期中复习压轴题型专练（34个高频考察题型 共68题）-2025-2026学年苏科版数学九年级上册

2025-2026学年苏科版数学九年级上学期期中复习压轴题型专练 【34个高频常考题型 共68题】 讲义简介： 同学你好，该份讲义针对2025-2026学年上学期期中考试制作。考察范围为苏科版九年级上册第1章-第4章知识内容，精选近两年全国各地名校常考、易错、压轴类题型，结合常考易错类型题，精心优选38个题型，题目难度偏上，适合提优拔尖同学考前复习使用，非常有助于提升考试适应性，提高解题能力，掌握答题技巧。相信你在正式考试中取得满意成绩！ 题型1 由一元二次方程的解求参数 2 题型2 解一元二次方程 3 题型3 根据判别式判断一元二次方程根的情况 6 题型4 根据一元二次方程根的情况求参数 8 题型5 —元二次方程的根与系数的关系 10 题型6 用一元二次方程解决问题 13 题型7 利用垂径定理求平行弦问题 14 题型8 利用垂径定理求同心圆问题 18 题型9 利用弧、弦、圆心角的关系求解 20 题型10 利用弧、弦、圆心角的关系求证 23 题型11 画圆（尺规作图） 26 题型12 求特殊三角形外接圆的半径 28 题型13 同弧或等弧所对的圆周角相等 31 题型14 半圆（直径）所对的圆周角是直角 34 题型15 90度的圆周角所对的弦是直径 38 题型16 已知圆内接四边形求角度 44 题型17 求四边形外接圆的直径 49 题型18 切线的性质和判定的综合应用 51 题型19 应用切线长定理求解 54 题型20 应用切线长定理求证 56 题型21 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 61 题型22 过圆外一点作圆的切线（尺规作图） 64 题型23 圆内知识综合（圆的综合问题） 66 题型24 圆与三角形的综合（圆的综合问题） 72 题型25 圆与四边形的综合（圆的综合问题) 76 题型26 已知正多边形的中心角求边数 78 题型27 尺规作图-正多边形 80 题型28 求某点的弧形运动路径长度 82 题型29 求扇形面积 86 题型30 求图形旋转后扫过的面积 88 题型31 求其他不规则图形的面积 90 题型32 圆锥的侧面积 92 题型33 数据的集中趋势和离散程度 95 题型34 等可能条件下的概率 97 题型1 由一元二次方程的解求参数 1．（25-26九年级上·黑龙江鹤岗·期中）已知是方程 的一个根，求代数式 的值． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，正确掌握代入法是解决本题的关键． 先由一元二次方程的解得到，然后变形为，再整体代入求值． 【规范解答】解：∵是方程 的一个根， ∴ ， ． 2．（25-26九年级上·河南南阳·阶段练习）已知a是方程的一个根，则代数式的值为（   ） A． B． C． D．2024 【答案】D 【思路引导】本题考查了一元二次方程根的定义，整体代入法求代数式的值，掌握一元二次方程根的概念是关键；由题意得，则有，，再整体代入即可求解． 【规范解答】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴，， ∴ ． 故选：D． 题型2 解一元二次方程 3．（25-26九年级上·河南安阳·阶段练习）解方程： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用直接开平方法解方程； （2）利用因式分解法解方程； （3）利用配方法解方程； （4）利用公式法解方程． 【规范解答】（1）解： 或 ∴； （2）解：， 或， ∴； （3）解： 或 ； （4）解： ∴． 4．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）阅读与思考 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有______；（只填写序号即可） ①；②；③ (2)关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值； (3)若关于x的一元二次方程（）同时满足和，且与互为“同伴方程”，求n的值． 【答案】(1)①③ (2) 或 (3) 或 【思路引导】本题考查了一元二次方程的解、新定义“同伴方程”． 分别求出三个方程的解，根据“同伴方程”的定义进行判断即可； 先求出一元二次方程的解，，根据一元二次方程与为“同伴方程”，分情况求解即可； 一元二次方程（）同时满足和，可知方程的解为，，分情况求出值即可． 【规范解答】（1）解：解方程， 可得：，； 解方程， 可得：； 解方程， 可得：，； 其中方程和方程有且只有一个相同的实数根， 方程是“同伴方程”； （2）解：解方程， 可得：，， 当相同的根是时， 把代入方程， 可得：， 解得：； 此时方程为，可得：，，符合题意； 当相同的根是时， 把代入方程， 可得：， 解得：， 此时方程为，可得：，，符合题意； 的值是或； （3）解：关于x的一元二次方程同时满足和， 方程的解是，， 方程的解为，， 方程与方程是“同伴方程”， 或， 或． 题型3 根据判别式判断一元二次方程根的情况 5．（25-26九年级上·河南信阳·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，该一元二次方程总有实数根； (2)当时，该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边，求等腰三角形的周长． 【答案】(1)见详解 (2)等腰三角形的周长为10或11 【思路引导】本题主要考查一元二次方程根的判别式及等腰三角形的定义，熟练掌握一元二次方程根的判别式及等腰三角形的定义是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）由题意易得该方程的解为，然后根据等腰三角形的定义可进行求解． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∴无论为何值，该一元二次方程总有实数根； （2）解：当时，则方程为， 解得：， ∴当等腰三角形的腰长是3时，符合三角形三边关系，则该等腰三角形的周长为； 当等腰三角形的腰长是4时，符合三角形三边关系，则该等腰三角形的周长为； 综上所述：该等腰三角形的周长为10或11． 6．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）新定义：对于一元二次方程，若根的判别式是一个整数或整式的平方，则此方程叫“友好方程”． (1)判断下列方程一定是“友好方程”有_______个 ①；②；③； (2)若关于的一元二次方程， ①证明：此方程一定是“友好方程”； ②设方程的两个实数根分别为，，存在实数，使得始终在函数的图象上，求出的值； 【答案】(1)2 (2)①证明见解析；②的值为1 【思路引导】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，一次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）先计算根的判别式，再判断完全平方数（式），即可得到答案； （2）①计算出根的判别式，即可证明结论；②利用因式分解法解一元二次方程，得到，，再根据一次函数图像上点的坐标特征，即可求出的值． 【规范解答】（1）①，，故符合题意； ②，，故不符合题意； ③，，故符合题意； 故答案为：2； （2）①证明：， ， 此方程一定是“友好方程”； ②，， ，， 始终在函数的图象上， ， 即， ， ， 即存在实数，使得始终在函数的图象上，的值为1． 题型4 根据一元二次方程根的情况求参数 7．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根为2，求另一个根和k的值． 【答案】(1)见解析 (2)另一个根为，k的值为 【思路引导】根据方程的系数，结合根的判别式，可得出，由偶次方的非负性，可得出，进而可得出，即，由此可证出：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； 将代入原方程，可得出，解之可得出k的值，得到方程，再用因式分解法求解另一个根，即可求出结论． 本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程以及一元二次方程的解，解题的关键是：牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；将代入原方程，求出k的值． 【规范解答】（1）证明： ， ， ， 即， 不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：将代入原方程得：， 解得：， 原方程为， 解得 方程的另一个根为，k的值为 8．（25-26九年级上·广东佛山·阶段练习）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根． (1)用含m的代数式表示n，并直接写出m的取值范围； (2)关于x的方程； ①求证：方程必有两个不相等的实数根； ②若，是方程的一个正根，记，试比较M与2的大小． 【答案】(1)且，m的范围是． (2)①见解析；②小于2 【思路引导】（1）根据一元二次方程的定义，方程的根的判别式可得且，解不等式即可得答案． （2）①证明方程根的判别式恒大于0即可； ②求得方程的正根，根据无理数的性质比较大小即可． 本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式的应用，无理数的估算，实数的大小比较，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴且， 解得且， 故 解得， 故且，m的范围是． （2）①证明：∵ ． ∴方程必有两个不相等的实数根； ②解：若，则． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 解方程，得． ∴． ∴． ∵， ∴． 题型5 —元二次方程的根与系数的关系 9．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，分别以为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． (1)若方程为，直接写出该方程的衍生点的坐标______． (2)若关于的一元二次方程的衍生点为，过点向轴和轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形．问是否存在这样的点？若存在，求出这个正方形的面积；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在衍生点，正方形的面积为 【思路引导】（）求出方程的解，再根据衍生点的定义即可求解； （）把方程整理成一般式，设方程的两根分别为，且，可得，进而由根和系数的关系得，求出的值，再求出方程的解即可求解； 本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根和系数的关系，掌握以上知识点是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 解得，， ∴该方程的衍生点的坐标为， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 设方程的两根分别为，且， ∵过点向两坐标轴作垂线，两条垂线与轴、轴恰好围成一个正方形， ∴， 当时，即， 解得， ∴方程为， 解得，， ∴存在衍生点为，过点向轴和轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形， 此时这个正方形的面积为． 10．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）我们知道一元二次方程的两根为，，若其中一个根是另一个根的倍（为正整数），则称这样的方程为倍“梅石花”方程，例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是二倍“梅石花”方程；若一元二次方程的两根为，，则称这样的方程为“状元来”方程． (1)根据上述定义，请判断：是_________倍“梅石花”方程； (2)若关于的方程是倍“梅石花”方程，直接写出的最小值是_________． (3)若方程为“状元来”方程，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【思路引导】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、完全平方公式等知识，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． （1）利用因式分解法解方程可得，由此即可得； （2）设这个方程的两个根为，则可得，，将代入化简即可得；化简可得，再根据可得，由此即可得； （3）根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，则可得，代入化简即可得证． 【规范解答】（1）解：， ， 解得， ∵， ∴是4倍“梅石花”方程， 故答案为：4． （2）解：设这个方程的两个根为， ∴，， ∴， ∴，为正整数， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为1， 故答案为：1． （3）证明：∵可化成， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 题型6 用一元二次方程解决问题 11．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）为了丰富校园生活，学校在今年9月份购进了A、B两种图书，每种图书均花费了4000元，其中A种图书的数量比B种图书的数量少100本，已知9月份A种图书的单价是B种图书的单价的2倍． (1)请问学校在9月份购进A种图书和B种图书各多少本？ (2)10月份学校再次购进了、两种图书，与9月相比，种图书单价多了元，数量少了本．种图书单价打了8折，数量多了100本，结果两种图书的10月总价之和比9月总价之和多了，求的值． 【答案】(1)学校在9月份购进A种图书100本，B种图书200本 (2)10 【思路引导】本题考查分式方程解决实际问题，一元二次方程解决实际问题，找出相等关系列出方程是解题的关键． （1）设学校在9月份购进A种图书x本，则购进B种图书本．根据“A种图书的单价是B种图书的单价的2倍”列出分式方程，求解并检验即可解答； （2）根据“两种图书的10月总价之和比9月总价之和多了”列出方程，求解即可． 【规范解答】（1）解：设学校在9月份购进A种图书x本，则购进B种图书本．根据题意，得 ， 解得， 经检验，是该方程的解， ∴， 答：学校在9月份购进A种图书100本，B种图书200本． （2）解：由（1）可得9月份A种图书单价为（元）， B种图书单价为（元）， 根据题意，得， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴m的值为10． 12．（25-26九年级上·重庆·期中）某商店销售、两种款式的水杯．已知每只款水杯比每只款水杯贵12元，今年九月份款水杯的销售额为4800元，款水杯的销售额为3600元，且款水杯的销量是款水杯的1.2倍． (1)求、两款水杯的售价分别是多少元？ (2)十月份，该商店对款水杯进行降价促销：已知每只款水杯的进价是16元，每只款水杯的进价比款水杯低50%．若款水杯售价每降低2元，销量就比九月份多增加30只；款水杯售价和销量都和九月份相同．此次促销销售完两款水杯的总利润为4560元，求款水杯降低了多少元？ 【答案】(1)A款水杯的售价为32元，B款水杯的售价为20元 (2)A款水杯降低了6元 【思路引导】本题主要考查分式方程和一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）设A款水杯的售价为元，则B款水杯的售价为元，根据题意列分式方程求解即可； （2）先求出B款水杯的进价，九月份A款水杯销量，九月份B款水杯销量，设A款水杯降低了元，再根据题意列出一元二次方程求解即可． 【规范解答】（1）解：设A款水杯的售价为元，则B款水杯的售价为元， 根据题意，可列出方程：， 解得， 经检验，是原方程的解， B款水杯的售价为（元）， ∴A款水杯的售价为32元，B款水杯的售价为20元． （2）解：B款水杯的进价为（元）， 九月份A款水杯销量为（只）， 九月份B款水杯销量为（只）， 设A款水杯降低了元， 根据题意，可列出方程：， 解得，， 因为是降价促销，所以不符合题意，舍去， ∴A款水杯降低了6元． 题型7 利用垂径定理求平行弦问题 13．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，的半径为3，弦的直角顶点B在弦上运动（可与点M，N重合），点A，C始终在上，且．关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（   ） 嘉嘉说：“当点B与点M，点N重合时，的度数是．” 淇淇说：“连接，当与弦平行时，点B到的距离为2．” A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．嘉嘉正确，淇淇也正确 D．嘉嘉错误，淇淇也错误 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质与判定，圆的基本性质，，当点B与点M重合时，连接，可证明是等边三角形，据此求出的度数，进一步可求出的度数；过点O作于D，连接，利用垂径定理和勾股定理求出的长即可求出当与弦平行时，点B到的距离，据此可得答案． 【规范解答】解：如图所示，当点B与点M重合时，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； 同理可得当点B与点N重合时，，故嘉嘉的说法正确； 如图所示，过点O作于D，连接， ∴， ∴， ∵， ∴点B到的距离为，故淇淇说法错误， 故选：A． 14．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）．    (1)如图1，点是矩形边的中点，过点画矩形的一条对称轴交于； (2)如图2，△ABC和△DEF的顶点分别与小正方形的顶点重合，若△DEF是△ABC绕点O旋转得到的，请在图中画出旋转中心； (3)如图3，圆经过两个格点，以及格线上的点，作劣弧的中点；并在优弧上找一点，使得； 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【思路引导】（1）先连接交于点，再根据矩形的性质即可； （2）分别作，的垂直平分线交于点即可； （3）先连接交格线于点， 连接，再作直线交于点，交于点，然后作直线交于点，连接即可． 【规范解答】（1）解：如图 作法：1．连接交于点， 2．作直线交于点， 故直线即为所求． 证明：在矩形中， 点是矩形边的中点， ，即垂直平分； （2）解：如图 作法：1．连接，， 2．分别作，的垂直平分线交于点， 故点即为所求， 证明：点和点是对称点，点和点是对称点，四边形均为正方形， 垂直平分，垂直平分， 点为旋转中心； （3）解：如图 作法：  1．连接交格线于点， 连接， 2．作直线交于点，交于点， 3．作直线交于点，连接, 故点即为所求， 证明：过点作直线的垂线，垂足为点， ， ， ， ，即垂直平分， ， ， ， ， ． 【考点剖析】本题考查了轴对称图形的性质，中心对称图形的性质，圆的基本性质，熟练运用以上知识作图是本题的关键． 题型8 利用垂径定理求同心圆问题 15．（2024·广东湛江·模拟预测）如图，在破残的圆形残片上，弦的垂直平分线交弧于点，交弦于点，已知，． (1)求作此残片所在的圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求出（1）中所作圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了垂经定理的应用和基本作图，用到的知识点是线段垂直平分线的作法与性质、垂径定理、勾股定理的应用，基本作图需要熟练掌握． （1）在圆形残片上作弦的垂直平分线，交于点P，连接，以P为圆心，为半径的圆为所求残片的圆． （2）先设圆P的半径为r，根据和已知条件求出，，在中，根据，得出，求出r即可． 【规范解答】（1）解：作图如下， （2）解：设圆P的半径为r， ∵，，， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴的半径为． 16．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查垂径定理和勾股定理，利用垂径定理构造直角三角形从而利用勾股定理求解是解题的关键． （1）过O作于点E，由垂径定理可得，，再用等式的性质即可得证； （2）连接、，利用垂径定理求出，在中，由勾股定理求出，然后在中，利用勾股定理即可求出． 【规范解答】（1）证明：过O作于点E，如图， 由垂径定理可得，， ∴， ∴； （2）解：连接、，如图，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴在中，， ∴ ，即小圆的半径r为 题型9 利用弧、弦、圆心角的关系求解 17．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，是的直径，点D，C在上，，，，则的半径为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．延长交于，连接，，过作于，证明是等腰直角三角形即可解决问题． 【规范解答】解：延长交于，连接，，过作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，； ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵是等腰直角三角形， ∴． 故答案为：． 18．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，是的直径，弦半径于点E，P为直径上一动点，若C为的中点，，则的最小值是（   ） A． B．4 C．6 D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查轴对称的性质、垂径定理、弧、圆心的关系及含30度直角三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质、垂径定理、弧、圆心的关系及含30度直角三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后可得，过点C作，并延长，交于点H，则有当点O与点P重合时，有最小值，进而问题可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵点C为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点C作，并延长，交于点H，如图所示： ∴， ∴点C与点H关于对称， ∴， ∴， ∴点E、O、H三点共线， 由轴对称的性质可知：的最小值为点O与点P重合时，如图，即最小值为， ∴， 即的最小值为6； 故选C． 题型10 利用弧、弦、圆心角的关系求证 19．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，、是的两条弦，与相交于点E,． (1)求证：； (2)连接，作直线，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了垂直平分线的判定与性质，利用弧、弦、圆心角的关系求证，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据利用弧、弦、圆心角的关系得出，进而可得； （2）因为，所以，即．结合，得出E、O都在的垂直平分线上，即可作答． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∴， 即， ∴； （2）连接、、，并作直线， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴E、O都在的垂直平分线上， ∴． 20．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）在中，，为弦，为直径，于E，于F． (1)如图1，若过圆心O，求的度数； (2)如图2，若与相交于G证明：． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】（1）连接，由垂径定理得，再根据圆心角定理得，进而可证为等边三角形，即可求解； （2）连接，由垂径定理和圆心角定理证得，进而得，从而证得，即可得证． 【规范解答】（1）解：如图，连接， ∵为直径，，，过圆心O， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； （2）解：如图，连接， ∵为直径，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【考点剖析】本题考查垂径定理、圆心角定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理和圆心角定理是解题的关键． 题型11 画圆（尺规作图） 21．（2025·江苏徐州·中考真题）“连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案．图1为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个连续的弧连成一圈．图2为另一件连弧纹镜（残件）的示意图． (1)若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“_______连弧纹镜”； (2)请用无刻度的直尺与圆规，补全图2中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)七 (2)见解析 【思路引导】此题考查确定圆的条件、垂径定理等知识． （1）连接一段等弧两端点构造弦，在圆上依次截取相同长度的弦，即可得到答案； （2）先确定两个同心圆的圆心，补全两个同心圆，再依次找到等弧的圆心，即可补全等弧． 【规范解答】（1）解：如图，若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“七连弧纹镜”， 故答案为：七 （2）如图所示，即为所求， 22．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）在中，，为上一个定点，用无刻度直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）    (1)如图1，作，使得经过点，并且与相切于点； (2)如图2，连接，在边上求作点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题是圆的综合题，考查作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握几何的特征，作出符合条件的图形． （1）连接，作线段的垂直平分线，过点作的垂线，与交于点，以为圆心，为半径画圆，则即为所作； （2）作关于的对称点；作的外接圆与交于点，则点即为所作． 【规范解答】（1）解：如图，即为所作；    （2）解：如图，点即为所作．    题型12 求特殊三角形外接圆的半径 23．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知等腰三角形，如图． (1)用直尺和圆规作的外接圆； (2)设的外接圆的圆心为，若，，则的外接圆的半径为 ． 【答案】(1)图见详解； (2)2 【思路引导】（1）本题考查了尺规作图及外接圆性质，根据外接圆到各个顶点的距离相等作出、的垂直平分线，找到交点即为外接圆圆心，再画圆即可得到答案； （2）本题考查圆周角定理及圆内接四边形对角互补，根据，求出，再根据垂径定理求出即可得到答案； 【规范解答】（1）解：作、的垂直平分线交点即为外接圆圆心，如图所示， ； （2）解：∵，， ∴， ， ∴， ∵等腰三角形的外接圆的圆心为， ∴，， ∴是等边三角形， ∵， ∴． 24．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）如图，内接于，为的直径，且与的边交于点E，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】此题考查了三角形的外接圆及外心，等腰直角三角形的判定和性质，含有30°角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，灵活运用含有30°角的直角三角形的性质和勾股定理进行计算是解决问题的关键．连接，过点E作于F，过点A作于H，先求出，则，进而再求出，则，进而得，则，进而再求出，则，从而得是等腰直角三角形，则，然后再分别求出，，进而可得的长． 【规范解答】解：连接，过点E作于F，过点A作于H，如图所示： ∵内接于，为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴°， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴． 故选：C． 题型13 同弧或等弧所对的圆周角相等 25．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，A、P、B、C是上的四个点，． (1)判断的形状，并证明你的结论； (2)判断与之间的关系，并证明． 【答案】(1)等边三角形，证明见解析 (2)，证明见解析 【思路引导】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键． （1）根据圆周角定理得到，进而得到，最后根据等边三角形的判定定理即可解答； （2）在上截取=，连接，得到为等边三角形，证明)，根据全等三角形的性质并结合图形即可解答． 【规范解答】（1）解：是等边三角形，理由如下， 由圆周角定理得到，， ， ， 为等边三角形； （2），理由如下， 证明：如图：在上截取，连接， ， 是等边三角形， ，，则， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 26．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知中，为半圆O的直径，、分别交半圆O于点E、D，且． (1)求证：点是的中点． (2)若点E是的中点，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 【思路引导】本题考查的是圆周角定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定，掌握圆周角定理是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，证明，根据全等三角形的性质证明； （2）根据直角三角形的性质得到，得到，根据等边三角形的判定定理证明． 【规范解答】（1）证明：连接， ∵为半圆O的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， 即点是的中点； （2）解：∵， ∴， ∵，点E是的中点， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 题型14 半圆（直径）所对的圆周角是直角 27．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，为的直径，弦于点，是弧上一点，延长，交于点，连接，，与交于点 (1)若，用含的代数式表示； (2)如图2，连结，，若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】（1）因为为的直径，则，所以， 因为，则可表示；； （2）由得，由（1）得，故，有垂径定理可知，则，再通过圆周角定理的推论证得，则可证明 ，即可证得题目． 【规范解答】（1）解：连接 ∵为的直径， ， ， ， ； （2）证明： ∵， ， 由（1）得， ， ， ∵为的直径，弦， ∴， ， ， ， ． 【考点剖析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，弧，弦，圆心角关系定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握与圆相关的定理知识是解题关键． 28．（2015·浙江杭州·一模）如图，是的直径，点在上，连接，作直线交于点．点是直线上的动点，连接． (1)求证：点是的中点； (2)连接，问为多少度时，四边形是菱形？ (3)①当在的左侧时，求证：； ②当在的内部时，①的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出这三个角之间的数量关系； ③当在的右侧时，请直接判断①或②中的结论是否成立，不需证明． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是菱形 (3)①见解析；②不成立，；③不成立 【思路引导】(1)通过平行线性质可得，，又因为，进而得到，根据圆的性质可证明点是弧的中点； (2)根据角度关系可得是等边三角形，从而得到，结合判定四边形是平行四边形，又，进而确定平行四边形是菱形； (3)利用平行线性质可得，又因为，所以，再利用三角形外角性质确定角之间的数量关系即可得出结论． 【规范解答】（1）如图，连接， ， ，， ， ， ， ， 即点是的中点； （2）当时，四边形是菱形， 证明如下： 如图，连接，， ， 是等边三角形， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （3）证明：如图，延长交于点， ， ， ， ， ， ； ②当在的内部时，①的结论不成立，理由如下： ， ， ， ， ， ， 故当在的内部时，①的结论不成立； ③当在的右侧时，①或②中的结论都不成立，理由如下： 如图：设与的延长线交于点，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 是的直径， ， ， ， ， 综上所述，当在的右侧时，①或②中的结论都不成立． 【考点剖析】本题主要考查了在同圆或等圆中弧与圆心角的关系、平行线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质、菱形的判定等知识，有一定的综合性，运用平行线的性质及三角形外角的性质（或三角形内角和定理）是解决本题的关键． 题型15 90度的圆周角所对的弦是直径 29．（25-26九年级上·浙江金华·阶段练习）在如图所示的网格中，的顶点，均在网格上，顶点在网格线上，请用无刻度直尺 按要求画图。要求保留画图痕迹，并简要说明支持你画法正确的理由． (1)画出图1中圆的一条直径． (2)画出图2中圆的圆心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了网格作图，直角所对的弦是直径，网格与勾股定理； （1）根据直角所对的弦是直径，即可求解； （2）根据网格的特点作出，则为直径，与交于点    ，则点即为所求． 【规范解答】（1）解：如图， ∵ ∴是圆的一条直径． （2）解：如图，，延长交圆于点，连接，则为直径，与交于点，则点即为所求． 理由如下， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， 即， ∴是直径， 由（1）可得是直径， ∴的交点即为圆心． 30．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）【模型建立】 如图①、②，点分别在圆外、在圆内，直线分别交圆于点，则是点到圆上的点的最短距离，是点到圆上的点的最长距离． 【问题解决】 (1)已知点到圆上的点的最短距离为3，最长距离为7．则圆的半径为______． (2)如图③，在中，，，．点在边上，且，动点在半径为2的圆上，则的最小值是______． (3)如图④，点，动点在以为圆心，为半径的圆上，的中点为，则线段的最大值为______． (4)如图⑤，正方形中，点分别为上的动点，且，，交于，点为的中点，点为上一个动点，连接．若，则的最小值为______． 【答案】(1)2或5 (2) (3) (4) 【思路引导】（1）分两种情况：若点在圆外，若点P在圆内，即可求解； （2）连接，交圆E于点D，则的最小值是的长，根据勾股定理即可求出，进而得到的长，即可解答； （3）取点，连接，可得是的中位线，从而得到当线段取得最大值时，线段也取得最大值，连接，并延长交圆P于点，当点B位于点时，线段有最大值，根据点P，点D的坐标与圆P的半径即可求出的长，进而即可解答； （4）证明，可得，从而得到，进而得到点E在以为直径的圆上运动；取的中点O，作点F关于的对称点H，连接，可得到当E，P，H三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，当O，P，E三点共线时，有最小值，即此时有最小值，再求出的长，从而得到的长，进而得到的最小值，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图①，若点在圆外，此时， ∴， ∴圆的半径为2； 如图②，若点P在圆内，此时， ∴， ∴圆的半径为5； 综上所述，圆的半径为2或5； 故答案为：2或5 （2）解：如图，连接，交圆E于点D， 由【模型建立】得：可得的长是点A到圆E上的点的最短距离， 在中，， ∴， ∴， ∴的最小值为； 故答案为： （3）解：取点，连接， ∵点， ∴点A为线段的中点， ∵点C为线段的中点， ∴， ∴当线段取得最大值时，线段也取得最大值， 连接，并延长交圆P于点， ∴当点B位于点时，线段有最大值， ∵， ∴， ∵圆P的半径为，即， ∴， ∴线段有最大值为， ∴线段的最大值为； 故答案为： （4）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点E在以为直径的圆上运动； 如图，取的中点O，作点F关于的对称点H，连接， ∴， ∴， ∴当E，P，H三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∴当O，P，E三点共线时，有最小值，即此时有最小值， ∵点F为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 故答案为： 【考点剖析】本题主要考查了一点到圆上一点的距离的最值问题，勾股定理，正方形的性质全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，坐标与图形，三角形中位线定理，正确理解一点到圆上一点的距离取值最值的情形是解题的关键． 题型16 已知圆内接四边形求角度 31．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，是的直径，弦于点E，点M在上，恰好经过圆心O，连接． (1)若，求的直径； (2)若，求的度数； (3)若弦分为的两部分，点F在上，求弦所对的圆周角的度数． 【答案】(1)20 (2) (3)或 【思路引导】（1）设的半径为r，由垂径定理得到，在中，利用勾股定理求出r值，即可求解； （2）由得到，根据三角形外角性质得，再由，然后解方程即可求解； （3）根据弦分为的两部分，求出的度数，再分点F在优弧上，点F在劣弧上，两种情况分别求解． 【规范解答】（1）解：设的半径为r， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得， ∴的直径为20； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，连接， ∵弦分为的两部分， ∴， 若点F在优弧上， ∴； 若点F在劣弧上， ∴． 【考点剖析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，垂径定理，勾股定理，解题的关键是读懂题意，熟练运用垂径定理求线段长． 32．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，线段为内一条弦，点A为弦上方圆弧上一点，延长到D，连接交于点F，过点D作，交直线于点E． (1)如图，若，为直径，求的度数． (2)如图，当经过圆心O，求证：． (3)如图，若的半径等于2，，且点C为的中点，求的最大值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【思路引导】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到，则可求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补可得的度数，据此由直角三角形两锐角互余可得答案； （2）可证明为的中垂线，则可推出，由圆内接四边形对角互补可得，则，据此可证明； （3）如图3-1所示，过点O作交BC于点M，交于点N，可证明，则是等边三角形，同理是等边三角形，即可得到，进而得到；如图3-2所示，取的中点H，连接，由三角形中位线定理可得；求出，可推出，则可证明当为直径时，有最大值，即此时的值最大，据此可得答案． 【规范解答】（1）解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵，且经过圆心O， ∴，即为的中垂线 ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵点C为的中点，， ∴； 如图3-1所示，过点O作交BC于点M，交于点N， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴是等边三角形， 同理是等边三角形， ∴ ∴， ∴； 如图3-2所示，取的中点H，连接， ∵点C为的中点， ∴为的中位线 ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴当为直径时，有最大值，即此时的值最大 ∴的最大值为． 【考点剖析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，三角形中位线定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． 题型17 求四边形外接圆的直径 33．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）【推理证明】 （1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明思路完成证明过程． 【尝试应用】 （2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】 （3）在（2）的基础上，若，，直接写出线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【思路引导】（1）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半证明，即可得出结论； （2）以为直径作圆，交于点P，由直径所对圆周角等于，即可得出； （3）由正方形性质和勾股定理求出，再证明得是等腰直角三角形，由此求出． 【规范解答】（1）证明：连接，取的中点，连接、， ∵， ∴， ∴、、、四点在以点O为圆心，以为半径的圆上． （2）如图，； （3）∵在正方形中，，， ∴，，， ， ∴， ∵， ∴， 又∵是直角三角形，， ∴， ∴ 又∵， ∴即 ∴． 【考点剖析】本题考查了证明四点共圆以及圆周角定理，正方形性质、直角三角形性质、勾股定理等知识，添加合适的辅助线是解题的关键． 34．（2023·陕西西安·三模）在菱形中，，，的两边分别交边、于点E、F，且，记的外心为点P，则P、C两点间的最小距离为 ． 【答案】1 【思路引导】连接，则：，得到当三点共线时，P、C两点间的距离最小，根据菱形的性质，求出长，证明四点共圆，得到为的直径，即可得解． 【规范解答】解：连接， 则：， ∴当三点共线时，P、C两点间的距离最小， ∵菱形中，，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴四点共圆， ∵的外心为点P，三点共线， ∴为的直径， ∴， ∴P、C两点间的最小距离为1； 故答案为：1． 【考点剖析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，四点共圆．解题的关键是证明为的直径． 题型18 切线的性质和判定的综合应用 35．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，以为直径的交于点D，点Q为延长线上一点，延长交于点P，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）连接，根据圆周角定理得到，由于，得到，根据余角的性质得到，于是得到结论； （2）连接，根据切线的判定定理得到是的切线，求得，得到，根据平行线分线段成比例定理得到，根据三角形的中位线的性质得到，根据射影定理即可得到结论． 【规范解答】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∵， ， ∴是的切线； （2）解：连接． ∵为半径， ∴是的切线， ∴， ， ∴， ， ， ∴，， ∴， ∴是的中位线， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴． 【考点剖析】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，平行线分线段成比例定理，三角形的中位线的性质，射影定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 36．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，四边形是正方形，以点A为圆心，为半径画弧，交以为直径的半圆于点E，连接并延长，交于点F． (1)求证：． (2)若，求． 【答案】(1)见解析； (2)1； 【思路引导】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理等知识点，解决此题的关键合理的作出辅助线； （1）先根据全等三角形的判定定理得到三角形全等，根据切线的判定定理判定切线，进而可以得到答案； （2）设出未知数，根据正方形的性质用未知数表示出对应边的长度，运用勾股定理进而可以得到答案； 【规范解答】（1）解：如图，设的中点为O，连接， ， 在正方形中， 由题可知：， 又∵， ∴ ∴， 又∵是半径， ∴是的切线， 又∵是的切线， ∴； （2）解：在正方形中， ， ∴，， 设为，则， ∴， 在中， 即， 解得：， ∴的长为1． 题型19 应用切线长定理求解 37．（25-26九年级上·北京·期中）如图，，是的切线，，为切点．若，，则直径的长是 ． 【答案】5 【思路引导】本题考查了切线长定理，切线的性质，含角的直角三角形的性质等知识，先根据切线长定理，切线的性质，得出，，然后根据含角的直角三角形的性质求出，即可求解． 【规范解答】解：∵，是的切线，， ∴，， ∵， ∴， ∴直径． 故答案为：． 38．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，在中，，是的内切圆，切点分别为D、E、F．若，， (1)求的半径； (2)若点G在上，过点G作的切线分别交、于M、N，求长的最小值．（注：若，，则，当时，等号成立） 【答案】(1)2 (2) 【思路引导】本题考查了切线长定理，正方形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）设半径为r，根据切线长定理得到，，，同时可证四边形为正方形，，然后在中，利用勾股定理列出方程解之即可； （2）设，，结合切线长定理可推出，，然后在中，利用勾股定理列出方程，根据题目的提示即可求得答案． 【规范解答】（1）解：连接，， 设半径为r， ∵是的内切圆，切点分别为D、E、F，，， ∴，，，， ∵， ∴四边形为矩形， 又， ∴四边形为正方形， ∴， ∴，，， 在中，， 即， 解得， ∴的半径为2； （2）解：由（1）可知，， 设，，则， ∵过点G作的切线分别交、于M、N， ∴，， ∴， 在中，， 即， 整理得， ∵，时，，当时，等号成立， ∴，即， ∴的最小值为． 题型20 应用切线长定理求证 39．（2025·广东中山·二模）如图，是的直径，和是它的两条切线，切于点，交于点，交于点，求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了切线长定理，圆周角定理，垂直平分线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．连接、，如图，先根据切线长定理得到，再判断垂直平分，接着根据圆周角定理得到，然后根据平行线的判定方法得到结论． 【规范解答】证明：连接交于，连接，如图， 和为的切线， ， ， 垂直平分， 是的直径， ， ， ． 40．（24-25九年级上·全国·期末）在直角坐标系中，正方形的两边分别在x轴、y轴上，A点的坐标为． (1)将正方形绕点O顺时针旋转，得到正方形，边交于G．求G点的坐标； (2)如图，与正方形四边都相切，直线切于点P，分别交y轴、x轴、线段于点M、N、Q．求证：平分． (3)若，T为延长线上一动点，过T、H、A三点作，交于S．当T运动时（不包括A点），是否为定值？若是，求其值；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)是定值4 【思路引导】本题主要考查坐标与图形，旋转的性质，圆的综合知识，构造全等三角形是解题的关键． （1）求出旋转角的度数为，进而求出的度数，再利用三角函数求出G点坐标； （2）由切线长定理证得，由切线长定理或其他方法证得，平分； （3）在上取点V，使，构造出全等三角形，判断出为等腰直角三角形，求得为定值． 【规范解答】（1）解：连接， ∵A点的坐标为， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵将正方形绕点O顺时针旋转，得到正方形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴ 又∴， ∵， ∴； （2）证明：设与、、边相切于点、、，连接，，，如图， 则, ∵是的切线， ∴， 在和中， ∴， ∴∴, 同理可证：，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴，即， ∴， ∴ ∴平分． （3）解：的值是定值为， 在上取点V，使，即， ∵， ∴， ∵，， ∴，，即； 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 又， ∴， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 题型21 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 41．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知，，，，则它的内切圆的半径为 ． 【答案】 【思路引导】此题重点考查勾股定理的逆定理、三角形的内切圆与内心、切线的性质、切线长定理、正方形的判定与性质等知识，正确地画出图形并且添加相应的辅助线是解题的关键．先证明是直角三角形，且，设是的内切圆，与、、分别相切于点D、E、F，连接、，则，，，求得，则，则，可证明四边形是正方形，则，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， 设是的内切圆，与、、分别相切于点D、E、F，连接、， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴的内切圆的半径是2， 故答案为：． 42．（23-24九年级上·江西上饶·期末）如图，是外接圆的直径，是的切线，，点D在上．    (1)求证：是的切线． (2)若的边，，I是的内心，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路引导】（1）如图，连接，，证明，是的垂直平分线，再证明，可得，可得是的切线． （2）如图，过作于，作于，作于，则，求解，，，证明四边形为正方形，求解，再利用勾股定理可得答案． 【规范解答】（1）证明：如图，连接，，    ∵为的直径， ∴， ∵， ∴，是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴是的切线． （2）如图，过作于，作于，作于，    则， ∵为的直径， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【考点剖析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，切线的性质与判定，三角形的内心的性质，勾股定理的应用，正方形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 题型22 过圆外一点作圆的切线（尺规作图） 43．（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：和外一点． 求作：过点的的切线． 作法：如图， 连接； 分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点； 作直线，交于点； 以点为圆心，的长为半径作圆，交于，两点； 作直线，． 直线，即为所求作的切线． (1)请根据上述作法完成尺规作图； (2)连接，，可证，理由是 ； (3)直线，是的切线，依据是 ． 【答案】(1)见解析； (2)直径所对的圆周角为直角； (3)见解析 【思路引导】本题考查了作图—作垂直平分线，线段垂直平分线的性质、圆周角定理，切线的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据几何语言画出对应的几何图形即可； （）根据圆周角求解； （）根据切线的判定定理求解． 【规范解答】（1）解：如图，为所求；     （2）解：∵为直径， ∴； 故答案为：直径所对的圆周角为直角； （3）解：∵， ∴，， ∵为的半径， ∴直线，是的切线． 故答案为：过半径的外端且与半径垂直的直线为圆的切线． 44．（2025·甘肃酒泉·三模）古希腊数学家欧几里得，被称为“几何学之父”．在其所著的《几何原本》第三卷中有一个命题：“过已知点作直线切于已知圆”．如图，设点P是已知点，是已知圆，对于上述命题，我们可以进行如下尺规作图：①连接，分别以点O，P为圆心，大于长为半径作弧，在上方交于点M，在下方交于点N，连接，交于点A；②以点A为圆心，长为半径作，与交于两点Q和R；③连接，，则，是的切线． (1)请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图中补全图形，保留作图痕迹； (2)上述作图中用到了圆中一个很重要的定理，具体内容是______． 【答案】(1)见解析 (2)直径所对的圆周角是直角 【思路引导】此题考查了切线的判定、圆周角定理、垂直平分线等基本作图知识，熟练掌握切线的判定是关键． （1）根据要求作出图形； （2）利用直径所对的圆周角是直角解决问题． 【规范解答】（1）解：如图，直线，即为所求； （2）解：连接，． 根据直径所对的圆周角是直角，可以证明，，可得，是的切线． 故答案为：直径所对的圆周角是直角． 题型23 圆内知识综合（圆的综合问题） 45．（2025·北京西城·一模）在中，，为边上一点，点与点关于直线对称，过点作的垂线，交线段的延长线于点，连接交直线于，连接，，设． (1)如图，当时． ①求的大小（用含的式子表示）； ②请用等式表示线段之间的数量关系，并证明； (2)当时，请直接写出线段之间的数量关系． 【答案】(1)①；②，证明见解析； (2)． 【思路引导】（1）①连接，，利用等腰直角三角形的性质求得，，再利用四边形内角和来求解；②过点作交于,易得，利用全等三角形的性质得到，再利用对称性来求解； （2）利用②的方法来求解． 【规范解答】（1）解：①连接，，如下图 为边上一点，点与点关于直线对称， ，，， ． 在中，， ，， ． ， ， ， ． ② 证明：过点作交于, ∴. ∵ ∴, ． ∵在中，，， ∴， ∴， ∴，， ∴点在以点为圆心，的长为半径的圆上， ∴， ， ∴． 在和中 ， ∴， ∴． ∵点与点关于直线对称， ∴， ， ， ， ， ． （2） 证明：同②的方法． 【考点剖析】本题考查了对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，四点共圆，四边形内角和度数，理解相关知识，作出辅助线是解答关键． 46．（2025·河南驻马店·模拟预测）定义：若四边形的一条对角线平分一个内角，我们将此对角线称为“唯美线”，这样的四边形称为“唯美四边形”，如图，四边形中，平分，则为四边形的“唯美线”．利用上述知识解答下列问题． [问题发现]（1）如图①，若，求的最小值； [深度探究]（2）如图②，连接对角线，若平分，且，求的度数； [拓展延伸]（3）若四边形为唯美四边形，，平分，与相交于点，则当为等腰三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）4；（2）；（3）4或 【思路引导】本题考查了矩形的判定与性质，角平分线的定义、性质与判定，四点共圆的判定，勾股定理等，熟练掌握相关知识点，能结合图形做出适当的辅助线，能推出四点共圆是解题的关键； （1）过点P作于D，交延长线于点E，先确定的最小值为，再利用矩形的判定与性质，勾股定理求解； （2）先利用角平分线的定义和三角形的外角知识推出，再利用角平分线的性质和判定，推出平分，再求解即可； （3）根据为等腰三角形时，分或或讨论，利用，，推出四点共圆，再利用圆周角定理，勾股定理求解，综合可得结果； 【规范解答】（1）如图①，过点P作于D，交延长线于点E， 则， ， 当A与E重合，C与D重合时，有最小值； ， ， 四边形是矩形， ， 平分， ， ， ， 由勾股定理得， ，解得， ， 的最小值为4． （2）平分， ， 平分， ， 又，， ， ， ， 如图2，过点P作于E，于F，交延长线于G， 平分， ， 同理可证， ， 平分， ，， ． （3）当为等腰三角形时，或或， 点O在上，， 当时，如图③， 平分，， ， 又， 四点共圆， ， ， ， ， ， ； 当时，如图④，过点A作于M， 同理可证四点共圆， ， ， ， ， ， ， 在中，设， ， ， 在中，， ， ， ， 由解得， ， 综上可知，线段的长为4或． 题型24 圆与三角形的综合（圆的综合问题） 47．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，A，B，C，D在上，，经过圆心O的线段于点F，与交于点E． (1)如图1，当半径为5，，若，求弦的长； (2)如图2，当半径为，，若，求弦的长． 【答案】(1)8 (2) 【思路引导】（1）连接，根据垂径定理求出，根据勾股定理得，设，根据勾股定理得方程，解方程即可求出； （2）如图2中，作于H．先证明是等腰直角三角形，得到．再证明四边形是矩形得到，求出，证明，得到，，即可求出． 【规范解答】（1）解：如图1中，连接． ∵过圆心O的线段于点F，， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得， 设，则， ∵经过圆心O的线段 ∴， 在中，根据勾股定理得， ∴（不合题意，舍去）， ∴； （2）解：如图2中，作于H． ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【考点剖析】本题考查了垂径定理，勾股定理，矩形的性质与判定，圆周角定理，全等三角形的判定与性质等，熟知各知识点，根据题意添加适当辅助线是解题关键． 48．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在中，，是的平分线，是上一点，以为半径的经过点，与，分别交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【思路引导】本题考查了圆的切线判定以及利用勾股定理求圆的半径，解题的关键是通过角的关系证明直线与圆相切，借助矩形性质和勾股定理构建方程求解半径． （1）连接，利用角平分线性质和等腰三角形性质推出，进而得到，根据切线判定定理证明是的切线． （2）过作，证明四边形是矩形得，再由垂径定理得的长度，最后在中用勾股定理求出半径． 【规范解答】（1）证明：连接 是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， 又是的半径， 是的切线； （2）解：过点作，垂足为点 ，， 四边形是矩形 ， 在中， 的半径为5． 题型25 圆与四边形的综合（圆的综合问题) 49．（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）点，，在上，将沿折叠后，与交于． (1)若，求的度数． (2)如图，点恰是翻折所得的中点，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题是圆的综合题目，考查了圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦之间的关系，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，本题综合性强，熟练掌握圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定与性质是解题的关键． （1）将还原后点的对应点为，连接、，则，，求出，由三角形的外角性质即可得出答案； （2）由（1）得，证出，由等腰三角形的性质得出，，设，则，在中，由三角形内角和定理得出方程，解方程即可； 【规范解答】（1）解：将还原后点的对应点为，连接、，如图所示： 则，， ， ； （2）（2）由（1）得， ，， ， 点是翻折所得的中点， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，由三角形内角和定理得：， 解得， 即． 50．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图，已知四边形为的内接四边形，平分，于点，，，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】此题主要考查圆内线段求解，解题的关键是熟知勾股定理、圆内接四边形的性质、圆周角定理、角平分线的性质、垂径定理的应用． 延长到，使，连接，如图，根据圆周角定理得到，，再判断为等边三角形得到，于是可证明，所以，接着判断为等边三角形，所以，然后计算出得到的长，从而得到的长． 【规范解答】解：延长到，使，连接，如图， 平分， ， ，， 为等边三角形， ， 在和中， ， ， ， 而， 为等边三角形， ， ， 在中，， ， ． 故答案为：2． 题型26 已知正多边形的中心角求边数 51．（2025·河南濮阳·二模）如图，是内接正边形的一条边，点在上，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了正多边形和圆，圆周角定理，由圆周角定理得，再根据正边形的边数“中心角”，即可求出的值，求出中心角的度数是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 52．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在正n边形中，，则的值是 ． 【答案】12 【思路引导】本题考查正多边形和圆，根据圆周角定理求出中心角的度数，即可求出n的值． 【规范解答】解：设点O为正n边形外接圆的圆心，连接，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12． 题型27 尺规作图-正多边形 53．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了尺规作图，正方形的判定与性质，三角形的外角性质，平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识．由作图可推出四边形是正方形，，得到，，再根据三角形的外角性质可得，最后根据平行线的性质即可求解． 【规范解答】解：由作图可得，，，， 四边形是正方形，， ，， ， ， ， ， 故选：A． 54．（2025·山西运城·模拟预测）阅读与思考下面是一个同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务. 六等分圆原理 六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题.这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述.例：如图，在平面直角坐标系中，点与原点重合，点在轴的正半轴上且坐标为 操作步骤： 分别以点，为圆心，的长为半径作弧，两弧轴上方部分交于点； 以点为圆心，的长为半径作圆； 以的长为半径，在上顺次截取； 顺次连接，，，，，得到正六边形 任务； (1)根据材料，请你用无刻度的直尺和圆规，在图中完成作图过程（保留作图痕迹，不写作法)， (2)将正六边形绕点顺时针旋转，直接写出此时点所在位置的坐标． 【答案】(1)见解析； (2) 【思路引导】本题考查作图-旋转变换，正多边形与圆，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）根据题目要求作出图形即可； （2）由作图可知，可知，利用勾股定理可求，根据正六边形的性质可知是等边三角形，并且，所以可得点坐标为． 【规范解答】（1）解：如图，正六边形即为所求； （2）将正六边形绕点顺时针旋转，如下图所示，连接， 由作图可知， 则， ， 点的坐标为， 六边形是正六边形， ， 是等边三角形，， ， 正六边形绕点顺时针旋转，此时点坐标为． 题型28 求某点的弧形运动路径长度 55．（25-26九年级上·黑龙江·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)将绕原点逆时针旋转得，其中，，分别和，，对应，作出； (2)作出关于点成中心对称的； (3)请计算出绕原点逆时针旋转的过程中点经过的路径长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路引导】分别找点，，绕着原点O逆时针旋转90°所对应的点，，，再将点，，连接起来即可； 分别找点，，关于点O成中心对称的对应的点，，，，再将点，，，连接起来即可； 根据勾股定理求出，再根据旋转经过的路径为个圆的周长，结合圆的周长公式求解即可． 【规范解答】（1）如图所示． （2）如图所示． （3）， 点根据旋转经过的路径长为个圆的周长，圆的半径, 路径长为． 56．（2025·湖北武汉·三模）如图，线段为的直径，的角平分线与的角平分线交于一点 ，且的角平分线与交于点， 点为上一动点，当点从点运动到点时，则与两点的运动路径比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查弧长公式，圆周角定理，三角形的内心等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找点的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题． 如图1，连接，由题意可知，点是的内心，由为直径，可得，进而可得为定值，所以点的轨迹为一段弧，如图2，以点为圆心，为半径画圆，延长，交圆于点，连接，，可证，根据对角互补的四点共圆，可知点在以点为圆心，为半径的圆上运动，运动轨迹为，设，则，进一步可算出点的运动路径为，由图2可知，点的运动轨迹为，可算出点的运动路径为，最后计算比值即可得解． 【规范解答】解：如图1，连接， 点是和的角平分线的交点， 点是的内心， 平分， 为直径， ， ， 为定值， 点的轨迹为一段弧， 此圆弧的圆心一定在弦的中垂线上， 如图2，过圆心作，连接，， 设，则， 为直径， ， 平分， ， ，　　 ， 如图2，以点为圆心，为半径画圆，延长，交圆于点，连接，， 是圆中弦所对的圆心角，而是圆中弦所对的圆周角， ， ， ， 点，，，，四点共圆， 点在以点为圆心，为半径的圆上运动，运动轨迹为， 点的运动路径为， 由图2可知，当点从点运动到点时，点的运动轨迹为， 点的运动路径为， 点和点的运动路径比为． 故选：D． 题型29 求扇形面积 57．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，圆心角，． (1)求的半径； (2)求阴影部分拱形面积．（保留） 【答案】(1)1 (2) 【思路引导】本题考查了圆的性质，勾股定理，扇形面积公式及三角形的面积公式． （1）根据已知条件得出为等腰直角三角形，再利用勾股定理求出半径的长度即可； （2）先求出扇形的面积，再减去等腰直角三角形的面积即可． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴为等腰直角三角形， 又∵， ∴， 即的半径为1． （2）解：∵的半径为1，， ∴，， ∴． 58．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，是的直径，点A在上且平分弧于点D，分别交于F，G． (1)求证：； (2)若，求阴影部分面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了求扇形面积，垂径定理，勾股定理，等角对等边， （1）根据是的直径，，，推出，即可推得． （2）根据，求出，再根据，求出，即可求出阴影部分面积． 【规范解答】（1）证明：∵A是弧的中点， ∴在中有． ∵是的直径， ∴． ∵于点D， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：连接，过E点作于H， ∵， ∴， ∴ ∴是等边三角形. 又∵A是弧的中点， ∴， ∴. 在中，， ∴， ∴， ∴阴影部分面积． 题型30 求图形旋转后扫过的面积 59．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，为半圆的直径，，点在半圆上，以为高作等腰，当点沿半圆从运动到点时，线段扫过的面积是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了圆的面积公式．通过分析点C运动时的轨迹，进而求出线段扫过的面积． 【规范解答】解：已知为半圆的直径，， ∴半圆的半径为1， ∵是等腰直角三角形，且为高， ∴，， 将点的运动转化为旋转轨迹分析：点D是点A绕点C逆时针旋转的结果，点E是点A绕点C顺时针旋转的结果， 当点C在半圆上从A运动到B时： 点D的轨迹：将原半圆绕点A逆时针旋转，得到一个半径为1的半圆， 点E的轨迹：将原半圆绕点A顺时针旋转，得到一个半径为1的半圆， 当点沿半圆从运动到点时，可知扫过的面积是一个半圆的面积， 即、各扫过的面积是一个半圆的面积， 即线段扫过的面积是一个半径为1的圆的面积，即． 故答案为：． 60．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查旋转的性质、扇形的面积、勾股定理等知识点，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 利用勾股定理求出，利用旋转的性质可得，进而求出和，再结合图形即可解答． 【规范解答】解：， ， 将绕点A逆时针旋转后得到， ， ， ． 故选：C． 题型31 求其他不规则图形的面积 61．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，四边形内接于，是的直径，且交的延长线于点，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见详解． (2)． 【思路引导】本题考查了切线的证明，圆周角定理，三角形相似的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． (1)连接，利用得，结合平分得，从而推出，再由得进而推出即可． (2) 要求阴影部分面积，需先求扇形的面积和的面积，再用扇形面积减去三角形面积即可．利用，得，，进而求出，，算出，再求出半径，分别计算，，最后求出阴影面积即可． 【规范解答】（1） 证明：如图连接，则， ， 平分， ， ， ， 交的延长线于点， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）是的直径， ， ，， ，， ， ， ， ， ，， ． 62．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在平行四边形中，，，，以点A为圆心，的长为半径画弧交于点E，连接，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π） 【答案】 【思路引导】结合已知条件求出的长度，然后根据E，利用平行四边形的性质及各图形的面积公式列式计算即可． 【规范解答】解：由题意可得， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ ． 故答案为：． 【考点剖析】本题主要考查平行四边形的性质及扇形的面积公式，结合已知条件列得是解题的关键． 题型32 圆锥的侧面积 63．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）圆锥的母线长为，底面圆的半径为． (1)侧面展开图的圆心角度数是 ． (2)如图①，B为母线的中点，点A在底面圆周上，的长为，蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径是多少？（结果保留根号）． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了圆锥及圆锥的侧面展开图，弧长公式，理解圆锥底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长是解题的关键． （1）先求出侧面展开图的弧长，再根据弧长公式即可求出圆心角的度数； （2）如图2，连接，先证明为等边三角形，再证，最后根据勾股定理求得即可． 【规范解答】（1）解：设侧面展开图的圆心角度数为， ∵底面圆的半径为， ∴侧面展开图的弧长， ， ，解得：， 故答案为：； （2）解：如图2，连接，则线段的长为蚂蚁爬行的最短距离， 的长为，，令， ，解得， ， ， ∴为等边三角形，即， ， ， 在中，， 即蚂蚁爬行的最短距离为． 64．（20-21九年级上·江苏·阶段练习）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，一段圆弧经过网格的交点为A、B、C． (1)在图中标出该圆弧所在圆的圆心D，连接． (2)在（1）的基础上，完成下列填空： ①写出点的坐标：C______、D______； ②的半径是______结果保留根号； ③若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面的面积（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2)①，；②；③ 【思路引导】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、弧长公式、全等三角形的性质和判定等知识点，能综合运用性质和定理进行推理和计算是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线性质找出圆的圆心即可； （2）①根据图形和已知点的位置写出坐标即可；根据勾股定理求出即可；求出，根据弧长公式求出弧的长，然后求出底面半径，最后根据圆的面积公式求解即可． 【规范解答】（1）解：如图：即为所求． （2）解：①由（1）作图可知：，； 故答案为：，； ②的半径是：． 如图： 在和中 ， ， ，， ， ， ， ， 弧的长为， 设底面的半径为r， 则，解得：． 扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面的面积是 题型33 数据的集中趋势和离散程度 65．（2024·安徽·模拟预测）省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 甲 10 8 9 8 10 9 乙 10 7 10 10 9 8 计算方差的公式：． (1)根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是 环，乙的平均成绩是 环； (2)分别计算甲、乙六次测试成绩的方差； (3)根据（1）、（2）计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由． 【答案】(1)9；9； (2)=，= (3)推荐甲参加全国比赛更合适，理由见解析 【思路引导】本题考查求平均数，方差，利用方差作决策． （1）数据总和除以数据个数求出平均数即可； （2）利用方差公式计算方差即可； （3）利用方差作决策即可． 【规范解答】（1）解：甲：， 乙：； 故答案为：9；9； （2）解： ； ； （3）解：推荐甲参加全国比赛更合适， 理由如下：两人的平均成绩相等，说明实力相当； 但甲的六次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲参加比赛更合适． 66．（24-25九年级上·重庆·期中）若一个四位数满足M的千位数字与百位数字的和与它们的差的积恰好是M的后两位数字组成的两位数，则称这个四位数M为“均衡数”，则最大的“均衡数”为 ；将均衡数M的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到的新数记为，记，，当、均为整数时，则满足条件的所有M的中位数为 ． 【答案】 9817 6327 【思路引导】本题主要考查了定义新运算，中位数的定义， 根据“均衡数”的定义判断①即可，再将各数位对调，由为整数得出多种可能，然后根据中位数的定义解答即可． 【规范解答】千位数字最大为9，再根据“均衡数”的定义可知百位数字最大为8，则， 所以最大的“均衡数”是9817； 故答案为：9817； ∵是整数， ∴a是b的倍数，且， 当，时，，，则，不是整数，舍； 当，时，，，则，不是整数，舍； 当，时，，，则； 当，时，，，则，不是整数，舍； 当，时，，，则，不是整数，舍； 当，时，，，则，不是整数，舍； 当，时，，，则，是整数； 当，时，，，则，不是整数，舍； 当，时，，，则，不是整数，舍； 当，时，，，则，不是整数，舍； 当，时，，，则，是整数； 当，时，，，则，不是整数，舍． 符合题意的有8448，6327，4212， 所以中位数是6327． 故答案为：6327． 题型34 等可能条件下的概率 67．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券．于是，老师就设计了这样的一个游戏：一口袋装有除颜色外均相同的2个白球1个红球和1个蓝球，通过摸球来决定谁去观看演出．方案如下：第一次随机从口袋中摸出一球（不放回）；第二次再任意摸出一球，两人胜负规则如下：摸到“一白一红”，则小颖去观看；摸到“一红一蓝”，则小亮去观看． (1)这个方案公平吗?请用列表或画树状图的方法说明理由； (2)你若认为这个方案不公平，那么请你改变两人胜负规则，设计一个公平的方案． 【答案】(1)这个游戏不公平，详见解析 (2)拿出一个白球或放进一个蓝球，其他不变．游戏就公平了． 【思路引导】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．画出树状图，求出他们各自获胜的概率是解答本题的关键． （1）画出树状图，根据概率公式即可求出概率，比较概率即可得出结论； （2）让二者的概率相同即可． 【规范解答】（1）解：游戏方案不公平，理由如下： 由树状图可以看出：共有12种可能，摸到“一白一红”有4种，摸到“一红一蓝”的情况有2种， 故小颖获胜的概率为 ，小亮获胜的概率为，所以这个游戏不公平． （2）解：当拿出一个白球时，其他不变，同理可求摸到“一白一红”和摸到“一红一蓝”的概率均是； 或放进一个蓝球，其他不变，则同理可求摸到“一白一红”和摸到“一红一蓝”的概率均是； ∴游戏就公平了． 68．（23-24九年级下·湖南长沙·期中）张老师在带领同学们进行折角的探究活动中，按步骤进行了折纸： ①对折矩形，使与重合，得到折痕，并把纸展平． ②再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段． ③可得到．老师请同学们讨论说明理由． 三个同学在一起讨论得到各自的方法．小彤说：连接，可证为等边三角形，从而得证；小如说：利用平行线分线段成比例性质，可证，再结合三角形全等的知识可证；小远说：利用的边角关系可证． (1)在考试过程中，小明和小峰这三种方法他们都会，都随机选取了这三种方法中的一种，请用列表或画树状图的方法求他俩选择了同一种方法的概率． (2)请你选择其中一个同学的方法或者用其他方法说明理由． 【答案】(1) (2)选择小彤的方法说明，理由见详解 【思路引导】（1）用表示三种解题方法，根据题意作出树状图，结合树状图即可获得答案； （2）连接，由折叠的性质可得，，，，，由垂直平分线的性质可得，即可证明为等边三角形，得到，由矩形的性质可得，可求出，即可证明结论． 【规范解答】（1）解：用表示三种解题方法，根据题意，作出树状图如下， 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小峰选择同一种方法的结果有3种， ∴小明和小峰选择同一种方法的概率为； （2）选择小彤的方法说明，理由如下： 连接，如下图， 由折叠的性质可得，，，，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 【考点剖析】本题主要考查了列举法求概率、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、垂直平分线的性质等知识，解题关键是结合折叠的性质和垂直平分线的性质证明为等边三角形． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年苏科版数学九年级上学期期中复习压轴题型专练 【34个高频常考题型 共68题】 讲义简介： 同学你好，该份讲义针对2025-2026学年上学期期中考试制作。考察范围为苏科版九年级上册第1章-第4章知识内容，精选近两年全国各地名校常考、易错、压轴类题型，结合常考易错类型题，精心优选38个题型，题目难度偏上，适合提优拔尖同学考前复习使用，非常有助于提升考试适应性，提高解题能力，掌握答题技巧。相信你在正式考试中取得满意成绩！ 题型1 由一元二次方程的解求参数 2 题型2 解一元二次方程 2 题型3 根据判别式判断一元二次方程根的情况 3 题型4 根据一元二次方程根的情况求参数 4 题型5 —元二次方程的根与系数的关系 5 题型6 用一元二次方程解决问题 6 题型7 利用垂径定理求平行弦问题 7 题型8 利用垂径定理求同心圆问题 8 题型9 利用弧、弦、圆心角的关系求解 9 题型10 利用弧、弦、圆心角的关系求证 9 题型11 画圆（尺规作图） 10 题型12 求特殊三角形外接圆的半径 11 题型13 同弧或等弧所对的圆周角相等 12 题型14 半圆（直径）所对的圆周角是直角 13 题型15 90度的圆周角所对的弦是直径 14 题型16 已知圆内接四边形求角度 16 题型17 求四边形外接圆的直径 17 题型18 切线的性质和判定的综合应用 18 题型19 应用切线长定理求解 19 题型20 应用切线长定理求证 20 题型21 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 21 题型22 过圆外一点作圆的切线（尺规作图） 21 题型23 圆内知识综合（圆的综合问题） 23 题型24 圆与三角形的综合（圆的综合问题） 24 题型25 圆与四边形的综合（圆的综合问题) 25 题型26 已知正多边形的中心角求边数 26 题型27 尺规作图-正多边形 26 题型28 求某点的弧形运动路径长度 28 题型29 求扇形面积 29 题型30 求图形旋转后扫过的面积 30 题型31 求其他不规则图形的面积 30 题型32 圆锥的侧面积 31 题型33 数据的集中趋势和离散程度 32 题型34 等可能条件下的概率 33 题型1 由一元二次方程的解求参数 1．（25-26九年级上·黑龙江鹤岗·期中）已知是方程 的一个根，求代数式 的值． 2．（25-26九年级上·河南南阳·阶段练习）已知a是方程的一个根，则代数式的值为（   ） A． B． C． D．2024 题型2 解一元二次方程 3．（25-26九年级上·河南安阳·阶段练习）解方程： (1) (2) (3) (4)． 4．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）阅读与思考 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有______；（只填写序号即可） ①；②；③ (2)关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值； (3)若关于x的一元二次方程（）同时满足和，且与互为“同伴方程”，求n的值． 题型3 根据判别式判断一元二次方程根的情况 5．（25-26九年级上·河南信阳·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，该一元二次方程总有实数根； (2)当时，该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边，求等腰三角形的周长． 6．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）新定义：对于一元二次方程，若根的判别式是一个整数或整式的平方，则此方程叫“友好方程”． (1)判断下列方程一定是“友好方程”有_______个 ①；②；③； (2)若关于的一元二次方程， ①证明：此方程一定是“友好方程”； ②设方程的两个实数根分别为，，存在实数，使得始终在函数的图象上，求出的值； 题型4 根据一元二次方程根的情况求参数 7．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根为2，求另一个根和k的值． 8．（25-26九年级上·广东佛山·阶段练习）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根． (1)用含m的代数式表示n，并直接写出m的取值范围； (2)关于x的方程； ①求证：方程必有两个不相等的实数根； ②若，是方程的一个正根，记，试比较M与2的大小． 题型5 —元二次方程的根与系数的关系 9．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，分别以为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． (1)若方程为，直接写出该方程的衍生点的坐标______． (2)若关于的一元二次方程的衍生点为，过点向轴和轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形．问是否存在这样的点？若存在，求出这个正方形的面积；若不存在，说明理由． 10．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）我们知道一元二次方程的两根为，，若其中一个根是另一个根的倍（为正整数），则称这样的方程为倍“梅石花”方程，例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是二倍“梅石花”方程；若一元二次方程的两根为，，则称这样的方程为“状元来”方程． (1)根据上述定义，请判断：是_________倍“梅石花”方程； (2)若关于的方程是倍“梅石花”方程，直接写出的最小值是_________． (3)若方程为“状元来”方程，求证：． 题型6 用一元二次方程解决问题 11．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）为了丰富校园生活，学校在今年9月份购进了A、B两种图书，每种图书均花费了4000元，其中A种图书的数量比B种图书的数量少100本，已知9月份A种图书的单价是B种图书的单价的2倍． (1)请问学校在9月份购进A种图书和B种图书各多少本？ (2)10月份学校再次购进了、两种图书，与9月相比，种图书单价多了元，数量少了本．种图书单价打了8折，数量多了100本，结果两种图书的10月总价之和比9月总价之和多了，求的值． 12．（25-26九年级上·重庆·期中）某商店销售、两种款式的水杯．已知每只款水杯比每只款水杯贵12元，今年九月份款水杯的销售额为4800元，款水杯的销售额为3600元，且款水杯的销量是款水杯的1.2倍． (1)求、两款水杯的售价分别是多少元？ (2)十月份，该商店对款水杯进行降价促销：已知每只款水杯的进价是16元，每只款水杯的进价比款水杯低50%．若款水杯售价每降低2元，销量就比九月份多增加30只；款水杯售价和销量都和九月份相同．此次促销销售完两款水杯的总利润为4560元，求款水杯降低了多少元？ 题型7 利用垂径定理求平行弦问题 13．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，的半径为3，弦的直角顶点B在弦上运动（可与点M，N重合），点A，C始终在上，且．关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（   ） 嘉嘉说：“当点B与点M，点N重合时，的度数是．” 淇淇说：“连接，当与弦平行时，点B到的距离为2．” A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．嘉嘉正确，淇淇也正确 D．嘉嘉错误，淇淇也错误 14．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）．    (1)如图1，点是矩形边的中点，过点画矩形的一条对称轴交于； (2)如图2，△ABC和△DEF的顶点分别与小正方形的顶点重合，若△DEF是△ABC绕点O旋转得到的，请在图中画出旋转中心； (3)如图3，圆经过两个格点，以及格线上的点，作劣弧的中点；并在优弧上找一点，使得； 题型8 利用垂径定理求同心圆问题 15．（2024·广东湛江·模拟预测）如图，在破残的圆形残片上，弦的垂直平分线交弧于点，交弦于点，已知，． (1)求作此残片所在的圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求出（1）中所作圆的半径． 16．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 题型9 利用弧、弦、圆心角的关系求解 17．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，是的直径，点D，C在上，，，，则的半径为 ． 18．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，是的直径，弦半径于点E，P为直径上一动点，若C为的中点，，则的最小值是（   ） A． B．4 C．6 D． 题型10 利用弧、弦、圆心角的关系求证 19．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，、是的两条弦，与相交于点E,． (1)求证：； (2)连接，作直线，求证：． 20．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）在中，，为弦，为直径，于E，于F． (1)如图1，若过圆心O，求的度数； (2)如图2，若与相交于G证明：． 题型11 画圆（尺规作图） 21．（2025·江苏徐州·中考真题）“连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案．图1为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个连续的弧连成一圈．图2为另一件连弧纹镜（残件）的示意图． (1)若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“_______连弧纹镜”； (2)请用无刻度的直尺与圆规，补全图2中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”．（保留作图痕迹，不写作法） 22．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）在中，，为上一个定点，用无刻度直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）    (1)如图1，作，使得经过点，并且与相切于点； (2)如图2，连接，在边上求作点，使得． 题型12 求特殊三角形外接圆的半径 23．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知等腰三角形，如图． (1)用直尺和圆规作的外接圆； (2)设的外接圆的圆心为，若，，则的外接圆的半径为 ． 24．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）如图，内接于，为的直径，且与的边交于点E，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 题型13 同弧或等弧所对的圆周角相等 25．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，A、P、B、C是上的四个点，． (1)判断的形状，并证明你的结论； (2)判断与之间的关系，并证明． 26．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知中，为半圆O的直径，、分别交半圆O于点E、D，且． (1)求证：点是的中点． (2)若点E是的中点，判断的形状，并说明理由． 题型14 半圆（直径）所对的圆周角是直角 27．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，为的直径，弦于点，是弧上一点，延长，交于点，连接，，与交于点 (1)若，用含的代数式表示； (2)如图2，连结，，若，求证：． 28．（2015·浙江杭州·一模）如图，是的直径，点在上，连接，作直线交于点．点是直线上的动点，连接． (1)求证：点是的中点； (2)连接，问为多少度时，四边形是菱形？ (3)①当在的左侧时，求证：； ②当在的内部时，①的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出这三个角之间的数量关系； ③当在的右侧时，请直接判断①或②中的结论是否成立，不需证明． 题型15 90度的圆周角所对的弦是直径 29．（25-26九年级上·浙江金华·阶段练习）在如图所示的网格中，的顶点，均在网格上，顶点在网格线上，请用无刻度直尺 按要求画图。要求保留画图痕迹，并简要说明支持你画法正确的理由． (1)画出图1中圆的一条直径． (2)画出图2中圆的圆心． 30．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）【模型建立】 如图①、②，点分别在圆外、在圆内，直线分别交圆于点，则是点到圆上的点的最短距离，是点到圆上的点的最长距离． 【问题解决】 (1)已知点到圆上的点的最短距离为3，最长距离为7．则圆的半径为______． (2)如图③，在中，，，．点在边上，且，动点在半径为2的圆上，则的最小值是______． (3)如图④，点，动点在以为圆心，为半径的圆上，的中点为，则线段的最大值为______． (4)如图⑤，正方形中，点分别为上的动点，且，，交于，点为的中点，点为上一个动点，连接．若，则的最小值为______． 题型16 已知圆内接四边形求角度 31．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，是的直径，弦于点E，点M在上，恰好经过圆心O，连接． (1)若，求的直径； (2)若，求的度数； (3)若弦分为的两部分，点F在上，求弦所对的圆周角的度数． 32．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，线段为内一条弦，点A为弦上方圆弧上一点，延长到D，连接交于点F，过点D作，交直线于点E． (1)如图，若，为直径，求的度数． (2)如图，当经过圆心O，求证：． (3)如图，若的半径等于2，，且点C为的中点，求的最大值． 题型17 求四边形外接圆的直径 33．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）【推理证明】 （1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明思路完成证明过程． 【尝试应用】 （2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】 （3）在（2）的基础上，若，，直接写出线段的长． 34．（2023·陕西西安·三模）在菱形中，，，的两边分别交边、于点E、F，且，记的外心为点P，则P、C两点间的最小距离为 ． 题型18 切线的性质和判定的综合应用 35．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，以为直径的交于点D，点Q为延长线上一点，延长交于点P，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若时，求的长． 36．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，四边形是正方形，以点A为圆心，为半径画弧，交以为直径的半圆于点E，连接并延长，交于点F． (1)求证：． (2)若，求． 题型19 应用切线长定理求解 37．（25-26九年级上·北京·期中）如图，，是的切线，，为切点．若，，则直径的长是 ． 38．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，在中，，是的内切圆，切点分别为D、E、F．若，， (1)求的半径； (2)若点G在上，过点G作的切线分别交、于M、N，求长的最小值．（注：若，，则，当时，等号成立） 题型20 应用切线长定理求证 39．（2025·广东中山·二模）如图，是的直径，和是它的两条切线，切于点，交于点，交于点，求证：． 40．（24-25九年级上·全国·期末）在直角坐标系中，正方形的两边分别在x轴、y轴上，A点的坐标为． (1)将正方形绕点O顺时针旋转，得到正方形，边交于G．求G点的坐标； (2)如图，与正方形四边都相切，直线切于点P，分别交y轴、x轴、线段于点M、N、Q．求证：平分． (3)若，T为延长线上一动点，过T、H、A三点作，交于S．当T运动时（不包括A点），是否为定值？若是，求其值；若不是，说明理由． 题型21 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 41．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知，，，，则它的内切圆的半径为 ． 42．（23-24九年级上·江西上饶·期末）如图，是外接圆的直径，是的切线，，点D在上．    (1)求证：是的切线． (2)若的边，，I是的内心，求的长度． 题型22 过圆外一点作圆的切线（尺规作图） 43．（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：和外一点． 求作：过点的的切线． 作法：如图， 连接； 分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点； 作直线，交于点； 以点为圆心，的长为半径作圆，交于，两点； 作直线，． 直线，即为所求作的切线． (1)请根据上述作法完成尺规作图； (2)连接，，可证，理由是 ； (3)直线，是的切线，依据是 ． 44．（2025·甘肃酒泉·三模）古希腊数学家欧几里得，被称为“几何学之父”．在其所著的《几何原本》第三卷中有一个命题：“过已知点作直线切于已知圆”．如图，设点P是已知点，是已知圆，对于上述命题，我们可以进行如下尺规作图：①连接，分别以点O，P为圆心，大于长为半径作弧，在上方交于点M，在下方交于点N，连接，交于点A；②以点A为圆心，长为半径作，与交于两点Q和R；③连接，，则，是的切线． (1)请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图中补全图形，保留作图痕迹； (2)上述作图中用到了圆中一个很重要的定理，具体内容是______． 题型23 圆内知识综合（圆的综合问题） 45．（2025·北京西城·一模）在中，，为边上一点，点与点关于直线对称，过点作的垂线，交线段的延长线于点，连接交直线于，连接，，设． (1)如图，当时． ①求的大小（用含的式子表示）； ②请用等式表示线段之间的数量关系，并证明； (2)当时，请直接写出线段之间的数量关系． 46．（2025·河南驻马店·模拟预测）定义：若四边形的一条对角线平分一个内角，我们将此对角线称为“唯美线”，这样的四边形称为“唯美四边形”，如图，四边形中，平分，则为四边形的“唯美线”．利用上述知识解答下列问题． [问题发现]（1）如图①，若，求的最小值； [深度探究]（2）如图②，连接对角线，若平分，且，求的度数； [拓展延伸]（3）若四边形为唯美四边形，，平分，与相交于点，则当为等腰三角形时，请直接写出线段的长． 题型24 圆与三角形的综合（圆的综合问题） 47．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，A，B，C，D在上，，经过圆心O的线段于点F，与交于点E． (1)如图1，当半径为5，，若，求弦的长； (2)如图2，当半径为，，若，求弦的长． 48．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在中，，是的平分线，是上一点，以为半径的经过点，与，分别交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 题型25 圆与四边形的综合（圆的综合问题) 49．（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）点，，在上，将沿折叠后，与交于． (1)若，求的度数． (2)如图，点恰是翻折所得的中点，若，求的度数． 50．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图，已知四边形为的内接四边形，平分，于点，，，则的值为 ． 题型26 已知正多边形的中心角求边数 51．（2025·河南濮阳·二模）如图，是内接正边形的一条边，点在上，，则（   ） A． B． C． D． 52．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在正n边形中，，则的值是 ． 题型27 尺规作图-正多边形 53．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（   ） A． B． C． D． 54．（2025·山西运城·模拟预测）阅读与思考下面是一个同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务. 六等分圆原理 六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题.这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述.例：如图，在平面直角坐标系中，点与原点重合，点在轴的正半轴上且坐标为 操作步骤： 分别以点，为圆心，的长为半径作弧，两弧轴上方部分交于点； 以点为圆心，的长为半径作圆； 以的长为半径，在上顺次截取； 顺次连接，，，，，得到正六边形 任务； (1)根据材料，请你用无刻度的直尺和圆规，在图中完成作图过程（保留作图痕迹，不写作法)， (2)将正六边形绕点顺时针旋转，直接写出此时点所在位置的坐标． 题型28 求某点的弧形运动路径长度 55．（25-26九年级上·黑龙江·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)将绕原点逆时针旋转得，其中，，分别和，，对应，作出； (2)作出关于点成中心对称的； (3)请计算出绕原点逆时针旋转的过程中点经过的路径长． 56．（2025·湖北武汉·三模）如图，线段为的直径，的角平分线与的角平分线交于一点 ，且的角平分线与交于点， 点为上一动点，当点从点运动到点时，则与两点的运动路径比是（    ） A． B． C． D． 题型29 求扇形面积 57．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，圆心角，． (1)求的半径； (2)求阴影部分拱形面积．（保留） 58．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，是的直径，点A在上且平分弧于点D，分别交于F，G． (1)求证：； (2)若，求阴影部分面积． 题型30 求图形旋转后扫过的面积 59．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，为半圆的直径，，点在半圆上，以为高作等腰，当点沿半圆从运动到点时，线段扫过的面积是 ． 60．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）． A． B． C． D． 题型31 求其他不规则图形的面积 61．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，四边形内接于，是的直径，且交的延长线于点，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 62．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在平行四边形中，，，，以点A为圆心，的长为半径画弧交于点E，连接，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π） 题型32 圆锥的侧面积 63．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）圆锥的母线长为，底面圆的半径为． (1)侧面展开图的圆心角度数是 ． (2)如图①，B为母线的中点，点A在底面圆周上，的长为，蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径是多少？（结果保留根号）． 64．（20-21九年级上·江苏·阶段练习）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，一段圆弧经过网格的交点为A、B、C． (1)在图中标出该圆弧所在圆的圆心D，连接． (2)在（1）的基础上，完成下列填空： ①写出点的坐标：C______、D______； ②的半径是______结果保留根号； ③若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面的面积（结果保留）． 题型33 数据的集中趋势和离散程度 65．（2024·安徽·模拟预测）省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 甲 10 8 9 8 10 9 乙 10 7 10 10 9 8 计算方差的公式：． (1)根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是 环，乙的平均成绩是 环； (2)分别计算甲、乙六次测试成绩的方差； (3)根据（1）、（2）计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由． 66．（24-25九年级上·重庆·期中）若一个四位数满足M的千位数字与百位数字的和与它们的差的积恰好是M的后两位数字组成的两位数，则称这个四位数M为“均衡数”，则最大的“均衡数”为 ；将均衡数M的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到的新数记为，记，，当、均为整数时，则满足条件的所有M的中位数为 ． 题型34 等可能条件下的概率 67．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券．于是，老师就设计了这样的一个游戏：一口袋装有除颜色外均相同的2个白球1个红球和1个蓝球，通过摸球来决定谁去观看演出．方案如下：第一次随机从口袋中摸出一球（不放回）；第二次再任意摸出一球，两人胜负规则如下：摸到“一白一红”，则小颖去观看；摸到“一红一蓝”，则小亮去观看． (1)这个方案公平吗?请用列表或画树状图的方法说明理由； (2)你若认为这个方案不公平，那么请你改变两人胜负规则，设计一个公平的方案． 68．（23-24九年级下·湖南长沙·期中）张老师在带领同学们进行折角的探究活动中，按步骤进行了折纸： ①对折矩形，使与重合，得到折痕，并把纸展平． ②再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段． ③可得到．老师请同学们讨论说明理由． 三个同学在一起讨论得到各自的方法．小彤说：连接，可证为等边三角形，从而得证；小如说：利用平行线分线段成比例性质，可证，再结合三角形全等的知识可证；小远说：利用的边角关系可证． (1)在考试过程中，小明和小峰这三种方法他们都会，都随机选取了这三种方法中的一种，请用列表或画树状图的方法求他俩选择了同一种方法的概率． (2)请你选择其中一个同学的方法或者用其他方法说明理由． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $