培优课5 三角函数中的最值、范围问题-【红对勾】2025年高考数学二轮复习讲与练

培优课5三角函数中的最值、范围问题 考情分析 以三角函数、三角形为背景的最值及范围问题是高考的热点，常用的方法主要有：函数的性质（如有界性、单 调性)、基本不等式、数形结合等】 热点分类 考向探究 考向1三角函数式的最值、范围 (2)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别 是a,b,c,且满足(2a-c)cosB=b·cosC, 【例】 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分 求函数f(A)的取值范围. 别为a,b,c,已知b2=c(a+c). D若B-T求后的值： a (2)若△ABC是锐角三角形，求W3sinB+ 2cosC的取值范围. 马听课记录 042 考向2解三角形中的最值、范围 角度1三角形面积的最值、范围 【例2】(2024·四川德阳二模)△ABC的内角 A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinB= 反思感悟0 2/3cos2A+C 2 求解三角函数式的最值、范围问题的注意点 (1)求B; (1)把三角函数式正确地化简成单一函数形式. (2)若△ABC为锐角三角形，且c=1,求 (2)根据所给自变量的范围正确地确定ωx十9 △ABC面积的取值范围. 的范围，从而根据三角函数的单调性求三角函数式 听课记录 的范围， 【跟踪训练1】已知函数f(x)= -sinw.x十 2sin2wx(w>0)的最小正周期为4元. (1)求ω的值，并写出f(x)的对称轴方程； ☑一红闪讲与练·高三二轮数学 2.求解三角形中的最值、范围问题的注意点 (1)涉及求范围的问题，一定要搞清楚变量的范 围，若已知边的范围，求角的范围可以利用余弦定理 进行转化 (2)注意题目中的隐含条件，如A十B十C=π， 0<A<π，1b-c<a<b十c,三角形中大边对大 角等。 角度2三角形边长或周长的最值、范围 【跟踪训练2】(1)在△ABC中，内角A,B,C 【例3】(2024·河北衡水一模)在△ABC中，内 的对边分别是a,b,c,满足(a十b十c)(a十 角A,B,C所对的边分别是a,b,c,三角形 b-c)=ab 面积为S,若D为AC边上一点，满足AB」 ①求C; BD,BD=2,且a2= 23 3S+abcos C. ②若点D在AB上，CD=2,∠BCD=90°， 求△ABC面积的最小值， (1)求B; (2)(2024·陕西汉中二模)在△ABC中，内 1 2)求)CD的取值范围 角A,B,C所对的边分别为a,b,c,请从下 列条件中选择一个作答 马听课记录 i.记△ABC的面积为S,且3AB·AC 25:i.已知esin B=-cos(A-8） ①求A; 043 ②若△ABC为锐角三角形，且a=√6，求 △ABC周长的取值范围. 反思感悟D 1.三角形中的最值、范围问题的解题策略 (1)定基本量：根据题意画出图形，找出三角形 中的边、角，利用正、余弦定理求出相关的边、角，并 选择边、角作为基本量，确定基本量的范围。 (2)构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变 换，将所求范围的变量表示成函数形式. (3)求最值：利用基本不等式或函数的单调性等 学习至此，请完成课时作业17 求最值. 练 专题二 三角函数与平面向量饼(2)ABC因为|a+2b|=|a|,所以 跟踪训练3解：1)因为0成-号， sin C,sin(B-C)=sin C, |a+2b2=a12,即a2+4a·b+ 因为A,B,C∈(0，π)， 4b2=a2,整理可得a·b+b2=0,又 O-号O,扇形OAB所在圆的半径 所以B-C∈（一π，π）， a·b十a2=0,且a|=2,可得a2 则B一C=C或B一C十C=x,即B b2=4,所以1b|=2,a·b=一4，A正 为3， 2C或B=x(舍)， a·b 所以1OM=1,ON1=2, 所以w3sinB+2cos2C=√3sin2C+ 确，D错误cos(a,b)=ab=-1, MN2=(ON-OM)2=ON2-20N. 即向量a,b的夹角(a,b〉=元，故向量 π cos2c+1=2sn(2c+8）+1. a,b共线且方向相反，所以a十b=0, O成+0Mi2=2-2×2×1Xcos3 A=元-(B十C)=π-3C, B正确：a-2b=√/(a-2b)2= 1=7, 因为△ABC是锐角三角形，所以 √/a2-4a·b+4b2=4+16+16=6, 所以M示1=√7，又P是弧AB的中 0r-3C<空. C正确.故选ABC 点，所以∠BOP=∠AOP=交 由AA店=A心-专A心可得 3 02c<. 解得<C< (3)C 6 O币.MN=O求.(ON-OM)=OP. A市-应+号AC,周为B,C,D三点 ON-O'.0M=3×2Xcos 一3× 3 共线所以计号=1，学=号所以 π3 1Xcos 3-2' <0+< 市=号+号AC,以A为原点，以 所以cosOP,MN)= OP.MN 故sin(2c+)∈（停，i, IOPIMNI AB所在直线为x轴建立平面直角坐 3 2sin(2c+g）+1e5+1,3, 标系如图所示， 2 √7 故√3sinB+2cosC的取值范围是 3×7141 (W5+1,3) (2)设∠AOP=0,则∠BOP= 2π 跟踪训练1解：(1)f(x)= 1 3 96eo]): sin 2o -sin ox- PM·PN=(OM-OP)·(ON 6,所以 因为AD=2V3,∠DAB= OP)=OM.ON+OP2-OM.OP- 22 sin 2ur-1-cos 15 2 O币.ON=1×2Xco 2x+32-1× 3 D3v,由∠CAB=子，可设Bm in2ar+1 os2ar-sin(2ar+F） 1 0),C(n.3n),AD=(3.3).AB 3Xcos(5-0）-3x2Xeos0 T=2=4∴w=4 2w (m,0),AC=(n,3n),由AD /1 号+花得 8-6s0-a(-m+ sin） 故fr)=sin(分+君)》 3m十3： 解 3 3, 令+晋-受+k∈五.解得1 得3故B3.0.A店=(3.0.所 8-35sm(a+号)】 2r+2k,k∈Z 因为0[o所以+ 2π 以AB.AD=3×3+0=9.故选C. 故对称轴方程为x=3+2k不，k∈乙 例3解：(1)因为m⊥n,所以(sinC十 [子，所以当9+-受即0= (2)由(2a-c)cosB=b·cosC及正 sin B)(c-b)+(sin B-sin A)a=0. 弦定理得(2sinA-sinC)cosB= 由正弦定理得(c十b)(c一b)+(b 时，PM·P的最小值为8-3V5. sin Bcos C, a)·a=0,即a2+b2-c2=ab, 培优课5三角函数中的 .2sin Acos B=sin Bcos C+cos B. 由余弦定理得 最值、范围问题 sin C=sin(B+C)=sin A. cos C=at6-c21 A∈(0，π) · 热点分类·考向探究 1 2ab 六sinA≠0，cosB=2,又：B∈ 因为0<C<π，所以C= 3 例1解：1)在△ABC中，B=牙由余 (0,π)，B= 1 1 3 (2)SMAu=2 absin C=2X2Xbx 弦定理可得b2=a2十c2-2 aceos B= a2+c2-W2ac,又b2=c(a+c),故 A)=sn(+）0<A< 3 ?=25解得6=4 a2-√2ac=ac,由于a>0,故a= <号+<受 因为AB=3DB,所以D为AB上靠近 (2+1)c,得=2-1. 点B的三等分点，则市=号矿十 (2)在△ABC中，由余弦定理可得 <m(+）1 b2=a2+c-2accos B, 。 又b2=c(a+c),故a2-2 accos B= ∴fA)的取值范围是（分， ac,又a>0,故a-2 ccos B=c, 例2解：(1)，△ABC中，sinB= 所以|CD?= 日×16+号×4+2× 由正弦定理4 2V3cosA+C 2,即2sin2cos2 ×号×2X4日=9所以 sin A sin C' 可得sinA-2 sin Ccos B=sinC, 23cosπ-B =25sim sin-(B+C)-2sin Ccos B= 2 2,又0<B< CD=43 sin C, 3 sin Bcos C+cos Bsin C-2sin Ccos B= 0号< 2>0, -277- 参考答案·一业 放号=sn号即am 2 1 2 1 -=sinA十 2 31 AD+cD 十1 2(mB+ms） sin A sin C sin C, 26sin(B+若） (2)由(1)以及题设可得 由△ABC为锐角三角形，得 Snecsin B 1 :∠AC-答A+C=吾 4a. 2 1 AD =sin A+sin C= 由正弦定理得 解得合<B<受，因 a=csin A csn(经-c sm(g-C)+nC=sin号oc sin C sin C cos子sinC+snC=sinl(c+F）, 此<B+< c(sin 2 3 cos C-cos 2 3sinc） ce(o）c+∈（任） 则<m(B+）1,于是3< sin C b+c≤2w6,32十6<a+b+c≤ 3√6， 3 1 m(c+晋)（停小 ,△ABC周长的取值范围是 sin C “+的取值粒围为（停】 2 (32+6,36]. ”△ABC为锐角三角形，0<A< 2 培优课6三角形的中线、 跟踪训练2解：(1)①由(a十b+c)(a十 0<C< 角平分线与高线问题 2 b-c)=ab可得a2+b2-c2=-ab, 由余弦定理知， 热点分类·考向探究 则0<2r -C<…6<C<, cos C=+b:-c ab 2ab 2ab 2 例1解：(l):a(sinB+cosB)=c,由正 则anc> 30<1 弦定理得sinA(sinB+cosB)= anc<,则 又C∈(0，π)，.C= 2π sin C, 3 在△ABC中，sinC=sin(A+B),则有 1 1 ②：S△ABe=S△CD十S△ACD,即 sin A(sin B+cos B)=sin(A+B), .'sin Asin B+sin Acos B=sin A. 即<a<2, cos B+cos Asin B, absin- 8 3 2×2a+2 X2bsin 6 .sin Asin B=cos Asin B,又B∈(0， △ABC面积的取值范围为(3,3)】 x),.'.sin B>0, 827 ab=a+2b≥v2ab, .sinA=cosA,∴.tanA=1,又A∈ 例3解：(1)：a2= 2w3 S+abcos C, ÷ab≥32，当且仅当6=2a, (0,π)，A= 4 3 3 (2)根据余弦定理有a2=b2+c2 a2= 3 absin C+abcos C,即 ,b 2bccos A. 3 即a=4 3 83时取等号， 则有5=b2+2-2b,解得b=3或 3bsin C+bcos C. 8V5 4ab≥ b=-1(舍去)， ∴.S△AC 3 由正弦定理得， △ABC面积的量个值为 :D为BC的中点A矿=（店+ sin A=- 3sin Bsin C+sin BeosC, AC),如图， (2)①选条件i,由√3A言·AC=2S, 市=（应++2店· .'sin(B++C)=- sin Bsin C+sinB· 得，5 ccos A=2X2 esin A,整理得 cos C, =x(2+9+2×2×3× 3sin Bsin C, tanA=3,而0<A<元，A= ∴.cos Bsin C= 3 )An=四 2 C∈(0，π)， 选条件1，由asin B=bcos(A-石） .sinC≠0，.tanB=-W3,由0< 及正弦定理，得 B<得B=行 sin Asin B-sin Bcos(A), (2)由(1)知，B= 如图， B∈(0，π)， D C ∴sinB>0.则sinA=cos(A-F) 跟踪训练1解：(1)由asin C=csin B及 正弦定理得sin Asin C=sin Csin B, 3 C∈(0，π)， D 2cos A+ 2sinA,整理得tanA .sinC≠0，∴.sinA=sinB,.∴.A=B 'AB⊥BD, 或A十B=π（舍）， .∠ABD= 2∠DBC= ,面0<A<A=台 6· 又：C=2π 在△BCD中，由正弦定理得 ②由①知A=3,由正弦定理得 2 CD BD (2):B=T」 6,C 3A 6a=b, sin∠DBC sin C, √ sin B sin C sin A =2√2， 1 SAA-2absin C. 1 即CD= sin C sin C' 因此b+c=2√2sinB+2v2sinC 即3-，解得=6=5。 2 在R△ABD中，ADD-, 2vE[snB+sin(经+B)】- 由正弦定理AC C ☑一红团勾讲与练·高三二轮数学 -278-