专题26.3 实践与探索（二次函数的应用，高效培优讲义）数学华东师大版九年级下册

专题26.3 实践与探索 教学目标 1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题. 2.利用二次函数解决拱桥及运动中的抛物线有关问题. 3.通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式)之间的联系,体会数形结合思想的应用 4.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集. 5.了解用图象法求一元二次方程的近似根. 教学重难点 1、重点：掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集. 2、难点：利用二次函数解决拱桥及运动中的抛物线有关问题.通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式)之间的联系,体会数形结合思想的应用 知识点01 建立函数模型解决最值问题的基本步骤 对于某些实际问题，如果其中的变量之间的关系可以用二次函数模型来刻画，那么我们就可以利用二次函数的图象和性质来研究.建立函数模型解决最值问题的基本步骤如下： （1）理解问题情境，厘清问题中涉及的变量. （2）确定自变量. （3）利用问题情境中的数量关系列函数表达式，并确定自变量的取值范围. （4）求函数的最大值或最小值和相应自变量的值. 【注意】在实际问题中，各个量除了要满足一定的数量关系外，还必须要符合实际意义和已知条件的限制. 知识点02 二次函数与图形面积的最值问题 ★1、二次函数与图形面积 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．面积的最值问题应设图形的一边长为自变量，所求面积为函数，建立二次函数的模型，利用二次函数有关知识求得最值，要注意函数自变量的取值范围. ★2、在几何图形中建立二次函数关系的三种方法： 面积法 利用几何图形的面积公式建立函数关系. 勾股法 在直角三角形中利用勾股定理建立函数关系. 和差法 利用图形面积的和或差表示图形的面积，从而建立函数关系. 知识点03 二次函数与商品利润问题 ★1、销售问题中的数量关系： 销售利润=销售收入﹣成本； 销售总利润=销售量×单价利润 ★2、求解最大利润问题的一般步骤： （1） 建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润 = 单件利润×总销量” 或“总利润 = 总售价 - 总成本”； （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围； （3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润； 也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 知识点04 抛物线型的实际问题 ★1、抛物线型的实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． ★2、建立二次函数模型解决抛物线型实际问题的一般步骤： （1） 根据题意建立适当的平面直角坐标系； （2） 把已知条件转化为点的坐标； （3） 合理设出函数解析式； （4） 利用待定系数法求出函数解析式； （5） 根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算. 知识点05 二次函数与一元二次方程的联系 ★1、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根. ★2、二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． 判别式Δ=b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的根 两个不相等的实数根x1，x2 两个相等实数根x1=x2＝- 没有实数根 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 有两个公共点 有一个公共点 没有公共点 知识点06 用图象法解一元二次方程 ★图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 知识点07 二次函数与不等式（组） ★二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系 ①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取 值范围． ②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解， 也可把两个函数解析式列成不等式求解． 题型01 二次函数与面积问题 【典例1】（23-24九年级上·山西阳泉·期末）如图，用总长的篱笆围成一个矩形菜地（不靠墙），则这个矩形菜地的面积最大为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级上·天津·阶段练习）如图，在足够大的空地上有一段长为米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园．其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了米木栏．若设的长度为米，矩形菜园面积为平方米．下列说法错误的是（   ） A．与的关系式为 B．当时， C．当时， D．当时，的最大值为 【变式1-2】（2025九年级·全国·专题练习）如图，利用一面墙（墙最长可利用10m，且两端无法砌墙）围成一个矩形花园，与围墙平行的一边上要预留2m宽的人口，入口处不用砌墙．若用46m长的墙的材料砌围墙，则这个花园的最大面积是 ． 【变式1-3】（2025九年级·全国·专题练习）如图所示的是一个矩形窗框的示意图，它由两个小矩形组成，现工人计划用长为的铝合金框条制作该窗框．设窗框的高为，窗户的透光面积为（铝合金框条的宽度不计）． (1)求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围． (2)如何设计制作方案能使窗户的透光面积达到最大？最大面积是多少？ 题型02 商品销售利润问题 【典例2】（2025九年级上·北京·专题练习）将进货单价为50元的某种商品按零售价每个60元出售时，每周能卖出100个，若这种商品零售价每涨价1元，周销售量就减少2个，但物价部门规定，利润不能超过成本价的30%，则每周获得的最大利润为（　　） A．80元 B．1000元 C．1350元 D．1800元 【变式2-1】（25-26九年级上·全国·课后作业）某超市销售一种商品，每件成本为50元．销售人员经调查发现，该商品每月的销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间满足函数关系式．若要求销售单价不得低于成本，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为（   ） A．90元 B．85元 C．80元 D．55元 【变式2-2】（25-26九年级上·河南信阳·期中）某汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为万元，市场调研表明：当销售价为万元时，平均每周能售出辆，而当销售价每降低万元时，平均每周能多售出辆．如果设每辆汽车降价万元，每辆汽车的销售利润为万元．销售利润销售价进货价 (1)求与的函数关系式，在保证商家不亏本的前提下，写出的取值范围； (2)当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？ 【变式2-3】（25-26九年级上·辽宁·期中）材料：一个制造商制造一种产品，它的成本通常分为固定成本和可变成本两个部分，其中固定成本包括设计产品、厂房租赁、购置设备等费用，如果没有更换产品，我们将它看作常数；可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产品的成本包括劳动力、材料、包装、运输等费用． 问题：某厂商生产产品中有一种篮球工艺品，已知该工艺品销路很好．它的成本（元）与生产量（个）的关系式为． (1)求该工艺品的固定成本和可变成本． (2)市场分析发现，这种工艺品一段时间内每天的销量（个）与销售单价（元/个）之间的对应关系如图所示： ①销量与销售单价之间的函数关系式． ②当售价为多少时，能使厂商每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 题型03 二次函数解决桥梁类问题 【典例3】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图是抛物线形的拱桥，当水面宽时，顶点离水面，当水面宽度增加到时，水面下降（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线的表达式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时，水面的宽为（   ）      A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面宽为，拱桥的最高点O到水面的距离为．如果此时水位上升就达到警戒水位，那么宽为 m． 【变式3-3】如图1是一座拱桥的示意图，已知当水面宽时，桥洞顶部离水面4m．若桥洞的拱形可以看作抛物线，现以水平方向为x轴，取A点为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)请写出抛物线的顶点坐标，并求出函数解析式； (2)如图2，若拱桥上的路面也可以近似看成一条抛物线，且解析式为：． ①求桥上路面最高点离桥洞顶部的距离的长度； ②已知桥上路面起点E的横坐标为，请问：当水面上涨到水面宽度为10米时，点E在水平面的上方还是下方？并说明理由． 题型04 二次函数解决隧道类问题 【典例4】有一个抛物线形的单向道路隧道，隧道离地面的最大高度为4m，跨度为10m，把它放在图示平面直角坐标系中． （1）求抛物线所对应的函数表达式； （2）通过计算说明，现有一辆宽4m，高3.2m的厢式货车能否安全通过此隧道? 【变式4-1】（2025九年级下·全国·专题练习）图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为 ． 【变式4-2】（24-25九年级上·江西上饶·期中）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，轴是抛物线的对称轴，最高点到地面的距离为． (1)求出抛物线的解析式； (2)如果该隧道为单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高、宽，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论． 【变式4-3】（2025·河南周口·一模）如图1，这是郑栾高速的始祖山隧道，它位于新郑市和禹州市交界地带上，是一座上下行分离的四车道高速公路长隧道．如图2是单向隧道的示意图，洞宽米，其中两侧分别设人行检修道米，左侧设侧向宽度米，右侧设侧向宽度米，行车道宽米．假设隧道的轮廓为抛物线，建立如图2所示的平面直角坐标系，其中O为的中点，隧道的净高度米．（参考数据：） (1)求该抛物线的解析式． (2)如果一货运汽车装载货物后的高度为4.6米，宽度为2.25米．隧道内两个行车道用实线隔开（实线的宽度忽略不计），不允许车辆随意变道．试通过计算说明这辆货车能否安全通过这个隧道？如果能，请指出该货车应按哪个车道行驶；如果不能，请说明理由． 题型05 二次函数解决运动类问题 【典例5】（2025·天津·二模）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系式为：．有下列结论； ①该男生推铅球出手时，铅球的高度为； ②铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为； ③铅球落地时的水平距离为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式5-1】（2025九年级上·江苏·专题练习）我国女子铅球选手巩立姣夺得巴黎夏季奥运会第五名的成绩，她在最好一次成绩的投掷中，铅球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，铅球的飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系式为，则巩立姣在巴黎夏季奥运会铅球比赛中的最好成绩是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26九年级上·全国·期中）如图，一名运动员在水平地面上训练抛实心球，若以实心球出手时的正下方地面上一点O 为原点建立平面直角坐标系，该运动员某次抛出去的实心球行进过程中的高度与水平距离之间的关系为，则该运动员这次抛出的水平距离为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2024•下城区校级模拟）根据2024年杭州体育中考实心球项目的评分标准，男生的投掷成绩是大于或等于10米时获得满分10分．如图，实心球投掷的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．男生小刚利用录像设备记录了自己某次投掷练习中实心球从出手到着陆的过程，通过测量得到实心球在空中运动时的水平距离x（单位：米）与竖直高度y（单位：米）的数据如表： 水平距离x/m 0 1 3.5 7 竖直高度y/m 1.8 2.4 3.025 1.8 （1）求实心球运动轨迹的抛物线解析式． （2）小刚在此次训练中是否得到满分，请说明理由． （3）体育老师根据视频给小刚提出了“出手高度和力度已经达到极限，要调整出手角度”的建议，体现在抛物线的解析式y＝ax2+bx+c上可以理解为保持b，c值不变，调整a值．求能使得小刚得到满分的a的取值范围． 题型06 二次函数解决方案设计问题 【典例6】（2024•新市区模拟）加强劳动教育，落实五育并举．某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2024年计划将其中1000m2的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位：元/m2）与其种植面积x（单位：m2）的函数关系如图所示，其中200≤x≤700，乙种蔬菜的种植成本为50元/m2． （1）当x为多少m2时，y是35元/m2； （2）设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？ 【变式6-1】乡村要振兴，产业必振兴，河南多地依托生态优势，通过技术支撑，大力发展羊肚菌特色产业，探索出了群众致富新路径．河南省某村村长带领村民大棚种植羊肚菌振兴乡村产业建设．据了解，人工种植的羊肚菌和野生羊肚菌的营养价值相当，某零售批发商两次以相同的单价在该村收购人工种植的新鲜羊肚菌和干羊肚菌的情况如下表： 新鲜羊肚菌（千克） 干羊肚菌（千克） 总价值（元） 第一次收购 1000 300 152000 第二次收购 800 500 184000 （1）求新鲜羊肚菌和干羊肚菌的收购单价； （2）由于出场状况良好，该批发商第三次在收购单价不变的情况下收购两种羊肚菌合计1500千克，根据市场需求收购的干羊肚菌数量不得超过新鲜羊肚菌的三分之一，且零售市场新鲜羊肚菌的售价为100元/千克，干羊肚菌的售价为280元/千克，则该批发商应该如何设计购买方案使利润最大，最大利润是多少？ 【变式6-2】（2024春•湘潭县校级月考）为了落实国家的惠农政策，某地政府制定了农户投资购买收割机的补贴办法，其中购买Ⅰ、Ⅱ型收割机所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系： 型号 金额 Ⅰ型收割机 Ⅱ型收割机 投资金额x（万元） x 5 x 2 4 补贴金额y（万元） y1＝kx 2 2.4 3.2 （1）分别求出y1和y2的函数表达式； （2）某农户准备投资10万元购买Ⅰ、Ⅱ两型收割机．设其共获得政府补贴金额为y万元，求y与其购买Ⅰ型收割机投资金额x的函数关系式．并请你帮该农户设计一个能获得最大补贴金额的投资方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额． 【变式6-3】某商场计划用5400元购买一批商品，若将进价降低10%，则可以多购买该商品30件．市场调查反映：售价为每件25元时，每天可卖出250件．如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件． （1）求该商品原来的进价； （2）在进价没有改变的条件下，若每天所得的销售利润2000元时，且销量尽可能大，商品的售价是多少元； （3）在进价没有改变的条件下，商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案． 方案A：每件商品涨价不超过5元；方案B：每件商品的利润至少为16元． 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由． 题型07 二次函数解决动点运动问题 【典例7】如图所示，矩形中，，，点从出发，沿向点以的速度移动，同时点从点出发沿边向点以的速度（、到达、两点后就停止运动）．若设运动第秒时五边形的面积为，则与的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运动（点Q 运动到点B停止），在运动过程中，面积的最大值为 ． 【变式7-2】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在矩形中，，，点P从点B出发，沿边向点A以秒的速度运动，同时，点Q从点C出发沿边向点B以秒的速度移动，如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题： (1)点P运动开始后第几秒时，的面积等于； (2)点P运动开始后第几秒时，的面积最大？并求出最大面积． 【变式7-3】（25-26九年级上·福建南平·阶段练习）在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：___________，___________（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 题型08 抛物线与坐标轴交点问题 【典例8】（25-26九年级上·云南曲靖·阶段练习）二次函数的图象与x轴的交点坐标为（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式8-1】（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段练习）已知函数与x轴的交点为，则a的值为（    ） A．5 B．2 C． D． 【变式8-2】抛物线与x轴交点的横坐标是（   ） A．2， B．，3 C．2，3 D．， 【变式8-3】（25-26九年级上·福建龙岩·期中）已知抛物线经过点，则该抛物线与x轴的另一个交点是（   ） A． B． C． D． 题型09 判断抛物线与坐标轴交点的情况 【典例9】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）抛物线与x轴的交点个数是（  ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式9-1】（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）二次函数与x轴的交点个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式9-2】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线与坐标轴的交点个数为（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【变式9-3】（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）关于二次函数的图象与轴交点个数的情况，下列说法正确的是（   ） A．有三个交点 B．有两个交点 C．有一个交点 D．没有交点 题型10 由二次函数解一元二次方程 【典例10】（25-26九年级上·云南保山·期中）如图，抛物线与轴交于两点，则方程的解是（   ） A．或 B．且 C．或 D．且 【变式10-1】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）抛物线与x轴的一个交点坐标为，则方程的根是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式10-2】已知抛物线y＝ax2+bx+c过点（﹣2，0），且b+4a＝0，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝﹣bx+b的解为（　　） A．x1＝1，x2＝7 B．x1＝﹣1，x2＝7 C．x1＝1，x2＝﹣7 D．x1＝﹣1，x2＝﹣7 【变式10-3】（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标为，则关于x的一元二次方程的解是 ． 题型11 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 【典例11】（25-26九年级上·安徽宣城·期中）已知二次函数中部分和的值如下表所示： 则方程的一个较大的根的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如下表，是二次函数的自变量与函数值的几组对应值．那么方程的一个近似解是（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】（24-25九年级上·河北石家庄·期末）根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（   ） x 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 【变式11-3】（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数中部分x和y的值如下表所示： x y 0.25 0.56 0.89 则方程的一个较大的根的范围是（    ） A． B． C． D． 题型12 已知二次函数的值求自变量或代数式的值 【典例12】如果二次函数y=x2+2x-7的函数值是8，那么对应的x的值是（　　） A．5 B．3 C．3或-5 D．-3或5 【变式12-1】已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．2 【变式12-1】已知，二次函数y＝x2+bx﹣2017的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0）两点，则当x＝x1+x2时，则y的值为（　　） A．2019 B．2017 C．2018 D．﹣2017 【变式12-3】（25-26九年级上·山东临沂·期中）已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为 ． 题型13 由二次函数与x轴交点个数求值或取值范围 【典例13】若函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　) A． B．且 C． D．且 【变式13-1】（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）若抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（25-26九年级上·浙江台州·阶段练习）抛物线与坐标轴有3个交点，则（   ） A． B．且 C． D．且 【变式13-3】（25-26九年级上·北京·期中）已知抛物线与轴只有一个公共点，则 ． 题型14 利用二次函数的图象解不等式 【典例14】．（24-25九年级上·浙江温州·期中）若点在抛物线上，其中，则不等式的解为（   ） A．或 B． C．或 D． 【变式14-1】（2024·甘肃武威·二模）抛物线的部分图象如图所示，其与x轴时的一个交点为，对称轴为直线，将抛物线沿着x轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线，则当时，的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式14-2】（25-26九年级上·北京·阶段练习）已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是 ． 【变式14-3】二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象直接回答下列问题： （1）直接写出该二次函数的解析式为 　 ； （2）不等式ax2+bx+c≤0的解集是 　 ； （3）y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是 　 　； （4）若关于x的方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实根，则k的取值范围是 　 　． 题型15 二次函数与一元二次方程的综合应用 【典例15】（2024•钟楼区校级二模）已知二次函数y＝﹣x2﹣4x+m． （1）若该二次函数的最大值为2m，求m的值； （2）若该二次函数向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得新二次函数图象与x轴有2个交点，求m的取值范围． 【变式15-1】（2024春•渠县校级月考）已知函数y＝2（x﹣m）（x﹣m﹣3）（m为常数）． （1）求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点； （2）若该函数图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，若△ABC的面积为12，求m的值． 【变式15-2】（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知抛物线． (1)求证：无论取任何实数，该抛物线与轴都有公共点； (2)若，抛物线与轴的两个交点分别为，求线段的长． 【变式15-3】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数． (1)试说明：该二次函数的图象与x轴必有两个交点． (2)若该二次函数图象的顶点坐标为，求m，n的值． (3)当时，函数有最小值为2，求m的值． 一、选择题 1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）抛物线的一部分如图所示，那么该抛物线在轴右侧与轴交点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图：某广场有一喷水池，水从地面喷出，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（　　） A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 3．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直地接触地面和门的内壁，并测得，则门高为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，某同学在校运会跳高比赛中采用背跃式，跳跃路线是一条抛物线．他跳跃的高度y（单位：m）与跳跃时间x（单位：s）之间具有函数关系，那么他能跳过的最大高度为（    ） A． B． C．1m D． 5． （2025·天津滨海新·三模）某商店销售一种进价为40元/千克的海鲜产品，据调查发现，月销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，部分信息如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 80 … 销售量y（千克） 250 240 230 220 … ①y与x之间的函数关系式为； ②当售价为72元时，月销售利润为7296元； ③当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元； ④销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元； 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图1，在菱形中，，连接，点从点出发沿方向以的速度运动至点，点同时从点出发沿方向以的速度运动至点．设运动的时间为，的面积为．已知与之间的函数图象如图2所示，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2、 填空题 7．（2024秋•如皋市校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝1，若该抛物线与x轴的一个交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是　 　． 【答案】 8．（22-23九年级上·广西梧州·期末）已知函数的图象与x轴只有一个交点，则这个交点的坐标为 ． 9．（25-26九年级上·全国·期中）若抛物线 与x 轴有两个不同的交点，则k 的取值范围是 ． 10．（2025·甘肃·中考真题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是 ． 11．（25-26九年级上·天津滨海新·阶段练习）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点C重合）．如果分别从同时出发，那么经过 秒，四边形的面积最小． 3、 解答题 12．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的栅栏围成一个矩形花园（栅栏只围，两边），设，花园的面积为． (1)当为何值时，花园面积有最大值？最大值为多少？ (2)若在墙角处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），当花园面积最大时，的长为多少？ 13．（23-24九年级下·陕西咸阳·期中）窑洞（如图1）是黄土高原的产物，是陕北地方劳动人民的象征，具有十分浓厚的中国民俗风情和乡土气息，它除了坚固及特有的外在美之外，还具有冬暖夏凉的天然优点.小明家的窑洞（如图2）的门窗上面部分可以看成一个抛物线，下面部分是矩形，已知矩形的长，宽，门窗最高点D与地面垂直距离为，以点O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. (1)求出该抛物线的函数表达式； (2)春节前夕，小明想对家里的窑洞门窗进行装饰，准备在门窗上面的抛物线上悬挂两个灯笼，使它们离地面的高度相等，且均为，请求出两个灯笼的水平距离.（结果保留根号） 14．（25-26九年级上·湖北荆州·阶段练习）已知抛物线的对称轴是直线，请解答下列问题： (1)抛物线的解析式为___________； (2)此抛物线与直线恰好只有一个交点，则的值为___________； (3)当时，的取值范围是___________； (4)若自变量取值范围为，且时，取最大值；时，取最小值．则的取值范围是___________． 15．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价，日销售量的部分对应数据如表： 销售单价（元） 60 65 70 日销售量（件） 200 150 100 (1)根据以上信息，求关于的函数关系式； (2)已知销售单价为60元时，日销售利润为2000元.［注：日销售利润日销售量（销售单价-成本单价）] ①求该商品的成本单价是多少元； ②求该商品的销售单价为68元时的日销售利润； ③求该商品的销售单价为多少元时，其日销售利润有最大值，日销售利润的最大值为多少元． 16．（25-26九年级上·安徽六安·阶段练习）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米处的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数，）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 0.4 0.6 … （米） 0 4 6 … (1)求与的函数关系式； (2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ (3)当为1.6秒时，小明将球击回，此时球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为2，纵坐标大于或等于1.8时，求的取值范围． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题26.3 实践与探索 教学目标 1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题. 2.利用二次函数解决拱桥及运动中的抛物线有关问题. 3.通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式)之间的联系,体会数形结合思想的应用 4.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集. 5.了解用图象法求一元二次方程的近似根. 教学重难点 1、重点：掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集. 2、难点：利用二次函数解决拱桥及运动中的抛物线有关问题.通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式)之间的联系,体会数形结合思想的应用 知识点01 建立函数模型解决最值问题的基本步骤 对于某些实际问题，如果其中的变量之间的关系可以用二次函数模型来刻画，那么我们就可以利用二次函数的图象和性质来研究.建立函数模型解决最值问题的基本步骤如下： （1）理解问题情境，厘清问题中涉及的变量. （2）确定自变量. （3）利用问题情境中的数量关系列函数表达式，并确定自变量的取值范围. （4）求函数的最大值或最小值和相应自变量的值. 【注意】在实际问题中，各个量除了要满足一定的数量关系外，还必须要符合实际意义和已知条件的限制. 知识点02 二次函数与图形面积的最值问题 ★1、二次函数与图形面积 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．面积的最值问题应设图形的一边长为自变量，所求面积为函数，建立二次函数的模型，利用二次函数有关知识求得最值，要注意函数自变量的取值范围. ★2、在几何图形中建立二次函数关系的三种方法： 面积法 利用几何图形的面积公式建立函数关系. 勾股法 在直角三角形中利用勾股定理建立函数关系. 和差法 利用图形面积的和或差表示图形的面积，从而建立函数关系. 知识点03 二次函数与商品利润问题 ★1、销售问题中的数量关系： 销售利润=销售收入﹣成本； 销售总利润=销售量×单价利润 ★2、求解最大利润问题的一般步骤： （1） 建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润 = 单件利润×总销量” 或“总利润 = 总售价 - 总成本”； （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围； （3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润； 也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 知识点04 抛物线型的实际问题 ★1、抛物线型的实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． ★2、建立二次函数模型解决抛物线型实际问题的一般步骤： （1） 根据题意建立适当的平面直角坐标系； （2） 把已知条件转化为点的坐标； （3） 合理设出函数解析式； （4） 利用待定系数法求出函数解析式； （5） 根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算. 知识点05 二次函数与一元二次方程的联系 ★1、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根. ★2、二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． 判别式Δ=b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的根 两个不相等的实数根x1，x2 两个相等实数根x1=x2＝- 没有实数根 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 有两个公共点 有一个公共点 没有公共点 知识点06 用图象法解一元二次方程 ★图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 知识点07 二次函数与不等式（组） ★二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系 ①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取 值范围． ②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解， 也可把两个函数解析式列成不等式求解． 题型01 二次函数与面积问题 【典例1】（23-24九年级上·山西阳泉·期末）如图，用总长的篱笆围成一个矩形菜地（不靠墙），则这个矩形菜地的面积最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设矩形菜地的一边长为，则另一边长为，矩形菜地的面积为，根据矩形面积计算公式列出S关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设矩形菜地的一边长为，则另一边长为，矩形菜地的面积为， ∴， ∵， ∴当，即时，S有最大值，最大值为900， ∴这个矩形菜地的面积最大为， 故选：B． 【变式1-1】（25-26九年级上·天津·阶段练习）如图，在足够大的空地上有一段长为米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园．其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了米木栏．若设的长度为米，矩形菜园面积为平方米．下列说法错误的是（   ） A．与的关系式为 B．当时， C．当时， D．当时，的最大值为 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数应用、一元二次方程应用，正确列出方程是解题的关键． 对于A，由，可得，再根据三边一共用了米木栏建立方程，可得，最后由矩形的面积公式即可得； 对于B，由可知，，将代入中可得，解方程即可得的值； 对于C，由可知，，将代入中即可求解； 对于D，由可知，，将化为顶点式，可知二次函数图象开口向下，且对称轴为，进而可知当，随的增大而增大，故时，取得最大值，最后将代入求解即可． 【详解】由题意可知，四边形为矩形， ，，且， A、， ， ， ， ， ． 故选项A正确； B、， ， ， ， 整理得，， 因式分解得，， 或， 解得，，， ， ． 故选项B正确； C、， ， 当时，． 故选项C正确； D、， ， 由A选项可知，， 二次函数的二次项系数，二次函数图象开口向下，对称轴为， 当时，随的增大而增大， 当时，取得最大值， 把代入中得，， 当时，的最大值为． 故选项D错误． 故选：D． 【变式1-2】（2025九年级·全国·专题练习）如图，利用一面墙（墙最长可利用10m，且两端无法砌墙）围成一个矩形花园，与围墙平行的一边上要预留2m宽的人口，入口处不用砌墙．若用46m长的墙的材料砌围墙，则这个花园的最大面积是 ． 【答案】 【分析】根据题意可以列出面积与之间的函数关系式，进行配方，利用二次函数的性质于是得到结论． 【详解】解：设与墙垂直的边，花园的面积为， 则， ． 由题意可知， ． 二次函数的图象的对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， 当时，． ∴这个花园的最大面积是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握相关性质是解题关键． 【变式1-3】（2025九年级·全国·专题练习）如图所示的是一个矩形窗框的示意图，它由两个小矩形组成，现工人计划用长为的铝合金框条制作该窗框．设窗框的高为，窗户的透光面积为（铝合金框条的宽度不计）． (1)求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围． (2)如何设计制作方案能使窗户的透光面积达到最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) ， (2)当，时，窗户的透光面积达到最大，最大面积是 【分析】（1）根据矩形的面积公式可求得函数解析式，根据长宽均大于求得取值范围； （2）将（1）中解析式配成顶点式，即可求最大面积． 【详解】（1）解：由题意，得， ， 关于的函数表达式为 ． ，， 自变量的取值范围为． （2）解：由（1），得． ，， 当时，有最大值，最大值为． 此时，，即． 故当，时， 窗户的透光面积达到最大，最大面积是． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的相关性质是解题关键． 题型02 商品销售利润问题 【典例2】（2025九年级上·北京·专题练习）将进货单价为50元的某种商品按零售价每个60元出售时，每周能卖出100个，若这种商品零售价每涨价1元，周销售量就减少2个，但物价部门规定，利润不能超过成本价的30%，则每周获得的最大利润为（　　） A．80元 B．1000元 C．1350元 D．1800元 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的实际应用题，主要考查了列二次函数解析式，求二次函数的最值．设涨价x元，利润为y元，则每周售出的个数为，每个的利润为元，表示出利润y与x的函数关系式，再根据题意求出自变量x的取值范围即可求出最大利润． 【详解】解：设涨价x元，利润为y元，则每周售出的个数为，每个的利润为元， 每周获利， ∵利润不能超过成本价的， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴为，， ∴当时，随x的增大而增大， 故当时，y的最大值为（元）， 故应选：C． 【变式2-1】（25-26九年级上·全国·课后作业）某超市销售一种商品，每件成本为50元．销售人员经调查发现，该商品每月的销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间满足函数关系式．若要求销售单价不得低于成本，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为（   ） A．90元 B．85元 C．80元 D．55元 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的应用，根据题意找到等量关系并掌握二次函数求最值的方法是解题的关键．根据题意，利润由销售量乘以每件利润得到建立利润关于售价的二次函数，利用顶点式求出最大值对应的售价． 【详解】解：设每月利润为元，则， 展开得：， 此为开口向下的抛物线，最大值出现在顶点处。顶点横坐标为： ， 因，符合条件， 故售价定为80元时利润最大， 故选：C． 【变式2-2】（25-26九年级上·河南信阳·期中）某汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为万元，市场调研表明：当销售价为万元时，平均每周能售出辆，而当销售价每降低万元时，平均每周能多售出辆．如果设每辆汽车降价万元，每辆汽车的销售利润为万元．销售利润销售价进货价 (1)求与的函数关系式，在保证商家不亏本的前提下，写出的取值范围； (2)当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)（）； (2)每辆汽车的定价为万元，平均每周的利润最大，最大利润为万元． 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）根据利润等于（进货价降价）可得出y关于x的函数关系式，化简即可； （2）假设这种汽车平均每周的销售利润为S万元，根据平均每周的销售利润等于每辆汽车的销售利润乘以销售量，可得出S关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）由题意得：， ∴（）； （2）假设这种汽车平均每周的销售利润为S万元， 则 ， ∴时，S最大为50． ∵（万元）， ∴每辆汽车的定价为万元时，销售利润最大，最大利润为50万元． 【变式2-3】（25-26九年级上·辽宁·期中）材料：一个制造商制造一种产品，它的成本通常分为固定成本和可变成本两个部分，其中固定成本包括设计产品、厂房租赁、购置设备等费用，如果没有更换产品，我们将它看作常数；可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产品的成本包括劳动力、材料、包装、运输等费用． 问题：某厂商生产产品中有一种篮球工艺品，已知该工艺品销路很好．它的成本（元）与生产量（个）的关系式为． (1)求该工艺品的固定成本和可变成本． (2)市场分析发现，这种工艺品一段时间内每天的销量（个）与销售单价（元/个）之间的对应关系如图所示： ①销量与销售单价之间的函数关系式． ②当售价为多少时，能使厂商每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)该工艺品的固定成本为15000元，可变成本为每件100元 (2)①，②当售价为71元时，能使厂商每天获得的利润最大，最大利润是69100 【分析】本题主要考查了二次函数的最大利润问题、一次函数的解析式等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据“固定成本包括设计产品、厂房租赁、购置设备等费用，如果没有更换产品，我们将它看作常数”，以及“可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产品的成本包括劳动力、材料、包装、运输等费用”，据此即可解答． （2）①运用待定系数法求解销量y与销售单价x之间的函数关系式； ②经分析列式得，结合二次函数的性质，得出开口向下，在有最大值，w有最大值，再代入计算即可解答． 【详解】（1）解：∵工艺品的成本与生产量的关系式为：，且可变成本与该产品生产的件数有关， ∴该工艺品的固定成本为15000元，可变成本为每件100元． （2）解：①由题意，设销量y与销售单价x的关系式为， 则，解得：． ∴所求关系式为． ②成本应基于生产量（即销量y），即，其中， 设利润， ． ∵， ∴当时，w有最大值，且最大值为69100． 题型03 二次函数解决桥梁类问题 【典例3】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图是抛物线形的拱桥，当水面宽时，顶点离水面，当水面宽度增加到时，水面下降（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立平面直角坐标系从而得出二次函数的解析式是解决问题的关键． 根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数的解析式，再把代入抛物线的解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴通过中点且通过顶点，则通过画图可得知为原点， 由平面直角坐标系可知，，即， 设抛物线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则抛物线的解析式为，即， 当时，， 所以水面下降． 故选：C． 【变式3-1】（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线的表达式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时，水面的宽为（   ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据正常水位时水面宽米，求出当时求得，再根据水位上升3米时，代入解析式求出x即可解答． 【详解】解：∵米， ∴当时，， 当水位上升3m时，， 把代入得：，解得：， 此时水面宽米． 故选：C． 【变式3-2】（25-26九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面宽为，拱桥的最高点O到水面的距离为．如果此时水位上升就达到警戒水位，那么宽为 m． 【答案】 【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用，找对位置建立坐标系再求解二次函数解析式是关键． 以点为坐标原点，的垂直平分线为轴，过点作轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为，由此可得，即可求函数解析式为，再将代入解析式，求出、点的横坐标即可求的长． 【详解】解：以点为坐标原点，的垂直平分线为轴，过点作轴的垂线，建立直角坐标系， 设抛物线的解析式为， ∵点到水面的距离为， ∴、点的纵坐标为， ∵水面宽为， ， 将点A代入， ， ， ， ∵水位上升就达到警戒水位， ∴点的纵坐标为， ， ， ， 故答案为：． 【变式3-3】如图1是一座拱桥的示意图，已知当水面宽时，桥洞顶部离水面4m．若桥洞的拱形可以看作抛物线，现以水平方向为x轴，取A点为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)请写出抛物线的顶点坐标，并求出函数解析式； (2)如图2，若拱桥上的路面也可以近似看成一条抛物线，且解析式为：． ①求桥上路面最高点离桥洞顶部的距离的长度； ②已知桥上路面起点E的横坐标为，请问：当水面上涨到水面宽度为10米时，点E在水平面的上方还是下方？并说明理由． 【答案】(1)，； (2)①；②点E在水平面上方，见解析． 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）根据图象得到顶点坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）①抛物线的顶点，得到．②将E点横坐标代入，则，当水面宽为时，将代入，得，比较后即可得到答案． 【详解】（1）解：由图象可知，顶点C的坐标． 设（）， 代入点，得， 解得， 所以解析式为． （2）①∵ ∴抛物线的顶点， ∴． ②将E点横坐标代入，得， 则， 当水面宽为时， 将代入，得， 因为，所以点E在水平面上方． 题型04 二次函数解决隧道类问题 【典例4】有一个抛物线形的单向道路隧道，隧道离地面的最大高度为4m，跨度为10m，把它放在图示平面直角坐标系中． （1）求抛物线所对应的函数表达式； （2）通过计算说明，现有一辆宽4m，高3.2m的厢式货车能否安全通过此隧道? 【答案】（1）y=（x-5）2+4；（2）货船能从桥下通过，理由见解析． 【分析】（1）先确定抛物线的顶点坐标以及x轴的交点坐标，然后运用待定系数法解答即可； （2）根据货车宽度求出抛物线解析式中的x值，再求出对应的y的值，再与货车高度比较即可解答． 【详解】解：（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为（5，4），与x轴的两个交点坐标为（0，0） 设抛物线解析式为y=a（x-5）2+4， 把（0，0）代入，得：0= a（0-5）2+4，解得a= 所以抛物线解析式为：y=（x-5）2+4； （2）货船能从桥下通过，理由如下： ∵货船宽为2米，高为3米， ∴当x=6时，y=（6-5）2+4=3.84>3． ∴货船能从桥下通过． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解决本题的关键在于熟练运用二次函数解决实际问题． 【变式4-1】（2025九年级下·全国·专题练习）图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为 ． 【答案】40 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确地求出函数解析式是解题的关键．先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将代入求出x的值，即可得的长． 【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， ， 设抛物线的解析式为， 将代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ， 故答案为：40． 【变式4-2】（24-25九年级上·江西上饶·期中）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，轴是抛物线的对称轴，最高点到地面的距离为． (1)求出抛物线的解析式； (2)如果该隧道为单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高、宽，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论． 【答案】(1) (2)能通过该隧道，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是求出二次函数的解析式． （1）抛物线的解析式为，把代入计算即可； （2）把时，代入（1）的解析式，求出y的值即可求出结论． 【详解】（1）解：根据题意，得点，，， 设抛物线的解析式为：， 将点代入， 得到， 解得：； 抛物线的解析式为：． （2）解：这辆货车能通过该隧道，理由如下： ， 将代入， 得到：， ， 故这辆货车能通过该隧道． 【变式4-3】（2025·河南周口·一模）如图1，这是郑栾高速的始祖山隧道，它位于新郑市和禹州市交界地带上，是一座上下行分离的四车道高速公路长隧道．如图2是单向隧道的示意图，洞宽米，其中两侧分别设人行检修道米，左侧设侧向宽度米，右侧设侧向宽度米，行车道宽米．假设隧道的轮廓为抛物线，建立如图2所示的平面直角坐标系，其中O为的中点，隧道的净高度米．（参考数据：） (1)求该抛物线的解析式． (2)如果一货运汽车装载货物后的高度为4.6米，宽度为2.25米．隧道内两个行车道用实线隔开（实线的宽度忽略不计），不允许车辆随意变道．试通过计算说明这辆货车能否安全通过这个隧道？如果能，请指出该货车应按哪个车道行驶；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能安全通过，走右侧车道 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是合理建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式． （1）根据待定系数法求解即可； （2）分别求出，时，对应的函数值，即可判断． 【详解】（1）解：∵O为的中点，， ∴， ∴， 设抛物线解析式为， 则， ∴， ∴； （2）解：∵，，，，， ∴， ∴， ∴当时，， ∴左侧车道不能通过， 当时，， ∴右侧车道能通过， ∴该货车应按右侧车道行驶能通过． 题型05 二次函数解决运动类问题 【典例5】（2025·天津·二模）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系式为：．有下列结论； ①该男生推铅球出手时，铅球的高度为； ②铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为； ③铅球落地时的水平距离为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意和题目中的函数解析式，可以分别计算出各个小题中的结论是否正确即可． 【详解】解：将代入， 得， 解得，， ∴这名男生铅球推出的水平距离为， 故③正确，符合题意； ∵， ∴铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为， 故②正确，符合题意； 当时，， 故①错误，不符合题意； 故选：C． 【变式5-1】（2025九年级上·江苏·专题练习）我国女子铅球选手巩立姣夺得巴黎夏季奥运会第五名的成绩，她在最好一次成绩的投掷中，铅球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，铅球的飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系式为，则巩立姣在巴黎夏季奥运会铅球比赛中的最好成绩是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，需要根据抛物线的解析式求出铅球飞行的水平距离，解题核心在于求解二次方程的根，并理解水平距离的最大值对应抛物线与x轴的正根，关键在于将实际问题转化为数学问题，正确解方程并排除负数解． 【详解】解：令，则， 整理得：， 解得（舍去），， ∴巩立姣在巴黎夏季奥运会铅球比赛中的最好成绩是． 故选：B． 【变式5-2】（25-26九年级上·全国·期中）如图，一名运动员在水平地面上训练抛实心球，若以实心球出手时的正下方地面上一点O 为原点建立平面直角坐标系，该运动员某次抛出去的实心球行进过程中的高度与水平距离之间的关系为，则该运动员这次抛出的水平距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的应用，正确求解方程是解题的关键．解方程，求出结果即可． 【详解】解：令，则， 解得：（舍去），， 则该运动员这次抛出的水平距离为． 故选：B． 【变式5-3】（2024•下城区校级模拟）根据2024年杭州体育中考实心球项目的评分标准，男生的投掷成绩是大于或等于10米时获得满分10分．如图，实心球投掷的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．男生小刚利用录像设备记录了自己某次投掷练习中实心球从出手到着陆的过程，通过测量得到实心球在空中运动时的水平距离x（单位：米）与竖直高度y（单位：米）的数据如表： 水平距离x/m 0 1 3.5 7 竖直高度y/m 1.8 2.4 3.025 1.8 （1）求实心球运动轨迹的抛物线解析式． （2）小刚在此次训练中是否得到满分，请说明理由． （3）体育老师根据视频给小刚提出了“出手高度和力度已经达到极限，要调整出手角度”的建议，体现在抛物线的解析式y＝ax2+bx+c上可以理解为保持b，c值不变，调整a值．求能使得小刚得到满分的a的取值范围． 【分析】（1）待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）令y＝0代入解析式求出x值与10比较即可得到结论； （3）设调整后抛物线解析式为y＝ax2+0.7x+1.8，当x＝10时，y＝100a+8.8，令100a+8.8≥0，求出a的取值范围即可． 【详解】解：（1）设抛物线解析式为y＝a1x2+b1x+c1，由表中数据可得： ，解得， ∴抛物线解析式为y＝﹣0.1x2+0.7x+1.8． （2）当y＝﹣0.1x2+0.7x+1.8＝0时，解得x1＝﹣2（舍去），x2＝9， ∵9＜10， ∴小刚在此次训练中不能得到满分． （3）设调整后抛物线解析式为y＝ax2+0.7x+1.8， 当x＝10时，y＝100a+8.8， 令100a+8.8≥0， 解得a≥﹣0.088， ∴a的取值范围为：﹣0.088≤a＜0． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求抛物线解析式是关键． 题型06 二次函数解决方案设计问题 【典例6】（2024•新市区模拟）加强劳动教育，落实五育并举．某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2024年计划将其中1000m2的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位：元/m2）与其种植面积x（单位：m2）的函数关系如图所示，其中200≤x≤700，乙种蔬菜的种植成本为50元/m2． （1）当x为多少m2时，y是35元/m2； （2）设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？ 【分析】（1）先求出当200≤x≤600时，y与x的函数关系式，然后将y＝35代入求出相应的x的值即可； （2）分别讨论两段对应的W的最小值，然后比较大小即可解答本题． 【解答】解：（1）当200≤x≤600时，设y与x的函数关系式为y＝kx+b， ∵点（200，20），（60，40）在该函数图象上， ∴， 解得， 即当200≤x≤600时，y与x的函数关系式为y＝0.05x+10， 当y＝35时，35＝0.05x+10， 解得x＝500， 即当x为500m2时，y是35元/m2； （2）由题意可得， 当200≤x≤600时，W＝x（0.05x+10）+50（1000﹣x）＝0.05（x﹣400）2+42000， ∴当x＝400时，W取得最小值42000，此时1000﹣x＝600； 当600＜x≤700时，W＝40x+50（1000﹣x）＝﹣10x+50000， ∴当x＝700时，W取得最小值43000，此时1000﹣x＝300； ∵42000＜43000， ∴当种植甲种蔬菜400m2，乙种蔬菜600m2时，使W最小． 【点评】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值． 【变式6-1】乡村要振兴，产业必振兴，河南多地依托生态优势，通过技术支撑，大力发展羊肚菌特色产业，探索出了群众致富新路径．河南省某村村长带领村民大棚种植羊肚菌振兴乡村产业建设．据了解，人工种植的羊肚菌和野生羊肚菌的营养价值相当，某零售批发商两次以相同的单价在该村收购人工种植的新鲜羊肚菌和干羊肚菌的情况如下表： 新鲜羊肚菌（千克） 干羊肚菌（千克） 总价值（元） 第一次收购 1000 300 152000 第二次收购 800 500 184000 （1）求新鲜羊肚菌和干羊肚菌的收购单价； （2）由于出场状况良好，该批发商第三次在收购单价不变的情况下收购两种羊肚菌合计1500千克，根据市场需求收购的干羊肚菌数量不得超过新鲜羊肚菌的三分之一，且零售市场新鲜羊肚菌的售价为100元/千克，干羊肚菌的售价为280元/千克，则该批发商应该如何设计购买方案使利润最大，最大利润是多少？ 【分析】（1）设新鲜羊肚菌的收购价格为x元/千克，干羊肚菌的收购价格为y元/千克，根据题意列出方程组，求解即可； （2）设该批发商购买新鲜羊肚菌a千克，则购买干羊肚菌（1500﹣a）千克，所获利润为w元，根据题意列出w关于a的函数解析式，由收购的干羊肚菌数量不得超过新鲜羊肚菌的三分之一求出a的取值范围，然后根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：（1）设新鲜羊肚菌的收购价格为x元/千克，干羊肚菌的收购价格为y元/千克， 根据题意可得，， 解得，， 答：新鲜羊肚菌的收购价格为80元/千克，干羊肚菌的收购价格为240元/千克； （2）设该批发商购买新鲜羊肚菌a千克，则购买干羊肚菌（1500﹣a）千克，所获利润为w元， 则w＝（100﹣80）a+（280﹣240）（1500﹣a）＝20a+60000﹣40a＝﹣20a+60000， ∵1500﹣aa， ∴a≥1125， ∵k＝﹣20＜0， ∴w随a的减小而增大， ∴当a＝1125时，w有最大值，最大值为﹣20×1125+60000＝37500（元）． 答：该批发商购买购买新鲜羊肚菌1125千克，干羊肚菌375千克时能使利润最大，最大利润是37500元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，二次函数的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键． 【变式6-2】（2024春•湘潭县校级月考）为了落实国家的惠农政策，某地政府制定了农户投资购买收割机的补贴办法，其中购买Ⅰ、Ⅱ型收割机所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系： 型号 金额 Ⅰ型收割机 Ⅱ型收割机 投资金额x（万元） x 5 x 2 4 补贴金额y（万元） y1＝kx 2 2.4 3.2 （1）分别求出y1和y2的函数表达式； （2）某农户准备投资10万元购买Ⅰ、Ⅱ两型收割机．设其共获得政府补贴金额为y万元，求y与其购买Ⅰ型收割机投资金额x的函数关系式．并请你帮该农户设计一个能获得最大补贴金额的投资方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额． 【分析】（1）根据图表得出函数上点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据y＝y1+y2得出关于x的二次函数，求出二次函数最值即可． 【详解】解：（1）设y1＝kx，将（5，2）代入得：2＝5k， 解得：k＝0.4， ∴， 设，将（2，2.4），（4，3.2）代入得： ， 解得：a＝﹣0.2，b＝1.6， ∴． （2）假设投资购买I型用x万元、则购买II型用了（10﹣x）万元， ∴ ， ∴当x＝7时，y有最大值万元， ∴当购买I型用7万元、II型为3万元时能获得的最大补贴金额，最大补贴金额为万元． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式以及二次函数的最值问题，利用函数解决实际问题是考试的中热点问题． 【变式6-3】某商场计划用5400元购买一批商品，若将进价降低10%，则可以多购买该商品30件．市场调查反映：售价为每件25元时，每天可卖出250件．如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件． （1）求该商品原来的进价； （2）在进价没有改变的条件下，若每天所得的销售利润2000元时，且销量尽可能大，商品的售价是多少元； （3）在进价没有改变的条件下，商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案． 方案A：每件商品涨价不超过5元；方案B：每件商品的利润至少为16元． 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由． 【分析】（1）利用销量×每件利润＝总利润，进而求出即可； （2）利用二次函数的性质得出销售单价； （3）分别求出两种方案的最值进而比较得出答案． 【详解】解：（1）设该商品原来的进价为x元． 由题意：30，解得x＝20， 答：该商品原来的进价为20元． （2）设提价x元， 根据题意得：（25+x﹣20）（250﹣10x）＝2000， 解得x＝15或5， ∵销量尽可能大， ∴x＝5， ∴商品的售价是每件30元． （3）w＝（25+x﹣20）（250﹣10x）＝﹣10x2+200x+1250＝﹣10（x﹣10）2+2250（0≤x≤25）； ∵﹣10＜0， 抛物线对称轴是直线x＝10，开口向下，对称轴左侧w随x的增大而增大，对称轴右侧w随x的增大而减小， 方案A：根据题意得，x≤5，则0≤x≤5， 当x＝5时，利润最大， 最大利润为w＝﹣10×52+200×5+1250＝2000（元）， 方案B：根据题意得，25+x﹣20≥16， 解得：x≥11， 则11≤x≤25， 故当x＝11时，利润最大， 最大利润为w＝﹣10×112+200×11+1250＝2240（元）， ∵2240＞2000， ∴综上所述，方案B最大利润更高． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意利用函数性质得出最值是解题关键． 题型07 二次函数解决动点运动问题 【典例7】如图所示，矩形中，，，点从出发，沿向点以的速度移动，同时点从点出发沿边向点以的速度（、到达、两点后就停止运动）．若设运动第秒时五边形的面积为，则与的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用、动点问题，首先用含的代数式表示出和的长度，根据三角形的面积公式可知，根据矩形的面积公式可以求出矩形的面积是，利用矩形的面积减去三角形的面积即为五边形的面积． 【详解】解： ，， 运动时，，， ， 矩形中，，， 矩形的面积是， ， 整理得：． 故选：A． 【变式7-1】（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运动（点Q 运动到点B停止），在运动过程中，面积的最大值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查二次函数的应用，先利用勾股定理计算出，再求出运动时间t的取值范围，最后用关于t的二次函数关系式表示出面积，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ， 点P运动到点C所用时间为：， 点Q运动到点B所用时间为：， 点Q 运动到点B停止， 设运动时间为，则，， ， 当时，取最大值9， 故答案为：9． 【变式7-2】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在矩形中，，，点P从点B出发，沿边向点A以秒的速度运动，同时，点Q从点C出发沿边向点B以秒的速度移动，如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题： (1)点P运动开始后第几秒时，的面积等于； (2)点P运动开始后第几秒时，的面积最大？并求出最大面积． 【答案】(1)点P运动开始后第或秒时，的面积等于 (2)点P运动开始后第秒时，的面积最大，最大面积为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由矩形的性质可得，设点P运动开始后第秒时，的面积等于，由题意可得，，从而得出，由三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可得解； （2）设点P运动开始后第秒时，的面积等于，由（1）可得，，，由三角形面积公式列出关于的二次函数，再由二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， 设点P运动开始后第秒时，的面积等于， 由题意可得：，， ∴， 则， 解得：，， ∴点P运动开始后第或秒时，的面积等于； （2）解：设点P运动开始后第秒时，的面积等于， 由（1）可得：，，， ∴， ∵， ∴当时，的值最大为， ∴点P运动开始后第秒时，的面积最大，最大面积为． 【变式7-3】（25-26九年级上·福建南平·阶段练习）在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：___________，___________（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或2 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用以及勾股定理的应用，关键是表示出、的长度． （1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据勾股定理可得，代入相应数据解方程即可； （3）根据三角形的面积代入相应线段的长即可得到函数解析式，根据二次函数的最值求解即可． 【详解】（1）解：∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴； ∵P从点A开始沿边向终点B以的速度移动， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；． （2）解：由题意得：， 解得：，； ∴当或时，的长度等于； （3）解：由题意得， ， 当时，的面积最大. 题型08 抛物线与坐标轴交点问题 【典例8】（25-26九年级上·云南曲靖·阶段练习）二次函数的图象与x轴的交点坐标为（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图像和坐标轴交点． 将代入解析式解方程即可． 【详解】解：令，得， 解得或， 所以交点坐标为和． 故选：A． 【变式8-1】（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段练习）已知函数与x轴的交点为，则a的值为（    ） A．5 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征．把代入求得a的值即可． 【详解】解：把代入可得： ， 解得， 故选：B． 【变式8-2】抛物线与x轴交点的横坐标是（   ） A．2， B．，3 C．2，3 D．， 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，熟练掌握二次函数的相关知识点是解此题的关键． 令，则，计算即可得到答案． 【详解】解：令，则， 解得：或， ∴抛物线与x轴交点的横坐标是2，， 故选：A． 【变式8-3】（25-26九年级上·福建龙岩·期中）已知抛物线经过点，则该抛物线与x轴的另一个交点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与x轴的交点，掌握顶点式的性质是解题关键． 利用顶点式求出对称轴，然后利用轴对称的性质求解即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为 ∴对称轴为直线， 假设抛物线与x轴的另一个交点是， ∴， 解得， ∴另一个交点为， 故选：B． 题型09 判断抛物线与坐标轴交点的情况 【典例9】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）抛物线与x轴的交点个数是（  ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系．抛物线与x轴的交点个数即为抛物线对应的一元二次方程的解的个数，据此利用判别式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴抛物线与x轴的交点个数为2个， 故选：C． 【变式9-1】（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）二次函数与x轴的交点个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与轴交点个数，由求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，方程有两等根， ∴二次函数与x轴的交点个数为1个， 故选：B． 【变式9-2】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线与坐标轴的交点个数为（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【分析】考查知识点为二次函数与坐标轴的交点问题、一元二次方程判别式的应用．解题思想与方法：利用“函数与坐标轴的交点，即分别令、”的方法，结合一元二次方程判别式判断与x轴的交点情况，体现了代数与几何结合的思想．解题关键：准确计算判别式的值，以判断抛物线与x轴的交点个数；同时牢记与y轴交点的求法．易错点：容易忽略与y轴的交点，或在计算判别式时出错，导致交点个数判断错误． 首先求与y轴的交点：令，代入抛物线解析式计算y的值，得到与y轴的交点．接着求与x轴的交点：令，得到一元二次方程，通过计算判别式的值，判断方程的解的个数，即可． 【详解】与y轴交点：令，得，即，1个交点． 与x轴交点：令，方程的判别式，无交点． 所以交点个数为． 故选：C． 【变式9-3】（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）关于二次函数的图象与轴交点个数的情况，下列说法正确的是（   ） A．有三个交点 B．有两个交点 C．有一个交点 D．没有交点 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与轴交点个数，熟记二次函数图象与轴交点坐标的求法是解决问题的关键． 由二次函数图象与轴交点坐标的求法，令，则，求解方程即可得到二次函数的图象与轴交点为和，即可得到答案． 【详解】解：令，则， 解得， 即二次函数的图象与轴交点为和， 二次函数的图象与轴交点个数的情况是有两个交点， 故选：B． 题型10 由二次函数解一元二次方程 【典例10】（25-26九年级上·云南保山·期中）如图，抛物线与轴交于两点，则方程的解是（   ） A．或 B．且 C．或 D．且 【答案】A 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程的根与抛物线与x轴的交点的横坐标的关系，二次函数的性质等知识点，利用抛物线与x轴的交点的横坐标与一元二次方程根的联系即可得出结论．熟练掌握其性质，利用数形结合法是解决此题的关键． 【详解】解：∵与x轴交于点，两点， ∴方程的两个根为或， 故选：A． 【变式10-1】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）抛物线与x轴的一个交点坐标为，则方程的根是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的图象与x轴交点的横坐标，即为所对应的方程的根是关键． 将已知交点代入抛物线解析式，求出参数关系，从而求出该函数的对称轴为直线，再根据对称性求出与x轴的另一个交点坐标，从而求出方程的两实数根． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为， 把代入得， ，可得， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标， ∴方程的根是，． 故选：B． 【变式10-2】已知抛物线y＝ax2+bx+c过点（﹣2，0），且b+4a＝0，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝﹣bx+b的解为（　　） A．x1＝1，x2＝7 B．x1＝﹣1，x2＝7 C．x1＝1，x2＝﹣7 D．x1＝﹣1，x2＝﹣7 【答案】B 【分析】由抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），b+4a＝0可得，b＝﹣4a，c＝﹣12a，方程ax2+bx+c＝0的解为﹣2或6，整理a（x﹣1）2+c＝﹣bx+b可得a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0，进而得到x﹣1＝﹣2或x﹣1＝6，求出x的值即可得解． 【详解】解：由题意可知，抛物线y＝ax2+bx+c过点（﹣2，0），且b+4a＝0， 则有4a﹣2b+c＝0， ∴b＝﹣4a，c＝﹣12a， ∴方程ax2+bx+c＝0可化为x2﹣4x﹣12＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝6， 整理关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝﹣bx+b可得， a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0， ∴x﹣1＝﹣2或x﹣1＝6， 解得x1＝﹣1，x2＝7， 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是将a（x﹣1）2+c＝﹣bx+b变形为a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0后得到x﹣1＝﹣2或x﹣1＝6． 【变式10-3】（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标为，则关于x的一元二次方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系．先将二次函数解析式化为顶点式，然后求出函数图象的对称轴，即可得到该函数图象与x轴的另一个交点的横坐标，从而可以得到一元二次方程的解． 【详解】解：二次函数， 该函数的对称轴为直线， 二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标为， 二次函数的图象与x轴的另一个交点的横坐标为， 关于x的一元二次方程的解是，， 故答案为：，． 题型11 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 【典例11】（25-26九年级上·安徽宣城·期中）已知二次函数中部分和的值如下表所示： 则方程的一个较大的根的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、图象法确定一元二次方程的近似根，掌握数形结合思想成为解题的关键． 先求得对称轴为直线，再根据表格数据得的较小的根的范围为，再根据对称轴计算较大根的范围． 【详解】解：二次函数的对称轴为， 由表可知，当时，；当时，， 方程的一个较小根满足。 根关于对称轴对称，设较大根为，则 ， 。 当时，； 当时，； ， 故选：C． 【变式11-1】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如下表，是二次函数的自变量与函数值的几组对应值．那么方程的一个近似解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，通过观察二次函数对应值表中值的符号变化，确定方程根的范围，再根据值接近的程度选择近似解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴的一个根在和之间， ∵ 时的值比时更接近， ∴方程的一个近似根为， 故选：． 【变式11-2】（24-25九年级上·河北石家庄·期末）根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（   ） x 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，令，由二次函数的图像与轴的交点横坐标是对应方程的解，判断当时，的图像与轴有一个交点，即可求解． 【详解】解：令， 当时，， 当时，， 当时，的图像与轴有一个交点， 方程有一个解的范围是． 故选：C． 【变式11-3】（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数中部分x和y的值如下表所示： x y 0.25 0.56 0.89 则方程的一个较大的根的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、图象法确定一元二次方程的近似根等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 先求得对称轴为直线，再根据表格数据得的较小的根的范围为，最后根据二次函数图象的对称性即可解答． 【详解】解：依题意，函数的对称轴为直线， 由表格数据可得： 当时，；当时，； ∴的较小的根的范围为， 则， ∴的较大的根的范围是． 故选：C． 题型12 已知二次函数的值求自变量或代数式的值 【典例12】如果二次函数y=x2+2x-7的函数值是8，那么对应的x的值是（　　） A．5 B．3 C．3或-5 D．-3或5 【答案】C． 【分析】根据二次函数y=x2+2x-7的函数值是8，可以计算出相应的x的值，本题得以解决． 【详解】解：∵二次函数y=x2+2x-7， ∴当y=8时，x2+2x-7=8， 解得x1=-5，x2=3， 即x的值是-5或3， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二 次函数的性质解答． 【变式12-1】已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．2 【答案】A． 【分析】把（m，0）代入抛物线解析式即可求得答案． 【详解】解：∵抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴的一个交点为（m，0）， ∴m2﹣m﹣1＝0， ∴m2﹣m＝1， 故选：A． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知x轴上点的坐标特点是解答此题的关键． 【变式12-1】已知，二次函数y＝x2+bx﹣2017的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0）两点，则当x＝x1+x2时，则y的值为（　　） A．2019 B．2017 C．2018 D．﹣2017 【答案】D． 【分析】因为二次函数y＝x2+bx﹣2017的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0）两点，所以x1+x2＝﹣b，当x＝x1+x2＝﹣b时，y＝（﹣b）2+b•（﹣b）﹣2017＝﹣2017，由此即可解决问题． 【详解】解：∵二次函数y＝x2+bx﹣2017的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0）两点， ∴x1+x2＝﹣b， ∴当x＝x1+x2＝﹣b时，y＝（﹣b）2+b•（﹣b）﹣2017＝﹣2017， 故选：D． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【变式12-3】（25-26九年级上·山东临沂·期中）已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及求代数式的值，解题的关键是将点代入函数解析式求值． 将交点坐标代入抛物线方程，得到关于的方程，进而求出代数式的值． 【详解】解：抛物线 与轴的一个交点为， ， 即， ． 故答案为：． 题型13 由二次函数与x轴交点个数求值或取值范围 【典例13】若函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　) A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查的是函数图象与轴的交点，分两种情况分析，求出的取值范围即可． 【详解】解： 当时，函数是二次函数， 函数的图象与轴有交点， 解得且． 当时，函数是一次函数，图象与轴有交点， 综上所述 故选：C． 【变式13-1】（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）若抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，抛物线与轴有两个交点，则，进而求出答案． 【详解】解：∵函数的图象与x轴有两个交点， ∴ 解得， 故选：A． 【变式13-2】（25-26九年级上·浙江台州·阶段练习）抛物线与坐标轴有3个交点，则（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征以及抛物线与x轴的交点情况，由已知条件可知抛物线与x轴有两个交点，只需即可． 【详解】解：∵抛物线的图象与坐标轴有3个交点，且抛物线与y轴必有一个交点， ∴抛物线与x轴有两个交点， ∴，即， 解得：， ∵当时，抛物线过原点，此时抛物线与坐标轴只有两个交点， ∴， ∴k的取值范围为：且， 故选：B． 【变式13-3】（25-26九年级上·北京·期中）已知抛物线与轴只有一个公共点，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键在于明确交点个数与判别式的关系． 抛物线与x轴只有一个公共点，即对应的一元二次方程有两个相等的实数根，判别式为零． 【详解】令，得方程， 由于抛物线与x轴只有一个公共点， 因此方程有两个相等的实数根， 判别式， 解得． 故答案为：2． 题型14 利用二次函数的图象解不等式 【典例14】．（24-25九年级上·浙江温州·期中）若点在抛物线上，其中，则不等式的解为（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，以及解不等式，先由点在抛物线上得，再将其代入不等式，再根据，得出解集即可． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴或， ∴或， 故选：A． 【变式14-1】（2024·甘肃武威·二模）抛物线的部分图象如图所示，其与x轴时的一个交点为，对称轴为直线，将抛物线沿着x轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线，则当时，的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数的平移，关键是得到抛物线与x轴的另一个交点． 首先根据二次函数的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为，然后根据平移的性质得到抛物线与x轴的两个交点坐标为和，再根据抛物线的开口方向即可求得当时的x的取值范围． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∵抛物线沿着x轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为和 ∴当时，x的取值范围是． 故选：C． 【变式14-2】（25-26九年级上·北京·阶段练习）已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质与一元二次不等式的关系，解题的关键是利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点，再结合开口方向确定时的取值范围． 已知抛物线对称轴为，且与轴的一个交点为，根据抛物线关于对称轴对称的性质，计算两交点到对称轴的距离，进而求出另一个交点坐标；再由抛物线开口向下，可知图象在两交点之间及交点处的函数值，从而确定的取值范围． 【详解】解：∵抛物线对称轴为，且与轴的一个交点为， ∴该交点到对称轴的距离为， ∴抛物线与轴的另一个交点为，即， 又∵抛物线开口向下， ∴当时，的取值范围是． 故答案为：． 【变式14-3】二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象直接回答下列问题： （1）直接写出该二次函数的解析式为 　 ； （2）不等式ax2+bx+c≤0的解集是 　 ； （3）y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是 　 　； （4）若关于x的方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实根，则k的取值范围是 　 　． 【分析】（1）设抛物线交点式y＝a（x+2）（x﹣4），将（0，4）代入解析式求解． （2）根据抛物线与x轴交点坐标及开口方向判断． （3）由抛物线与x轴交点坐标可得抛物线对称轴为直线x＝1，然后根据开口方向进行判断． （4）将抛物线解析式化为顶点式求解． 【详解】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣4）， 将（0，4）代入y＝a（x+2）（x﹣4）得4＝﹣8a， 解得a， ∴y（x+2）（x﹣4）x2+x+4， 故答案为：yx2+x+4． （2）由图象可得x≤﹣2或x≥4时，y≤0， 故答案为：x≤﹣2或x≥4． （3）∵图象经过（﹣2，0），（4，0）， ∴抛物线对称轴为直线x＝1， ∵抛物线开口向下， ∴x＞1时，y随x的增大而减小， 故答案为：x＞1． （4）∵yx2+x+4（x﹣1）2， ∴y， ∴y时，ax2+bx+c＝k有两个不相等的实根， 故答案为：k． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数图象的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 题型15 二次函数与一元二次方程的综合应用 【典例15】（2024•钟楼区校级二模）已知二次函数y＝﹣x2﹣4x+m． （1）若该二次函数的最大值为2m，求m的值； （2）若该二次函数向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得新二次函数图象与x轴有2个交点，求m的取值范围． 【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式得到当x＝﹣2时，二次函数有最大值m+4，则m+4＝2m，解之即可； （2）求出平移后的解析式为y＝﹣x2+m，根据题意结合二次函数图象的性质可得平移后的抛物线顶点一定在x轴上方，则m＞0． 【详解】解（1）∵二次函数解析式为y＝﹣x2﹣4x+m＝﹣（x+2）2+m+4， ∴当x＝﹣2时，二次函数有最大值m+4， ∵该二次函数的最大值为2m， ∴m+4＝2m， ∴m＝4； （2）把二次函数y＝﹣（x+2）2+m+4向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得新二次函数解析式为y＝﹣（x+2﹣2）2+m+4﹣4＝﹣x2+m， ∵平移后的抛物线解析式与x轴有2个交点，且抛物线开口向下， ∴平移后的抛物线顶点一定在x轴上方， ∴m＞0． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质．二次函数图象与几何变换，二次函数的最值，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【变式15-1】（2024春•渠县校级月考）已知函数y＝2（x﹣m）（x﹣m﹣3）（m为常数）． （1）求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点； （2）若该函数图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，若△ABC的面积为12，求m的值． 【分析】（1）令y＝0，可得关于x的一元二次方程，解方程可证得结论； （2）令y＝0，可得关于x的一元二次方程，表示出方程的根，即可得到A、B两点的坐标，然后令x＝0，得到点C的坐标，最后利用三角形面积公式列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵y＝2（x﹣m）（x﹣m﹣3）即y＝2x2﹣2（2m+3）x+2m2+6m， ∴当y＝0时，即2x2﹣2（2m+3）x+2m2+6m＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣2（2m+3）]2﹣4×2×（2m2+6m）＝36＞0， ∴该函数图象与x轴总有两个公共点； （2）∵y＝2（x﹣m）（x﹣m﹣3）即y＝2x2﹣2（2m+3）x+2m2+6m， ∴当y＝0时，即2（x﹣m）（x﹣m﹣3）＝0， ∴x＝m或x＝m+3， 当x＝0时，y＝2m2+6m， ∴设A（m，0），B（m+3，0），C（0，2m2+6m）， ∴AB＝3， ∵△ABC的面积等于12， ∴，即， ∴m2+3m＝4①或m2+3m＝﹣4②， ∴解①得m＝﹣4或m＝1，方程②无解． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，二次函数性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 【变式15-2】（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知抛物线． (1)求证：无论取任何实数，该抛物线与轴都有公共点； (2)若，抛物线与轴的两个交点分别为，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，抛物线与轴的交点问题，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）当时，求出的两个根，相减后取绝对值即可． 【详解】（1）证明：当时，， ， 无论取任何实数，，即， 关于的一元二次方程一定有实数根， 无论取任何实数，该抛物线与轴都有公共点； （2）解：当时，抛物线为，当时，， 解得， ． 【变式15-3】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数． (1)试说明：该二次函数的图象与x轴必有两个交点． (2)若该二次函数图象的顶点坐标为，求m，n的值． (3)当时，函数有最小值为2，求m的值． 【答案】(1)见解析； (2)，； (3)m的值为或． 【分析】（1）证明，可得结论； （2）求出抛物线的顶点坐标，可得结论； （3）根据对称轴位置的三种情况，结合函数讨论最小值2时m的值； 本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1）证明：， 当时， ， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 二次函数的图象与x轴必有两个交点； （2）抛物线的顶点坐标为，由题意知该二次函数图象的顶点坐标为， ，， 解得， 即m、n的值分别，； （3）二次函数的对称轴为，且，抛物线开口向上， 分三种情况讨论： 情况一：当时，时函数在上y随着x的增大而增大， 当时，函数取得最小值2， 将代入函数：， ， 解得或， ， ； 情况二：当，即时函数在顶点处取得最小值，顶点纵坐标为，由（1）知， 最小值为，但此情况无解； 情况三：当，时，函数在上y随着x的增大而减小， 时，函数取得最小值2， 将代入函数： ， ， 解得或， ， ， 综上：m的值为或 一、选择题 1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）抛物线的一部分如图所示，那么该抛物线在轴右侧与轴交点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，先求出抛物线对称轴为，然后根据二次函数的性质即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由抛物线对称轴为， ∵抛物线与轴的一个交点为， ∴该抛物线在轴右侧与轴交点的坐标是， 故选：． 2．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图：某广场有一喷水池，水从地面喷出，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（　　） A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的最值，掌握相关知识是解决问题的关键．把解析式化为顶点式即可判断． 【详解】解：， ∵抛物线开口向下， ∴二次函数有最大值为4， ∴水喷出的最大高度是4米． 故选：A． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直地接触地面和门的内壁，并测得，则门高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数的应用，根据所建坐标系及图形特点，选择合适的函数表达式形式，有利于减小计算量．本题选取交点式较简便． 根据所建坐标系，易求、、的坐标，因它们都在抛物线上，所以代入解析式得方程组求解，再求顶点坐标得高度长． 【详解】解：由题意得，抛物线过点、、， 设， 把代入， 得， 解得， ． 令得， ， 门的高度约为． 故选：B． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，某同学在校运会跳高比赛中采用背跃式，跳跃路线是一条抛物线．他跳跃的高度y（单位：m）与跳跃时间x（单位：s）之间具有函数关系，那么他能跳过的最大高度为（    ） A． B． C．1m D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法求抛物线的最值，熟练进行配方是解题的关键．利用配方法把一般式转化为顶点式，确定二次函数的最值即为所求． 【详解】解： ， 当时，有最大值为， 他能跳过的最大高度为. 故选：A ． 5． （2025·天津滨海新·三模）某商店销售一种进价为40元/千克的海鲜产品，据调查发现，月销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，部分信息如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 80 … 销售量y（千克） 250 240 230 220 … ①y与x之间的函数关系式为； ②当售价为72元时，月销售利润为7296元； ③当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元； ④销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元； 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据题意，可设与之间的函数关系式为，再把将、代入，联立方程组，并解出，得出与之间的函数关系式，即可判断选项①；再根据一次函数的性质，得出当时，月销售量为千克，然后算出月销售利润，即可判断选项②；设月销售利润为，根据月销售利润等于每千克的利润乘以数量，得出，再根据题意，得出月销售量不超过千克，再根据一次函数，得出售价，然后代入，计算即可判断选项③；再根据二次函数的性质，即可判断选项④，综合即可得出答案． 【详解】解：设y与x之间的函数关系式为, 把代入到中得：， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为,故①正确； 当时，，则此时利润为元，故②正确； 设月销售利润为元， ∴， ∵每月购进这种海鲜的总进价不超过元， ∴（千克），即月销售量不超过千克， ∴当时，即， 解得：， ∴（元），故③错误； ∵， ∴当时，有最大值，最大值为，即最高利润为元，故④正确． ∴正确的有3个， 故选：C. 6．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图1，在菱形中，，连接，点从点出发沿方向以的速度运动至点，点同时从点出发沿方向以的速度运动至点．设运动的时间为，的面积为．已知与之间的函数图象如图2所示，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，动点问题与函数图象，三角形面积计算，表示出的面积表达式是解决本题的关键． 先根据点M和点N的运动速度和路径，分情况讨论的面积表达式，再结合函数图象即可求解a的值． 【详解】解：四边形是菱形，， ，． 如图1，当点N在上运动时，，． 过点M作于点E． 在中，， ． ． 当点N在点C时，，即．解得（负值已舍）． ． 如图2，当点N在上运动时，，． 过点N作于点H． 在中，， ． ． 当时，． 解得，（不符合题意，舍去）． ． 故选：C． 2、 填空题 7．（2024秋•如皋市校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝1，若该抛物线与x轴的一个交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是　 　． 【答案】x＜﹣1或x＞3． 【分析】先由抛物线的对称轴及已知点A的坐标得出抛物线与x轴的另一个交点坐标，则根据二次函数与不等式的关系可得答案． 【详解】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，该抛物线与x轴的一个交点为A（3，0）， ∴该抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0） 又∵抛物线开口向上 ∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＜﹣1或x＞3． \故答案为：x＜﹣1或x＞3． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，明确二次函数的相关性质及二次函数与不等式的关系是解题的关键． 8．（22-23九年级上·广西梧州·期末）已知函数的图象与x轴只有一个交点，则这个交点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系．正确记忆二次函数的性质是解题关键．分与两种情况考虑，对于时，函数是二次函数，由一元二次方程根的判别式即可求得k，再解一元二次方程即可求得交点坐标． 【详解】解：①当时，函数是一次函数； 令，则， 解得：， 即交点为， ②当时，函数是二次函数， ∵函数图象与x轴只有一个交点， ∴， 即， 令，则， 解得：， 即交点为． 综上，函数与x轴的这个交点为或． 故答案为：或． 9．（25-26九年级上·全国·期中）若抛物线 与x 轴有两个不同的交点，则k 的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查二次函数的性质及根的判别式，根据抛物线与x轴有两个不同的交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式大于零，且二次项系数不为零求解即可． 【详解】解：抛物线 与x轴有两个不同的交点，即方程有两个不相等的实数根， ，其中，，， ， 解得： 又该函数为二次函数， ， 故答案为：且． 10．（2025·甘肃·中考真题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最大值．解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度中等． 【详解】解：， ， 当时，取最大值，最大值为，即2.75米， 故答案为： 11．（25-26九年级上·天津滨海新·阶段练习）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点C重合）．如果分别从同时出发，那么经过 秒，四边形的面积最小． 【答案】6 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确列出函数关系式是解题关键． 设移动时间为秒，四边形的面积为，先分别求出的长，再利用面积减去面积求出四边形的面积，然后利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：设移动时间为秒，四边形的面积为， 由题意得：，， ， ， ， ， 整理得：， 由二次函数的性质可知，当时，取得最小值0， 即经过6秒，四边形的面积最小， 故答案为：6． 3、 解答题 12．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的栅栏围成一个矩形花园（栅栏只围，两边），设，花园的面积为． (1)当为何值时，花园面积有最大值？最大值为多少？ (2)若在墙角处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），当花园面积最大时，的长为多少？ 【答案】(1)当时，花园面积最大，为100平方米； (2)当花园面积最大时，的长为8米． 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，列出函数关系式是解题关键． （1）利用矩形的面积公式列出关系式，然后化为顶点式即可求解； （2）根据题意，求出的取值范围，利用二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴当时，花园面积最大，为100平方米； （2）由题意，得， 解得； ∵， ∴时，随着的增大而增大， ∴当时，有最大值， ∴当花园面积最大时，的长为8米． 13．（23-24九年级下·陕西咸阳·期中）窑洞（如图1）是黄土高原的产物，是陕北地方劳动人民的象征，具有十分浓厚的中国民俗风情和乡土气息，它除了坚固及特有的外在美之外，还具有冬暖夏凉的天然优点.小明家的窑洞（如图2）的门窗上面部分可以看成一个抛物线，下面部分是矩形，已知矩形的长，宽，门窗最高点D与地面垂直距离为，以点O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. (1)求出该抛物线的函数表达式； (2)春节前夕，小明想对家里的窑洞门窗进行装饰，准备在门窗上面的抛物线上悬挂两个灯笼，使它们离地面的高度相等，且均为，请求出两个灯笼的水平距离.（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． （1）由题意知拋物线顶点D坐标，设二次函数解析式为：，把代入求解； （2）当时计算对应的横坐标，由此即可求解． 【详解】（1）解：由题意知拋物线顶点D坐标， 则抛物线的函数表达式为：， 把代入得：， ， ； （2）由题意知：， 解得，  ，             两灯笼的水平距离：米． 14．（25-26九年级上·湖北荆州·阶段练习）已知抛物线的对称轴是直线，请解答下列问题： (1)抛物线的解析式为___________； (2)此抛物线与直线恰好只有一个交点，则的值为___________； (3)当时，的取值范围是___________； (4)若自变量取值范围为，且时，取最大值；时，取最小值．则的取值范围是___________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质．熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． （1）利用二次函数对称轴公式，结合已知对称轴列方程求出，再代入原抛物线解析式即可； （2）联立抛物线与直线方程，消去后得到一元二次方程，再结合抛物线与直线恰好只有一个交点，可知其判别式，进而求解即可； （3）先对抛物线解析式因式分解，求出与轴的交点坐标，再结合函数图像分析即可； （4）抛物线开口向上，对称轴是最小值点，因此需包含对称轴，又因为时取最大值，根据二次函数对称性，的对称点为，所以不能超过3，从而确定的取值范围． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线， 解得， 将代入，得， 抛物线的解析式为． （2）解：将代入， 得到， 整理得， 抛物线与直线恰好只有一个交点， ， 解得． （3）解：当时，即， ， 二次函数开口向上，与轴交点为和， 当时，在两个交点之间，即． （4）解：抛物线开口向上，对称轴为直线， 时，取最小值， ， 又 时，取最大值， 根据二次函数对称性，关于对称轴得对称点为， ， ． 15．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价，日销售量的部分对应数据如表： 销售单价（元） 60 65 70 日销售量（件） 200 150 100 (1)根据以上信息，求关于的函数关系式； (2)已知销售单价为60元时，日销售利润为2000元.［注：日销售利润日销售量（销售单价-成本单价）] ①求该商品的成本单价是多少元； ②求该商品的销售单价为68元时的日销售利润； ③求该商品的销售单价为多少元时，其日销售利润有最大值，日销售利润的最大值为多少元． 【答案】(1) (2)①50元；②2160元；③当销售单价为65元时，日销售利润有最大值，最大值为2250元 【分析】本题考查了求一次函数解析式，求二次函数解析式，抛物线的图象和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）先设y关于x的函数关系式为，然后用待定系数法求出一次函数解析式； （2）①设该产品的成本单价是元，根据题意可列方程求解即可； ②根据题意得．代入计算即可； ③将②中函数关系式根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设日销售量（件）与销售单价（元）之间满足的一次函数表达式为， 把代入得， 解得， 一次函数表达式为； （2）解：①设该产品的成本单价是元，根据题意， 得， 解得， 该商品的成本单价是50元； ②根据题意，得． 当时，（元）； ③， 抛物线开口向下， 当时，有最大值，最大值为2250， 答：当销售单价为65元时，日销售利润有最大值，最大值为2250元. 16．（25-26九年级上·安徽六安·阶段练习）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米处的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数，）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 0.4 0.6 … （米） 0 4 6 … (1)求与的函数关系式； (2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ (3)当为1.6秒时，小明将球击回，此时球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为2，纵坐标大于或等于1.8时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米 (3) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）代入点，得到二元一次方程组求解即可； （2）先求出球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为，再由二次函数的性质求解； （3）先求出击球点位置为，再将代入，求出，根据时，，得到不等式，再解一元一次不等式即可． 【详解】（1）解：∵图象经过点，， ， 解得：， ∴与的函数关系式为； （2）解：由表格可知， ∴设球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为：， 代入得：， 解得：， ∴， 对于，， ∴开口向下， ∵对称轴为：直线， ∴当时，， 此时， 解得：， ∴网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米； （3）解：由题意得，当时，， ∴， ∴击球点位置为， 将代入， 则， ∴， ∴， ∵时，， ∴， 解得：． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $