精品解析：江苏省常州市金坛区第一中学2025-2026学年高三上学期11月月考数学试题

2025年秋学期金坛区第一中学高三数学试卷 一、单选题： 1. 已知是虚数单位，复数满足，则（ ） A. B. C. D. 5 2. “”是“”的（ ） A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 为落实“双碳”目标，某环保组织调研10个国家2024年度的人均碳排放强度（单位：吨/人·年），得到数据如下：2，4，5，7，8，9，11，12，13，15．则该组数据的30%分位数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. 设、、，，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 在平行四边形中，，，设，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知球的半径为3，正方体所有顶点均在球面上，点是棱的中点，过点作球的截面，则所得截面面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且.则（ ） A. B. C. D. 8. 设，，，则，，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题： 9. 关于的展开式，下列说法中正确的是（ ） A. 有理项共有4项 B. 第一项与第三项的二项式系数相等 C. 常数项为60 D. 展开式的二项式系数之和为1 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的最大值为 B. 若，则 C. 若，则 D. 已知函数满足恒成立，则 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题： 12. 已知向量，满足，，且，则________． 13. 如图，某停车场有2行4列共8个停车位，现有2辆红色汽车和2辆黑色汽车要停车，则相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的概率为___________. 14. 如图，装满水的圆台形容器内放进半径分别为3和6的两个铁球，小球与容器底和容器壁均相切，大球与小球、容器壁、水面均相切，此时容器中水的体积为_____． 四、解答题： 15. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间及在上的值域； （2）若为锐角且，求的值. 16. 如图，在△ABC中，已知B，AC＝4，D为BC边上一点． （I）若AD＝2，S△DAC＝2，求DC的长； （Ⅱ）若AB＝AD，试求△ADC的周长的最大值． 17. 甲汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图．且当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”． （1）求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）以频率估计概率，在甲配件厂生产的这批产品中随机抽取3件产品，随机变量表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求的分布列及数学期望； （3）现在市场上这种塑胶配件由甲、乙、丙三个汽车配件厂供应，由长期的经验知，乙、丙两家的“优秀品”率分别为0.60，0.30三家产品数在市场中所占比例为，将三家产品混合在一起，从中抽取一件，在已知取到的为优秀品的条件下，它是由甲厂生产的概率是多少？ 18. 如图，在直四棱柱中，，，，，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值： （3）若为线段上的动点，求到直线距离的最小值. 19. 已知函数：． （1）若当时，恒成立；求实数a的取值范围； （2）若关于x的方程有两个不同实数根；且， （i）求实数a的取值范围； （ii）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网可组卷网 2025年秋学期金坛区第一中学高三数学试卷 一、单选题： 1.已知i是虚数单位，复数z满足1=1-i,则=（) 3+2i A√29 B.3V5 C.V26 D.5 【答案】C 【解析】 【分析】先根据复数的四则运算求出复数z,再求模即可. 【详解)由，1=1-i,得zi=1-(3+21=5-i, 3+2i 所以z=5=i_5-i1-5i =26 故选：C 2.“sin2a+c0s2B=1”是“a±β=0”的() A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论 【详解】若sin2a+cos2B=1,则sina=sin2B,即sina=±sinβ，得不出a±B=0,如a=π±B, 所以“sin2a+cos2B=1”不是“a±B=0”的充分条件： 若a±B=0,则B=±a,可得cos2B=cos2a,即sin2a+cos2B=sin2a+cos2a=1, 所以“sin2a+cos2B=1”是“±B=0”的必要条件： 所以“sin2a+c0s2B=1”是“a士阝=0”的必要而不充分条件， 故选：A. 3.为落实“双碳”目标，某环保组织调研10个国家2024年度的人均碳排放强度（单位：吨/人·年），得到数 据如下：2,4,5,7,8,9,11,12,13,15.则该组数据的30%分位数是() 第1页/共22页 可学科网 组卷网 A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】A 【解析】 【分析】将已知数据按从小到大的顺序排列，求10×30%，结合百分位数定义求结论即可. 【详解】数据从小到大为：2,4,5,7,8,9,11,12,13,15， 又10×30%=10×0.3=3， 所以该组数据的306分位数是5+7=6. 2 故选：A 4.设a、b、c∈R,abc≠0，且a>b>c,则() A+b>2 b+<2 B b c a b C.2a>b+c D.a+bxc 【答案】C 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断ABD选项，利用不等式的性质可判断C选项. 【咩解】对于A选项，不妨取a=2,b=1,c=4,则品+2=2-4=-2<2，A铝 b c 对于B选项，不妨设a=-1,6=-2,C=-6,则b+C=2+3=5>2,B错， a b 对于C选项，因为a>b>c,由不等式的基本性质可得2a>b+c,C对： 对于D选项，不妨设a=-1,b=-2,c=-2.5,则a+b=-3<-2.5=c,D错 故选：C 5.在平行四边形ABCD中，BE=EC,DF=2FC,设AE=a,AF=6,则AC=() A. 6+36 70+ 36 B.7a+ 7 3 Da+6 3 4 【答案】B 【解析】 【分析】结合平行四边形的性质及平面向量的基本定理即可求解 第2页/共22页 可学科网可组卷网 【详解】因为四边形ABCD为平行四边形，所以AC=AB+AD,BC=AD,DC=AB, 因为BE=EC,DF=2FC, 所以B旺-8C,DF-号DC 所以AE=AB+BE=AB+BC=AB+}AD, 3 AF-AD+DF-AD+2DC=4D+248 因为4正=a,AF=b, 丽+写0=a AB=9」 7 所以 AD+24B-8 ，解得 AD= 96-6 7 9 -36+96-6a 3 所以AC=AB+AD=二G =d 7 7 7 7 6 7 故选：B D E B 6.已知球O的半径为3，正方体ABCD-ABCD所有顶点均在球面上，点M是棱AB的中点，过点M 作球0的截面，则所得截面面积的最小值为() A.5元 B.4π C.3π D.V3π 【答案】c 【解析】 【分析】根据正方体对角线长就是球的直径求出正方体的棱长，结合当OM与截面垂直时，截面圆的半径 最小，此时截面圆面积最小，进而可得答案。 【详解】设正方体棱长为a,则正方体对角线长就是球的直径2R, 球心O是正方体对角线中点， 由正方体对角线公式Va2+a2+a2=2R=6,解得a=2V3· 因为点M是棱AB的中点，当OM与截面垂直时，截面圆的半径最小，此时截面圆面积最小 第3页/共22页 学科网可组卷网 因为OA=R=3,AM=V3,勾股定理0A2=OM2+AM2,解得0M=√6， 设截面圆半径为r,则r=√R2-OM2=9-6=√3， 所以截面面积S=元r2=3元， 故选：C D A D 7.在ABC中，角4，B,C的对边分别为，，c,若a=b,且smC=20+5si血9则三=( sin2B A.2√3 B.3V2 C.V5-1 D.6+2 2 【答案】D 【解析】 【分析】由题干条件和正弦定理得c2=2b2(1+√3sinC),再由a=b及余弦定理可得c2=2b(1-cosC), 联立化简得tanC= 5 结合角C的范围求得C=5江，代入c2=2b1-c0sC)求解即可 3 6 【详解】由sinC=21+V5sinC及正弦定理可得 sin2B -21+5sinC9),c2=2b(1+5sinC). 由a=b及余弦定理可得c2=a2+b2-2 abcos C=2b2(1-cosC), 所以261+v5sinC9=2b0-cosC),所以V5simC=-cosC,故nC=-5 3 又0<C<,故C=,所以c2=2b21-cosC)=b22+V5,所以 6 京=2+5， 所以S=6+V2 第4项/共22页 可学科网可组卷网 故选：D 8.设a= 50 100 cos,0。),c6h0则a,b,的天小关系正确的是《)7 5 A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.b<a<c 【答案】D 【解析】 6 c=In 51)5 所以只要比较 50 sin 100*cos100) 的大小即可，然后分别构造函数 50 f(x)=e*-(1+sinx)(x>0),g(x)=(1+x)2-e,判断出其单调性，利用其单调性比较大小即可 51 100’c=ln 50 =1+0.022的大 小即可， 令f(x)=e-(1+sinx)(x>0),则f'(x)=e-cosx>0,所以f(x)在(0，+o)上递增， 所以f(x)>f(0),所以e>1+sinx, 所以e.o2>1+sin0.02,即x>y>1, 令g(x)=1+x)2-e,则g'(x)=1.21+x)2-e*,g"(x)=0.241+x).8-e 因为g"(x)在(0.+0)上为减函数，且g"(0)=0.24-1<0, 所以当x>0时，g"(x)<0, 所以g(x)在(0.+0)上为减函数， 因为g'(0)=1.2-1>0，g'(0.2)=1.2×1.202-e02=1.22-e2, 要比较1.22与e2的大小，只要比较ln1.22=1.2ln1.2与lne2=0.2的大小， 第5页/共22页 学科网丽组卷网 O 令h(x)=(1+x)ln(1+x)-x(x>0),则h'(x)=ln(1+x)+1-1=ln(1+x)>0, 所以h(x)在上递增，所以h(x)>h(0)=0, 所以当x∈(0，+oo)时，(1+x)ln(1+x)>x,所以1.2n1.2>0.2, 所以1.22>e2,所以g'(0.2)=1.2×1.22-e02=1.22-e2>0, 所以当x∈(0,0.2)时，g'(x)>0, 所以g(x)在(0,0.2)上递增， 所以g(x)>g(0)=0,所以(1+x)12>e, 所以(1+0.02)2>e.2,所以z>x,所以z>x>y, 所以c>a>b, 故选：D 【点睛】关键点点晴：此题考查导数的应用，考查利用导数比较大小，解题的关键是对已知的数变形，然 后合理构造函数，通过导数判断函数的单调性，利用函数单调性比较大小，考查数转化思想和计算能力， 属于难题 二、多选题： 6 9.关丁 2x| 的展开式，下列说法中正确的是() A.有理项共有4项 B.第一项与第三项的二项式系数相等 C.常数项为60 D.展开式的二项式系数之和为1 【答案】AC 【解析】 【分析】A写出通项，令-3 +3∈Z即可：B计算第一项与第三项的二项式系数即可，C令-3+3 -=0即 可；D计算26即可. 【详解】对于A,展开式的通项为T,+1=( 343 (-2x)=(-2yC6x2(r=0,1,2,3,4,5,6), 当r=0,24,6时，-3+3∈Z,所以展开式的有理项共有4项，故A正确， 2 对于B,第一项二项式系数C。=1,第三项的二项式系数C%=15, 第6页/共22页 可学科网可组卷网 第一项与第三项的二项式系数不相等，故B错误： 对于C,令-3+3=0，r=2,展开式中的常数项为（←2C=4×15=60,故C正确； 对于D,展开式的二项式系数之和为2=64，故D错误. 故选：AC. 10.下列说法正确的是(） 1 A函数y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值为√2+ 2 B若an0=2则3sin9+2sin0c0s0-cos'0=3 4 C.若sinx+cosx <x< 3π 则3sinx+4cosx=0 2 D.已知函数g(x)=3sinx+acosx满足g(x)≤g 2 3 恒成立，则a=√5 【答案】ACD 【解析】 【分析】运用换元法令t=six+cosx,转化为二次函数的最值可判定A,转化为正余弦的齐次式可判定B, 运用同角三角函数的基本关系式可判定C,根据题意知当x=T时g(x取最大值可判定D 【详解】法级A:令1=smr+coex=5sm+号)e[-5,V2],则sine0ax t2-1 2 所以y=2+1-1[-5V],当1=2时=5+分故A正确， 选项B:因为tan8=2' 1 3sin+2sinOcos0-cos0=3sin+2sin0cos0-cos203tan+2tanx-1 3 =二，故B错误； sin20+cos20 tan2x+1 5 1 1 选项C:因为sinr+cor=5,所以(sinr+cosr)'=1+2 sincosx=7 5 24 即2 sinxcosx=- <0,由0<x< ,所以。<x<元 25 (sinx-cosx)21-2sinxeosx= 所以n-cos=子即smr-号or=-号 4 5 第7页/共22页 学科网组卷网 所以3sinx+4cosx=3× 44×2=0,放C正确 5 5 选项D:函数g(x)=3sinx+acosx满足g(x)≤g π一3 恒成立， 即V9+a2=3sin 写，化简得a=V5,故D正确： 3+acos 故选：ACD 1已灯函数国及其与属数了到的定义越均为R,记8=f川，者f（行-2x2+到均为 偶函数，则() A.f(0)=0 asl-2)-0 c.f(-2)=f(5) D.g-1+g2)=0 【答案】BCD 【解析】 【分析】由f ?-2x为偶函数。可得3-)=八，算可别新©重器系函数与导质数的图喉的 为奇函数，再根据函数g2+x)为偶函数，得到g2+x)=g2-x),两者 结合即可符出g)-0,8-刂=g刊=一8(2)判青BD,利用联植法炭斯A 【1对于小.医为/}2为屋数，所以}-2刘层2 即f传+回，所以i3-=f到，所以八纠关于x=2对称， 则f-2)=f(5),故C正确： 对于gx),因为g2+x)为偶函数，g2+x)=g2-x),8(4-x)=gx), 所以gx)关于x=2对称，由①求导，和g(x)=f'(x), 任得*。-}小得*小* 第8页/共22页 命学科网可组卷网 所以g(3-x+g(x)=0,所以g(x关于 30对 因为其定义域为R,所以g =0,结合gx关于x=2对称， 从周期T=4×个2-引2，所以8)8[ =0,g-1=g(1)=-g(2),故B正确，D正确： 若函数∫x)满足题设条件，则函数f(x)+C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定∫(x)的函数 值，故A错误， 故选：BCD. 三、填空题： 12.已知向量ā，6满足|a=1,b=2,且|2a-b=2,则a+b= 【答案】√万 【解析】 【分析】2a-b=2两边平方，结合数量积的性质及条件可求a.6,再由ā+b=V(ā+b)2结合数量 积性质求结论 【详解】因为2a-b=2,所以(2ā-b)2=4a2-4a.b+b2=4, 又a=1,bl=2,所以a.b=1, 所以ā+bV(a+b)2=Va+2ab+b=V万. 故答案为：√7 13.如图，某停车场有2行4列共8个停车位，现有2辆红色汽车和2辆黑色汽车要停车，则相同颜色的车 辆不停在同一行也不停在同一列的概率为 通道 【答案】二拼0.2 5 第9页/共22页 耐学科网 丽组卷网 【解析】 【分析】首先根据分类和分步计数原理，计算相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的情况，再结 合古典概型概率公式，即可求解 【详解】先计算相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的情况种数 第一步：停红色汽车，第一辆红色汽车在第一行选一个位置有四个位置可选，第二辆红色汽车在第二行有 三个位置可选，由于两辆红色汽车可以互换，故有4×3×2=24种： 第二步：停黑色汽车，分成两种情况：若第一辆黑色汽车停在第一行且与红色汽车同列，则另一辆黑色汽 车有3种停法，若第一辆黑色汽车停在第一行且与红色汽车不同列有2种停法，此时另一辆黑色汽车有2 种停法，由于两辆黑色汽车可以互换，故有(3+2×2)×2=14种 因此，相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的情况种数共有24×14种， 8个车位停入4辆车的试验共有8×7×6×5种情况， 24×141 所以相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的概率为 8×7×6×55 故答案为：5 14.如图，装满水的圆台形容器内放进半径分别为3和6的两个铁球，小球与容器底和容器壁均相切，大球 与小球、容器壁、水面均相切，此时容器中水的体积为· 【答案】243π 【解析】 【分析】通过轴截面来分析解决圆台的上下底面半径及高，求得圆台的体积，再求容器中水的体积 【详解】作几何体的轴截面图如图，M，N分别是大球和小球的球心， Q是圆台的轴截面等腰梯形ABCD两腰AD和BC的延长线的交点， 第10页/共22页 可学科网可组卷网 B G G,H分别是球M和球N与圆台侧面的切点，E,F分别是与圆台上下底面的切点， 则GM⊥AQ,NH⊥AQ,QE⊥AB,QF⊥CD, GM=EM=6,NH=NF=3,EF=18, 过N点作NK//AQ交GM于K,显然NK⊥GM,四边形NHGK为矩形， MN=9,MK=MG-KG=MG-NH=3, 在RaK中.油∠NK-燃-号ces∠WwK=mZAK-2 ,ian∠MwK=V2 4 由KI/AQ,得∠MNK=∠EQA,则sin∠EQA=}, tan∠EQA=V 4 在R△NH0中，N0=NH=9,F0=NQ-NF=6, sin∠EQA 在RiDF0中，DF=F0-an∠E0M=3y2 2 在RIAEOA中，EQ=EF+FQ=24,AE=EQ·tan∠EQA=62, 因此图台的上底面半径4E=6N2,下底面半径DF=35,商BF=18, 1 圆台的体积V=写：EF(AE+AE,DF+DF)=567x, 而球M的体积，=号元×6=288元，球N的体积，=号元x3=36π， 4 3 3 所以容器中水的体积V'=V-'M-'=567π-288π-36π=243π. 故答案为：243π 四、解答题： 第11页/共22页 学科网组卷网 15.己知函数f(x)=√3sin2x+2cos2x-1 (1)求函数f(x)的单调递增区间及在0，死]上的值域： 2)若0为锐角且/0)三求c0s20的值 【答关】1)单词造地区何为-号+ka爱+akeZ,位线为-l,2刘 3 (2) 6W2+1 10 【解析】 【分析】(1)利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解 (2)由(1)的信息，利用同角公式及差角余弦公式求解 【小问1详解】 依题意，函数f(x)=V3sin2x+cos2x=2sin(2xr+ 6 由-I+2km≤2x+亚≤工+2k元，k∈Z,解得-T+km≤x≤Z+km,k∈Z, 2 62 3 6 所以函氨代心)的单调避塔区间为机-子+红名+keZ: 6 由0ss经两爱≤2r+后名，和m-2sn月 n7--1.f(x)m=2sin-2, 6 661 6 所以当x∈[0，C],fx)的值域为[-1,2]. 【小问2详解】 由)知，fe=23n2x+月.由fo)=号等sn(20+名= <0， 6 61 5 由0e0,得20+e(区，7)，所以20+e(伍，7 6E6'6 6 6 所以cos20=c0s(20+2)-为]=cos(20+2)c0s+sin(20+sin 661 6 6 h 6 -26x3+x162+1 一X 52 52 10 16如图，在△48C中，已知B=号，AC=45,D为8C边上一点 (I)若AD=2,SAD4C=2√3，求DC的长； (Ⅱ)若AB=AD,试求△ADC的周长的最大值， 第12页/共22页 可学科网可组卷网 【答案】(I)DC=27;(Ⅱ)8+45. 【解析】 【分析】(I)利用三角形的面积公式，求出sn∠DAC的值，由B的范围，得到∠BAC的范围，进而确定 出∠DAC的范围，利用特殊角的三角函数值求出∠DAC的度数，再由AD,AC及cos∠DAC的值，利用余 弦定理即可求出DC的长： D由8-营，松=0，得筑三角形D为等边三角形、可得出∠1C为子，建面等到∠D4C+LC 表示出∠DAC,在三角形ADC中，由AC,以及sn∠ADC,smnC,sin∠DAC, 表示出AD及DC,表示出三角形ADC的周长，进而即可得解. 【详解】解：(I):SD4c=2V3,AC=4V5,AD=2, AD:AC.sin∠DAC=2B sim∠DAC=1, :B=F,∠DAC<∠BAC<π--2元 3 33 ∠DAC=T, 6 在△4DC中，由余弦定理得：DC2=AD2+AC2-2 AD.ACcos 6 ∴DC=4+48-2×2x45×5=28, 2 .DC=2W7; 《Ⅱ)AB=AD,B=3,△4BD为正三角形 :∠D4C=T-C∠ADC=2π， 3 3 AD 4V5 DC 在△ADC中，根据正弦定理，可得：sinC sin C 3 第13页/共22页 学科网丽组卷网 .∴AD=8sinC,DC=8sin 3 ∴.△ADC的周长为AD+DC+AC=8sinC+8.sin =8(snc+3 mc94v5=8(分mc+ cosc-1 -cosC)+43 2 =8sin(C+Z)+4V5, 3 :∠ADC= 3,0<c< 2 3, <c+<2, 3 33 :当C+交=无，即C=时，sn(C+父)的最大值为1， 32 6 3 则△ADC的周长最大值为8+4V3, 【点睛】此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差 的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题 的关键， 17.甲汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位： 分)作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图.且当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优 秀品” 频率 个组距 0.035-- m------------ 0.015 0.010- o 5060708090100质量指标值/分 (1)求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）： (2)以频率估计概率，在甲配件厂生产的这批产品中随机抽取3件产品，随机变量X表示：抽得的产品为 “优秀品”的个数，求X的分布列及数学期望； (3)现在市场上这种塑胶配件由甲、乙、丙三个汽车配件厂供应，由长期的经验知，乙、丙两家的“优秀 品”率分别为0.60,0.30三家产品数在市场中所占比例为2：3：5，将三家产品混合在一起，从中抽取一件， 第14页/共22页 可学科网可组卷网 在已知取到的为优秀品的条件下，它是由甲厂生产的概率是多少？ 【答案】(1)76.5 (2)分布列见解析，E(X）=1.2 (3)0.1951 【解析】 【分析】本题主要涉及频率分布直方图、平均数的计算、二项分布以及条件概率等数学概念和定理 (1)根据频率分布直方图中平均数的计算公式，利用每组区间的中点值乘以该组的频率再求和来计算平均 数，需要先根据频率分布直方图的性质求出的值 (2)先求出甲厂产品为“优秀品”的概率，由于是有放回的抽取，所以随机变量X服从二项分布，根据二 项分布的概率公式求出分布列，再根据期望公式求出数学期望， (3)利用全概率公式先求出取到优秀品的概率，再根据条件概率公式求出在已知取到优秀品的条件下，它 是由甲厂生产的概率 【小问1详解】 由题知，0.010+0.015+m+0.035+0.010×10=1,解得m=0.030 设x为样本数据的平均数，则 x=55×0.01×10+65×0.015×10+75×0.035×10+85×0.03×10+95×0.01×10=76.5, 故这组样本数据的平均数为76.5. 【小问2详解】 设卫表示在甲配件厂生产的这批产品中随机抽取一件产品，所抽取的产品为优秀品的概率， 由题知p=m+0.01×10=0.4, 随机变量X~B(3,0.4,X的所有可能取值为0,1,2,3， 则P(X=0)=Cg1-0.4°=0.216， PX=1=C(1-0.4)2×0.4=0.432, PX=2)=C3(1-0.4)×0.42=0.288, P(X=3=C3.0.43=0.064, :X的分布列为 第15页/共22页 可学科网 组卷网 X 0 2 3 P 0.216 0.432 0.288 0.064 随机变量X的数学期望E(X)=3×0.4=1.2. 【小问3详解】 设事件A表示“取到的产品为优秀品”，B,B2,B3分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”， 由已知P(B=0.2,PB2）=0.3,PB3)=0.5, PABp=0.4,PAB20=0.6,PAB0=0.3. 由全概率公式得：P(A)=∑P(B,)P(AB,D-=0.2×0.4+0.3×0.6+0.5×0.3=0.41. 由贝叶斯公式得P川B,4gP8PABP_0,2x0.4-8、0,1951. PA 0.4141 18.如图，在直四棱柱ABCD-AB,CD中，AB⊥AC,AB=1,AC=AA=2,AD=CD=V5, D A B (1)求证：BE⊥平面ACB; (2)求平面DAC与平面B,AC夹角的余弦值： (3)若F为线段CD上的动点，求F到直线BE距离的最小值 【答案】(I)由直四棱柱ABCD-ABCD知，AA⊥底面ABCD, 因为ACC平面ABCD,所以AA⊥AC, 又AB⊥AC,AA∩AB=A,AA,ABC平面AAB,B, 第16页/共22页 学科网丽组卷网 所以AC⊥平面AA,B,B,因为BEC平面AA,B,B,所以AC⊥BE. 因为AB=1,4C=AM=2,AE=AA. 4 AE 1 AB 所以 ,∠EAB=∠ABB,=90°， AB 2 BB 所以△ABE~△BB,A,所以∠ABE=∠AB,B, 因为∠B,AB+∠AB,B=90°，所以∠B,AB+∠ABE=90°，所以BE⊥AB, 又AC⌒AB,=A,AC,AB,C平面ACB,所以BE⊥平面ACB· (2) V10 10 【解析】 【分析】(1)由直棱柱的性质可得AA⊥AC,再结合AB⊥AC,可证得AC⊥平面AAB,B,则 AC⊥BE,然后根据已知的条件可得△ABE~△BB,A,从而可证得∠ABE=∠AB,B,进而可得BE⊥AB, ，最后利用线面垂直的判定定理可证得结论； (2)由题意可证得AA,AB,AC,以A为原点，AA,AB,AC所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，分 别求出平面DAC与平面B,AC的法向量，从而利用向量的夹角公式可求得结果： (3)设CF=入CD=-入，-22,0)，0≤2≤1，则表示出点F的坐标，从而可表示出EF的坐标，然后表 示出F到直线BE的距离，化简可求出其最小值 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为AA⊥底面ABCD,AB,ACC平面ABCD, 所以AA⊥AB,AA⊥AC,因为AB⊥AC,所以AA,AB,AC两两垂直， 所以以A为原点，AA,AB,AC所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 第17页/共22页 可学科网可组卷网 A D B B 则400.0，B0L0.c2,0.0.DL-20j.D(-22E0, 为平面B,AC的一个法向量. 设平面DAC的一个法向量为n=(x,y,z), 因为AD1=(1,-2,2),AC=2,0,0), i·AD=x-2y+2z=0 则 °，令2=1，则y=1,x=0, n·AC=2x=0 平面DAC的一个法向量为n=(0,1,1). n.EB 人1 所以Cos(i,EB) 10 ·EB 1+x2 10 4 所以平面D,4C与平面B,AC夹角的余弦值为 10 【小问3详解】 设CF=1CD=（-元，-22,0)，0≤元≤1， 则F2-2,-20,F-（2-2,》 设F到直线BE的距离为d, =a网-两- ee 第18页/共22页 学科网可组卷网 2 2-+42+ 4 9+ 2-16+2 1+ 所以当入8时，，即F到直线E距离的最小值为 9 3 19.已知函数：fy)=ae,a∈R. (1)若当x>0时，fx)≥x恒成立；求实数a的取值范围； (2)若关于x的方程f(x)=1有两个不同实数根xx,;且x<x2, (i)求实数a的取值范围； ()求证：x(2-x)x<4 【答案】(1) e2,t∞ (2)(i) 0. (ii)证明见解析 【解析】 【分析】(1)利用不等式分离参变量，再构造函数求导判断单调性来求最大值，即可得参数范围； (2)()利用等式分离参变量，再构造函数求导判断单调性来求作出函数图象，从而可得参数范围； (D利用(1)来证明为，≤4，从而把二元不等式化为一元不等式，再利用函数求导证明单调性求最大 ae- 值即可 【小问1详解】 若当x>0时，f(x)≥x恒成立， 即ae≥x恒成立，即a≥在(0，+o)上恒成立， 令g=则g-2 ex 所以当x∈(0,2)时，g'(x)>0,gx)单调递增， 第19页/共22页 学科网可组卷网 当x∈2，+o0)时g'x<0,gx单调递减， 所以g到n=g到2到-兰·所以0≥，甲a的取植范国是 4 【小问2详解】 (i)若关于x的方程f(x=1有两个不同实数根x,x2, 即a=点(xz0)有两个不同安数板5,5， 等价于)=8与（到=。总x学0的图象有两个交点。 因为-， 所以当x∈-o,0)和(0,1)时，h'(x>0,h(x)单调递增， 当x∈1，+o时，h'(x<0,h(x)单调递减， 且当x∈(-o,0)时，h(x)<0,当x∈(0，+o时，h(x>0, 所以A(=A)=。作出函数()=。产(x≠0)的图象： 所以直线y=a与h(x)=工(x≠0)的图象有两个交点的a的取值范围是 e 0,e) (ii)方法（一）由(i)知，0<x<1<x2,由(1)知， 国为-aa小-号- 4 4 设a= 的根为x3,即a= -≤ ex 3ae2,所以a=点44 第20页/共22页 学科网组卷网 从面6≤5G,所以x2-出<4红2-.c2-, 4 ae2 e2 令u(x)=e(2-x,则u'x=e(1-x), 所以当x∈(0,1)时，u'(x)>0,u(x)单调递增， 从而u(<=e,从而x(2-x5,<42-.4e(2-<4 ae2 e m方法二)由0知.0<<1<，构造丽数u叫到=三+x-2-日 e 则小号-w到=1号+ e e +2(x-1, e 则1到是=到。2+号 4到= er’ 所当e0时->0，从面小小=-是2单混路 因为(0)=s0)=-2+2<0,1==>0, 所以存在x,∈(0,1)，满足t(xo)=0, 此时当x∈(0，x)时，S'x<0,sx)在x∈(0，x)上单调递减， 当x∈(，1)时，S'(x)>0,sx在x∈(xo,1上单调递增， 又因为s0)=1-2>0,s1)=0, e 所以存在x∈(0,1满足sx)=0, 当x∈0，x)时，w(x=1-+x->0,)在xe(0,x)上单调递增， er 当x∈x,1时，u'x<0,u(x)在x∈x,1上单调递减， 又u(0)=u(1)=0,所以在(0,1)上u(x)>0恒成立， 即之>x-1+,设a=x-2+的根为，即a=5-2+3 e 则a=-+日点>-+从面有x>: ee" 第21页/共22页 丽学科网可组卷网 又由a=-(x,-12+上得，x(2-x)=a心，从而x(2-x)<ae, 1又由1)知，≤， ,设a三4的根为x4,即0ex,专 e-x 所以a=戈=4 2≤ ,从而≤=总，所以2-55<4 4 e exa e'x2 第22页/共22页