27.3 垂径定理（教学课件）数学沪教版五四制九年级下册

27.3 垂径定理 第27章 圆与正多边形 教师 xxx 沪教版 九年级第二学期 圆的轴对称性 垂径定理作辅助线的常用方法 垂径定理及推论 01 03 02 CONTANTS 目 录 圆的轴对称性 01 中国汉代数学典籍《九章算术》勾股章所记载的“圆材埋壁”问题，原文：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”翻译：现有圆柱状的木材，埋在墙壁里。不知道其大小，于是用锯子（沿横截面）锯它，当量得深度为一寸的时候，锯开的宽度为一尺，问木材的直径是多少？（一尺等于十寸） 用数学语言可表述为：“如图，在⊙O中，弦CD=10寸，弓形高AB=1寸，求直径的长。” · O C D B A 问题： （1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ （2）你是怎么得出结论的？ 圆的对称性： 圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴. ●O 不能说圆的直径是圆的对称轴，因为对称轴是直线，而直径是线段. 你能证明上述结论吗？ 证明：如图，设CD是⊙O的任意一条直径， A为⊙O上点C，D以外的任意一点. 过点A作AA′⊥CD，交⊙O于点A′， 垂足为M，连接OA，OA′.   在△OAA′中，   ∵OA=OA′   ∴△OAA′是等腰三角形   ∵AA′⊥CD   ∴ AM=MA′   即CD是AA′的垂直平分线   这就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A′，因此⊙O关于直线CD对称.   归纳结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 垂径定理及推论 02 在圆形纸片上作ʘO的任意一条弦AB, 再作直径CD⊥AB, 垂足为E.沿着直径CD对折，你发现了什么？有哪些相等的线段和弧？ 观察发现： 点A与点B重合，AE与BE重合, 重合， 重合. 所以AE=BE, = ， = 已知：如图，CD是⊙O的任一条直径，A是⊙O上点C,D以外任意一点，过点A作CD⊥AB，交⊙O于点B，垂足为E.求证：AE=BE. 证明：连接OA、OB, 在△OAB中， ∵OA=OB ∴△OAB是等腰三角形 又∵ CD⊥AB, ∴AE=BE 即CD是AB的垂直平分线. 这就是说对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点B，因此⊙O关于直线CD对称. 这样，我们就得到垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 符号语言： ∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB ∴AE=BE,, 定理中的两个条件缺一不可: ①过圆心(直径)； ②垂直于弦. 垂径定理的几个基本图形： A B O C D E A B O E D A B O D C A B O C 如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？ ①过圆心 ； ②垂直于弦； ③平分弦（非直径）； ④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧. 在一个圆中，一条直线只要满足上面五个条件中的任意两个，可以推出其他三个结论吗？ A B O C D E 问题：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE. （1）CD⊥AB吗？为什么？ （2） （2）根据图形对称性可得AC =BC， AD =BD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 解：（1）连接AO,BO,则AO=BO, 又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS）， ∴∠AEO=∠BEO=90°， ∴CD⊥AB. AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ · O A B C D E 已知条件“知二” ∵CD为直接 ∴已知①过圆心 ； ∵AE=BE ∴已知③平分弦（非直径）； 结论“推三”： CD⊥AB（②垂直于弦） AC=BC（④平分弦所对的优弧 ） AD=BD（⑤平分弦所对的劣弧） 问题：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE. （1）CD⊥AB吗？为什么？ （2） AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ · O A B C D E ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 当弦AB为直径时，相关结论还成立吗？ · O A B C D “不是直径”这个条件不能去掉，因为当AB、CD互相平分且是直径时，虽然“知二”，但AB不一定垂直CD。 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理的推论 · O A B C D 例1 赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳