第六章 对概率的进一步认识（知识清单）数学鲁教版五四制九年级下册

第六章 对概率的进一步认识 1. 列表法 当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的结果，这种方法叫列表法. 列表求概率的“三步骤”： 1）列表：分清一次试验中所涉及的两个因素，一个为行标，另一个为列标. 2）计数：通过表格的数据，分别求出等可能的结果总数n，和事件包含的结果数 m. 3）计算：代入公式，计算求出结果. 2. 树状图法 当一次试验要涉及3个或更多的因素时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求事件发生的概率 3. 频率的稳定性 对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性. 4. 用频率估计概率 一般地，在大量重复试验中，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会稳定于某个常数p，我们称事件A发生的概率为p. 适用情况：试验的所有可能结果不是有限个或各种结果发生的可能性不相等. 序号 易错点 易错题 注意事项 1 游戏公平性 1-5 游戏双方获胜的概率相等，说明游戏是公平的，否则说明游戏不公平. 2 “放回”与“不放回”为问题 6-10 若是有放回的，则第一次出现的结果，第二次仍然可以出现；若是无放回的，则第一次出现的结果，第二次就不可能再出现. 1．（2025·陕西·模拟预测）华山，古称“西岳”，雅称“太华山”，为中国著名的五岳之一，位于陕西省渭南市华阴市，有着“奇险天下第一山”的美誉．小宇和小辰做游戏：小宇将他去华山游玩时拍的两张风景照片打印出来，如图所示的甲、乙图片，然后把这两张图片从中间剪断，分成4张形状相同的小图片，将其混合在一起洗匀，背面朝上放置在桌面上．小宇先从这4张图片中随机抽取一张（不放回），小辰接着再随机抽取一张．（设4张小图片分别用表示） (1)小宇抽取的图片是甲图片上半部分的概率是_________； (2)若规定：抽取的两张小图片中，能拼成一张完整的图片，则小宇获胜；否则小辰获胜．你认为这个游戏公平吗？请你用列表或画树状图的方法计算说明理由． 【答案】(1) (2)游戏不公平 【分析】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）利用概率的计算公式计算即可； （2）设四张小图片分别用A，a，B，b表示，画树状图得出所有等可能的情况数，分别求出小宇和小辰获胜的概率，比较即可得到结论． 【详解】（1）解：小宇抽取一张共有种结果，是等可能性的，抽到甲图片上半部分图片有种结果， ∴小宇抽到甲图片上半部分图片的概率是； （2）设四张小图片分别用A，a，B，b表示，（同一个字母的大小写表示同一图片的两张小图，）画树状图得：    ∵共有种等可能的结果，其中摸取的两张小图片恰好合成一张完整图片的有种， ∴小宇获胜的概率为； 摸取的两张小图片不能合成一张完整图片的有种， ∴小辰获胜的概率为； ∵， ∴游戏不公平． 2．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）甲、乙两人玩如图所示的转盘游戏，游戏规则是：转盘被平均分为个区域，颜色分别为黑、白、红，转动转盘时，指针指向的颜色，即为转出的颜色（如果指针指在两区域的分界线上，则重转一次）．两人参与游戏，一人转动两次转盘，另一人对转出的颜色进行猜测．若转出的颜色与猜测的人描述的特征相符，则猜测的人获胜；否则，转动转盘的人获胜．猜测的方法从下面三种方案中选一种． ．猜“颜色相同” ； ．猜“一定有黑色”； ．猜“没有黑色”．    请利用所学的概率知识回答下列问题： (1)用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果； (2)如果你是猜测的人，你将选择哪种猜测方案，才能使自己获胜的可能性最大？为什么？ 【答案】(1)列表见解析，共有种等可能的结果：（黑,黑），（黑,白），（黑,红），（白,黑），（白,白），（白,红），（红,黑），（红,白），（红,红） (2)选方案．理由见解析 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，掌握概率公式是解题的关键．   （1）用画树状图法或列表法根据题意列出所有可能的结果；   （2）分别用概率公式算出三种方案的概率，比较概率大小，从而选择概率最大的方案． 【详解】（1）解：列表如下： 黑 白 红 黑 （黑,黑） （黑,白） （黑,红） 白 （白,黑） （白,白） （白,红） 红 （红,黑） （红,白） （红,红） 共有种等可能的结果：（黑,黑），（黑,白），（黑,红），（白,黑），（白,白），（白,红），（红,黑），（红,白），（红,红）； （2）解：选方案．理由如下： ，，， ． 选方案，才能使自己获胜的可能性最大． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，小明和小春制作了两个质地均匀、可以自由转动的转盘，A盘被等分为四个扇形，上面分别标有数字1，2，4，5；B盘中圆心角为的扇形上面标有数字3，其余部分上面标有数字 如图，是两个质地均匀、可以自由转动的转盘，A盘被等分为四个扇形，上面分别标 (1)小明转动一次A盘，指针指向数字为2的概率是 ； (2)小明和小春用如图所示的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别旋转两个转盘，将A盘转出的数字作为被减数，B盘转出的数字作为减数；如果差为正数，则小春胜；若差为负数，则小明胜．这个游戏对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由． 【答案】(1) (2)这个游戏对双方不公平，理由见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出差为负数的情况数和差为正数的情况数，再根据概率公式求出各自获胜的概率，然后进行比较，即可得出答案． 【详解】（1）解：小明转动一次A盘，则指针指向数字为2的概率是 故答案为： （2）解：这个游戏对双方不公平， 理由如下：列表如下： 被减数 减数 1 2 4 5 3 1 2 4 0 1 4 0 1 由表知，共有12种等可能结果，其中差为负数的有6种结果，差为正数的有4种结果， 则小明胜的概率是，小春胜的概率是， ， 这个游戏对双方不公平． 4．（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）小王和小李两人只有一张电影票，两人想通过摸球的方式来决定谁去看电影，规则如下：第一个盒子内装入标有数字1，2，3，4的四个完全相同的小球，第二个盒子内装入标有数字1，2，3的三个完全相同的小球，分别从两个盒子中各摸出一个球，如果所摸出的球上的数字之和小于6，那么小王去，否则就是小李去． (1)用树状图或列表法求出小王去的概率； (2)小李说这种规则不公平，因此将规则做了如下调整：如果数字之和小于6得分，不小于6得分，、满足什么关系时，才能确保规则公平？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）先利用列表法展示所有12种等可能的结果数，然后根据概率公式求解即可； （2）根据（1）的结论，要使得游戏公平，则两种情况的得分一样，据此，即可求解． 【详解】（1）解：列表如下 和 共有12种等可能结果，其中和小于6的有9种， 故小王去的概率为； （2）解：∵数字之和小于6的有9种，不小于6的有种， 要使得游戏公平，要得分相等，则， 即． 5．（24-25七年级下·河北保定·期末）小明和哥哥都很想去看足球比赛，爸爸只买到了一张门票，最后商定通过转盘游戏决定去观看比赛．游戏规则是：转动如图1所示的转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色小明去；若转盘指针指向蓝色或黄色，哥哥去；如果指针恰好指向白色或指向分割线，重新转动． (1)求小明去观看足球比赛的概率； (2)你认为这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计出一种公的游戏规则； (3)请你利用图2所示转盘，设计一个转盘游戏，使得小明去的概率为，并简要说明游戏规则． 【答案】(1) (2)游戏公平，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查几何概率模型求概率，读懂题意，搞懂相关事件所占的几何比例是解决问题的关键． （1）根据几何概率模型，由转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；蓝色占3份；白色和黄色占1份；再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动，从而由几何概率模型求概率的方法直接计算小明去观看足球比赛的概率即可得到答案； （2）根据几何概率模型，由转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；蓝色占3份；白色和黄色占1份；再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动，从而由几何概率模型求概率的方法直接计算小明或哥哥去观看成都蓉城足球比赛的概率，比较大小即可得到答案； （3）根据小明去的概率为，设计转盘即可． 【详解】（1）解：由题意可知，转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；蓝色占3份；白色和黄色各占1份，再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动， （小明去观看足球比赛）； （2）解：由题意可知，转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；蓝色占3份；白色和黄色占1份，再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动， （小明去观看足球比赛）； （哥哥去观看足球比赛）； （小明去观看足球比赛）（哥哥去观看足球比赛）， 游戏公平； （3）解：将转盘平均分为8个区域，其中红色占5份；白色占3份，如果指针转动转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色，小明去． 6．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）小明和小刚做游戏，游戏规则如下：将分别标有数字，，，4的个小球放入一个不透明的袋子中，这些球除数字外都相同．从中随机摸出一个球记下数字后放回，再从中随机摸出一个球记下数字．若两次数字差的绝对值小于，则小明获胜，否则小刚获胜．求小明获胜的概率． 【答案】 【分析】本题考查了画树状图法求概率，根据画树状图法求概率即可，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：画树状图如图所示， 差的绝对值为：，，，，，，，，，，，，，，，，共种等可能结果，小于的有种， ∴小明获胜的概率为． 7．（2025·山东青岛·模拟预测）某校九年级二班的数学作业设置了“A．概率题、B．统计题、C．解直角三角形计算题、D．二次函数的应用——利润问题”四个题型，每人只做其中的一个题型，要求通过抽签的方式确定个人的作业，抽签规则如下：将正面写有A、B、C、D的四张卡片（除了字母外，其余均相同）背面向上，洗匀，由第一个同学抽取，记下字母，放回，洗匀；再由第二个同学抽取，以此类推，直到全班抽完为止． (1)小瑶同学抽到“C．解直角三角形计算题”的概率为 ． (2)请用列表或树状图的方法，求小诺同学和小真同学抽到同一题型的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了概率公式，树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）根据概率公式直接求解； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵有4个题型，且每人只做其中的一个题型，要求通过抽签的方式确定个人的作业， ∴小瑶同学抽到“C．解直角三角形计算题”的概率为， 故答案为： （2）解：画树状图如下： 由树状图可知一共有16种等可能性的结果数，小诺同学和小真同学抽到同一题型的结果数有4种， ∴小诺同学和小真同学抽到同一题型的概率是． 8．在一个不透明的袋子中装有编号为的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字．求两次数字之和大于的概率． 【答案】 【分析】本题考查了画树状图求概率，根据摸球的规则画出树状图，由树状图可知，共有种等可能的情况，其中两次数字之和大于的事件有种情况，两次数字之和大于的概率为． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的情况，其中两次数字之和大于的事件有种情况， 两次数字之和大于的概率为． 9．（24-25九年级下·吉林白城·阶段练习）从一副扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别是3、6、8、9，将这四张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取第二张，请用列表或画树状图的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字均为偶数的概率． 【答案】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 列表或画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如图． 由树状图可知共有12种等可能的结果，其中抽取的这两张牌的牌面数字均为偶数的结果有2种， 所以抽取的这两张牌的牌面数字均为偶数的概率为． 10．（2025·江苏无锡·中考真题）一个不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球，这些球除标号外都相同． (1)将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是___________； (2)将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录标号后不放回，再从袋子中任意摸出1个球，记录标号．求两次摸到的球标号均小于3的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）直接由概率公式求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一个不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球，这些球除标号外都相同， ∴将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球标号均小于3的结果有2种， ∴两次摸到的球标号均小于3的概率为． 重难点01 用列举法求概率 1．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，小莹对三个相连的方格进行涂色．在给每个方格涂色时，均从红、蓝两种颜色中随机选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列举法求概率，列举所有可能结果红红蓝，红蓝红，红蓝蓝，蓝蓝红，蓝红红，蓝红蓝，红红红，蓝蓝蓝，共种， 相邻两个方格所涂颜色不同的有种，红蓝红，蓝红蓝，然后用概率公式即可求解，掌握列举法求概率是解题的关键． 【详解】解：∵从红、蓝两种颜色中随机选取一种， ∴有红红蓝，红蓝红，红蓝蓝，蓝蓝红，蓝红红，蓝红蓝，红红红，蓝蓝蓝，共种， 相邻两个方格所涂颜色不同的有种，红蓝红，蓝红蓝， ∴故相邻两个方格所涂颜色不同的概率是， 故选：． 2．（2025·湖北武汉·中考真题）某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元、20元、30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和为50元的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查简单的概率计算．需先确定所有可能的结果数及符合条件的结果数，根据，再求概率． 【详解】抽奖盒中有三个小球，分别标有10元、20元、30元． 随机摸出两个小球的所有可能组合共有3种： 1. 10元和20元，和为30元； 2. 10元和30元，和为40元； 3. 20元和30元，和为50元． 其中，和为50元的组合只有1种（20元和30元）． 因此，所求概率为：． 故选：C． 3．（24-25九年级下·河北石家庄·阶段练习）某马场有三匹马，按身体强壮程度分为上马，中马，下马，这三匹马随机住在三个不同的马厩，甲到该马场去租马，先到第一个马厩观察后不租，再到第二个马厩，若比第一个马厩的马强壮，就直接租第二个马厩的马，若比第一个马厩的马瘦弱，就租第三个马厩的马，按这种方式，甲租到上马的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列举法求概率．列举出所有三种马排列情况，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：设上马为，中马为，下马为， 三种马排列情况共有，，，，，， 符合要求的有，，， 所以租到是A类即租到上马的概率为． 故选：A． 4．（24-25九年级上·四川达州·期末）李明同学的不透明袋子中有四张除数字外完全相同的卡片，四张卡片上分别标有数字，，，，王华同学的不透明袋子中有三张除数字外完全相同的卡片，三张卡片上分别标有数字，，．张老师先从李明同学的袋子中随机取出一张卡片，再从王华同学的袋子中随机取出一张卡片，分别用、表示张老师从李明、王华袋子中抽出的卡片上标有的数字． (1)请用画树状图法或列表法写出所有等可能的结果； (2)求抽出的能使关于的一元二次方程有实数根的概率． 【答案】(1)，，，，，，，，，，， (2) 【分析】本题考查了画树状图求概率，概率公式，一元二次方程根的判别式． （1）画出树状图，然后写出所有的可能取值即可得解； （2）利用根的判别式求出、的关系式，然后进行验证找出适合的，再根据概率公式列式计算即可得解． 【详解】（1）解：画树状图如下： 所有可能情况为：，，，，，，，，，，，． （2）解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 整理可得：， ∴适合的有，，共个， 所以，． 5．（2025·江苏·二模）如图，某景区停车场有A，B两个停车区域，其中，A区剩余2个空车位，B区剩余3个空车位．甲、乙两辆车随机停入这5个空车位中，每个车位只能停一辆车． (1)甲停在A区的概率是_______； (2)求甲、乙停在相同区域的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列举法、概率公式求概率，熟练掌握列举法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接用概率公式求解即可； （2）用列举法法得出所有等可能的结果数以及甲和乙两车恰好都停在相同区域的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：∵甲车停放的所有可能结果有5种，停在A区的只有2种， ∴甲能够停放在A区的概率是； （2）解：分别将、两个停车区域的空车位即为“”“”“”“”“”， 则根据题意列出所有可能出现的结果有：，共有10种，它们出现的可能性相同． 所有的结果中，满足“甲、乙两人停在相同区域”（记为事件）的结果有4种， 即， 所以． 重难点02 用列表法/画树状图法求概率 6．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品，以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝；B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸． A．潍坊风筝     B．东明粮画 C．青神竹编      D．延安剪纸 (1)小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是___________． (2)为宣传非物质文化遗产，小乐先从上面四幅图中任选一幅，小欢再从剩下的三幅图中任选一幅；请用画树状图或列表的方法，求两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】 本题考查了随机事件的概率计算，包括一步随机事件的概率和两步随机事件的概率．解题的关键是明确概率的计算公式（概率所求情况数与总情况数之比），并通过列表或树状图清晰呈现两步随机事件的所有可能结果． （1）确定总情况数为4，选中“青神竹编”的情况数为1，根据概率公式计算即可； （2）通过列表或树状图列出所有可能的选择结果，找出两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的结果数，再结合概率公式求解． 【详解】（1）解：总共有4幅图，随机选择一幅，选中“C．青神竹编”的情况只有1种．根据概率公式，所求概率为． 故答案为：． （2）画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的结果数为2． 所以两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率． 7．（22-23九年级上·天津河东·期末）某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全”四个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同． (1)甲选择“校园安全”主题的概率为______； (2)请用画树状图法或列表法求甲和乙选择不同主题的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了画树状图求事件的概率，熟练掌握画树状图求事件的概率是解题的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）画树状图，求得所有等可能的结果数，再找出甲和乙选择不同主题的结果数，利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：共有四种等可能结果，甲选择“校园安全”主题的结果只有一种，所以甲选择“校园安全”主题的概率为． 故答案为：． （2）解：设交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全分别为A、B、C、D， 画树状图为： ， 共有16种等可能结果，其中甲和乙选择不同主题的结果有12种， 则甲和乙选择不同主题的概率为． 8．（2025九年级下·全国·专题练习）小亮的妈妈到蛋糕店购买月饼，蛋糕店进行促销活动，月饼买二送一（买任意馅月饼两个，送任意馅月饼一个），已知月饼有豆沙馅、蛋黄馅、黑芝麻馅和五仁馅四种可选（每种被选到的可能性一样）． (1)若小亮的妈妈只打算买一个月饼，且随机挑选，则她选到豆沙馅月饼的概率是______； (2)若小亮的妈妈参加买二送一活动，但这时送的月饼只剩下蛋黄馅的，请用列表或画树状图的方法，求出小亮妈妈最后拿到的三个月饼中，蛋黄馅月饼不少于两个的概率． 【答案】(1) (2)见解析， 【分析】（1）依据古典概型概率公式，总共有种月饼可选，豆沙馅是其中种，此类题核心是明确所有可能结果数和符合条件的结果数，从而可计算概率； （2）本题需通过树状图列举出买二送一的所有可能结果，再找出蛋黄馅月饼不少于两个的结果数，最后根据概率公式计算，关键是正确绘制树状图并准确统计结果数． 【详解】（1）解：已知月饼有豆沙馅、蛋黄馅、黑芝麻馅和五仁馅四种，且每种被选到的可能性一样， 根据概率公式， 选一个月饼时，所有可能的结果数是，选到豆沙馅月饼的结果数是， 因此，． 故答案为：． （2）解：将豆沙馅、蛋黄馅、黑芝麻馅和五仁馅月饼分别记为，画树状图如图： 由树状图可知，共有种等可能的结果，小亮的妈妈最后拿到的三个月饼中，蛋黄馅月饼不少于两个的结果有种， ． 【点睛】这道题考查概率的计算，包括古典概型的概率求解和通过列表法或树状图法分析概率，掌握概率的定义、列表法或树状图法的正确绘制是解题的关键． 9．（2025九年级下·全国·专题练习）团委招募志愿者进行宣传活动，团支书决定从某班4名女团员（小悦、小慧、小艳和小倩）中通过抽签的方式确定2名女团员去参加．抽签规则：将4名女团员的姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在案面上，团支书先从中随机抽取1张卡片，记下姓名，再从剩余的3张卡片中随机抽取第2张，记下姓名． (1)“该班男生小明被抽中”是________事件，“小悦被抽中”是________事件；（填“不可能”“必然”或“随机”） (2)请你用画树状图或列表的方法求出小慧被抽中的概率． 【答案】(1)不可能；随机 (2) 【分析】（1）根据事件的类型定义，判断该班男生小明被抽中和小悦被抽中分别属于哪种事件． （2）通过列表法列出所有可能的抽取结果，再找出小慧被抽中的结果数，利用概率公式求解． 【详解】（1）解：“该班男生小明被抽中”：因为抽取的是4名女团员，所以是不可能事件； “小悦被抽中”：结果不确定，是随机事件． （2）解：记小悦、小慧、小艳和小倩这4名女团员分别为，列表如下： 第一次第二次 - - - - 由表可知，共有12种等可能的结果，其中小慧被抽中的结果有6种， 小慧被抽中的概率为． 【点睛】本题考查事件的分类与概率的计算，掌握通过列表法列举所有可能结果，利用概率公式求解概率是解题的关键． 10．（2025·陕西·中考真题）某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次． (1)将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为_____； (2)将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据简单地概率公式计算解答即可； （2）利用画树状图法或列表法计算概率即可． 本题考查了概率的计算，熟练掌握概率公式和画树状图活列表法计算概率是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得：摸出标有数字1的小球的概率为， 故答案为：． （2）解：列表如下： 甲 乙 1 2 3 4 1 － （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） － （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） － （3，4） 4 （4，1） （4，2） （4，3） － 由上表可知，共有12种等可能的结果， 其中甲、乙两队在决赛时赛道相邻的结果有6种， ． 重难点03 几何概型 11．（2024·安徽·模拟预测）如图是由个相同的小正方形和个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点，则点落在阴影部分的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何概率，分别求得阴影部分的面积是解题的关键．设小正方形的边长为，则大正方形的边长为，根据题意，分别求得阴影部分面积和总面积，根据概率公式即可求解． 【详解】解：设小正方形的边长为，则大正方形的边长为， ∴总面积为， 阴影部分的面积为， ∴点落在阴影部分的概率为， 故选：B． 12．（24-25九年级下·河北石家庄·阶段练习）某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个如图所示的可以自由转动的质地均匀的转盘，开展有奖购物活动，顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得一袋苹果；指针落在“一袋橘子”的区域就可以获得一袋橘子．转动转盘2次，苹果和橘子都获得的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，可以看成有2袋苹果，1袋橘子，画树状图进而可得答案． 【详解】解：转动转盘1次，获得一袋橘子的概率为，获得一袋苹果的概率为，可以看成有2袋苹果，1袋橘子，画树状图如下： ∴转动转盘2次，共9种情况，其中苹果和橘子都获得的有4种情况， ∴转动转盘2次，苹果和橘子都获得的概率是， 故选：D． 13．（22-23九年级下·湖北黄冈·自主招生）如图，在圆心角为直角的扇形中，分别以、为直径作两个半圆．向直角扇形内随机取一点，则该点刚好来自阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设扇形的半径为r，则扇形的面积为，根据将下面的阴影正好平分两部分，且这两部分绕点C旋转后正好可以与、上方的空白部分重叠，求出阴影部分的面积为：，然后求出概率即可． 【详解】解：设扇形的半径为r，则扇形的面积为，记以、为直径的两个半圆的另一个交点为，    如图，连接，，，， ∵，， ∴， ∵点C在半圆上， ∴， ∴在上，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴将下面的阴影正好平分为两部分，且这两部分绕点C旋转后正好可以与、上方的空白部分重叠， ∴阴影部分的面积为：， ∴在扇形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了求几何概率，扇形面积的计算，等腰三角形的判定和性质，直径所对的圆周角为直角，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，求出阴影部分的面积． 14．（24-25九年级下·山东·开学考试）如图，的对角线，相交于点，、过点，且点，在边上，点，在边上，向内部投掷飞镖（每次均落在内，且落在内任何一点的机会均等），飞镖恰好落在阴影区域的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查几何概率、中心对称的性质，正确记忆相关知识是解题关键． 所求概率等于阴影部分面积与平行四边形面积之比． 【详解】解：由题意可知：和关于点中心对称， ， ， 飞镖恰好落在阴影区域的概率． 故答案为：． 15．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）某商场举办有奖促销活动，凡购买一定金额的商品，即可参与转盘抽奖．如图，转盘分为，，，四个区域，自由转动转盘，指针对准，，，区域时，分别对应“谢谢惠顾”“一等奖”“二等奖”“三等奖”，转到指针对准公共线位置时重转． (1)若某顾客转动一次转盘，求其获得“一等奖”的概率． (2)若某顾客转动一次转盘，求其中奖的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．掌握几何概率的求法是解本题的关键． （1）求出字母所在的区域的圆心角度数，再根据概率公式即可求解． （2）求出中奖区域的圆心角度数，再根据概率公式即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得：区域对应“一等奖”， 设顾客转动一次转盘，其获得“一等奖”为事件， 由图知字母所在的区域的圆心角度数为， 则， 答：顾客转动一次转盘，其获得“一等奖”的概率为． （2）解：设顾客转动一次转盘，中奖为事件， 则， 答：顾客转动一次转盘，其中奖的概率为． 重难点04 已知概率的结果还原事件 16．（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段练习）袋中有黑球6个，白球有若干个，这些球除颜色外都相同，通过多次摸球实验发现，摸到白球的频率稳定在附近，则袋中有白球（   ） A．3个 B．2个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了随机概率，利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键． 由摸到白球的频率稳定在附近，可以得出口袋中得到白色球的概率，然后求得口袋中得到黑色球的概率，然后即可求解． 【详解】解：∵通过多次摸球实验发现，摸到白球的频率稳定在附近， ∴袋中得到白球的概率为， ∴袋中得到黑球的概率为：， ∵袋中有黑球6个， ∴袋中球的总个数为：个， ∴袋中有白球：个； 故选：C； 17．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）已知一个袋子中装有5个红球，个黑球，10个白球，这些球除颜色外其余都相同．若从袋子中摸出一个黑球和一个白球后（不放回），再摸出一个球是红球的概率为，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查概率的计算，解题的关键是根据概率公式列出方程求解． 先确定摸出一个黑球和一个白球后剩余球的总数以及红球的数量，再根据概率公式列方程求解． 【详解】解：袋子中原本有5个红球，个黑球，10个白球，那么球的总数是个， 摸出一个黑球和一个白球后（不放回），此时剩余球的总数为个，红球的数量始终是5个， 已知再摸出一个球是红球的概率为， 根据概率公式，可得． 解得：． 故选：B． 18．（24-25六年级下·全国·单元测试）在一个不透明的盒子中，装有个除颜色外其他均相同的小球．已知从盒中任意摸出一球是白球的概率为，若将这一事件的概率提升至，则需要增加白球的个数为 【答案】 【分析】本题考查了概率公式，设需要增加白球个，由题意可得，解之即可求解，掌握概率公式是解题的关键． 【详解】解：设需要增加白球个， 由题意可得，， 解得， 经检验：是原方程的解， ∴需要增加白球个． 故答案为：． 19．（23-24九年级下·湖南衡阳·自主招生）在一个不透明口袋中放着5只红球，其余是黑球和白球，它们除颜色不同外，其余都相同，若从中随机摸出一个黑球的概率是摸出一个白球的概率是则黑球与白球的个数和是 ． 【答案】 【分析】此题考查了已知概率求数量．设球的总数为个，求出球的总数，再求出黑球的个数和白球的个数，即可得到黑球与白球的个数和． 【详解】解：设球的总数为个，则由题意可得，红球的概率为， ∴， 解得， 经检验，是方程的解且符合题意； 即球的总数为个， ∴黑球的个数为，白球的个数为， ∴黑球与白球的个数和是， 故答案为： 20．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）在一个不透明的袋子中装有6个白色乒乓球和10个黄色乒乓球，这些乒乓球除颜色外都相同． (1)求从袋子中随机摸出1个乒乓球是白球的概率； (2)小明从袋子中取出x个黄色乒乓球，同时又放入相同数目的白色乒乓球，发现随机摸出一个乒乓球是白球的概率为，求x的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查了概率公式的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握概率公式． （1）根据概率公式计算即可； （2）根据随机摸出一个乒乓球是白球的概率为，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：从袋子中随机摸出1个乒乓球是白球的概率为； （2）解：由题意得：， 解得：， 答：x的值为． 重难点05 用频率估计概率 21．（23-24九年级下·河北·阶段练习）一只不透明的袋子中装有红球和白球共30个，这些球除了颜色外都相同，校课外学习小组做摸球实验，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球的频率是0.2，则袋中有 个红球． 【答案】6 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系． 在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【详解】解：设袋中有x个红球，则， 解得． 故答案为：6． 22．（24-25九年级下·湖北武汉·开学考试）如图，小明在操场上做游戏，他在沙地上画了一个面积为15的矩形，并在四个角画上面积不等的扇形，在不远处的固定位置向矩形内部投石子，记录如下（石子不会落在矩形外面和各区域边缘）： 投石子的总次数 50次 150次 300次 600次 石子落在空白区域内的次数 14次 85次 199次 400次 石子落在空白区域内的频率 请根据表格中的数据估计矩形中空白部分的面积是 ． 【答案】10 【分析】本题考查的是利用频率计算概率在实际生活中的运用，需同学们细心解答．关键是得到空白部分面积与矩形面积的比；用规则图形来估计不规则图形的比是常用的方法．计算出石子落在空白部分的概率，即空白部分面积与总面积的比值，从而可计算出空白部分的面积． 【详解】解：根据统计表，可得石子落在空白部分的概率为， ∴空白部分的面积， 故答案为：10． 23．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）2024年11月，中国苹果产业协会和国家苹果产业技术体系最新联合发布，截至目前，中国苹果产量世界第一，当前我国已培育自主产权苹果新品种152个．某科学研究院为研究一类新品种苹果树的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如表所示，估计这一类新品种苹果树成活的概率为 ． 移植总数 50 270 400 750 1500 3500 7000 10000 14000 成活总数 47 235 369 682 1359 3203 6398 9102 12782 成活率 【答案】 【分析】根据众数解答即可． 本题考查了频数估计概率，众数，熟练掌握众数，频率估计概率是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得频率的众数是，概率稳定在， 故新品种苹果树成活的概率为． 故答案为：． 24．（2025·甘肃武威·模拟预测）某班学生就老百姓最关注的热点问题，在网络上发布了相应的调查问卷．到目前为止，共有不同年龄段的2880人参与，具体情况统计如下： 抽取的30-35岁人群的关注情况 关心问题 频数 频率 收入分配 90 0.25 住房问题 0.15 物价调控 36 0.1 医疗改革 18 养老保险 0.15 其他 108 合计 所调查的2880人年龄的分布情况 (1)根据统计表可得： _____， _____， _____， _____． (2)扇形图中表示30-35岁的扇形的圆心角是多少度？ (3)在参加调查的30-35岁段中随机抽取一人，关心物价调控或医疗改革的概率是多少？ (4)从上表中，你还能获得其他的信息吗（写出一条即可）？ 【答案】(1) (2)度； (3) (4)所调查的2880人中年龄在-40岁的人数最多． 【分析】此题考查了频率估计概率，频数分布统计表，扇形圆心角等知识． （1）根据频数分布统计表求出相关数据即可； （2）用占比乘以即可得到答案； （3）用频率估计概率即可； （4）根据数据进行回答即可． 【详解】（1）解：观察频数统计表可知：, 故答案为： （2） 即扇形图中表示30-35岁的扇形的圆心角是度； （3）关心物价调控或医疗改革的概率是 （4）所调查的2880人中年龄在-40岁的人数最多（答案不唯一） 25．（22-23七年级下·陕西·期末）从一副52张（没有大小王）的扑克中，每次抽出1张，然后放回洗匀再抽，在实验中得到下列表中部分数据： 实验次数 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 出现方块的次数 11 18 40 49 63 68 80 91 100 出现方块的频率 (1)填空：______，______； (2)从上面的表中可以估计从中随机抽取一张是方块的概率是______； (3)将这副扑克中的所有方块（即从方块1到方块13，共13张，其中A表示1，表示11，表示12，表示13）取出，将这13张方块扑克牌背面朝上重新洗匀后，从中任意摸出一张，若摸出的这张牌面数字为奇数，则甲方赢，若摸出的这张牌的牌面数字是偶数，则乙方赢，你认为这个游戏对双方是公平的吗？并说明理由． 【答案】(1)30， (2) (3)这个游戏对双方不公平，理由见详解 【分析】本题主要考查了概率与游戏的公平，理解题意是正确解答此题的关键． （1）根据表格中的数据计算即可； （2）从表中得出，出现方块的频率稳定在了，故可以估计出现方块的概率； （3）分别求得概率再比较可得结论不公平． 【详解】（1）解：，， 故答案为：30，； （2）解：从表中得出，出现方块的频率稳定在了，故可以估计出现方块的概率为， 故答案为：； （3）解：不公平， 理由：∵在方块1到方块13共13张牌中，奇数有7个，偶数有6个， ∴甲方赢的概率为，乙方赢的概率为， 由于， 所以这个游戏对双方不公平． 重难点06 概率与统计综合 26．（2025·江苏苏州·模拟预测）某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展．为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图： 请结合上述信息，解答下列问题： (1)补全调查结果的条形统计图； (2)小刚和小强分别从五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的信息识别，用树状图或列表求概率，解决此题的关键是正确的计算； （1）根据条形统计图和扇形统计图的信息得到总的人数，再根据圆心角的所占比例算出结果即可补全条形统计图； （2）审清题意可知，列出树状图得到结果即可； 【详解】（1）解：由题意可得： 总的人数为：（人） 选厨艺的人数为：（人） 选园艺的人数为；（人） （2）解：把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为A，B，C，D，E，画树状图如下： 共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种， ∴小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为． 27．（2024·湖北·模拟预测）为加强体育锻炼，某校体育兴趣小组，随机抽取部分学生，对他们在一周内体育锻炼的情况进行问卷调查，根据问卷结果，绘制成如下统计图．请根据相关信息，解答下列问题： 某校学生一周体育锻炼调查问卷 以下问题均为单选题，请根据实际情况填写（其中0～4表示大于等于0同时小于4） 问题1：你平均每周体育锻炼的时间大约是 A．0～4小时  B．4～6小时 C．6～8小时  D．8小时及以上 问题2：你体育锻炼的动力是 E．家长要求  F．学校要求 G．自己主动  H．其他 (1)参与本次调查的学生共有________人，选择“自己主动”体育锻炼的学生有________人； (2)已知该校有2600名学生，若每周体育锻炼8小时以上（含8小时）可评为“运动之星”，请估计全校可评为“运动之星”的人数； (3)学校要从评为“运动之星”的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“体育锻炼宣传员”，则抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率是多少？ 【答案】(1)200，122 (2)442人 (3) 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的识别与应用、用树状图或列表求概率： （1）由条形统计图可计算参与本次调查的学生人数，结合扇形统计图中比例可求选择“自己主动”体育锻炼的学生人数； （2）用总人数2600乘以问卷调查中“运动之星”所占的比例即可估计全校可评为“运动之星”的人数； （3）画出树状图或者列表即可解答． 【详解】（1）解：由条形统计图可知，参与本次调查的学生共有（人）， 选择“自己主动”体育锻炼的学生有（人）， 故答案为：200，122； （2）解：全校可评为“运动之星”的人数约为（人）； （3）解：画出树状图： 共有12种等可能结果，其中刚好为甲和丁有2种， ∴概率为． 28．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）2024年，教育部先后印发对中小学生手机、睡眠、读物、作业、体质管理的通知，简称五项管理，是教育部旨在推进立德树人，促进学生身体健康、全面发展的重大举措．成都立格实验学校高度重视并积极推进五项管理．为了解立格学子手机使用情况，学校调查了部分学生寒假每天手机使用平均时长．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)参加这次调查的学生人数为_______，图①中m的值为_________； (2)求参与调查的这组学生手机使用平均时长为4小时的圆心角度数_______； (3)通过调查分析发现，手机使用时长和学习成绩成负相关，为此，学校准备在参与调查的每天手机使用平均时长为1小时的四位同学（三男一女）中任选两位同学在全校做分享交流，请用列表或画树状图的方法，求选中两男的概率． 【答案】(1)40，15 (2) (3) 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图、利用列举法求概率，熟练掌握统计调查的相关知识和列举法是解题关键． （1）根据每天使用手机为2小时的人数除以其所占的百分比求出调查总人数；根据每天使用手机为4小时的人数除以调查的总人数即可得的值； （2）利用乘以每天使用手机为4小时的人数所占的百分比即可得； （3）将三位男同学分别记为，一位女同学记为，先画出树状图，从而可得从四位同学（三男一女）中任选两位同学的所有等可能的结果，再找出选中两男的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【详解】（1）解：参加这次调查的学生人数为（人）， 则， 所以， 故答案为：40，15． （2）解：， 即参与调查的这组学生手机使用平均时长为4小时的圆心角度数为， 故答案为：． （3）解：将三位男同学分别记为，一位女同学记为， 由题意，画出树状图如下： 由图可知，从四位同学（三男一女）中任选两位同学共有12种等可能的结果，其中，选中两男的结果有6种， 所以选中两男的概率为， 答：选中两男的概率为． 29．（2024·湖南·模拟预测）第19届亚运会于2023年在杭州举办，亚运会是亚洲最高规格的国际综合性体育赛事，这一届亚运会以“中国特色、亚洲风采、精彩纷呈”为目标，秉持“绿色，智能、节俭、文明”的办会理念，吸引了共45个国家和地区的代表队、12000多名运动员报名参加，共颁发金牌482枚．某校新闻社团的同学根据各个国家获得的金牌数绘制了如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图． 金牌排名 国家/地区 金牌 1 中国 201 2 日本 52 3 韩国 42 4 印度 28 5 其他国家和地区 m 根据以上信息，解答下列问题： (1)求_______；_______；（结果精确到0.1） (2)在扇形统计图中，求印度国家代表队所得金牌数对应扇形的圆心角度数；（结果精确到1°） (3)为提高学生体育锻炼的积极性，该校顺应时势组织学生运动会，并特别购买了亚运会吉祥物机器人琮琮、莲莲和宸宸作为学生运动员获奖的奖品．某获奖运动员从三个机器人中随机抽取一个机器人，然后放回摇匀，再随机抽取一次，请用列表或画树状图的方法求两次抽到的是同一个机器人的概率． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了统计图、求扇形的圆心角度数，解题的关键是读得懂图表． （1）用总数减去前四名即可得到；根据中国金牌数除以总金牌数即可得出中国金牌占比； （2）利用印度国家代表队所得金牌占比乘上即可； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次取出的机器人相同的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】（1），. （2）． 答：印度国家代表队所得金牌数对应扇形的圆心角度数约为． （3）将三个机器人分别记为，，，画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次抽到的是同一个机器人的结果有3种， 两次抽到的是同一个机器人的概率为． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 对概率的进一步认识 1. 列表法 当事件中涉及__________，并且可能出现的结果数目较多时，用__________不重不漏地列出所有可能的结果，这种方法叫列表法. 列表求概率的“三步骤”： 1）列表：分清一次试验中所涉及的__________因素，一个为__________，另一个为__________. 2）计数：通过表格的数据，分别求出__________n，和__________ m. 3）计算：代入公式，计算求出结果. 2. 树状图法 当一次试验要涉及__________或__________的因素时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求事件发生的概率 3. 频率的稳定性 对一般的随机事件，在做大量__________时，随着试验次数的__________，一个事件出现的频率，总在一个__________的附近摆动，显示出一定的__________. 4. 用频率估计概率 一般地，在大量重复试验中，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会稳定于某个常数p，我们称事件A发生的概率为__________. 适用情况：试验的所有可能结果不是有限个或各种结果发生的可能性不相等. 序号 易错点 易错题 注意事项 1 游戏公平性 1-5 游戏双方获胜的概率相等，说明游戏是公平的，否则说明游戏不公平. 2 “放回”与“不放回”为问题 6-10 若是有放回的，则第一次出现的结果，第二次仍然可以出现；若是无放回的，则第一次出现的结果，第二次就不可能再出现. 1．（2025·陕西·模拟预测）华山，古称“西岳”，雅称“太华山”，为中国著名的五岳之一，位于陕西省渭南市华阴市，有着“奇险天下第一山”的美誉．小宇和小辰做游戏：小宇将他去华山游玩时拍的两张风景照片打印出来，如图所示的甲、乙图片，然后把这两张图片从中间剪断，分成4张形状相同的小图片，将其混合在一起洗匀，背面朝上放置在桌面上．小宇先从这4张图片中随机抽取一张（不放回），小辰接着再随机抽取一张．（设4张小图片分别用表示） (1)小宇抽取的图片是甲图片上半部分的概率是_________； (2)若规定：抽取的两张小图片中，能拼成一张完整的图片，则小宇获胜；否则小辰获胜．你认为这个游戏公平吗？请你用列表或画树状图的方法计算说明理由． __________2．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）甲、乙两人玩如图所示的转盘游戏，游戏规则是：转盘被平均分为个区域，颜色分别为黑、白、红，转动转盘时，指针指向的颜色，即为转出的颜色（如果指针指在两区域的分界线上，则重转一次）．两人参与游戏，一人转动两次转盘，另一人对转出的颜色进行猜测．若转出的颜色与猜测的人描述的特征相符，则猜测的人获胜；否则，转动转盘的人获胜．猜测的方法从下面三种方案中选一种． ．猜“颜色相同” ； ．猜“一定有黑色”； ．猜“没有黑色”．    请利用所学的概率知识回答下列问题： (1)用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果； (2)如果你是猜测的人，你将选择哪种猜测方案，才能使自己获胜的可能性最大？为什么？ 3．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，小明和小春制作了两个质地均匀、可以自由转动的转盘，A盘被等分为四个扇形，上面分别标有数字1，2，4，5；B盘中圆心角为的扇形上面标有数字3，其余部分上面标有数字 如图，是两个质地均匀、可以自由转动的转盘，A盘被等分为四个扇形，上面分别标 (1)小明转动一次A盘，指针指向数字为2的概率是 ； (2)小明和小春用如图所示的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别旋转两个转盘，将A盘转出的数字作为被减数，B盘转出的数字作为减数；如果差为正数，则小春胜；若差为负数，则小明胜．这个游戏对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由． 4．（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）小王和小李两人只有一张电影票，两人想通过摸球的方式来决定谁去看电影，规则如下：第一个盒子内装入标有数字1，2，3，4的四个完全相同的小球，第二个盒子内装入标有数字1，2，3的三个完全相同的小球，分别从两个盒子中各摸出一个球，如果所摸出的球上的数字之和小于6，那么小王去，否则就是小李去． (1)用树状图或列表法求出小王去的概率； (2)小李说这种规则不公平，因此将规则做了如下调整：如果数字之和小于6得分，不小于6得分，、满足什么关系时，才能确保规则公平？ 5．（24-25七年级下·河北保定·期末）小明和哥哥都很想去看足球比赛，爸爸只买到了一张门票，最后商定通过转盘游戏决定去观看比赛．游戏规则是：转动如图1所示的转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色小明去；若转盘指针指向蓝色或黄色，哥哥去；如果指针恰好指向白色或指向分割线，重新转动． (1)求小明去观看足球比赛的概率； (2)你认为这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计出一种公的游戏规则； (3)请你利用图2所示转盘，设计一个转盘游戏，使得小明去的概率为，并简要说明游戏规则． 6．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）小明和小刚做游戏，游戏规则如下：将分别标有数字，，，4的个小球放入一个不透明的袋子中，这些球除数字外都相同．从中随机摸出一个球记下数字后放回，再从中随机摸出一个球记下数字．若两次数字差的绝对值小于，则小明获胜，否则小刚获胜．求小明获胜的概率． 7．（2025·山东青岛·模拟预测）某校九年级二班的数学作业设置了“A．概率题、B．统计题、C．解直角三角形计算题、D．二次函数的应用——利润问题”四个题型，每人只做其中的一个题型，要求通过抽签的方式确定个人的作业，抽签规则如下：将正面写有A、B、C、D的四张卡片（除了字母外，其余均相同）背面向上，洗匀，由第一个同学抽取，记下字母，放回，洗匀；再由第二个同学抽取，以此类推，直到全班抽完为止． (1)小瑶同学抽到“C．解直角三角形计算题”的概率为 ． (2)请用列表或树状图的方法，求小诺同学和小真同学抽到同一题型的概率． 8．在一个不透明的袋子中装有编号为的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字．求两次数字之和大于的概率． 9．（24-25九年级下·吉林白城·阶段练习）从一副扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别是3、6、8、9，将这四张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取第二张，请用列表或画树状图的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字均为偶数的概率． 10．（2025·江苏无锡·中考真题）一个不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球，这些球除标号外都相同． (1)将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是_； (2)将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录标号后不放回，再从袋子中任意摸出1个球，记录标号．求两次摸到的球标号均小于3的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 重难点01 用列举法求概率 1．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，小莹对三个相连的方格进行涂色．在给每个方格涂色时，均从红、蓝两种颜色中随机选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北武汉·中考真题）某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元、20元、30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和为50元的概率是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·河北石家庄·阶段练习）某马场有三匹马，按身体强壮程度分为上马，中马，下马，这三匹马随机住在三个不同的马厩，甲到该马场去租马，先到第一个马厩观察后不租，再到第二个马厩，若比第一个马厩的马强壮，就直接租第二个马厩的马，若比第一个马厩的马瘦弱，就租第三个马厩的马，按这种方式，甲租到上马的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·四川达州·期末）李明同学的不透明袋子中有四张除数字外完全相同的卡片，四张卡片上分别标有数字，，，，王华同学的不透明袋子中有三张除数字外完全相同的卡片，三张卡片上分别标有数字，，．张老师先从李明同学的袋子中随机取出一张卡片，再从王华同学的袋子中随机取出一张卡片，分别用、表示张老师从李明、王华袋子中抽出的卡片上标有的数字． (1)请用画树状图法或列表法写出所有等可能的结果； (2)求抽出的能使关于的一元二次方程有实数根的概率． 5．（2025·江苏·二模）如图，某景区停车场有A，B两个停车区域，其中，A区剩余2个空车位，B区剩余3个空车位．甲、乙两辆车随机停入这5个空车位中，每个车位只能停一辆车． (1)甲停在A区的概率是_______； (2)求甲、乙停在相同区域的概率． 重难点02 用列表法/画树状图法求概率 6．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品，以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝；B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸． A．潍坊风筝     B．东明粮画 C．青神竹编      D．延安剪纸 (1)小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是_． (2)为宣传非物质文化遗产，小乐先从上面四幅图中任选一幅，小欢再从剩下的三幅图中任选一幅；请用画树状图或列表的方法，求两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率． 7．（22-23九年级上·天津河东·期末）某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全”四个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同． (1)甲选择“校园安全”主题的概率为______； (2)请用画树状图法或列表法求甲和乙选择不同主题的概率．， 8．（2025九年级下·全国·专题练习）小亮的妈妈到蛋糕店购买月饼，蛋糕店进行促销活动，月饼买二送一（买任意馅月饼两个，送任意馅月饼一个），已知月饼有豆沙馅、蛋黄馅、黑芝麻馅和五仁馅四种可选（每种被选到的可能性一样）． (1)若小亮的妈妈只打算买一个月饼，且随机挑选，则她选到豆沙馅月饼的概率是______； (2)若小亮的妈妈参加买二送一活动，但这时送的月饼只剩下蛋黄馅的，请用列表或画树状图的方法，求出小亮妈妈最后拿到的三个月饼中，蛋黄馅月饼不少于两个的概率． 由树状图可知，共有种等可能的结果，小亮的妈妈最后拿到的三个月饼中，蛋黄馅月饼不少于两个的结果有种， ． 9．（2025九年级下·全国·专题练习）团委招募志愿者进行宣传活动，团支书决定从某班4名女团员（小悦、小慧、小艳和小倩）中通过抽签的方式确定2名女团员去参加．抽签规则：将4名女团员的姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在案面上，团支书先从中随机抽取1张卡片，记下姓名，再从剩余的3张卡片中随机抽取第2张，记下姓名． (1)“该班男生小明被抽中”是________事件，“小悦被抽中”是________事件；（填“不可能”“必然”或“随机”） (2)请你用画树状图或列表的方法求出小慧被抽中的概率． 10．（2025·陕西·中考真题）某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次． (1)将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为_____； (2)将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率． 重难点03 几何概型 11．（2024·安徽·模拟预测）如图是由个相同的小正方形和个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点，则点落在阴影部分的概率为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级下·河北石家庄·阶段练习）某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个如图所示的可以自由转动的质地均匀的转盘，开展有奖购物活动，顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得一袋苹果；指针落在“一袋橘子”的区域就可以获得一袋橘子．转动转盘2次，苹果和橘子都获得的概率是（   ） A． B． C． D． 13．（22-23九年级下·湖北黄冈·自主招生）如图，在圆心角为直角的扇形中，分别以、为直径作两个半圆．向直角扇形内随机取一点，则该点刚好来自阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25九年级下·山东·开学考试）如图，的对角线，相交于点，、过点，且点，在边上，点，在边上，向内部投掷飞镖（每次均落在内，且落在内任何一点的机会均等），飞镖恰好落在阴影区域的概率为 ． 15．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）某商场举办有奖促销活动，凡购买一定金额的商品，即可参与转盘抽奖．如图，转盘分为，，，四个区域，自由转动转盘，指针对准，，，区域时，分别对应“谢谢惠顾”“一等奖”“二等奖”“三等奖”，转到指针对准公共线位置时重转． (1)若某顾客转动一次转盘，求其获得“一等奖”的概率． (2)若某顾客转动一次转盘，求其中奖的概率． 重难点04 已知概率的结果还原事件 16．（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段练习）袋中有黑球6个，白球有若干个，这些球除颜色外都相同，通过多次摸球实验发现，摸到白球的频率稳定在附近，则袋中有白球（   ） A．3个 B．2个 C．4个 D．5个 17．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）已知一个袋子中装有5个红球，个黑球，10个白球，这些球除颜色外其余都相同．若从袋子中摸出一个黑球和一个白球后（不放回），再摸出一个球是红球的概率为，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 18．（24-25六年级下·全国·单元测试）在一个不透明的盒子中，装有个除颜色外其他均相同的小球．已知从盒中任意摸出一球是白球的概率为，若将这一事件的概率提升至，则需要增加白球的个数为 19．（23-24九年级下·湖南衡阳·自主招生）在一个不透明口袋中放着5只红球，其余是黑球和白球，它们除颜色不同外，其余都相同，若从中随机摸出一个黑球的概率是摸出一个白球的概率是则黑球与白球的个数和是 ． 20．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）在一个不透明的袋子中装有6个白色乒乓球和10个黄色乒乓球，这些乒乓球除颜色外都相同． (1)求从袋子中随机摸出1个乒乓球是白球的概率； (2)小明从袋子中取出x个黄色乒乓球，同时又放入相同数目的白色乒乓球，发现随机摸出一个乒乓球是白球的概率为，求x的值． 重难点05 用频率估计概率 21．（23-24九年级下·河北·阶段练习）一只不透明的袋子中装有红球和白球共30个，这些球除了颜色外都相同，校课外学习小组做摸球实验，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球的频率是0.2，则袋中有 个红球． 22．（24-25九年级下·湖北武汉·开学考试）如图，小明在操场上做游戏，他在沙地上画了一个面积为15的矩形，并在四个角画上面积不等的扇形，在不远处的固定位置向矩形内部投石子，记录如下（石子不会落在矩形外面和各区域边缘）： 投石子的总次数 50次 150次 300次 600次 石子落在空白区域内的次数 14次 85次 199次 400次 石子落在空白区域内的频率 请根据表格中的数据估计矩形中空白部分的面积是 ． 23．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）2024年11月，中国苹果产业协会和国家苹果产业技术体系最新联合发布，截至目前，中国苹果产量世界第一，当前我国已培育自主产权苹果新品种152个．某科学研究院为研究一类新品种苹果树的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如表所示，估计这一类新品种苹果树成活的概率为 ． 移植总数 50 270 400 750 1500 3500 7000 10000 14000 成活总数 47 235 369 682 1359 3203 6398 9102 12782 成活率 24．（2025·甘肃武威·模拟预测）某班学生就老百姓最关注的热点问题，在网络上发布了相应的调查问卷．到目前为止，共有不同年龄段的2880人参与，具体情况统计如下： 抽取的30-35岁人群的关注情况 关心问题 频数 频率 收入分配 90 0.25 住房问题 0.15 物价调控 36 0.1 医疗改革 18 养老保险 0.15 其他 108 合计 所调查的2880人年龄的分布情况 (1)根据统计表可得： _____， _____， _____， _____． (2)扇形图中表示30-35岁的扇形的圆心角是多少度？ (3)在参加调查的30-35岁段中随机抽取一人，关心物价调控或医疗改革的概率是多少？ (4)从上表中，你还能获得其他的信息吗（写出一条即可）？ 25．（22-23七年级下·陕西·期末）从一副52张（没有大小王）的扑克中，每次抽出1张，然后放回洗匀再抽，在实验中得到下列表中部分数据： 实验次数 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 出现方块的次数 11 18 40 49 63 68 80 91 100 出现方块的频率 (1)填空：______，______； (2)从上面的表中可以估计从中随机抽取一张是方块的概率是______； (3)将这副扑克中的所有方块（即从方块1到方块13，共13张，其中A表示1，表示11，表示12，表示13）取出，将这13张方块扑克牌背面朝上重新洗匀后，从中任意摸出一张，若摸出的这张牌面数字为奇数，则甲方赢，若摸出的这张牌的牌面数字是偶数，则乙方赢，你认为这个游戏对双方是公平的吗？并说明理由． 重难点06 概率与统计综合 26．（2025·江苏苏州·模拟预测）某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展．为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图： 请结合上述信息，解答下列问题： (1)补全调查结果的条形统计图； (2)小刚和小强分别从五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率． 27．（2024·湖北·模拟预测）为加强体育锻炼，某校体育兴趣小组，随机抽取部分学生，对他们在一周内体育锻炼的情况进行问卷调查，根据问卷结果，绘制成如下统计图．请根据相关信息，解答下列问题： 某校学生一周体育锻炼调查问卷 以下问题均为单选题，请根据实际情况填写（其中0～4表示大于等于0同时小于4） 问题1：你平均每周体育锻炼的时间大约是 A．0～4小时  B．4～6小时 C．6～8小时  D．8小时及以上 问题2：你体育锻炼的动力是 E．家长要求  F．学校要求 G．自己主动  H．其他 (1)参与本次调查的学生共有________人，选择“自己主动”体育锻炼的学生有________人； (2)已知该校有2600名学生，若每周体育锻炼8小时以上（含8小时）可评为“运动之星”，请估计全校可评为“运动之星”的人数； (3)学校要从评为“运动之星”的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“体育锻炼宣传员”，则抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率是多少？ 28．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）2024年，教育部先后印发对中小学生手机、睡眠、读物、作业、体质管理的通知，简称五项管理，是教育部旨在推进立德树人，促进学生身体健康、全面发展的重大举措．成都立格实验学校高度重视并积极推进五项管理．为了解立格学子手机使用情况，学校调查了部分学生寒假每天手机使用平均时长．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)参加这次调查的学生人数为_______，图①中m的值为_________； (2)求参与调查的这组学生手机使用平均时长为4小时的圆心角度数_______； (3)通过调查分析发现，手机使用时长和学习成绩成负相关，为此，学校准备在参与调查的每天手机使用平均时长为1小时的四位同学（三男一女）中任选两位同学在全校做分享交流，请用列表或画树状图的方法，求选中两男的概率． 29．（2024·湖南·模拟预测）第19届亚运会于2023年在杭州举办，亚运会是亚洲最高规格的国际综合性体育赛事，这一届亚运会以“中国特色、亚洲风采、精彩纷呈”为目标，秉持“绿色，智能、节俭、文明”的办会理念，吸引了共45个国家和地区的代表队、12000多名运动员报名参加，共颁发金牌482枚．某校新闻社团的同学根据各个国家获得的金牌数绘制了如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图． 金牌排名 国家/地区 金牌 1 中国 201 2 日本 52 3 韩国 42 4 印度 28 5 其他国家和地区 m 根据以上信息，解答下列问题： (1)求_______；_______；（结果精确到0.1） (2)在扇形统计图中，求印度国家代表队所得金牌数对应扇形的圆心角度数；（结果精确到1°） (3)为提高学生体育锻炼的积极性，该校顺应时势组织学生运动会，并特别购买了亚运会吉祥物机器人琮琮、莲莲和宸宸作为学生运动员获奖的奖品．某获奖运动员从三个机器人中随机抽取一个机器人，然后放回摇匀，再随机抽取一次，请用列表或画树状图的方法求两次抽到的是同一个机器人的概率． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $