广东省中山市第一中学2025-2026学年七年级上学期数学10月月考试卷

2025-2026学年广东省中山市第一中学初三上数学10月月考 一、选择题（共10小题） 1.下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A．x（x﹣1）＝x2 B．ax2+2x+3＝0（a为常数） C． D．x2﹣6＝7x 2.用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（ ） A．（x+1）2＝6 B．（x﹣1）2＝6 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣2）2＝9 3.下列方程的变形中，正确的是（    ） A．由x＝0，得x＝3 B．由6y＝3，得y＝2 C．由x﹣5＝﹣3，得x＝5+3 D．由2＝x﹣4，得x＝4+2 4.二次函数y（x﹣3）2+4的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（    ） A．向上，直线x＝3，（3，4） B．向上，直线x＝﹣3，（3，4） C．向上，直线x＝3，（3，﹣4） D．向下，直线x＝3，（3，4） 5.我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．计划分为4组，每组安排28场比赛，设每组邀请x个球队参加比赛，可列方程得（ ） A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28 C． D． 6.一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 7.是下列哪个一元二次方程的根（ ） A．2x2+3x+1＝0 B．2x2﹣3x+1＝0 C．2x2+3x﹣1＝0 D．2x2﹣3x﹣1＝0 8.下列方程中两根之和为6的是（ ） A．x2﹣6x+10＝0 B．x2﹣12x+6＝0 C．2x2﹣6x﹣3＝0 D．x2﹣6x＝15 9.对于抛物线y＝3（x+2）2﹣1，下列判断不正确的是（ ） A．抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣1） B．把抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线y＝3（x+1）2+1 C．当x＞﹣2时，y随x的增大而增大 D．若点A（2，y1），B（﹣3，y2）在抛物上，则y1＜y2 10.已知关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝2（a，b，c均为常数，且a≠0），那么方程a（2x+3）2+b（2x+3）+c＝0的解是（ ） A． B． C． D．无法求解 二、填空题（共5小题） 11.已知m是方程x2﹣x﹣4＝0的一个根，则2m2﹣2m的值为       12.某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共31．若设主干长出x个支干，则可列方程是      13.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是      ． 14.已知等腰△ABC的一条边长为4，另外两边长是关于x的方程x2﹣mx+5＝0的两根，则三角形的周长为      ． 三、解答题（共8小题） 15.解方程： (1)x2﹣2x﹣5＝0； (2)． 16.已知关于x的方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0一个根是x＝﹣2，求k的值及方程的另一个根． 17.某品牌服装平均每天可以售出10件，每件盈利40元．受新冠肺炎疫情影响，为了扩大销售、减少库存、增加盈利，该商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现：每件服装每降价1元，平均每天就可以多售出2件，如果需要盈利700元，求每件降价的钱数． 18.已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0． (1)如果方程的一个根为x＝3，求k的值及方程的另一根； (2)求证：方程总有两个不相等的实数根． 19.在人群密集的场所，信息传播很快，某居委会有3人同时得知一则喜讯，经过两轮传播后，使得这则喜讯在共有864人的居民小区中的知晓率达50%，那么每轮传播中平均一人传播了多少人？ 20.用一段长32m的篱笆和长8m的墙AB，围成一个矩形的花园，设平行于墙的一边DE的长为xm． (1)如图1，若矩形花园的一边靠墙AB，另三边由篱笆CDEF围成，当花园面积为78m2时，求x的值； (2)如图2，若矩形花园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ADEF围成，花园面积能否为110m2？若能，求出BF的长；若不能，请说明理由． 21.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍（n为正整数），则称这样的方程为“n倍根方程”．例如：方程x2﹣6x+8＝0的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程x2﹣4x+3＝0的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)根据上述定义，2x2﹣5x+2＝0是“　四　 倍根方程”； (2)若关于x的方程x2+6x+m＝0是“三倍根方程”，求m的值； (3)直线l1：y＝﹣x+5与x轴交于点A，直线l过点B（﹣1，0），且与l1相交于点C（1，4）．若一个五倍根方程的两个根为x1和x2（0＜x1＜x2），且点P（x1，x2）在△ABC的内部（不包含边界），求x1的取值范围． 22.如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动． (1)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？ (2)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？ 参考答案与试题解析 1.D 【解析】解：A．x（x﹣1）＝x2， x2﹣x＝x2， ﹣x＝0，是一元一次方程方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．当a＝0时，方程ax2+2x+3＝0是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C．1是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．x2﹣6＝7x是一元二次方程，故本选项符合题意． 故选：D． 2.B 【解析】解：∵x2﹣2x﹣5＝0， ∴x2﹣2x＝5，即x2﹣2x+1＝6， ∴（x﹣1）2＝6， 故选：B． 3.D 【解析】解：A、由x＝0，得x＝0，故本选项错误； B、由6y＝3，得y，故本选项错误； C、由x﹣5＝﹣3，得，x＝5﹣3，故本选项错误； D、由2＝x﹣4，得x＝4+2，故本选项正确． 故选：D． 4.D 【解析】解：∵， ∴二次函数y（x﹣3）2+4的图象开口向下， 对称轴为x＝3，顶点坐标为（3，4）， 故选：D． 5.D 【解析】解：根据题意得：x（x﹣1）＝28． 故选：D． 6.A 【解析】，，， 　　 　　 　　， 有两个不相等的实数根， 故选． 7.A 【解析】解：A．方程2x2+3x+1＝0的解为：，故符合题意； B．方程2x2﹣3x+1＝0的解为：，故不符合题意； C．方程2x2+3x﹣1＝0的解为：，故不符合题意； D．方程2x2﹣3x﹣1＝0的解为：，故不符合题意． 故选：A． 8.D 【解析】解：A、因为x2﹣6x+10＝0，所以Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×10＝﹣4＜0，此方程无解，故A不符合题意； B、因为x2﹣12x+6＝0，根据一元二次方程根与系数的关系得：，故B不符合题意； C、因为2x2﹣6x﹣3＝0，根据一元二次方程根与系数的关系得：，故C不符合题意； D、因为x2﹣6x＝15，移项得：x2﹣6x﹣15＝0，根据一元二次方程根与系数的关系得：，故D符合题意， 故选：D． 9. 【解析】解：A、∵y＝3（x+2）2﹣1， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣1）， 故A选项是正确的； B、由平移规律可知，将抛物线y＝3（x+2）2﹣1右平移1个单位，再向上平移2个单位， 则得到的抛物线解析式为y＝3（x+2﹣1）2﹣1+2， 即﹣300x+1200． 故B选项是正确的； C、x＜﹣2时，y随x的增大而减小， 则当x＞﹣2时，y随x的增大而增大， ∴当x＞﹣2时，y随x的增大而增大， 故C选项是正确的； D、∵点A（2，y1），B（﹣3，y2）在抛物上，且|﹣3﹣（﹣2）|＝1＜|2﹣（﹣2）|＝4， ∴B（﹣3，y2）比A（2，y1）靠近对称轴， ∵抛物线开口向上， ∴y1＞y2， 故D选项是错误的； 故选：D． 10. 【解析】解：∵x1＝﹣1，x2＝2是方程ax2+bx+c＝0的解， ∴令2x+3＝x1，2x+3＝x2，满足方程ax2+bx+c＝0，即a（2x+3）2+b（2x+3）+c＝0． ∴2x+3＝﹣1，2x+3＝2， ∴方程a（2x+3）2+b（2x+3）+c＝0的解是，x2＝﹣2， 故选：B． 11.8 【解析】解：∵m是方程x2﹣x﹣4＝0的一个根， ∴m2﹣m﹣4＝0， ∴m2﹣m＝4， ∴2m2﹣2m＝2（m2﹣m）＝2×4＝8， 故答案为：8． 12.x2+x+1=31 【解析】解：设主干长出x个支干， 1+x+x2＝31，整理得：x2+x+1＝31 故答案为：x2+x+1＝31． 13.且 【解析】一元二次方程二次项系数不为， ， 一元二次方程中， ，，， 又方程有两个不相等的实数根， ， 　　 　　， ， 又， 的取值范围是且． 14.或 【解析】解：当腰长为4时，则x＝4是方程x2﹣mx+5＝0的一个根，设方程的另一个根为y， ∴4y＝5， 解得， ∵， ∴此时能组成三角形， ∴等腰三角形的底边长为， ∴该等腰三角形的周长为； 当底边长为4时，则关于x的方程x2﹣mx+5＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣m）2﹣4×5＝0， 解得， ∵等腰三角形的腰长为正数，且由根与系数的关系可知腰长的2倍为m的值， ∴，腰长为， ∵， ∴此时能组成三角形， 该等腰三角形的周长为； 综上所述，该等腰三角形的周长为或， 故答案为：或． 15. (1) 【解析】解：（1）∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣5， ∴Δ＝4﹣4×1×（﹣5）＝24＞0， 则x1±， ∴； (2)x＝3 【解析】解：两边都乘以（x+1）（x﹣2），得：x+1＝4（x﹣2）， x+1＝4x﹣8， x﹣4x＝﹣8﹣1， ﹣3x＝﹣9， x＝3， 经检验x＝3是方程的解． 16.2 【解析】解：把x＝﹣2代入x2﹣（k+3）x+2k+2＝0， 得：4+2k+6+2k+2＝0， 解得：k＝﹣3， ∴原方程化为：x2﹣4＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝2， ∴方程的另一个根为2． 17.30 【解析】解：设每件降价x元．由题意， 得（40﹣x）（10+2x ）＝700， 解得 x1＝30，x2＝5， ∵扩大销售、减少库存， ∴x2＝5不合题意，舍去． 答：每件降价30元． 18. (1)x＝1 【解析】解：∵x＝3为方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0的一个根， ∴32﹣3（k+2）+2k﹣1＝0， 解得k＝2， 此时方程可化为x2﹣4x+3＝0， 解得x1＝1，x2＝3． ∴方程的另一根为x＝1； (2)见解答过程 【解析】证明：由题意可知Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×（2k﹣1）＝k2﹣4k+8＝（k﹣2）2+4， ∵无论k取何实数，总有（k﹣2）2≥0， ∴Δ＝（k﹣2）2+4＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根． 19.11 【解析】解：设每轮传播中平均一人传播了x人， 根据题意得：3+3x+（3+3x）x＝864×50%， 整理得：x2+2x﹣143＝0， 解得：x＝11或x＝﹣13（舍去）． 答：每轮传播中平均一人传播了11人． 20. (1)6m 【解析】解：由题意得：； 解得：x1＝6，x2＝26， ∵26＞8， ∴x＝26舍去， ∴x＝6m； 答：x的值为6m； (2)110m2 【解析】解：设BF＝ym；则； 整理得，y2﹣4y+14＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×14＝16﹣56＜0， ∴原方程无实数根， 即花园面积不能为110m2． 21. (1)见解答过程 【解析】解：由条件可知（2x﹣1）（x﹣2）＝0， ∴2x﹣1＝0或x﹣2＝0， 解得， ∵x2＝4x1， ∴2x2﹣5x+2＝0是“四倍根方程”； (2)见解答过程 【解析】解;可设这个方程的两个根分别为n，3n， ∴n+3n＝﹣6，n•3n＝m， ∴， ∴； (3)见解答过程 【解析】解：设直线BC解析式为y＝kx+b， 把B（﹣1，0），C（1，4）代入到y＝kx+b中得， ∴， ∴直线BC解析式为y＝2x+2； ∵一个五倍根方程的两个根为x1和x2（0＜x1＜x2）， ∴x2＝5x1， ∴点P的坐标为（x1，5x1）， ∴点P在直线y＝5x上， 联立，解得， 联立，解得， 由条件可知． 22. (1)s或s 【解析】解：过点P作PE⊥CD于E．则根据题意，得 设x秒后，点P和点Q的距离是10cm． （16﹣2x﹣3x）2+62＝102，即（16﹣5x）2＝64， ∴16﹣5x＝±8， ∴x1，x2； ∴经过s或sP、Q两点之间的距离是10cm； (2)4秒或6秒 【解析】解;连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2． ①当0≤y时，则PB＝16﹣3y， ∴PB•BC＝12，即（16﹣3y）×6＝12， 解得y＝4； ②当y时， BP＝3y﹣AB＝3y﹣16，QC＝2y，则 BP•CQ（3y﹣16）×2y＝12， 解得y1＝6，y2（舍去）； ③y≤8时， QP＝CQ﹣PQ＝22﹣y，则 QP•CB（22﹣y）×6＝12， 解得y＝18（舍去）． 综上所述，经过4秒或6秒△PBQ的面积为 12cm2． 第页(共页) 学科网（北京）股份有限公司 $