∈（1+∞），且 x1<x2，有 由 x1，x2∈（1+∞)，得 x1>1，x2>1. 所以 x1x2>1，x1x2−1>0. 又由 x1<x2，得 x1−x2<0. 于是 <0, 即 y1<y2. 所以，函数 y=x+ 在区间 ( 1+∞)上单调递增. 取值 作差 变形 定号 结论 总 课堂总结 作业：课本P79 T2 T3 函数单调性定义的等价形式(对于任意的 )： $