微专题9 三角函数的图象与性质-【红对勾】2025年高考数学二轮复习讲与练

反思感悟Q B C. D.、3π 4 解决给值求角问题的方法 解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角 (2)设a∈ π3π 函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围 来确定，当所求角的范围是(0，π)或（π，2π）时，选取求 cosa=√2cos3,则 余弦值，当所求角的范国是（任）成（子，）时， Ae+g-日 Ba-月= 选取求正弦值。 C.a+g- D.a-B--x 4 【跟踪训练3】(1)已知tan(3-a)= 2 tan a= 7a,8∈(0，元)，则23-Q的值是( 学习至此，请完成课时作业13 练 微专题9 三角函数的图象与性质 考情分析 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查： (1)三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式，主要以选择题、填空题的形式考查. (2)利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以选择题、填空题或作为解 答题其中一问的形式考查 033 真题演练 体验高考 1.(2022·浙江卷)为了得到函数y=2sin3x的 A.- 分 图象，只要把函数y=2sin(3x十）图象上所 2 C.0 有的点 0. A.向左平移答个单位长度 3.(2024·新课标I卷)当x∈[0,2π]时，曲线 y=sinx与y=2sin3x一)的交点个数为 B向右平移个单位长度 ( C向左平移个单位长度 A.3 B.4 C.6 D.8 4.(2023·新课标Ⅱ卷)已 D,向右平移需个单位长度 知函数f(x)=sin(wx十 9),如图，A,B是直线 2.(2024·天津卷)已知函数f(x)=sin3(ωx十 y=- )的最小正周期为x,则f)在[-是若引 与圃线y=fx)的两个交，若 的最小值为 ( 6,则f(x)= AB- 专题二三角函数与平面向量一讲 热点分类 考向探究 考向1三角函数的图象变换 反思感悟0 核心提炼 在图象变换中务必分清是先平移，还是先伸缩， 1.沿x轴平移：由y=f(x)的图象变为y=f(x十p) 变换只是对其中的自变量x而言的，如果x的系数 的图象时，“左加右减”，即9>0，左移；9<0，右移。 不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位 沿y轴平移：由y=f(x)的图象变为y=∫(x)+k 长度和方向. 的图象时，“上加下减”，即k>0,上移；k<0,下移. 【跟踪训练1】(1)为了得到函数y=sin(2x+ 2.沿x轴伸缩：由y=f(x)的图象变为y=f(wx) (ω>0)的图象时，所有点的纵坐标不变，横坐标变 )的图象，只带将函数y=sin2x一爱)的 为原来的上倍。 图象 沿y轴伸缩：由y=∫(x)的图象变为y=A∫(x) (A>0)的图象时，所有点的横坐标不变，纵坐标 A.向右平移”个单位长度 变为原来的A倍. B向左平移个单位长度 【例】(1)要得到函数fx)=sin2x+)的 C向左平移个单位长度 图象，可以将函数g()=os2x+）的 图象 D,向右平移个单位长度 034 A.向右平移餐个单位长度 (2)(2024·陕西西安一模)将函数f(x)= 且向左平移个单位长度 2sin2x一）的图象向左平移m(m>0)个 单位长度，所得图象关于原点对称，则m的 C向右平移骨个单位长度 值可以是 A.3 B.元 C. 4π 5π D.向左平移后个单位长度 3 0.3 (2)(2024·四川南充二模)将函数f(x)= 考向2三角函数的图象与解析式 20s2x-）的图象向左平移看个单位长 核心提炼 由三角函数的图象求解析式y=Asin(wx十p)十 度，得到函数g(x)的图象，则曲线y=g(x) B(A>0,w>0)中参数的值 与直线y=√3的所有交点中，相邻交点距离 (1)最值定A,B:根据给定的函数图象确定最值， 的最小值为 ( 设最大值为M,最小值为m,则M=A十B, 音 B. C. 元 3 2 D.元 m=一A十B,解得B=Mm,A=M,m 2 2 听课记录 (2)T定：由周期的求解公式T=2红 ,可得 (3)特殊点定9：代入特殊点求9，一般代最高点或 最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下 降趋势. ☑一红勾讲与练·高三二轮数学 【例2】(I)已知函数f(x)=cos.+)在 x:的最小值为2，且f(受)=2则f(a)的 (0,)上单调递减且其最小正周期为元，则 单调递增区间为 () 函数f(x)的一个零点为 +2k,6 .6 +2kπ，k∈Z c 5π D. 8 B. +2k6 6 +2k，k∈Z (2)(2024·江西南昌一 模)函数f(x)=sin(r十 C. 5十k12 1 p)(w>0,0<9<π)的 D 部分图象如图所示， 2π+2k，k∈7 +2k， △ABC是等腰直角三角形，其中A,B两点 考向3三角函数的性质 为图象与x轴的交点，C为图象的最高点， 核心提炼 且OB|=3OA1,则f(2024)=() 函数y=Asin(wx十g)(A>0)的性质 A.② 2 ①)单调性：由二7+2k≤wz十≤2十2元(k飞 c √2 0. Z)可得单调递增区间；由T+2kπ≤x十9≤ 2 听课记录 3+2kπ(k∈Z)可得单调递减区间。 (2)对称性：由ωx十9=kπ(k∈Z)可得对称中心； 035 由ax十9=x十受(k∈Z)可得对称轴】 (3)奇偶性：p=kπ(k∈Z)时，函数y=Asin(a+p) 为奇函数：9=kπ十 k∈Z)时，函数y=Asn(or+ P)为偶函数 反思感悟￠ 确定9常根据“五点法”中的五个点求解，其中 【例3】(1)(2024·广东湛江一模)已知函数 一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降 f(x)=sin ax+ 找准第一个零点的位置 w>0>在K间(5若)上 37 单调递增，则ω的取值范围是 () 【跟踪训练2】(1)(2024·北京石 A.[2,5] B.[1,14] 景山区一模)已知函数f(x)= 5π C.[9,10] D.[10,11] 2 sin(or+g(o>0.l9<2》 12 (2)(多选)(2024·山东枣庄一模)已知函数 12 的部分图象如图所示，则f(一π) fx)=m2x+）+cas2x-》则() 的值是 ( -》 ) A.f(x)的最大值为2 A.√3 B.1 C.-1 D.-3 B.f(x)在 灯，石上单调递增 8'6 (2)(2024·山东泰安一模)已知函数 C.f(x)在[0，π]上有2个零点 f(x）=sin wxcos9+cos wxsin9(ω>0， D.将fx)的图象向左平移个单位长度， 0<9<）f(x)=0f(x)=1,若x 得到的图象关于原点对称 专题二 三角函数与平面向量一讲 听课记录 f(x)的图象向右平移5个单位长度，所得图 象关于y轴对称，则ω的最小值为( A.1 B.2 C.3 D.5 (2)(多选)(2024·湖南邵阳二模)已知函数 f(x)=sin3x十√3cos3.x十√2，则下列结论 正确的有 () 反思感悟0 研究三角函数的性质，首先化函数为f(x)= A了)的最小正周期为 Asin(wx十p)十h的形式，然后结合正弦函数y= sinx的性质求f(x)的性质，此时有两种思路：一种 Bf(x)的图象关于点（否0）对称 是根据y=sinx的性质求出f(x)的性质，然后判 C.f(x)的图象关于直线x= 断各选项；另一种是由x的值或范围求得t=x十9 怎对称 的值或范围，然后由y=sint的性质判断各选项. D.f(x)在区间 π7π 618 上单调递减 【跟踪训练3】(1)(2024·陕西西安一模)记函 数fr=sin(r(w>0,-号<g<5》 学习至此，请完成课时作业14 的最小正周期为T,且f(T)= 2,将y= 036 微专题10 解三角形 ☑考情分析 正弦定理与余弦定理以及解三角形是高考的必考内容，主要考查边、角、面积、周长等的计算. 真题演练 体验高考 1.(2024·全国甲卷)在△ABC中，内角A,B,C 所对的边分别为a6,若B=行，6-9 ac, 则sinA+sinC= A.239 13 B.③9 13 c D.33 13 2.(2024·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A, B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA十 √3cosA=2. (1)求A; (2)若a=2,2 bsin C=csin2B,求△ABC的 周长 ☑一红闪讲与练·高三二轮数学-2×+x5=-5 故 tanB=tan[(B一a)十a]=3.C因为函数y=sinx的最小正周期 3 3 3 3 9 1 27 为2，画数y=2n(3x-君)的最小 os2a=2o-1=2×(-5)】 ∈(0,1)，可知 1- ×() 正月期为行，所以在[0,2]上画数 1器 故选D. a∈（经e(0,),则2p-a∈ y=2in(3x一晋）有三个周期的因象， 跟踪训练2(1)C 由os(经+2a) 2tan B 画出两函数图象，如图所示， (-π，0)，又因为tan23 4sin'a=-2,-sin 2a-4sin'a= 1-tanB =2sin(3x-g） -2.2sin acos a+4sin'a =2,即 2X 3 3 sin'a+cos'a 2tana十4tana=2,所以2tana十 () ，可得an(2-a) tan'a+1 4tan2a=2tan2a+2,所以tana=1 -2 tan 28-tan a (》 tana,则tan2a= 2tan=2.故 1+tan23·tana 由图可知，两函数图象有6个交点，故 1-tan'a 1+×() 选C. 选C. (2)C令t= +a,e(受，得 1,所以23-a= 3开，故选D. 41 2 4 解析：对比正弦函数y=sinx的图象 a=4-子，则6an+4cos(受-） (2)B因为sin&十cosa=√2sin(a+ 易知，点（管0）为“五点（同因）法“中 5cos(2:-2）,即6tant十4sint 牙)=cs,所以sn(a+) 的第五点，所以子。十=2x①.由题 5sin2t=10 sin tcos t,整理得(5cost+ msB=n(受一-叭因为ae[受 知AB=xB一xA=6 3)(cost-1)=0,且cost<0,那么 cos t = 5,则sin2a=sin（2t ]e学 ,所以a十4 @A9一6两式相减，得o(工 ,所以a十 5π ）=-os24=1-20os1=云故 7 wxB十9=6， 选C 6 红，解得w=4.代 6 例3(1)A因为c0s(a-B)=G, 5 微专题9三角函数的图象与性质 入①，得9=- 所以/() tana·tanB= 片以 真题演练·体验高考 2 5 cos acos Bsin asin6 1D因为y=2sin(3x+号） 热点分类·考向探究 sin asin B 1 cos acos B4, 2sn[3(x+后)门，所以要将到函数 例1(1)A fx)=sn[2(+】]: 2 y=2sin3x的图象，只要把函数y cos acos B= 解得 '所以cos(a十 1 2sin3x十）圈象上所有的点向右平 gu)=os(2x+）=s(2x+） sin asin=6 移需个单位长度即可，故选D B)=cos acos B-sin asin B= 2,又a, 2.A f(r)=sin )=sin(3w+ 函教g(x)的图泉向右平移号个单位 长度得到f(x)的图象.故选A e(o,受)，所以a+Be(0,x),所以 π)=-sin3wx,由T= 2π a十9=晋数选入 3w =元得w=3 (2)A画教fx)=2cos(2x-2)的 即f(x)=- 图泉向左平移个单位长度，得到画 (2)A sin a+sin y=sin B,cos B Ssin2z,当x∈-12” cos Y=cos a,sin a-sin B=-sin Y, 元7 数g(x)的图象，g(x)=2cos2x十 cosa-cosB=cosY,∴.(sina-sinB)2十 6 时，2x∈ 6’3」 ,画出f(x)= (cos a-cos B)2=(-sin )2+cos=1, 一sin2x的图象，如图，由图可知， 号-）=2o(2x-若） 即2-2 sin asin B-2 cos acosB=1,∴.2 2cos(a-B)=1,解得c0s(a一B)=2 =m2x在[危】上米明 令2cos(2x-若）=5，即cos(2x 递减，所以当工= 时，f(x)mm 又a…,7∈(0，）na-snB= 6 -siny<0,∴sina<sinB,∴.0<a< sin 3 质：∈乙成2x-晋=2x-晋 K受-受<a-月<0a- Z,即x=x计否：∈五，或x=: -，故选A 元7π13 k,∈7，可得x=6,6,6 ,…,x= 跟踪训练3(1)D因为tan(3-a)= 0,π，2π，…，所以相邻交点距离的最小 2,ana=- 7<0,a9∈(0，x),所以 值为日，故选A 273 参考答案一叱 跟踪训练1(1)B因为函数y=sin2x+ 无=2解得0=登，又0B= π 30A,所以0B=30A=2,则 (k∈Z),解 晋)可变形为y=n[2(+)】画 A(-o),B(g)所以C(号 得≥-14中24k·k∈D,又w>0, 1w≤-1+12k sn[2(e-君)]故将函数y .所以×受+g=+2k 仁46.1+12解特位< 如(2z一看）的因象向左年移牙个单Z,解得g=子+2k∈Z.又0<g< k<侣又k∈76=110≤m≤ 位长度即可得到y=sin(2x十)的 所以9=至，所以f)=m(会中 11,即w的取值范围为[10,11].故 图象，故选B. 选D. (2D将画数f(x)=2sn(2x-号） F）,则f2024)=sm(受×2024+ (2)ACfx)=sin(2x+）+ 的图象向左平移m个单位长度，得到 y=2in[2x+m)]=2n(2x+ )-n(1o+)--号 cos(27-)=sin(2x+)+ 故选D. 2m一号）的图象.国为y=2n(2x中 eos(2z+晋-) 2m-牙）的圈象关于原点对称，所以 sin(2x+3）+sin(2z+）- 2加号=∈2即m=吾十经 2sn(2z+号）对于Af) 2 k长乙当及=3时，得m=否5使m 跟踪训练2(1)A由题图可知冠 2sim(2z+号）z∈R,故f(z)的最大 （)=2T,解得T=,因为。> 值为2，故A正确；对于B,当x∈ [景】x+晋e[层] 晋受智的些教均不存在，故选D 0,所以w= 子=2将（臣2）代入解折 fx)=2im(2x十牙）不单调递增，故 例2(1)D因为函数f(x)=cos(ωx十 式化简得sm(答十)=1，因为p< B错误；对于C,当x∈[0，π]时，2x十 牙)的最小正周期为，所以T 受所以晋十=得g=， 导∈[后]可加事红骨-我 =,解得a=2或u=一2，当 2π fx)=2n(2x+),所以f(-)= 2红十=2，=晋浅x=晋时， w=-2时f(x)=co(-2z十子）= 2sin(-2+号)=2sm=.故 f(x)=0,f(x)在[0，π]上有2个零 点，故C正确；对于D,f(x)的图象向 os(2x-于由x∈(0，)可得 选A. (2)B因为f(x)=sin wxcos o十 左平移沿个单位长度，得到g() 2z-平∈(-)显然y=a cos wx sin =sin(ax+),f()=0, f(x2)=1,且x1-x2的最小值为 2sn(2x十吾+子）=2c0s2x的图 在(-平，)上单调递增，则fx) 受所以于-受，甲T=2又。>0， 象，不关于原点对称，故D错误。故 选AC. 在(0，是)上单调递增，不符合题意. 所以w=至=1，所以f)=sin(十 跟踪训练3(1)D因为函数f(x)= sin(wx十p)的最小正周期为T,且 当a=2时，f()=c0s(2x十平)，由 g.又f(侵)=名，所以sm(受 T)-9乐以色到 =sin(2x+ xe(o,),可得2z+平∈ )=2,即0s9=7,因为0<9< (任），显然y=0sx在（子） )-sin 号国为一<9<所 三所以9=号，所以) 上单调递减，则fu)在(0，)上单调 以g=亏，所以fx)=sim(ax+号】 sm(红+晋）◆-受+2张≤x+音≤ 递减，符合题意，所以f(x)=cOs2x十 的图象向右平移否个单位长度后得到 π 5π 十2x,k∈Z.解得- 十2kπx 平），令2红+至-受十k∈五解得 g)=nar一吾。十吾）的因象，因 6+2kπ，k∈Z,所以函数f(x)的单调 为所得函数g(x)的图象关于y轴对 x=后+经kZ中)的零点为 称，所以一名0十子=kr+登，k∈五， 1=营+管6e7当-1时， 造拾区间为[-5晋+2x, 6 文+2k k∈Z.故选B. 可得w=一6k一1，k∈Z,因为w>0,所 以w的最小值为5.故选D. 受故选D. 例3(1)D 当x∈（侣若）时，r+ (2)ACD f(x)=sin 3x+3cos 3x+ 2D如图，过C作CE轴于 则CE=1,又△ABC是等腰直角三角 E=2sim(3x+)十厄，对于A, 形，所以AB=2,载AB=子 在（臣·）上单调递增， fx)的最小正周期为行，故A正确； ☑一红因勾讲与练·高三二轮数学 -274- 时于B.f（号）=2sin(-答+ 方法四利用向量的数量积公式求解 AB 设a=(1,√3)，b=(sinA,cosA), sin∠ADB可得， )十巨=E,故B错误：对于C, 由题意，得a·b=sinA十√5cosA=2, ABsin B 6X 根据向量的数量积公式，得 3 AD= 三4. f()=2sin(g+号）+E=2+E. a·b=abc0sa,b)=2cosa,b〉， sin∠ADB √3 则2cos(a,b)=2台cosa,b)=1, 2 为函数最大值，故C正确；对于D,x∈ 此时(a,b》=0,即a,b同向共线， 5π3，故 [后∈ 根据向量共线条件， 例2 解：(1)因为0sC-c0sA 所以由 4b-a √3 cos A 5)在区的[晋阁上华调装减，故 1·cosA=√3·sinAtanA= 3 正弦定理得osC sin C 4sin B-sin A' 又A∈(0，)，故A=6 所以4 sin Bcos C-sin Acos C= D正确.故选ACD. cos Asin C, 微专题10解三角形 (2)由题设条件和正弦定理得 即4 sin Bcos C=sin Acos C十 √2 bsin C=csin2B=√2 sin Bsin C= cos Asin C=sin(A+C)=sin B, 真题演练·体验高考 2sin Csin Bcos B. 由B∈(0，π)得sinB>0,所以4cosC 又B,C∈(0，π)，则sin Bsin C≠0，进 Γ36-9 因为B=π」 1,即cosC= 1.C ac,所以由正 4 而cosB=② ，得到B=π」 孩定里得sin Asin C=音sinB=号 1 4 所以sinC= √1-cos'C= 15 4 于是C=π-A一B=6, 由余弦定理可得b2=a2十c-ac= √15 (2)由(1)知sinC= 4ac,即a'+c2=1 9 sinC=sin(π-A-B)=sin(A十B)= 4 4ac,根据正孩定理 √2+√6 sin Acos B+sin Bcos A= 4 因为△ABC的面积为 2 母sin'A+sC马sin Asin=号 4 所以(sinA+sinC)2=sinA十 由正弦定理可得，snA一sinB b 所以 2 absin C= √15 2 sinC+2 sin Asin C=4,因为A,C为 sinC,即2 z6x压= 4 2 ,解得ab=4, 三角形内角，则sinA十sinC>0,则 sin 12 sinA+sinC- 解得b=2√2，c=√6十√2， 之，故选C 又a+6=26 c, 故△ABC的周长为2+√6+3√2. 由余弦定理得c2=a2十b2-2 abcos C= 2.解：(1)方法一常规方法（辅助角公式） 热点分类·考向探究… (a+b)2-2ab-2abX- =(a十b)2 由sinA+cos A=2可得2sinA十 例1解：(1).'sinA=√2sinC, 5 令casA=1,即sm(A+号）=1， 1a=b十2， 1a=4, ∴.a=√2c, =√2b,解得(b=2, 整理得c2=6,解得c=√6，所以a十 由A∈0，x得A十子∈（后，）故 a=√2c, c=2W2, ∴.c=2√2 626 3 √6=4， A+-，即A= (2)由(1)及余弦定理可得cosA= 所以△ABC的周长为a+b十c= b2十c2-a2 √2 ,又0<A<, 4十√6. 方法二常规方法（同角三角函数的 2bc 跟踪训练2解：(1)在△ABC中， 基本关系) sin A+3 cos A =2,sin'A+ sinA=√1-cosA= √14 3a 4 = cosA=1,消去sinA得到 sin A 2os号 sinC,由正弦定理得 4c0s2A-4√3c0sA+3=0曰 .'tan A= cos A = 3 sin A sin C (2c0sA一√3)2=0，解得c0sA= 3 (3).cos 2A=2cos2A-1= 3 1十cosA-sinC=1, 2 即v√3sinA=1+cosA,即V3sinA 又A∈(0，x),放A=石 sin 2A=2sin A cos A=- 7 4, casA=1,即sn(A-吾）=， 方法三利用极值点求解 设f(x)=sinx十√3cosx(0x<π)， ∴cos(2A+）=c0s2 Acos 因为A∈(0，x,所以A-云∈ 则fu)=2in(+号)k0<x<, sin 2A sin= √14-32 (吾)，所以A-吾=吾，即 显然工=工时，f(x=2,注意到 跟踪训练1解：(1)根据题意得 6 cosB=a十c2-b = f(A)=sinA+√5cosA=2= 2ac (2)在△ABC中，a=√3，-b 2sin(A+). (26)”+62-(25)26 2×26×6 3 55,A=于， 2 f(x)mmx=f(A),在开区间(0，π)上取 又0<B<π， 由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccos A, 到最大值，于是x=A必定是极值点， 即f'(A)=cosA-√5sinA=0, 所以sinB=√-cos万= 3 即3=(c-bP+bc,所以c=1+压 2 (2)因为∠ADC=60°， 所以∠ADB=120°， 所以Sar=lesin=2535 8 又A∈(0，x),放A=若 在△ABD中，由正弦定理ADB 例3(1)D依题意设炮弹第一次的弹着 ,点为C,如图，则AB=14,AC=BC= -275- 参考答案一叱