精品解析：湖南省长沙市长郡中学2026届高三上学期月考（三）数学试卷

长郡中学2026届高三月考试卷（三） 数 学 得分______ 本试卷共8页.时量120分钟.满分150分. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，直接写出该命题的否定命题即可求解． 【详解】命题“”的否定是， 故选：B. 2. 已知复数的实部为的虚部为，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法得到，从而得到实部的值，由复数的乘法得到，从而得到虚部的值，从而得到，得到对应的点，得到所在象限. 【详解】，所以，所以， 其在复平面内的对应点为，位于第一象限． 故选：A． 3. 函数（其中e为自然对数的底数）的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分段得出函数解析式，再应用指数函数图象计算判断各个选项. 【详解】依题意可得 ， 又，当，；当，，只有选项B符合. 故选：B. 4. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用空间向量的投影向量公式及模长，数量积公式计算求解. 【详解】向量在向量上的投影向量为 故选：A. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数的性质比较大小. 【详解】，，， 因为指数函数单调递减，所以, 所以，所以. 故选:D. 6. 已知数列是等比数列，数列是等差数列，若则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列及等比数列的下标和性质求值，再代入结合诱导公式及两角差的正弦公式求解. 【详解】因为数列是等比数列，且，所以， 因为数列是等差数列，且，所以， 则 . 故选：D. 7. 已知函数，若且函数的最小正周期满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得为函数的最大值或最小值，即可求出的取值集合，再由周期求出的范围，即可求出的值，从而得解. 【详解】，为函数的最大值或最小值. ，，解得.又 函数的最小正周期满足，且， ，解得，当时，满足题意，. 故选：B. 8. 某个圆锥容器的轴截面是边长为4的等边三角形，一个表面积为的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁总面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别计算侧面与底面上小球可能接触到的容器内壁的面积，即可得解. 【详解】设小球的半径为，则小球的表面积为，解得， 在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域围成一个圆台侧面，如下图所示： 由小球的半径， 得， 又都是等边三角形，则， 圆台的上、下底面圆的半径分别为， 母线长，因此圆台的侧面积为， 在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆，其半径为，其面积为， 所以圆锥内壁上小球能接触到的圆锥容器内壁总面积为. 故选：B 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可得，然后由诱导公式和同角三角函数的关系对选项进行逐一判断，即可得到答案. 【详解】由可得，则 A. ，所以不正确. B. ,所以不正确. C. ,所以不正确. D. ,所以正确. 故选：D 【点睛】本题考查诱导公式和同角三角函数的关系，属于基础题. 10. 已知数列的前项和为，且，则（ ） A. B. 数列是等差数列 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】令直接代入计算可得A正确，根据的关系式以及等比数列定义即可求得数列为等比数列，可得B错误，再求得数列的通项公式可得C正确，结合分组求和以及等比数列前项和公式计算可得D正确. 【详解】对于A，由可得， 即，所以，因此A正确， 对于B，由可得，即， 显然不是定值， 因此数列不是等差数列，即B错误； 对于C，结合B分析由可知， 即数列是以为首项，公比为2的等比数列， 因此可得，所以，即C正确； 对于D， ，即D正确. 故选：ACD 11. 设是函数的三个零点，则（ ） A. B. C. 若成等差数列，则成等比数列 D. 若成等差数列，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】构造函数 应用导函数得出函数单调性得出值域判断A，B，根据成等差数列，结合指数运算律及对数运算律判断C，D. 【详解】对A、B:令 则 ， 设 ，则 故当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又时，时，时，， 且 ，故 ，且 ，故 A错误、B正确； 对C、D：由题意可得 ，所以 ， 由于成等差数列，则 ，故 ， 则 ，所以 ，故成等比数列，故C正确； 则 ，化简有 ，则 ， 解得 或 ， 又 ，则 ，故 ， 则 ，又 故舍去， 故 ，又 ， 所以 ，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知是函数的一个极值点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数极值点定义，结合函数单调性的性质进行求解即可. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由是函数的一个极值点， 得，解得，此时， 因为函数在上都单调递增， 所以函数在上单调递增，而， 当时，； 当时，，则函数在处取得极小值，符合题意， 所以. 所以，. 故答案为： 13. 在正三棱台中，，侧棱与底面所成的角为，则此正三棱台的体积为______. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据正三棱台的性质求出上下底面的面积，再结合侧棱与底面所成角求出棱台的高，最后代入棱台体积公式计算体积. 【详解】对于正三角形，其面积公式（为边长） 已知正三棱台中，， 则上底面，下底面 设正三棱台上下底面中心分别为,连接，则为正三棱台的高 因为正三角形中心到顶点的距离是边长的倍 所以， 则，且 已知侧棱与底面所成角为，在直角梯形中， 过点作底面的垂线，垂足为，则在上，且，， 侧棱与底面所成的角为，在中，， 所以，即，解得， 根据棱台体积公式将代入可得 . 故答案为： 14. 如图，在中，，D，E是线段上的两个点，为正三角形，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意设，可证，得到，继而得到，由余弦定理可求，再利用正弦定理可得，然后求即可． 【详解】设，则， 又为正三角形，所以， 则，又， 所以，则， 故，则，即，所以，即， 所以， ，即， 在中，，即， 解得，又，则为锐角， 所以． 故答案为：． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角； （2）若的面积，，求边的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式求出，即可得解； （2）由面积公式求出，即可求出、，再由余弦定理计算可得. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， ∴， ∴， 在中，，得， ，， ，. 【小问2详解】 ，又， ，所以，得， 又∵，∴或， 由余弦定理得， 所以. 16. 记为数列的前n项和，已知 （1）求的通项公式； （2）证明: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用，计算得出，最后应用累乘计算求解通项即可； （2）应用裂项相消法计算证明不等式. 【小问1详解】 依题意 ① 当时， ② 由①-②， 得 ∴当且时， 又 也符合上式，即 【小问2详解】 略 17. 已知P为椭圆短轴上的一个顶点，，为的左、右焦点，且的面积为，椭圆的焦距为2． （1）求椭圆的方程； （2）设直线l为圆的切线，且l与相交于A，B两点，求的取值范围（O为坐标原点）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）因为椭圆的焦距为2，则可得出c的值，再由三角形面积公式可求得b的值，进而求得的值，进而求得椭圆的标准方程；（2）由于直线l为圆的切线，注意讨论直线l的斜率存在情况，先确定一般情况下的取值范围，再确定特殊情况下的值，最后整合两种情况下的范围，即取两者的并集，最终得到的取值范围． 【小问1详解】 依题意，， 所以． 在中，， 解得，所以， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 设，， 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，联立 整理得， 则，则， 则 ． 又直线l为圆的切线， 则，即， 则 ． 又，于是； 当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为，则，， ． 综上， 【点睛】方法点睛：在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 18. 如图1，在平行四边形中，，，为的中点.现将沿折起，连接BD与CD，如图2. （1）当时，证明：平面平面； （2）设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. （3）当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径. 【答案】（1） 证明：连接，因为， 则为等边三角形，所以， 在中， ， 由余弦定理得， 所以，则，故， 由，可得，即， 又平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）连接，利用余弦定理求出，即可得到，，从而得到平面，即可得证； （2）在平面内过作，建立如图所示空间直角坐标系，表示出，利用空间向量法得到方程，解得即可； （3）取中点，连接，得到，当平面时，点到平面的距离最大，三棱锥的体积最大，结合（1）可得，设内切球半径为，利用等体积法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，当时，平面平面. 在平面内过作， 由平面平面平面， 则平面平面 ，则 . 如图，以点为坐标原点，以 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系 ， 则 ， 故，因， 则， 因为轴垂直平面，故可取平面的一个法向量为， 设直线与平面 所成角为， 所以， 化简得，解得或(舍去)， 故当时，存在，使直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 设点到平面的距离为 ， 由，其中为定值， 则要使三棱锥 的体积最大时，则点到平面的距离取最大， 取中点，连接，则， 由图知当平面时，点到平面的距离最大， 此时，由 平面 ，则平面平面 ， 由（1）知， ，为直角三角形， . 则，， ， 在中， ，取中点，连接，则， ，所以， 设三棱锥内切球球心为，内切球半径为，由等体积法知， ， 其中， 故， 即三棱锥的内切球的半径为. 19. 已知函数. （1）求的单调区间和极值； （2）若时，恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，，记的极小值点为存在唯一零点，求证：. 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增，的极小值为，无极大值 （2） （3） 证明：， 令，所以是上增函数， 而 又的极小值点为，所以， 且时，单调递减，时，单调递增， 又且时，，， 又存在唯一零点，所以， 所以， 又， 因为，所以， 记函数， 则， 当单调增， 当单调减， 所以当时，取最大值， 所以， 即，又时，单调递增， 所以． 【解析】 【分析】（1）求出，分别令解不等式即可求出单调区间与极值； （2）将等价变形为，转化为求； （3）通过对性质研究，得到时，单调递减，时，单调递增，又存在唯一零点，得到，，通过即可证明． 【小问1详解】 由题：， 令，所以在上单调递增； 令，所以在上单调递减； 的极小值为，无极大值． 【小问2详解】 当时, 令 当时, 在单调递增,成立； 当时，，所以在单调递减，在单调递增， ，不符合题目条件， 综上：． 【小问3详解】 略 【点睛】第（3）问的关键是通过对性质研究，得到，从而，通过函数的单调性，利用函数值的大小关系来证明的大小关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长郡中学2026届高三月考试卷（三） 数 学 得分______ 本试卷共8页.时量120分钟.满分150分. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数的实部为的虚部为，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 函数（其中e为自然对数的底数）的大致图象为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列是等比数列，数列是等差数列，若则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若且函数的最小正周期满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 某个圆锥容器的轴截面是边长为4的等边三角形，一个表面积为的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁总面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列的前项和为，且，则（ ） A. B. 数列是等差数列 C. D. 11. 设是函数的三个零点，则（ ） A. B. C. 若成等差数列，则成等比数列 D. 若成等差数列，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知是函数的一个极值点，则______. 13. 在正三棱台中，，侧棱与底面所成的角为，则此正三棱台的体积为______. 14. 如图，在中，，D，E是线段上的两个点，为正三角形，，则______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角； （2）若的面积，，求边的大小. 16. 记为数列的前n项和，已知 （1）求的通项公式； （2）证明: 17. 已知P为椭圆短轴上的一个顶点，，为的左、右焦点，且的面积为，椭圆的焦距为2． （1）求椭圆的方程； （2）设直线l为圆的切线，且l与相交于A，B两点，求的取值范围（O为坐标原点）． 18. 如图1，在平行四边形中，，，为的中点.现将沿折起，连接BD与CD，如图2. （1）当时，证明：平面平面； （2）设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. （3）当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径. 19. 已知函数. （1）求的单调区间和极值； （2）若时，恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，，记的极小值点为存在唯一零点，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $