精品解析：上海市彭浦中学2025-2026学年高三上学期期中数学试题

静安区彭浦中学2025-2026学年高三上学期期中数学试题 2025.11 (满分 150分， 时间120分钟) 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：_________ 一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分) 1. 已知集合，集合，则____. 2. 若复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数_________. 3 已知函数，则______． 4. 正实数a、b，若a与b的几何平均值为2，那么a与4b的算术平均值的最小值为________． 5. 已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则______ 6. 设，，记的导数为.若函数为奇函数，则的值为__________. 7. 将一个斜边长为4的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为_________. 8. 设曲线的斜率为3的切线为，则的方程为______． 9. 设平面向量，若不能组成平面上的一个基底，则_____. 10. 已知下列两个命题：，不等式恒成立；，有最小值．若两个命题中有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是__________． 11. 公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为θ，斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米，游客每走一米消耗的体能为，要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少，则______． 12. 平面内互不重合的点、、、、、、，若，，2，3，4，则的取值范围是______. 二. 选择题(本大题共有4题， 13-14每题4分， 15-16每题5分， 满分18分) 13. 已知、是非零实数，若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）. A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 15. 已知函数在区间内的图象为连续不断的一条曲线，则“”是“函数在区间内有零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 16. 关于函数有下述四个结论： ①是偶函数 ②的最大值为2 ③在有4个零点 ④在区间单调递减 其中所有正确结论的编号是（ ） A ①②④ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③ 三.解答题(本题共5道题，14+14+14+18+18，满分78分) 17 已知，. （1）若函数的最小正周期为，求的值； （2）当时，求函数在上的值域. 18. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点. （1）求证: 平面； （2）求三棱锥的体积. 19. 某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为. （1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低? （2）设每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损? 20. 已知圆与椭圆相交于点M(0，1)，N(0，-1)，且椭圆的离心率为. （1）求的值和椭圆C的方程； （2）过点M直线交圆O和椭圆C分别于A，B两点. ①若，求直线的方程； ②设直线NA的斜率为，直线NB的斜率为，问：是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由. 21 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数在区间上的最大值为12，求实数的值； （3）若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 静安区彭浦中学2025-2026学年高三上学期期中数学试题 2025.11 (满分 150分， 时间120分钟) 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：_________ 一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分) 1. 已知集合，集合，则____. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由题意可知集合A表示四个实数，而集合B表示非负实数，所以两个集合交集为.最后结果需用集合形式，是解答本类题目的注意点. 考点：集合的运算. 2. 若复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数_________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：先由复数乘法化为，再由纯虚数的概念得即正确解答本题需正确理解纯虚数概念. 考点：复数的运算，纯虚数的概念. 3. 已知函数，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据导数的定义和导数的运算公式求解. 【详解】因为，所以，则， 所以， 故答案为:6. 4. 正实数a、b，若a与b几何平均值为2，那么a与4b的算术平均值的最小值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据几何平均数求出，再利用基本不等式“积定，和最小”求解． 【详解】因为， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 故答案为：4． 5. 已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则______ 【答案】 【解析】 【分析】由幂函数在上递减得，又由幂函数为奇函数，验证即可求解. 【详解】因为幂函数在上递减，所以， 又幂函数为奇函数，所以. 故答案为： 6. 设，，记的导数为.若函数为奇函数，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求导，结合奇函数的定义即可求解； 【详解】由，得， 所以， 因为为奇函数，定义域为， 所以，所以， 即，，满足； 所以， 故答案为： 7. 将一个斜边长为4的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为_________. 【答案】 【解析】 分析】 先求出等腰直角三角形的直角边长，进而求出旋转体圆锥的底面半径和母线，再利用圆锥的表面积公式即可求出结果. 【详解】因为等腰直角三角形的斜边长为4， 所以直角边长， 由题意可知所得几何体是圆锥，其底面圆的半径，母线长， 则其表面积为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关圆锥的表面积的问题，正确解题的关键点是： （1）要确定旋转后所得到的几何体是圆锥； （2）要明确圆锥的各个量：底面圆的半径以及母线长； （3）要熟练掌握圆锥的表面积公式. 8. 设曲线的斜率为3的切线为，则的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数几何意义求解. 【详解】设切线与函数的切点为 又因为，所以在处的导数值为 所以，又因为切点在函数上，即 所以切点为，所以切线方程，即 故答案为： 9. 设平面向量，若不能组成平面上的一个基底，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得共线，推得，再利用二倍角公式计算即得. 【详解】由题意可知，，因，则， 解得，则 . 故答案为：. 10. 已知下列两个命题：，不等式恒成立；，有最小值．若两个命题中有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是__________． 【答案】或. 【解析】 【分析】根据函数恒成立的等价条件及基本不等式，我们可以求出为真命题时，实数的取值范围；根据复合函数单调性及指数函数单调性，对数函数的最值，我们可以求出为真命题时，实数的取值范围；根据两个命题中有且只有一个是真命题，我们分真假和假真，两种情况讨论，即可得到实数的取值范围． 【详解】解：，不等式恒成立； 即恒成立； 由于的最小值为2， 故为真命题时， ，有最小值． 表示以为底的对数函数为增函数，且恒成立 即，解得 故为真命题时， 两个命题中有且只有一个是真命题， 当真假时，或，，，或， 当假真时，这样的值不存在 故实数的取值范围是或 故答案为：或. 【点睛】本题考查的知识点是复合命题的真假，全称命题，二次函数的性质，对数函数的值域与最值，函数恒成立问题，基本不等式在求最值时的应用，其中分别求出命题和命题为真命题时，实数的取值范围，是解答本题的关键． 11. 公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为θ，斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米，游客每走一米消耗的体能为，要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少，则______． 【答案】 【解析】 【分析】方法1，根据给定条件，求出斜坡长，列出总体力关于的函数，利用导数求解作答. 方法2，根据给定条件，求出斜坡长，列出总体力关于的函数，借助辅助角公式求解作答. 【详解】方法1：依题意，斜坡长度， 因此人沿斜坡到坡顶消耗的总体力， 求导得，由，得， 当时，，当时，， 于是函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，人上坡消耗的总体力最小. 方法2：依题意，斜坡长度， 因此人沿斜坡到坡顶消耗的总体力， 由，得，即，其中锐角由确定， 显然，而，则，当且仅当，即时取等号， 此时，即， 所以当时，人上坡消耗的总体力最小. 故答案为： 12. 平面内互不重合的点、、、、、、，若，，2，3，4，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】设O为的重心，由重心性质化简可得，可知在以点O为圆心，为半径的圆上，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，进而利用数形结合可求得的最大值与最小值，可得结论. 【详解】设O为的重心，则， ， 因为，所以，设， 则在以点O为圆心，为半径的圆上，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系， 则， 当且仅当，，都在线段上时，等号成立， 又， 当且仅当、、在线段上，且在线段上，在线段上时，等号成立， 综上所述，的取值范围是. 故答案：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是得到在以点O为圆心，为半径的圆上，由此即可利用数形结合顺利得解. 二. 选择题(本大题共有4题， 13-14每题4分， 15-16每题5分， 满分18分) 13. 已知、是非零实数，若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于ABD：举反例说明即可；对于C：利用作差法分析判断即可. 【详解】对于选项AD：例如，满足，但，故AD错误； 对于选项B：利用，满足，但，故B错误； 对于选项C：因为， 且，、是非零实数，则， 可得，即，故C正确； 故选：C. 14. 已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）. A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】由空间线面位置关系逐项判断即可； 【详解】若，，，则平行或异面，错误； 若，，，则平行，或异面，或相交，错误； 若，，取直线的方向向量作为的法向量， 取直线的方向向量为作为的法向量，， 因为，即两平面所成角为，所以， 所以，即正确； 若，，，则平行或异面、或相交，错误； 故选：C 15. 已知函数在区间内的图象为连续不断的一条曲线，则“”是“函数在区间内有零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先根据零点的存在性定理分析充分性，然后再举例分析必要性，由此判断出属于何种条件. 【详解】由零点存在性定理，可知充分性成立； 反之，若函数，则易知， 且在区间内有两个零点，故必要性不成立. 故选：A. 16. 关于函数有下述四个结论： ①是偶函数 ②的最大值为2 ③在有4个零点 ④在区间单调递减 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】函数的奇偶性可根据定义判断，最值、零点、单调性等可将函数去绝对值进行分析. 【详解】解：的定义域为， 因为， 故为偶函数，结论①正确， 当， 当， 故当时， 根据函数为偶函数，作出大致图象，如图所示 故函数的最大值为2，结论②正确， 根据图象可得，在有3个零点，故结论③错误， 由图象可以看出，在区间单调递减，结论④正确. 故选：A. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性、三角函数的图象与性质，考查学生的推理论证能力和运算求解能力等. 三.解答题(本题共5道题，14+14+14+18+18，满分78分) 17. 已知，. （1）若函数的最小正周期为，求的值； （2）当时，求函数在上的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助三角恒等变换将原函数化为正弦型函数后利用周期计算即可得； （2）由范围可得范围，再利用正弦函数的性质计算即可得. 【小问1详解】 ， 因为且函数的最小正周期为，故； 【小问2详解】 当时，，若，则， 当时，函数取得最大值，即； 当时，函数取得最小值，即； 综上所述，函数在上的值域. 18. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点. （1）求证: 平面； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）依据线面平行的判定定理，找出面内的直线平行于即可证明平面； （2）根据等积法，即可算出． 【小问1详解】 连接与交于点，连接，因为为的中点， 为的中点，所以，又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 因正方体的棱长为2，点为的中点，平面， 则点到平面的距离等于到平面的距离的一半，距离为1， 因， 即三棱锥的体积为． 19. 某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为. （1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低? （2）设每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损? 【答案】（1）该单位每月处理量为吨时，才能便每吨的平均处理成本最低； （2）国家每月至少补贴元，才能不亏损. 【解析】 【分析】 （1）二氧化碳的每吨平均处理成本为整理后利用基本不等式即可求解； （2）设该单位每月获利为，，利用二次函数的基本性质求出的最大值，即可得出结论. 【详解】（1）由题意可得：二氧化碳的每吨平均处理成本为， 当且仅当，即时等号成立， 所以该单位每月处理量为吨时，才能便每吨的平均处理成本最低为元； （2）设该单位每月获利为，则 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 所以，函数在区间上单调递减， 当时，有最大值为， 故该单位需要国家每月至少补贴元，才能不亏损. 【点睛】关键点点睛：第一问关键点是求出每吨平均处理成本为，利用基本不等式即可求最值；设该单位每月获利为，，利用二次函数的性质以及可求利润最大值，即可判断是否获利以及是否需要国家补贴. 20. 已知圆与椭圆相交于点M(0，1)，N(0，-1)，且椭圆的离心率为. （1）求的值和椭圆C的方程； （2）过点M的直线交圆O和椭圆C分别于A，B两点. ①若，求直线的方程； ②设直线NA的斜率为，直线NB的斜率为，问：是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由. 【答案】（1），； （2）①；②是定值，为. 【解析】 【分析】 （1）由圆与椭圆相交于点M得，又因为椭圆的离心率为和可得答案； （2）①设直线的方程为分别与圆、椭圆的方程联立，可求得坐标，由可得；②利用①中坐标得，，化简可得答案. 【详解】（1）因为圆与椭圆相交于点M(0，1)，N(0，-1)，所以，又因为椭圆的离心率为，所以， 所以，椭圆. （2）①因为过点M的直线交圆O和椭圆C分别于A，B两点， 因为所以直线的斜率存在，设直线的方程为， 由得，所以， 同理得，所以， 因为，所以，又，所以， 即直线的方程为. ②是定值，理由如下， 由①知，， ，， 所以为定值. 【点睛】本题考查了椭圆的简单集合性质，椭圆与直线的位置关系，圆与直线的位置关系，（2）中的关键点是圆的方程与直线方程、椭圆方程与直线方程联立得出坐标，再结合已知条件可得答案. 21. 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数在区间上的最大值为12，求实数的值； （3）若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）答案见详解 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）先求导，对和进行分类讨论，结合二次函数性质，由导数正负确定原函数增减，即可求解； （2）由于与1，2的大小关系不确定，故需分为，，三类情况分类讨论，由导数正负确定原函数增减，进而确定在上，解出对应值； （3）采用分离参数法得，，令，求得，再令，利用二阶导确定一阶导的单调性和正负，进而确定原函数的单调性和正负，进而得解. 【小问1详解】 由得，当时，，故在上单增； 当时，令，解得， 时，，单增； 时，，单减； 时，，单增； 综上所述，当时，在上单增；当时，在单增；在单减；在当单增； 【小问2详解】 由（1）可知，当时，在上单增，故当时，，解得，故； 当时，令，解得， 和时，，单增； 时，，单减； 故最大值在或处取到，， 解得（舍去），，解得舍去； 当，即时，时，，单增；时，，单减， 故，解得，故； 当时，即时，时，，单减， 故，解得（舍去）， 综上所述，或 【小问3详解】 要使在区间上恒成立，即对于任意恒成立，分离参数得，，令， 则，令， 则，故在单增，， 故，即成立，故在单增， ，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $