专题04 对概率的进一步认识（专项训练）数学鲁教版五四制九年级下册

专题04 对概率的进一步认识（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、用列表法/画树状图法求概率 1 题型二、配紫色问题 6 题型三、游戏公平性问题 11 题型四、概率中的“放回”与“不放回”问题 18 题型五、用频率估计概率 23 题型六、概率与统计综合 27 B综合攻坚・能力跃升 题型一、用列表法/画树状图法求概率 1．（24-25九年级下·山东菏泽·期中）我市举办的“喜迎党的二十大，奋进新征程——乡村振兴成果展”吸引了众多市民前来参观，如图所示的是该展览馆出入口的示意图，小颖从入口进，出口出的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了用树状图计算概率，正确画出树状图是解题的关键．根据题意画出树状图，即可得到答案． 【详解】解：该展览馆有A、B两个入口，C、D、E三个出口，且从每个入口进入和每个出口出去的可能性是一样的，列树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中小颖从A入口进E出口的有1种结果， ∴小颖从A入口进E出口的概率是， 故答案为： 2．（24-25九年级下·山东枣庄·期中）学校通过开展丰富多彩的中医药文化活动，推动了中医药文化传承发展．如图是四味中药材图片，分别为紫苏、天麻、马齿苋和灵芝，除正面内容外，其余完全相同，现从这四张图片中随机抽取两张进行研究，则抽到灵芝和天麻的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键．利用画树状图法解答即可． 【详解】解：设A，B，C，D分别代表紫苏、天麻、马齿苋和灵芝， 根据题意，画树状图如下： 由图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中灵芝和天麻的有2种， ∴恰好选中灵芝和天麻的概率是． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·山东威海·期末）如图，在所给的电路图中，同时闭合两个开关能让小灯泡发光的概率为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了列表法与树状图法求概率的知识．根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能够让灯泡发光的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：设、、、分别用1、2、3、4表示， 画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，能够让灯泡发光的有6种结果， ∴能够让灯泡发光的概率为：， 故答案为：． 4．（2024·山西太原·模拟预测）为了加强学生国防教育，某校举办了主题为“爱我中华，强我国防”的演讲比赛，甲、乙、丙、丁四名学生分在同一个小组，赛前需要以抽签的方式确定出场顺序，主持人将表示出场顺序的卡片(除正面分别写有1，2，3，4外，其余完全相同)背面朝上放在桌面上，洗匀后先由甲随机抽取一张，然后由乙随机抽取一张，甲、乙抽到的出场顺序相邻的概率为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查画树状图或列表法求概率，掌握画树状图或列表法求概率方法是解题关键． 列表表示出所有等可能的情况和甲、乙抽到的出场顺序相邻的情况，然后根据概率公式求解即可． 【详解】列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 ∴共有12种等可能的情况，其中甲、乙抽到的出场顺序相邻的情况有6种， ∴甲、乙抽到的出场顺序相邻的概率为． 故答案为：． 5．（23-24九年级下·山东聊城·期中）随着“双减”政策的实施和课后延时托管的开展，㭉学校开设了四门兴趣课程，分别为“绘画”“声乐”“陶艺”和“书法”．学校规定每人只能选择自己喜欢的一门课程学习．小明与小亮对这四门课程都感兴趣，在没有沟通的情况下，这两人选择同一门课程的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 画树状图，共有16种等可能的结果，其中小明与小亮两人恰好同时选择同一门课程的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】设“绘画”“声乐”“陶艺”和“书法”四种课程分别为、、、． 画树状图如下：    共有16种等可能的结果，其中小明与小亮两人恰好同时选择同一门课程的结果有4种，即、、， ∴小红和小明两人恰好同时选择体育运动（包含轮滑和足球)的概率为． 故答案为：． 6．（24-25九年级上·山东青岛·期末）在四个完全相同的小球上分别写上1，2，3，4四个数字，然后装入一个不透明的口袋内均匀，从口袋内任取出第一个球记下数字后作为点P的横坐标x，放回，再从袋中取出第二个球记下数字后作为点P的纵坐标y，请用树状图或列表的方法求出点落在直线上的概率． 【答案】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比． 首先根据题意画出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与数字x、y满足的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：列表如下： yx 1 2 3 4 1                     2                     3                     4                     共有16种等可能的结果，数字x、y满足的有，，，． (数字x、y满足)． 7．（24-25九年级上·山东德州·期末）夏津县为了落实“阳光体育”，提升学生的综合素养，某学校对学生进行体育科目抽测，女生抽测项目为：A坐位体前屈、B跳远、C50米、D仰卧起坐；男生抽测项目为：A坐位体前屈、B跳远、C50米、E引体向上，每个学生必抽且只抽一个项目，结合信息回答下列问题． (1)女同学小丽抽中跳远属于______事件． (2)男同学小明抽中50米的概率为______． (3)请用列表或画树状图的方法，求女同学小丽和男同学小明抽中相同项目的概率． 【答案】(1)随机 (2) (3) 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据事件的分类进行判断即可； （2）根据概率公式即可得出答案； （3）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：女同学小丽抽中跳远属于随机事件； 故答案为：随机 （2）解：男同学小明抽中50米的概率为； 故答案为： （3）解：列表得： 女同学男同学 共有种等可能出现的结果，其中女同学小丽和男同学小明抽中相同项目的情况有种， 故女同学小丽和男同学小明抽中相同项目的概率为． 8．（24-25九年级上·浙江·期中）2024年夏季奥运会在法国巴黎举行，某电视台在同一时间进行4档现场直播：A．乒乓球、B．篮球、C．射击、D．网球．小夏和小王都是体育迷，他们在同一时间观看了直播节目． (1)小夏收看了乒乓球直播的概率为________； (2)请用列表或画树状图的方法求小夏和小王收看同一个直播节目的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查树状图法和列表法求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键： （1）直接根据概率公式进行计算即可； （2）利用列表法求概率即可． 【详解】（1）解：小夏收看了乒乓球直播的概率为， 故答案为：； （2）解：列表如下： 小夏 小王 A B C D A B C D ∴共有16种等可能的结果，其中能同时看同一个直播节目的有4种， ∴P（两人同时看同一个直播节目）． 题型二、配紫色问题 9．（20-21九年级上·广东茂名·期中）用如图所示的两个转盘进行“配紫色”（红色与蓝色能配成紫色）游戏，配得紫色的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果， 先画出树状图，从而可得出两个转盘转动时的所有可能结果，再找出一个为红色，一个为蓝色的结果，再利用概率公式求解即可 【详解】解：由题意，画树状图如下： 由此可知，两个转盘转动时的所有可能结果共有6种，它们每一种出现的可能性都相等，其中，一个为红色，一个为蓝色的结果只有1种， 则配得紫色的概率是， 故选：D． 10．（22-23九年级上·广东佛山·期中）学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°．同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏．若小赵同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出在B盘中，相当于把B盘平均分为3份，一份蓝色，两份红色，再画树状图，然后由概率公式求解即可． 【详解】解：∵B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是， ∴B盘红色扇形区域所占的圆心角是， ∴相当于把B盘平均分为3份，一份蓝色，两份红色， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色的有3种情况， ∴小赵同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是， 故选：C． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 11．（23-24九年级上·山东青岛·期中）数学活动让数学学习更加有趣，在一次数学课上老师设计了一个“配紫色”游戏，如图所示的是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是，同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么转出的两种颜色就可以配成紫色．（若指针指向扇形的分界线，则需要重新转动）若同时转动A盘和B盘，请通过列表或画树状图的方法，求出配成紫色的概率．    【答案】 【分析】本题考查几何概率，列表法或树状图法求概率．掌握概率公式和正确的列出表格或画出树状图是解题关键．由题意可将B盘红色扇形区域分成面积相等的两个圆心角是的扇形，即可列出表格表示所有等可能的情况，再找出能配成紫色的情况，最后根据概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意可将B盘红色扇形区域分成面积相等的两个圆心角是的扇形， ∴可列表格如下， A盘         B盘 红 红 蓝 红 红，红 红，红 红，蓝 蓝 蓝，红 蓝，红 蓝，蓝 黄 黄，红 黄，红 黄，蓝 由表格可知共有9种等可能的情况，其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，即可以配成紫色的情况有3种， ∴配成紫色的概率为． 12．（2021·陕西西安·模拟预测）小明和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：，是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小明去观看，否则小亮去观看． （1）转动转盘一次，转出蓝色的概率是_________； （2）这个游戏对双方公平吗？请说明理由（用树状图或列表法）． 【答案】（1）；（2）游戏是公平 【分析】（1）根据概率公式直接求解即可； （2）用列表法表示出有等可能的结果数和配成紫色的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：（1）转动转盘一次，转出蓝色的概率是， 故答案为：； （2）这个游戏公平，理由如下： 用列表法表示所有可能出现的结果如下： 共有6种可能出现的结果，其中配成紫色的有3种，配不成紫色的有3种， ， ， 因此游戏是公平． 【点睛】本题考查游戏公平性，列表法或树状图法求随机事件的发生的概率，列举出所有可能出现的结果数，是解决问题的前提． 13．（21-22九年级上·山东青岛·期末）小明和小红想去观看冬奥会开幕式，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：连续转动两个转盘，每个转盘被分成了面积相等的三个扇形，两人同时转动转盘，若其中一个转盘转出蓝色，另一个转盘转出红色，则可配成紫色．如果两次转盘转出的颜色相同或配成紫色，则小明去观看，否则小红去观看，你认为这个游戏对双方公平吗？ 【答案】这个游戏对双方不公平 【分析】分别计算出小明观看和小红观看的概率，比较大小即可得出结论． 【详解】解：这个游戏对双方不公平，理由如下： 列表如下： 红 白 蓝 红 红，红 白，红 蓝，红 黄 红，黄 白，黄 蓝，黄 蓝 红，蓝 白，蓝 蓝，蓝 由表知，共有种等可能结果，其中两次转盘转出的颜色相同或配成紫色的有种结果， 小明去观看的概率为， 则小红去看的概率为， ， 这个游戏对双方不公平． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．实际考查概率的计算与游戏公平性的理解，要求学生根据题意，结合实际情况，计算并比较游戏者的胜利的概率，进而得到结论．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 14．（23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）小颖设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘A、，A转盘被分成了面积的两个扇形，转盘被分成了面积相等的三个扇形，游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么他就赢了（红色与蓝色能配成紫色）． (1)转动转盘一次，指针指向红色的概率是______； (2)请利用画树状图或列表的方法求游戏者获胜的概率是多少？ 【答案】(1) (2)游戏者获胜的概率是 【分析】（1）根据几何概率的意义求解即可； （2）用列表法同时转动两个转盘，指针指向区域所有可能出现的结果情况，进而求出相应的概率． 【详解】（1）解：∵转盘被分成了面积相等的三个扇形，且红色区域占一个扇形， ∴红色区域占整体的， ∴转动A转盘一次，指针指向红色的概率是； 故答案为：； （2）解：用列表法表示同时转动两个转盘，指针指向区域所有可能出现的结果情况如下： 红 红 蓝 红 （红，红） （红，红） （红，蓝） 蓝 （蓝，红） （蓝，红） （蓝，蓝） 蓝 （蓝，红） （蓝，红） （蓝，蓝） ∵共有9种等可能出现的结果，其中“能配成紫色”的有5种， ∴“能配成紫色”的概率为， 答：游戏者获胜的概率是． 【点睛】本题考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件． 题型三、游戏公平性问题 15．（24-25九年级下·山东济宁·期中）如图．一个均匀的转盘被平均分成了9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．自由转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为转出的数字（若指针指向分界线，则重新转动转盘）． (1)P（转出的数字为奇数）； (2)两人参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜的数字与转出的数字相符，则猜数获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的方式可从下面两种中选一种：A．猜“是3的倍数”；B．猜“是大于等于5的数”．如果轮到你猜数，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方式？请说明理由． 【答案】(1) (2)应选择方式，理由见解析 【分析】本题考查随机事件发生的概率，理解概率的意义，掌握概率的计算方法是正确解答的前提． （1）根据概率公式可计算出转出的数字为奇数的概率； （2）分别求出各种情况下获胜的概率，比较得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：转出的数字有9种结果，并且每种结果出现的可能性相同， 其中奇数有1，3，5，7，9共5种， ∴P（转出的数字为奇数）； （2）解：应选择方式，理由如下： 由题意可得，A．猜“是3的倍数”有；B．猜“是大于等于5的数”有， ∴，，， ∵， ∴方式获胜的可能性更大， ∴应选择方式． 16．（24-25九年级上·广东佛山·期中）顺德区某校开设的研学课程受到了来自各年级同学的热烈欢迎，其中在九年级开设的广绣研学课程更是异常火爆，因名额有限，每班只能派一个同学参加．九年级一班的小明、小红和小亮都想参加，于是三人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜：若和等于4，则小亮获胜． (1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______； (2)请用列表或画树状图的方法，说明小明参加广绣研学课程的概率是多少？ (3)你认为这个游戏公平吗？为什么？ 【答案】(1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是 (2)小明获胜的概率为 (3)游戏公平，原因见解析 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率， （1）根据概率计算公式求解即可； （2）画出树状图得到所有符合题意的等可能性的结果数，再分别找到两次数字之和大于4和小于4的结果，再依据概率计算公式计算出两人获胜的概率即可得到结论． （3）结合（2）中得一共有9种等可能性的结果数，其中，两次摸到的数字之和大于4、两次摸到的数字之和小于4和两次摸到的数字之和等于4的概率相等，即可判定． 【详解】（1）解：一共有3张牌，其中写有数字1的牌有1张，且每张牌被摸到的概率相同， 小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是； （2）解：画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和大于4的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4的结果数有3种，其中两次摸到的数字之和等于4的结果数有3种， 小明获胜的概率为； （3）解：游戏公平；由（2）可知 小明获胜的概率为；小红获胜的概率为；小亮获胜的概率为 游戏公平． 17．（2024·山东青岛·中考真题）学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程． (1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______； (2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 【答案】(1) (2)树状图见解析，该游戏对双方公平 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）根据概率计算公式求解即可； （2）画出树状图得到所有符合题意的等可能性的结果数，再分别找到两次数字之和大于4和小于4的结果，再依据概率计算公式计算出两人获胜的概率即可得到结论． 【详解】（1）解：∵一共有3张牌，其中写有数字1的牌有1张，且每张牌被摸到的概率相同， ∴小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是， 故答案为：； （2）解：画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有6种（和为4的不符合题意）等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和大于4的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4有3种， ∴小明获胜的概率为，小红获胜的概率为， ∴小明和小红获胜的概率相同， ∴该游戏对双方公平． 18．（2024·甘肃·中考真题）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜． (1)请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率． (2)这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)这个游戏规则对甲乙双方不公平，理由见解析 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，游戏的公平性： （1）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两球上的数字之和为奇数的结果数，最后利用概率计算公式求解即可； （2）同（1）求出乙获胜的概率即可得到结论． 【详解】（1）解：画树状图如下：    由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中两球上的数字之和为奇数的结果数有8种， ∴甲获胜的概率为； （2）解：这个游戏规则对甲乙双方不公平，理由如下： 由（1）中的树状图可知，两球上的数字之和为偶数的结果数有4种， ∴乙获胜的概率为， ∵， ∴甲获胜的概率大于乙获胜的概率， ∴这个游戏规则对甲乙双方不公平． 19．（22-23九年级下·山东日照·期中）下图是两个可以自由转动的转盘，甲转盘被等分成3个扇形，乙转盘被等分成4个扇形，每一个扇形上都标有相应的数字．小亮和小颖利用它们做游戏，游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，若指针所指区域内的数字之和小于10，则小颖获胜；若指针所指区域内的数字之和等于10，则为平局；若指针所指区域内的数字之和大于10，则小亮获胜．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止．    (1)请你通过画树状图或列表的方法求小颖获胜的概率． (2)该游戏规则是否公平？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计出一种公平的游戏规则． 【答案】(1) (2)不公平，公平的游戏规则见详解 【分析】（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出小颖获胜的概率即可； （2）判断游戏的公平性，首先要计算出游戏双方赢的概率，概率相等则公平，否则不公平；然后设计出公平的游戏规则（答案不唯一）． 【详解】（1）解：根据题意，画树状图如下所示：    由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中指针所指区域内的两数字之和小于10的有6种， ∴小颖获胜的概率为； （2）该游戏规则不公平． 由（1）可知，共有12种等可能的情况，其和大于10的情况有3种， ∴小亮获胜的概率为，而小颖获胜的概率为， 故该游戏规则不公平． 游戏规则可修改为以下两种：①当两个转盘指针所指区域内的数字之和大于或等于10时，小亮获胜；当两个转盘指针所指区域内的数字之和小于10时，小颖获胜；②当两个转盘指针所指区域内的数字之和为奇数时，小亮获胜；当两个转盘指针所指区域内的数字之和为偶数时，小颖获胜．（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了列举法求概率以及概率的应用，理解题意，正确作出树状图或列表是解题关键． 20．（24-25七年级下·四川成都·期中）小明和哥哥都很想去看成都蓉城足球比赛，爸爸只买到了一张门票，最后商定通过转盘游戏决定谁去观看比赛．游戏规则是：转动如图1所示的转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色，小明去；若转盘指针指向蓝色或黄色，哥哥去（如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动）． (1)求小明去观看足球比赛的概率； (2)你认为这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由：若不公平，请你设计出一种公平的游戏规则． (3)请你利用图2所示转盘，设计一个转盘游戏，使得哥哥去的概率为，并简要说明游戏规则． 【答案】(1) (2)游戏公平，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查几何概率模型求概率，读懂题意，搞懂相关事件所占的几何比例是解决问题的关键． （1）根据几何概率模型，由转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；白色占1份；蓝色和黄色占4份；再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动，从而由几何概率模型求概率的方法直接计算小明去观看足球比赛的概率即可得到答案； （2）根据几何概率模型，由转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；白色占1份；蓝色和黄色占4份；再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动，从而由几何概率模型求概率的方法直接计算小明或哥哥去观看成都蓉城足球比赛的概率，比较大小即可得到答案； （3）根据哥哥去的概率为，设计转盘即可． 【详解】（1）解：由题意可知，转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；白色占1份；蓝色和黄色占4份，再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动， （小明去观看足球比赛）； （2）解：由题意可知，转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；白色占1份；蓝色和黄色占4份，再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动， （小明去观看足球比赛）； （哥哥去观看足球比赛）； （小明去观看足球比赛）（哥哥去观看足球比赛）， 游戏公平． （3）解：将转盘平均分为8个区域，其中红色占3份；白色占1份，蓝色和黄色占4份，如果指针转动转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色，哥哥去． 21．（24-25九年级上·北京·阶段练习）在四张完全相同的卡片正面写上数字1、2、3、4，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将抽得卡片上的数字记为；不透明的袋子中装有标号为1、2、3的三个小球，这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号记为b． (1)先抽取一张卡片，再摸一个球，求的概率： (2)若规定：当时，甲获胜；否则，乙获胜．这样的规则公平吗？请说明理由．如果不公平，能否只将袋子中一个球的标号调整为另一个整数，使得规则公平？写出一个调整方案． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析；将标有数字1的小球改成4，理由见解析 【分析】本题考查的是概率的应用—游戏公平性的判断，熟练掌握概率的计算公式：概率所求情况数总情况数，并通过计算每个参与者获胜的概率是否相等来判定游戏公平性是解题的关键． （1）画出列表法列出所有可能，得到12种等可能的情况，两个数的差为0的情况占3种，依据概率公式计算即可得出结果； （2）利用概率公式分别计算甲、乙获胜的概率，再判断概率是否相等，相等即公平，否则不公平，将标有数字1的小球改成4，同理即可得到一个公平的游戏． 【详解】（1）解：根据题意，列表如下： 1 2 3 4 1 0 1 2 3 2 0 1 2 3 0 1 共有12种等可能的情况，其中两个数的差为0的情况占3种， P（两个数的差为0）． 答：这两个数的差为0的概率为． （2）解：这样的规则不公平，理由如下： 两个数的差为非负数的情况有9种， P（甲获胜），P（乙获胜）， P（甲获胜）P（乙获胜）， 这样的规则不公平； 将标有数字1的小球改成4， 列表如下： 1 2 3 4 4 0 2 0 1 2 3 0 1 共有12种等可能的情况，其中两个数的差为非负数的情况有6种， P（甲获胜），P（乙获胜）， P（甲获胜）P（乙获胜）， 这样的规则就公平了． 题型四、概率中的“放回”与“不放回”问题 22．（22-23九年级下·山东济南·阶段练习）一个不透明的箱子里装有1个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.25左右． (1)请你通过计算估计箱子里白色小球的个数； (2)现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）． 【答案】(1)箱子里白球的个数为3 (2) 【分析】本题考查利用频率估计概率，利用概率求小球的数量，以及画树状图求概率．熟练掌握概率是频率的稳定值，求出小球的数量，是解题的关键． （1）根据摸到红色小球的频率稳定于0.25左右，得到摸到红色小球的概率是0.25，设红色小球的个数为x，根据概率公式进行计算即可； （2）画出树状图，求出概率即可． 【详解】（1） ，， ∴箱子里白球的个数为3． （2）画出树状图，如下： 共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果数为6， （摸出的小球颜色恰好不同）． 23．（2024·陕西·中考真题）一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球，这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次． (1)随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是________． (2)随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率． 【答案】(1)0.3 (2) 【分析】本题考查求频率、画树状图或列表法求概率、概率公式，熟练掌握画树状图或列表法求概率的方法是解题的关键． （1）根据“频数除以总数等于频率”求解即可； （2）画出树状图可得，共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有9种结果，再利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，摸出黄球的频率是， 故答案为：0.3； （2）解：画树状图得， 共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有9种结果， ∴两次摸出的小球都是红球的概率为． 24．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的3个小球，这些球除颜色外都相同，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为． (1)求袋子中白球的个数； (2)随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率．（请结合树状图或列表解答） 【答案】(1)2个 (2) 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率 （1）首先设袋子中白球有x个，利用概率公式求即可得方程：，解此方程即可求得答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到相同颜色的小球的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】（1）解：设袋子中白球有x个， 根据题意得：， 解得：， ∴袋子中白球有2个； （2）解：画树状图得：    ∵共有9种等可能的结果，两次都摸到相同颜色的小球的有5种情况， ∴两次都摸到相同颜色的小球的概率为：． 25．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩，依次记为，，，．体育老师把这四个项目分别写在四张背面完全相同的卡片上，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)体育老师想从这四张卡片中随机抽取一张，了解该项目在奥运会中的得分标准，恰好抽到（冲浪）的概率是______； (2)体育老师想从中选出两个项目，做成手抄报在学校进行普及．他先从这四张卡片中随机抽取一张不放回，再从剩下的三张卡片（洗匀后）中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是（霹雳舞）和（滑板）的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列表法与树状图法，概率公式，正确画出树状图是解题的关键． （1）直接运用概率公式求解即可； （2）先画出树状图，可知共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是（霹雳舞）和（滑板）的结果有2种，最后由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：体育老师想从中随机抽取一张，恰好抽到（冲浪）的概率是； 故答案为：； （2）解：画树状图如下： ， 共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是（霹雳舞）和（滑板）的结果数为2， 体育老师抽到的两张卡片恰好是（霹雳舞）和（滑板）的概率． 26．（23-24九年级上·山东青岛·期中）一个盒子中装有1个红球、1个白球和2个蓝球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，试用树状图或表格列出所以可能的结果，并求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率．（红色和蓝色在一起可配成紫色） 【答案】 【分析】本题考查列举法求概率，通过画树状图或列表列举出所有等可能的情况，找出符合条件的情况数，利用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 由图可知，共有12种等可能的情况，能配成紫色的概率情况数有4种， 所以两次摸到不同颜色球的概率为． 27．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）一个口袋中装有个白球、个红球，这些球除颜色外完全相同，将口袋中的球搅拌均匀，求： (1)随机摸出一球，发现是白球． 如果将这个白球放回，再摸出一球，那么它是白球的概率是______ ； 如果这个白球不放回，再摸出一球，那么它是白球的概率是______ ； (2)如果将口袋中加入若干个白球，并取出相同数量的红球，然后再从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到红球，请你估计加入______ 个白球． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①摸出一个白球放回对第二次摸到白球没有影响，直接利用概率公式求解即可； ②确定摸出一个白球不放回的白球和红球的个数，直接利用概率公式求解即可； （2）估计利用频率估计概率可估计摸到红球的概率为，然后根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：（1）①如果将这个白球放回，再摸出一球，那么它是白球的概率是； ②如果这个白球不放回，再摸出一球，那么它是白球的概率是； 故答案为：①；② （2）解：设加入个白球， 根据题意得：， 解得， 经检验是方程的解， 估计加入个白球． 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率的公式和利用频率估计概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 28．（20-21九年级上·辽宁朝阳·期末）有四张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字2，0，2，0，如图，将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上，甲、乙两人进行如下游戏：甲先抽一张卡片不放回，乙再抽一张卡片． （1）已知甲抽到的卡片是数字2，则乙抽到卡片上的数字也是2的概率是__________． （2）甲、乙约定：若甲抽到卡片上的数字比乙大，则甲胜，否则乙胜，你认为这个游戏是否公平？用画树状图或列表的方法加以说明． 【答案】（1）；（2）不公平，见解析． 【分析】（1）根据题意，甲抽到的卡片是数字2后，剩下3张卡片中仅有1张是数字2，据此由概率公式解得乙也抽到数字2的概率； （2）列树状图表示甲、乙各抽1张卡片的所有等可能结果，再分别计算甲、乙获胜的概率，据此解题． 【详解】解：（1）甲抽到的卡片是数字2后， 剩下3张卡片，数字为0，2，0， 乙从剩下的3张卡片抽到的数字也是2的概率是， 故答案为； （2）这个游戏不公平，理由： 此事件共有12种结果，且每种结果出现的可能性都相同，出现甲比乙大4的有4种，所以甲获胜的概率为：，则乙获胜的概率为：， 故这个游戏不公平． 【点睛】本题考查简单概率、列表法与树状图法，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 题型五、用频率估计概率 29．（24-25九年级上·山东青岛·期末）实践课上，小明在一张面积为的矩形卡片上绘制了图1所示的青岛市地形图，他想知道该地形图的面积，采取了以下办法：将矩形卡片水平放置在地面上，在适当位置随机地朝矩形区域抛掷小球，记录落在该地形图上的次数（球抛在地形图最外围的界线上或矩形区域外不计入试验结果），并将若干次试验结果绘制成图2所示的折线统计图，据此估计该地形图的面积约为 ． 【答案】100 【分析】本题考查了几何概率，由频率估计概率，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 由题意可得小球落在该地形图上的概率为0.5，设该地形图的面积为，则，求解即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得：小球落在该地形图上的概率为0.5， 设该地形图的面积为， 则， 解得：， ∴该地形图的面积大约为， 故答案为：100． 30．（21-22九年级上·浙江台州·期末）如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果，由此可以推断，抛掷该啤酒瓶盖一次，“凸面向上”的概率是 ．（精确到）． 【答案】 【分析】本题主要考查了用频率值估计概率，解题的关键在于熟知大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值．根据大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值求解即可． 【详解】解：∵大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值， ∴抛掷该啤酒瓶盖一次，“凸面向上”的概率是， 故答案为：． 31．（23-24九年级上·山东威海·期末）林业部门要分析一种树苗移植的成活率，对该树苗移植后的成活情况进行了记录，并统计了如下表格： 树苗数 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 成活树苗数 1862 3487 5343 7234 9108 10931 12752 成活频率 0.931 0.8718 0.8905 0.9043 0.9108 0.9109 0.9109 根据表格信息，可以估计该树苗移植成活的概率是 ．（精确到0.001） 【答案】0.911 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：由表格数据可得，随着样本数量不断增加，这种树苗移植成活的频率稳定在0.911左右， 故估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为0.911． 故答案为：0.911 32．（23-24九年级上·山东济宁·期末）如图，某幅画的总面积为，该幅画平铺在地面上被墨汁污染了一部分，向画内随机投掷骰子（假设骰子落在画内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在画内被污染部分上的频率稳定在常数0.6附近，由此可估计画上被污染部分的面积约为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是利用频率估计概率．因为骰子落在画内被污染部分上的频率稳定在常数0.6附近，可估计画上被污染部分的面积约占整幅画面积的，由此计算即可． 【详解】∵骰子落在画内被污染部分上的频率稳定在常数0.6附近， ∴可估计画上被污染部分的面积约占整幅画面积的， 即画上被污染部分的面积约为． 故答案为： 33．（22-23九年级上·陕西渭南·期末）一个不透明的箱子里装有个球，其中红球有5个，这些球除颜色外都相同．每次将箱子里的球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在，那么可以估算出的值为 ． 【答案】20 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，根据红球的个数除以总数等于频率，求解即可． 【详解】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率在， ∴任意摸出一个球，摸到红球的概率为， ， 解得， 经检验：是原方程的解， 故答案为：20． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是利用红球的个数除以总数等于频率． 34．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让计算机进行模拟摸球试验，每次摸出一个球后然后放回，下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸出黑球的次数 34 47 68 168 267 332 摸出黑球的频率 (1)根据上表数据，估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 　　（结果精确到 (2)估算袋中白球的个数为 　　个． (3)在（2）的条件下，若小明有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率． 【答案】(1) (2)2 (3)见解析， 【分析】本考查了利用频率估计概率以及树状图法与列表法求概率，掌握用树状图法或者列表法求解概率是解答本题的关键． （1）利用频率估计概率可估计从袋中摸出一个球是黑球的概率为； （2）袋中白球的个数为x个，根据概率公式得到，然后解方程即可； （3）画树状图展示所有9种等可能得结果，再找出他两次都摸出白球的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）解：根据上表数据，摸出黑球的频率在波动， 所以估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是（结果精确到； 故答案为：； （2）解：设袋中白球的个数为x个， 根据题意得， 解得， 经检验为原方程的解， 所以估计袋中白球的个数为2个； 故答案为：2； （3）解：画树状图为： 共有9种等可能得结果，其中他两次都摸出白球的结果数为4， 所以他两次都摸出白球的概率． 35．（22-23九年级下·山东淄博·期中）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的部分统计数据： 摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000 摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 126 251 摸到白球的频率 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.252 0.251 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 　 　（精确到0.01）； (2)试估算盒子里黑球有多少个； (3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合这一结果的试验最有可能的是 　 　（填写所有正确结论的序号） ①从一副扑克牌（不含大小王）中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． ②掷一质地均匀的骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“小于3”． ③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲． 【答案】(1)0.25 (2)15 (3)①④ 【分析】（1）由表中n的最大值所对应的频率即为所求； （2）根据黑球个数=球的总数×得到的黑球的概率，即可得出答案； （3）试验结果在0.67附近波动，即其概率，计算三个选项的概率，约为0.67者即为正确答案． 【详解】（1）由表可知，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的频率将会接近0.25； 故答案为：0.25； （2）根据题意得：（个）， 所以，盒子里黑球有15个； （3）①从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”的概率为，故此选项符合题意； ②掷一个质地均匀的正六面体骰子（面的点数标记分别为1到6），落地时面朝上的点数小于3的概率为，故不符合题意； ③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上的概率为，不符合题意； ④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲的概率为，故此选项符合题意． 故答案为：①④． 【点睛】此题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率． 题型六、概率与统计综合 36．（24-25九年级下·山东烟台·期中）高效素养课堂强调以学生为中心，实现知识传授与能力提升有机统一．为了解某校高效素养课堂建设情况，该校实践小组在全校范围内随机抽取部分学生进行了问卷调查，问卷共设五个选项：A—上课学习效率明显提升；B—上课学习效率无明显提升；C—自主学习能力明显提升；D—自主学习能力无明显提升；E—没有关注．已知参加调查的学生中，每人都只选了其中一个选项，将所有的调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 请你根据以上信息，回答下列问题： (1)本次接受调查的学生共有 人， ， ； (2)补全条形统计图； (3)该校计划面向家委会成员举行“课堂教学开放日”活动，活动备选班级共4个，分别为8.1班、8.2班、9.3班、9.4班．由于报名人数较多，学校计划分两天进行，第一天先从这4个班级中任选一个展示课堂教学，第二天再从剩下的班级中任选一个展示．请用表格或树状图求两次选中的班级既有八年级又有九年级的概率． 【答案】(1)200，144，20 (2)见详解 (3) 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图等知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，同时要能用树状图或者表格求概率． （1）由A、B、C、E的人数除以所占百分比得出本次接受调查的学生人数，即可解决问题； （2）求出D的人数，即可解决问题； （3）先画树状图或者列表得出所有等可能的结果数以及两次选中的班级既有八年级又有九年级的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：本次接受调查的学生共有（人）， ，， ∴，， 故答案为：200，144，20； （2）D的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： （3）将8.1班、8.2班、9.3班、9.4班分别用A、B、C、D表示， 画树状图如下： 由树状图可知：共有12种等可能的结果，其中两次选中的班级既有八年级又有九年级的结果有8种， ∴两次选中的班级既有八年级又有九年级的概率是． 37．（2025·湖北·模拟预测）国家大力提倡节能减排和环保，近年来纯电动汽车普及率越来越高，纯电动汽车的续航里程是人们购买时参考的重要指标．某汽车杂志为了解两款纯电动汽车的实际续航里程，各随机抽取了10辆汽车进行了续航里程实测，并将测试的结果（续航里程用x千米表示）分成A．，B．，C．，D．四组进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： （a）10辆M款纯电动汽车的实际续航里程：； （b）10辆N款纯电动汽车的实际续航里程条形统计图（不完整）； （c）10辆N款纯电动汽车的实际续航里程在C组中的数据是． （d）两款纯电动汽车的实际续航里程统计表： 平均数 中位数 众数 方差 M 405 405 a 1455 N 407 b 435 2070 根据以上信息，解答下列问题： (1)将条形统计图补全，表格中的_______，_______； (2)小军、小程、小杰三人，准备购买两款纯电动汽车，求三人购买同一款汽车的概率； (3)小星看中了售价一样的甲、乙两款纯电动汽车，根据汽车杂志发布的数据对这两款车的四项性能进行了打分（百分制），如表： 续航里程得分 百公里加速得分 百公里能耗得分 智能化水平得分 甲 83 100 89 94 乙 85 90 91 100 续航里程、百公里加速、百公里能耗、智能化水平四项性能在小星心中所占比例是，你认为小星选择哪款车更合适？请说明理由． 【答案】(1)420，427 (2) (3)选择乙款车更合适，见解析 【分析】本题考查了众数、中位数、平均数，条形统计图用统计图获取信息时，解题的关键是认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． （1）根据中位数和众数的定义即可得到a与b的值； （2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解； （3）利用加权平均数求解可得． 【详解】（1）解：中，420出现的次数最多， ∴众数， 在N款抽取的纯电动车的实际续航里程中的数据从小到大排列，排在中间的两个数分别为419，435， ∴中位数， 故答案为：420，427； （2）解：画树状图如下： 共有8种等可能的结果，其中三人买同一款汽车的结果有2种， （三人买同一款汽车） （3）解：选择乙款车更合适． 理由：甲款车综合得分为：（分） 乙款车综合得分为：（分） ∴选择乙款车更合适 38．（24-25九年级上·山东济南·期中）年月日是中国第个“全民健身日”．为提高学生身体素质，积极倡导全民健身，某校开展了一分钟跳绳比赛．数学兴趣小组随机抽取了部分学生成绩，并对数据进行统计整理，以下是不完整的统计图表． 一分钟跳绳成绩统计表 成绩等级 一分钟跳绳次数 频数 请根据以上信息，完成下列问题． (1)随机抽取的学生人数为___________人，统计表中的___________，统计图中B等级对应扇形的圆心角为___________度； (2)该校共有人参加比赛，请你估计该校成绩达到等级及以上的有多少人？ (3)该比赛服务组有两名男生和两名女生，现从中随机挑选两名同学负责跳绳发放工作，请用树状图法或列表法求出恰好选中“一男一女”的概率． 【答案】(1)，，； (2)人； (3)． 【分析】本题主要考查概率、统计表和扇形统计图： 结合统计表中的频数是和扇形统计图中占的百分比可以求出抽取的学生人数为人，用总人数减去、、的频数，即可得到的值，根据的频数是，抽取的学生总数是即可求出占的百分比，这个百分比就是扇形的圆心角占的百分比； 根据抽取的学生中成绩达到等级及以上占抽取比例为，利用样本代替总体求出全校达到级以上的人数； 根据题意列表，从表可以看出共有种情况，每种情况出现的机会均等，其中是一男一女的情况共有种，可以求出恰好选中“一男一女”的概率． 【详解】（1）解：(人)， (人)， ， 故答案为：，，； （2）解：(人)， 答：该校成绩达到等级及以上的有人； （3）解：列表如下， 男1 男2 女1 女2 男1 男2，男1 女1，男1 女2，男1 男2 男1，男2 女1，男2 女2，男2 女1 男1，女1 男2，女1 女2，女1 女2 男1，女2 男2，女2 女1，女2 由表可知，共有种情况，每种情况出现的机会均等，其中是一男一女的情况共有种， 恰好选中“一男一女”的概率， 答：恰好选中“一男一女”的概率为． 39．（2024·山东淄博·中考真题）希望中学做了如下表的调查报告（不完整）： 调查目的 了解本校学生：（1）周家务劳动的时间；（2）最喜欢的劳动课程 调查方式 随机问卷调查 调查对象 部分七年级学生（该校所有学生周家务劳动时间都在范围内） 调查内容 （1）你的周家务劳动时间（单位：）是①②③④⑤ （2）你最喜欢的劳动课程是（必选且只选一门） A家政    B.烹饪    C.剪纸    D.园艺    E．陶艺 调查结果    结合调查信息，回答下列问题： (1)参与本次问卷调查的学生人数________名；在扇形统计图中，第④组所对应扇形的圆心角的度数为________度； (2)补全周家务劳动时间的频数直方图： (3)若该校七年级学生共有800人，请估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数； (4)小红和小颖分别从“家政”等五门最喜欢的劳动课程中任选一门学习，请用列表法或画树状图的方法，求两人恰好选到同一门课程的概率． 【答案】(1)100， (2)见解析 (3)估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数有176人 (4) 【分析】（1）用家务劳动时间为②组的人数除以所占百分比，即可得到调查总人数，再用乘以第④组人数所占比例即可求解； （2）用调查总人数减去第①②④⑤组的人数，得到第③组的人数，即可补全周家务劳动时间的频数直方图； （3）先求出调查人数中喜欢“烹饪”课程的学生人数，再用800乘以喜欢“烹饪”课程的学生人数所占比例即可； （4）画出树状图，得到所有可能出现的结果数，再找出两人恰好选到同一门课程的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：调查总人数为：（名）， 第④组所对应扇形的圆心角的度数为： （2）解：第③组的人数为：（人）， 可补全周家务劳动时间的频数直方图如图；    （3）解：被调查人数中喜欢“烹饪”课程的学生人数为：（人） （人）， 答：估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数有176人； （4）解：树状图如图所示：    则共有25中情况，两人恰好选到同一门课程的结果数有5种， 两人恰好选到同一门课程的概率为：． 【点睛】本题主要考查了扇形统计图、用样本估计总数、画树状图或列表求概率，根据题意熟练的画出树状图或列出表格，是解题的关键． 40．（2024·河北·中考真题）甲、乙、丙三张卡片正面分别写有，除正面的代数式不同外，其余均相同． (1)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率； (2)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张．请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率． 【答案】(1) (2)填表见解析， 【分析】（1）先分别求解三个代数式当时的值，再利用概率公式计算即可； （2）先把表格补充完整，结合所有可能的结果数与符合条件的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：当时， ，，， ∴取出的卡片上代数式的值为负数的概率为：； （2）解：补全表格如下： ∴所有等可能的结果数有种，和为单项式的结果数有种， ∴和为单项式的概率为． 【点睛】本题考查的是代数式的值，正负数的含义，多项式与单项式的概念，利用列表法求解简单随机事件的概率，掌握基础知识是解本题的关键． 41．（2024·山东济宁·中考真题）为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的八年级（1）班和（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表． 【收集数据】 八年级（1）班20名学生成绩：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95． 八年级（3）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95． 【描述数据】 八年级（1）班20名学生成绩统计表 分数 80 85 90 95 100 人数 3 3 a b 3 【分析数据】 八年级（1）班和（3）班20名学生成绩分析表 统计量 班级 平均数 中位数 众数 方差 八年级（1）班 95 41.5 八年级（3）班 91 90 26.5 【应用数据】 根据以上信息，回答下列问题． (1)请补全条形统计图： (2)填空：______，______； (3)你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由； (4)从上面5名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率． 【答案】(1)见详解 (2)91，92.5 (3)八年级（1）班成绩较好，理由见详解 (4) 【分析】（1）由八年级（3）班20名学生成绩统计可得90分学生有7人，95分学生有6人，补全条形统即可； （2）由八年级（1）班20名学生成绩统计可得，，根据平均数和中位数的定义进行计算即可； （3）从平均数，中位数和众数综合分析得八年级（1）班成绩较好； （4）设八年级（1）班的三名100分的学生用A、B、C表示，八年级（3）班的两名100分的学生用X、Y表示，用列表法表示出所有可能结果，再从中找出2名学生恰好在同一个班级的结果数，再根据概率的计算公式进行计算即可． 【详解】（1）解：由八年级（3）班20名学生成绩统计可得90分学生有7人，95分学生有6人，补全条形统计图如图所示： （2）解：由八年级（1）班20名学生成绩统计可得，， ∴， 一共20名学生，中位数应该为第10名与第11名的平均数， ． （3）解：八年级（1）班和八年级（3）班的平均成绩相同，但八年级（1）班的中位数和众数都比八年级（3）班高，即八年级（1）班高分段人数较多．因此八年级（1）班成绩较好． （4）解：设八年级（1）班的三名100分的学生用A、B、C表示．八年级（3）班的两名100分的学生用X、Y表示，则随机抽两名学生的所有情况如下： (1)班 　（3）班 A B C X Y A AB AC AX AY B BA BC BX BY C CA CB CX CY X XA XB XC XY Y YA YB YC YX 一共有20种情况．其中两名同学在同一个班级的有共8种， ∴所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率为： ． 【点睛】本题考查读统计表和统计图，利用统计图获取信息的能力以及中位数，众数和平均数，以及概率的计算．利用统计表获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 42．（24-25九年级下·山东烟台·期中）为了解九年级学生“自主学习”的学习能力，某校随机抽取该年级部分学生，对他们的学习能力进行了统计，（其中学习能力指数级别“1”级，代表学习能力很强；“2”级，代表学习能力较强；“3”级，代表学习能力一般；“4”级，代表学习能力较弱）请结合图中相关数据回答问题． (1)本次抽查的学生人数 人，并将条形统计图补充完整； (2)本次抽查学生“自主学习”能力指数级别的众数为 级，中位数为 级． (3)现从学习能力很强的学生中选出4名同学，其中只有1名女生，从中随机抽取两人写有关“自主学习”的报告，请用列表或画树状图的方法求所抽查的两位学生中恰好是一男一女的概率． 【答案】(1)100；见解析 (2)3；3 (3) 【分析】（1）用条形统计图中2级的人数除以扇形统计图中2级的百分比可得本次抽查的学生人数；求出1级的人数，补全条形统计图即可． （2）根据中位数、众数的定义可得答案． （3）画树状图得出所有等可能的结果数以及所抽查的两位学生中恰好是一男一女的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：本次抽查的学生人数为（人． “1”级的人数为（人． 补全条形统计图如图所示． 故答案为：100． （2）解：由题意得，本次抽查学生“自主学习”能力指数级别的众数为3级． 将抽查的100名学生的能力指数级别按照从小到大的顺序排列，排在第50和51名的能力指数都是3级， 本次抽查学生“自主学习”能力指数级别的中位数为（级）． 故答案为：3；3． 本次抽查学生“自主学习”能力指数级别的中位数为3级． 故答案为：3；3． （3）解：画树状图为： 由树状图可知：共有12种等可能的结果数，其中恰好是一男一女的结果数为6， ∴． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、中位数、众数、概率公式，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、中位数、众数的定义、概率公式是解答本题的关键． 43．（24-25九年级下·山东济宁·期中）某中学在初一、初二两个年级举办“芯片知识知多少”课外知识积累大赛，为了解学生知识积累情况，从这两个年级根据学籍编号随机抽取部分学生，并对他们的成绩进行了整理制作成统计图，（说明：满分为100分，学生成绩x均为不小于60分的整数，分为四个等级：D：，C：，B：，A：）． 素材一：如初一、初二两个年级学生成绩的频数分布直方图： 素材二：初一年级学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下： 80  84  85  86  87  87  87  87  89 素材三：如初一年级学生扇形统计图所示 根据以上信息，回答下列问题： (1)本次调查抽取的初一学生成绩为 等级的学生人数最多（填“A”或“B”或“C”或“D”）； (2)求初一扇形统计图中D等级对应扇形的圆心角度数； (3)该校初一共有320名学生，全年级学生都参加本次大赛，请估计成绩为A等级的学生人数； (4)推荐两名同学参加上级举办的“芯片知识知多少”知识竞赛和化学实验活动，为祖国培养复合型人才．为了选拔选手，化学老师给出如下题目：用酚酞溶液检测4瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这4种溶液分别是：盐酸（呈酸性）、硝酸钾溶液（呈中性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）、氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种．小明和小亮从中各选1瓶溶液滴入酚酞试液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求2瓶溶液中1瓶变红、1瓶不变色的概率． 【答案】(1)B (2) (3)估计成绩为A等级的学生人数为64人 (4) 【分析】本题考查了求圆心角，画树状图，样本估计总体，频数分布直方图直方图，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察初一学生成绩的频数分布直方图，得出初一学生成绩B等级：最多，即可作答． （2）运用乘上D等级的占比进行计算，即可作答． （3）运用样本估计总体列式计算，即可作答． （4）先画出树状图，再得共有12种可能出现的结果，其中1瓶变红、1瓶不变色有共8种结果，然后列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：由初一学生成绩的频数分布直方图得，本次调查抽取的初一学生成绩为B等级的学生人数最多， 故答案为：B； （2）解：D等级所对应的扇形圆心角的度数为：； （3）解：（人）， 答：估计成绩为A等级的学生人数为64人； （4）解：将盐酸（呈酸性）、硝酸钾溶液（呈中性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）、氢氧化钙溶液（呈碱性）分别记作A，B，C，D， 画树状图如下： 由表知，共有12种可能出现的结果，其中1瓶变红、1瓶不变色有共8种结果， ∴1瓶变红、1瓶不变色的概率为：． 44．（23-24八年级下·山东济南·期末）化学实验课上，杨老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属材料及其元素卡片（如图，除正面信息不同外，其余均相同），将四张元素卡片背面朝上洗匀，让学生随机抽取一张，然后用抽取到的金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：可以置换出氢气，而不能置换出氢气） (1)小云随机从中抽取一张卡片，抽到“”的概率为 　 　； (2)小云随机从中抽取一张卡片，记下金属后，放回洗匀，小南再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据概率公式计算即可求解； （）画出树状图，根据树状图即可求解； 本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】（1）解：小云随机从中抽取一张卡片，抽到“”的概率为， 故答案为：； （2）解：用分别表示、、、，画树状图如下： 由树状图可知，共有中等结果，其中小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的结果有种， ∴小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的概率为． 45．（2023·陕西咸阳·三模）如图，某同学学习物理《电流和电路》后设计了如图所示的电路图，其中分别表示四个可开闭的开关，“”表示小灯泡，“”表示电源．电源、小灯泡、开关和线路都能正常工作，当闭合开关中任意一个，再闭合开关时，小灯泡发光，按要求完成下列问题： (1)当开关闭合时，再随机闭合开关或或其中一个，小灯泡发光的概率为__________； (2)当随机闭合开关中的两个，请用画树状图或列表的方法求小灯泡发光的概率． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了画树状图或列表法求一个事件的概率． 当开关闭合时，再随机闭合开关或或中的任何一个都可以使小灯泡发光，所以小灯泡发光的的概率为； 列表可知随机闭合开关中的两个，共有种等可能出现的情况，只有闭合的开关中有时，可以使小灯泡发光，可以使小灯泡发光的情况有种情况，从而可求小灯泡发光的概率． 【详解】（1）解：当开关闭合时，再随机闭合开关或或中的任何一个都可以使小灯泡发光， 小灯泡发光的的概率为， 故答案为：； （2）解：列表如下， 随机闭合开关中的两个，共有种等可能出现的情况， 只有闭合的开关中有时，可以使小灯泡发光， 可以使小灯泡发光的情况有种情况， 可以使小灯泡发光的概率为． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 对概率的进一步认识（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、用列表法/画树状图法求概率 1 题型二、配紫色问题 2 题型三、游戏公平性问题 4 题型四、概率中的“放回”与“不放回”问题 6 题型五、用频率估计概率 7 题型六、概率与统计综合 9 B综合攻坚・能力跃升 题型一、用列表法/画树状图法求概率 1．（24-25九年级下·山东菏泽·期中）我市举办的“喜迎党的二十大，奋进新征程——乡村振兴成果展”吸引了众多市民前来参观，如图所示的是该展览馆出入口的示意图，小颖从入口进，出口出的概率是 ． 2．（24-25九年级下·山东枣庄·期中）学校通过开展丰富多彩的中医药文化活动，推动了中医药文化传承发展．如图是四味中药材图片，分别为紫苏、天麻、马齿苋和灵芝，除正面内容外，其余完全相同，现从这四张图片中随机抽取两张进行研究，则抽到灵芝和天麻的概率是 ． 3．（24-25九年级上·山东威海·期末）如图，在所给的电路图中，同时闭合两个开关能让小灯泡发光的概率为 ． 4．（2024·山西太原·模拟预测）为了加强学生国防教育，某校举办了主题为“爱我中华，强我国防”的演讲比赛，甲、乙、丙、丁四名学生分在同一个小组，赛前需要以抽签的方式确定出场顺序，主持人将表示出场顺序的卡片(除正面分别写有1，2，3，4外，其余完全相同)背面朝上放在桌面上，洗匀后先由甲随机抽取一张，然后由乙随机抽取一张，甲、乙抽到的出场顺序相邻的概率为 ． 5．（23-24九年级下·山东聊城·期中）随着“双减”政策的实施和课后延时托管的开展，㭉学校开设了四门兴趣课程，分别为“绘画”“声乐”“陶艺”和“书法”．学校规定每人只能选择自己喜欢的一门课程学习．小明与小亮对这四门课程都感兴趣，在没有沟通的情况下，这两人选择同一门课程的概率是 ． 6．（24-25九年级上·山东青岛·期末）在四个完全相同的小球上分别写上1，2，3，4四个数字，然后装入一个不透明的口袋内均匀，从口袋内任取出第一个球记下数字后作为点P的横坐标x，放回，再从袋中取出第二个球记下数字后作为点P的纵坐标y，请用树状图或列表的方法求出点落在直线上的概率． 7．（24-25九年级上·山东德州·期末）夏津县为了落实“阳光体育”，提升学生的综合素养，某学校对学生进行体育科目抽测，女生抽测项目为：A坐位体前屈、B跳远、C50米、D仰卧起坐；男生抽测项目为：A坐位体前屈、B跳远、C50米、E引体向上，每个学生必抽且只抽一个项目，结合信息回答下列问题． (1)女同学小丽抽中跳远属于______事件． (2)男同学小明抽中50米的概率为______． (3)请用列表或画树状图的方法，求女同学小丽和男同学小明抽中相同项目的概率． 8．（24-25九年级上·浙江·期中）2024年夏季奥运会在法国巴黎举行，某电视台在同一时间进行4档现场直播：A．乒乓球、B．篮球、C．射击、D．网球．小夏和小王都是体育迷，他们在同一时间观看了直播节目． (1)小夏收看了乒乓球直播的概率为________； (2)请用列表或画树状图的方法求小夏和小王收看同一个直播节目的概率． 题型二、配紫色问题 9．（20-21九年级上·广东茂名·期中）用如图所示的两个转盘进行“配紫色”（红色与蓝色能配成紫色）游戏，配得紫色的概率是（    ） A． B． C． D． 10．（22-23九年级上·广东佛山·期中）学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°．同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏．若小赵同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是（　　） A． B． C． D． 11．（23-24九年级上·山东青岛·期中）数学活动让数学学习更加有趣，在一次数学课上老师设计了一个“配紫色”游戏，如图所示的是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是，同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么转出的两种颜色就可以配成紫色．（若指针指向扇形的分界线，则需要重新转动）若同时转动A盘和B盘，请通过列表或画树状图的方法，求出配成紫色的概率．    12．（2021·陕西西安·模拟预测）小明和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：，是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小明去观看，否则小亮去观看． （1）转动转盘一次，转出蓝色的概率是_________； （2）这个游戏对双方公平吗？请说明理由（用树状图或列表法）． 13．（21-22九年级上·山东青岛·期末）小明和小红想去观看冬奥会开幕式，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：连续转动两个转盘，每个转盘被分成了面积相等的三个扇形，两人同时转动转盘，若其中一个转盘转出蓝色，另一个转盘转出红色，则可配成紫色．如果两次转盘转出的颜色相同或配成紫色，则小明去观看，否则小红去观看，你认为这个游戏对双方公平吗？ 14．（23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）小颖设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘A、，A转盘被分成了面积的两个扇形，转盘被分成了面积相等的三个扇形，游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么他就赢了（红色与蓝色能配成紫色）． (1)转动转盘一次，指针指向红色的概率是______； (2)请利用画树状图或列表的方法求游戏者获胜的概率是多少？ 题型三、游戏公平性问题 15．（24-25九年级下·山东济宁·期中）如图．一个均匀的转盘被平均分成了9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．自由转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为转出的数字（若指针指向分界线，则重新转动转盘）． (1)P（转出的数字为奇数）； (2)两人参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜的数字与转出的数字相符，则猜数获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的方式可从下面两种中选一种：A．猜“是3的倍数”；B．猜“是大于等于5的数”．如果轮到你猜数，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方式？请说明理由． 16．（24-25九年级上·广东佛山·期中）顺德区某校开设的研学课程受到了来自各年级同学的热烈欢迎，其中在九年级开设的广绣研学课程更是异常火爆，因名额有限，每班只能派一个同学参加．九年级一班的小明、小红和小亮都想参加，于是三人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜：若和等于4，则小亮获胜． (1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______； (2)请用列表或画树状图的方法，说明小明参加广绣研学课程的概率是多少？ (3)你认为这个游戏公平吗？为什么？ 17．（2024·山东青岛·中考真题）学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程． (1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______； (2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 18．（2024·甘肃·中考真题）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜． (1)请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率． (2)这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由． 19．（22-23九年级下·山东日照·期中）下图是两个可以自由转动的转盘，甲转盘被等分成3个扇形，乙转盘被等分成4个扇形，每一个扇形上都标有相应的数字．小亮和小颖利用它们做游戏，游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，若指针所指区域内的数字之和小于10，则小颖获胜；若指针所指区域内的数字之和等于10，则为平局；若指针所指区域内的数字之和大于10，则小亮获胜．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止．    (1)请你通过画树状图或列表的方法求小颖获胜的概率． (2)该游戏规则是否公平？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计出一种公平的游戏规则． 20．（24-25七年级下·四川成都·期中）小明和哥哥都很想去看成都蓉城足球比赛，爸爸只买到了一张门票，最后商定通过转盘游戏决定谁去观看比赛．游戏规则是：转动如图1所示的转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色，小明去；若转盘指针指向蓝色或黄色，哥哥去（如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动）． (1)求小明去观看足球比赛的概率； (2)你认为这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由：若不公平，请你设计出一种公平的游戏规则． (3)请你利用图2所示转盘，设计一个转盘游戏，使得哥哥去的概率为，并简要说明游戏规则． 21．（24-25九年级上·北京·阶段练习）在四张完全相同的卡片正面写上数字1、2、3、4，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将抽得卡片上的数字记为；不透明的袋子中装有标号为1、2、3的三个小球，这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号记为b． (1)先抽取一张卡片，再摸一个球，求的概率： (2)若规定：当时，甲获胜；否则，乙获胜．这样的规则公平吗？请说明理由．如果不公平，能否只将袋子中一个球的标号调整为另一个整数，使得规则公平？写出一个调整方案． 题型四、概率中的“放回”与“不放回”问题 22．（22-23九年级下·山东济南·阶段练习）一个不透明的箱子里装有1个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.25左右． (1)请你通过计算估计箱子里白色小球的个数； (2)现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）． 23．（2024·陕西·中考真题）一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球，这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次． (1)随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是________． (2)随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率． 24．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的3个小球，这些球除颜色外都相同，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为． (1)求袋子中白球的个数； (2)随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率．（请结合树状图或列表解答） 25．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩，依次记为，，，．体育老师把这四个项目分别写在四张背面完全相同的卡片上，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)体育老师想从这四张卡片中随机抽取一张，了解该项目在奥运会中的得分标准，恰好抽到（冲浪）的概率是______； (2)体育老师想从中选出两个项目，做成手抄报在学校进行普及．他先从这四张卡片中随机抽取一张不放回，再从剩下的三张卡片（洗匀后）中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是（霹雳舞）和（滑板）的概率． 26．（23-24九年级上·山东青岛·期中）一个盒子中装有1个红球、1个白球和2个蓝球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，试用树状图或表格列出所以可能的结果，并求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率．（红色和蓝色在一起可配成紫色） 27．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）一个口袋中装有个白球、个红球，这些球除颜色外完全相同，将口袋中的球搅拌均匀，求： (1)随机摸出一球，发现是白球． 如果将这个白球放回，再摸出一球，那么它是白球的概率是______ ； 如果这个白球不放回，再摸出一球，那么它是白球的概率是______ ； (2)如果将口袋中加入若干个白球，并取出相同数量的红球，然后再从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到红球，请你估计加入______ 个白球． 28．（20-21九年级上·辽宁朝阳·期末）有四张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字2，0，2，0，如图，将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上，甲、乙两人进行如下游戏：甲先抽一张卡片不放回，乙再抽一张卡片． （1）已知甲抽到的卡片是数字2，则乙抽到卡片上的数字也是2的概率是__________． （2）甲、乙约定：若甲抽到卡片上的数字比乙大，则甲胜，否则乙胜，你认为这个游戏是否公平？用画树状图或列表的方法加以说明． 题型五、用频率估计概率 29．（24-25九年级上·山东青岛·期末）实践课上，小明在一张面积为的矩形卡片上绘制了图1所示的青岛市地形图，他想知道该地形图的面积，采取了以下办法：将矩形卡片水平放置在地面上，在适当位置随机地朝矩形区域抛掷小球，记录落在该地形图上的次数（球抛在地形图最外围的界线上或矩形区域外不计入试验结果），并将若干次试验结果绘制成图2所示的折线统计图，据此估计该地形图的面积约为 ． 30．（21-22九年级上·浙江台州·期末）如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果，由此可以推断，抛掷该啤酒瓶盖一次，“凸面向上”的概率是 ．（精确到）． 31．（23-24九年级上·山东威海·期末）林业部门要分析一种树苗移植的成活率，对该树苗移植后的成活情况进行了记录，并统计了如下表格： 树苗数 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 成活树苗数 1862 3487 5343 7234 9108 10931 12752 成活频率 0.931 0.8718 0.8905 0.9043 0.9108 0.9109 0.9109 根据表格信息，可以估计该树苗移植成活的概率是 ．（精确到0.001） 32．（23-24九年级上·山东济宁·期末）如图，某幅画的总面积为，该幅画平铺在地面上被墨汁污染了一部分，向画内随机投掷骰子（假设骰子落在画内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在画内被污染部分上的频率稳定在常数0.6附近，由此可估计画上被污染部分的面积约为 ． 33．（22-23九年级上·陕西渭南·期末）一个不透明的箱子里装有个球，其中红球有5个，这些球除颜色外都相同．每次将箱子里的球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在，那么可以估算出的值为 ． 34．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让计算机进行模拟摸球试验，每次摸出一个球后然后放回，下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸出黑球的次数 34 47 68 168 267 332 摸出黑球的频率 (1)根据上表数据，估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 　　（结果精确到 (2)估算袋中白球的个数为 　　个． (3)在（2）的条件下，若小明有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率． 35．（22-23九年级下·山东淄博·期中）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的部分统计数据： 摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000 摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 126 251 摸到白球的频率 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.252 0.251 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 　 　（精确到0.01）； (2)试估算盒子里黑球有多少个； (3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合这一结果的试验最有可能的是 　 　（填写所有正确结论的序号） ①从一副扑克牌（不含大小王）中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． ②掷一质地均匀的骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“小于3”． ③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲． 题型六、概率与统计综合 36．（24-25九年级下·山东烟台·期中）高效素养课堂强调以学生为中心，实现知识传授与能力提升有机统一．为了解某校高效素养课堂建设情况，该校实践小组在全校范围内随机抽取部分学生进行了问卷调查，问卷共设五个选项：A—上课学习效率明显提升；B—上课学习效率无明显提升；C—自主学习能力明显提升；D—自主学习能力无明显提升；E—没有关注．已知参加调查的学生中，每人都只选了其中一个选项，将所有的调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 请你根据以上信息，回答下列问题： (1)本次接受调查的学生共有 人， ， ； (2)补全条形统计图； (3)该校计划面向家委会成员举行“课堂教学开放日”活动，活动备选班级共4个，分别为8.1班、8.2班、9.3班、9.4班．由于报名人数较多，学校计划分两天进行，第一天先从这4个班级中任选一个展示课堂教学，第二天再从剩下的班级中任选一个展示．请用表格或树状图求两次选中的班级既有八年级又有九年级的概率． 37．（2025·湖北·模拟预测）国家大力提倡节能减排和环保，近年来纯电动汽车普及率越来越高，纯电动汽车的续航里程是人们购买时参考的重要指标．某汽车杂志为了解两款纯电动汽车的实际续航里程，各随机抽取了10辆汽车进行了续航里程实测，并将测试的结果（续航里程用x千米表示）分成A．，B．，C．，D．四组进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： （a）10辆M款纯电动汽车的实际续航里程：； （b）10辆N款纯电动汽车的实际续航里程条形统计图（不完整）； （c）10辆N款纯电动汽车的实际续航里程在C组中的数据是． （d）两款纯电动汽车的实际续航里程统计表： 平均数 中位数 众数 方差 M 405 405 a 1455 N 407 b 435 2070 根据以上信息，解答下列问题： (1)将条形统计图补全，表格中的_______，_______； (2)小军、小程、小杰三人，准备购买两款纯电动汽车，求三人购买同一款汽车的概率； (3)小星看中了售价一样的甲、乙两款纯电动汽车，根据汽车杂志发布的数据对这两款车的四项性能进行了打分（百分制），如表： 续航里程得分 百公里加速得分 百公里能耗得分 智能化水平得分 甲 83 100 89 94 乙 85 90 91 100 续航里程、百公里加速、百公里能耗、智能化水平四项性能在小星心中所占比例是，你认为小星选择哪款车更合适？请说明理由． 38．（24-25九年级上·山东济南·期中）年月日是中国第个“全民健身日”．为提高学生身体素质，积极倡导全民健身，某校开展了一分钟跳绳比赛．数学兴趣小组随机抽取了部分学生成绩，并对数据进行统计整理，以下是不完整的统计图表． 一分钟跳绳成绩统计表 成绩等级 一分钟跳绳次数 频数 请根据以上信息，完成下列问题． (1)随机抽取的学生人数为___________人，统计表中的___________，统计图中B等级对应扇形的圆心角为___________度； (2)该校共有人参加比赛，请你估计该校成绩达到等级及以上的有多少人？ (3)该比赛服务组有两名男生和两名女生，现从中随机挑选两名同学负责跳绳发放工作，请用树状图法或列表法求出恰好选中“一男一女”的概率． 39．（2024·山东淄博·中考真题）希望中学做了如下表的调查报告（不完整）： 调查目的 了解本校学生：（1）周家务劳动的时间；（2）最喜欢的劳动课程 调查方式 随机问卷调查 调查对象 部分七年级学生（该校所有学生周家务劳动时间都在范围内） 调查内容 （1）你的周家务劳动时间（单位：）是①②③④⑤ （2）你最喜欢的劳动课程是（必选且只选一门） A家政    B.烹饪    C.剪纸    D.园艺    E．陶艺 调查结果    结合调查信息，回答下列问题： (1)参与本次问卷调查的学生人数________名；在扇形统计图中，第④组所对应扇形的圆心角的度数为________度； (2)补全周家务劳动时间的频数直方图： (3)若该校七年级学生共有800人，请估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数； (4)小红和小颖分别从“家政”等五门最喜欢的劳动课程中任选一门学习，请用列表法或画树状图的方法，求两人恰好选到同一门课程的概率． 40．（2024·河北·中考真题）甲、乙、丙三张卡片正面分别写有，除正面的代数式不同外，其余均相同． (1)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率； (2)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张．请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率． 41．（2024·山东济宁·中考真题）为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的八年级（1）班和（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表． 【收集数据】 八年级（1）班20名学生成绩：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95． 八年级（3）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95． 【描述数据】 八年级（1）班20名学生成绩统计表 分数 80 85 90 95 100 人数 3 3 a b 3 【分析数据】 八年级（1）班和（3）班20名学生成绩分析表 统计量 班级 平均数 中位数 众数 方差 八年级（1）班 95 41.5 八年级（3）班 91 90 26.5 【应用数据】 根据以上信息，回答下列问题． (1)请补全条形统计图： (2)填空：______，______； (3)你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由； (4)从上面5名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率． 42．（24-25九年级下·山东烟台·期中）为了解九年级学生“自主学习”的学习能力，某校随机抽取该年级部分学生，对他们的学习能力进行了统计，（其中学习能力指数级别“1”级，代表学习能力很强；“2”级，代表学习能力较强；“3”级，代表学习能力一般；“4”级，代表学习能力较弱）请结合图中相关数据回答问题． (1)本次抽查的学生人数 人，并将条形统计图补充完整； (2)本次抽查学生“自主学习”能力指数级别的众数为 级，中位数为 级． (3)现从学习能力很强的学生中选出4名同学，其中只有1名女生，从中随机抽取两人写有关“自主学习”的报告，请用列表或画树状图的方法求所抽查的两位学生中恰好是一男一女的概率． 43．（24-25九年级下·山东济宁·期中）某中学在初一、初二两个年级举办“芯片知识知多少”课外知识积累大赛，为了解学生知识积累情况，从这两个年级根据学籍编号随机抽取部分学生，并对他们的成绩进行了整理制作成统计图，（说明：满分为100分，学生成绩x均为不小于60分的整数，分为四个等级：D：，C：，B：，A：）． 素材一：如初一、初二两个年级学生成绩的频数分布直方图： 素材二：初一年级学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下： 80  84  85  86  87  87  87  87  89 素材三：如初一年级学生扇形统计图所示 根据以上信息，回答下列问题： (1)本次调查抽取的初一学生成绩为 等级的学生人数最多（填“A”或“B”或“C”或“D”）； (2)求初一扇形统计图中D等级对应扇形的圆心角度数； (3)该校初一共有320名学生，全年级学生都参加本次大赛，请估计成绩为A等级的学生人数； (4)推荐两名同学参加上级举办的“芯片知识知多少”知识竞赛和化学实验活动，为祖国培养复合型人才．为了选拔选手，化学老师给出如下题目：用酚酞溶液检测4瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这4种溶液分别是：盐酸（呈酸性）、硝酸钾溶液（呈中性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）、氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种．小明和小亮从中各选1瓶溶液滴入酚酞试液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求2瓶溶液中1瓶变红、1瓶不变色的概率． 44．（23-24八年级下·山东济南·期末）化学实验课上，杨老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属材料及其元素卡片（如图，除正面信息不同外，其余均相同），将四张元素卡片背面朝上洗匀，让学生随机抽取一张，然后用抽取到的金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：可以置换出氢气，而不能置换出氢气） (1)小云随机从中抽取一张卡片，抽到“”的概率为 　 　； (2)小云随机从中抽取一张卡片，记下金属后，放回洗匀，小南再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的概率． 45．（2023·陕西咸阳·三模）如图，某同学学习物理《电流和电路》后设计了如图所示的电路图，其中分别表示四个可开闭的开关，“”表示小灯泡，“”表示电源．电源、小灯泡、开关和线路都能正常工作，当闭合开关中任意一个，再闭合开关时，小灯泡发光，按要求完成下列问题： (1)当开关闭合时，再随机闭合开关或或其中一个，小灯泡发光的概率为__________； (2)当随机闭合开关中的两个，请用画树状图或列表的方法求小灯泡发光的概率． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $