河北省沧州市多校联考2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试题

2025~2026学年度第一学期高二年级第二次月考 数 学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答策答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米思色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第三章第1节。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 0 合题目要求的。 1.直线y一2025=0的倾斜角为 A元 B受 c D.0 2已知F,R是椭圆C需十若-1的左右焦点，P是C上一点，若1PR引=6，则|PR2引= y2 A.12 B.10 C.8 D.6 3.已知向量a=(1,x,2),b=(一4,4，y),若a与b共线，则x十y= A12 B.9 C.-9 D.-12 4.若点P(1,1)在圆C:x2十y2一x一2y一k=0的外部，则实数k的取值范围是 A.(-∞，-1) B(-吾，-) c(-1,) D.(-1,-) 5.已知点A(2,一3)，B(一3，一2)，若过定点P(1,1)的直线l与线段AB相交，则直线l的斜率 k的取值范围是 A(-o∞，-4U[,+o∞） B[-4,] C(-∞，-]U[4,+o∞y D[-4] 【高二年级第二次月考·数学第1页（共4页）】 MF-CL-24A2 6.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形，O为△PBC的重心， PM=PA,且PA=3,AB=2,则点0到直线DM的距离为 A B.66 O C③3 D.33 6 7.已知椭圆E+苦-1(。>6>0)的离心率为号，若椭圆E上的点到直线x十十5=0的最 短距离不小于2，则长半轴长a的取值范围为 A.(0,2] B.(2,W6] C.(0W6] D.(W6,3] 8.已知点A(一2,0)，B(2,0),直线l:3x一4y一m=0,若直线1上存在点P,使得PA= 2PB,则实数m的取值范围是 A[o,9] c[-9] D[-99] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.若0产n十二。一2为椭圆的方程，则m的值可以为 A.1 B.3 C.6 D.8 10.已知直线1：2x一y十b=0与⊙O:x2+y2=9,则下列说法正确的是 A.若⊙O上恰有1个点到直线l的距离为2，则b=±5√5 B.若⊙O上恰有2个点到直线1的距离为2，则b的取值范围是（一5√5,5√5） C.若⊙O上恰有3个点到直线l的距离为2，则b=士√⑤ D.若⊙O上恰有4个点到直线1的距离为2，则b的取值范围是（一√5，√5） 11.如图，多面体ABCD-EFH是各棱长均为1的平行六面体ABCD-EFGH截去三棱 锥G-CFH后剩下的几何体，若点P是三角形CHF的重心，∠EAB=∠EAD=∠DAB= 60°，AQ=入AP,则下列说法正确的是 H AAP-号 R异面直线AP,CD所成角的余弦值为写 C.AP⊥BD D.若E,Q,B,D四点共面，则点Q是线段AP的中点 【高二年级第二次月考·数学第2页（共4页）】 MF-CL-24A2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 1 12.已知直线l41:y=a.x十2，直线l2:y=(a2一2)x-2a,若l1∥l2,则a= 13.过点A(一1，一1)与圆C:(x一1)2十(y一3)2=4相切的直线方程为 14已知FF分别是椭圆C芳+芳-1(a>6>0)的左右焦点，0为坐标原点，P,Q是椭圆C 上的点，若△PQF,的面积是号，且P成+2Q=0,则C的离心率是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知直线x+y一2=0与直线x一2y+1=0相交于点P. (1)求过点P且与直线x一2y十1=0垂直的直线的方程； (2)求过点P且在x轴上的截距是在y轴上截距2倍的直线的方程， 16.(本小题满分15分) 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC,AB=BC=BB1=2,D,E分别为AB,CC1的 中点， (1)判断直线DE与平面AB,C的位置关系，并说明理由； (2)求异面直线AB,与BE所成角的余弦值， 17.(本小题满分15分) 已知圆C1经过点（一2,0），且与圆C2:x2+y2一4x十8y=0相切于原点O. (1)求圆C,的标准方程； (2)若直线l:ax十by十2a一b=0(a,b不同时为0)与圆C1交于A,B两点，当AB取得最小 值时，l与圆C2交于C,D两点，求|CD的值 【高二年级第二次月考·数学第3页（共4页）】 MF-CL-24A2 18.(本小题满分17分) 已知辅圆E荐+兰 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(一3,0)，F2(3,0),且过点 M(-3,3￥2)月 (1)求E的方程； (2)若点A,B是E上的两点，且线段AB的中点为C(1,一2)，求直线AB的方程； (3)若点P是E上不同于左、右顶点的一点，点G是△PFF2的重心，点Q是圆N:+ (一)°=言上的一点，求Qc的最大值. 19.(本小题满分17分) 如图1，在△ABC中，AC⊥BC,AC=BC=2,M,N分别是BA,BC边上的动点（不同于端 点)，且MN∥AC,将△BMN沿MN折起到△PMN的位置，得到四棱锥P-ACNM,如图 2所示，点Q是线段AC的中点. M 图1 图2 (1)求证：MN⊥PC; (2)若PN=2NC,当四棱锥P-ACNM的体积取得最大值时，求平面PMC与平面PMQ的 夹角的余弦值； (3)若AM⊥PQ,求直线PM与平面ACM所成角的正弦值的取值范围， 【高二年级第二次月考·数学第4页（共4页）】 MF-CL-24A22025~2026学年度第一学期高二年级第二次月考·数学 参考答案、提示及评分细则 1.D 由题意知直线的倾斜角为 0. 故选 D. 2.B 由椭圆的定义可得 $$| P F _ { 1 } | + | P F _ { 2 } | = 2 a = 1 6 ，$$ 因为 $$| P F _ { 1 } | = 6 ，$$ 所以 1 $$| P F _ { 2 } | = 1 0 .$$ .故选B. 3.C 由向量 a=(1，x，2)，b=(-4，4，y) 共线，得 $$\frac { - 4 } { 1 } = \frac { 4 } { x } = \frac { y } { 2 } ，$$ 解得 x=-1，y=-8， 所以 x+y=-9. 故选C. .B由题意得 $$\left\{ \begin{array}{l} 1 + 1 - 1 - 2 - k > 0 ， \\ 1 + 4 + 4 k > 0 ， \end{array} \right.$$ 解得 $$- \frac { 5 } { 4 } < k < - 1 .$$ 故选B 5.A∵ 直线l过定点 $$P \left( 1 ， 1 \right) ， k _ { P A } = \frac { - 3 - 1 } { 2 - 1 } = - 4 ， k _ { P B } = \frac { - 2 - 1 } { - 3 - 1 } = \frac { 3 } { 4 } ，$$ ，且直线1与 线段AB相交， ∴ 由图象知， $$k \ge \frac { 3 } { 4 }$$ 或 k≤-4， ，则斜率的取值范围是 工 $$\left( - \infty ， - 4 \right] \cup \left[ \frac { 3 } { 4 } ， + \infty \right) .$$ .故选A. B A 6.A 如图，以A为原点，A B，AD，AF P所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标 系，则 P(0，0，3)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，C(2，2，0)，M(0，0，2)， 所以 $$O \left( \frac { 4 } { 3 } ， \frac { 2 } { 3 } ， 1 \right) ， \overrightarrow { O D }$$ P $$= \left( - \frac { 4 } { 3 } ， \frac { 4 } { 3 } ， - 1 \right) ， \overrightarrow { D M } = \left( 0 ， - 2 ， 2 \right) ，$$ ，故点O到直线DM的距离为 $$\sqrt { \overrightarrow { O D } ^ { 2 } - \left( \overrightarrow { O D } \cdot { \frac { D M } { | O M } \right) ^ { 2 } } = \sqrt { \frac { 4 1 } { 9 } - \left( \frac { 7 \sqrt 2 } { 6 } \right) ^ { 2 } } = \frac { \sqrt { 6 6 } } { 6 } .$$ 故选A. O D y 7.C 设直线 l 与 x+y+5=0 平行且它们之间的距离为 $$\sqrt 2 ，$$ ，则 l 的方程为 x+y+3= B ℃ 0，由 由 $$\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ，$$ 整理得 $$\left( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \right) x ^ { 2 } + 6 a ^ { 2 } x + 9 a ^ { 2 } - a ^ { 2 } b ^ { 2 } = 0 ，$$ 因为E上的点到直 x x+y+3=0， 线 x+y+5=0 的最短距离不小于 $$\sqrt 2 ，$$ ，所以 $$\triangle = 3 6 a ^ { 4 } - 4 \left( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \right) \left( 9 a ^ { 2 } - a ^ { 2 } b ^ { 2 } \right) \le 0 ，$$ 整理得 $$a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - 9 \le 0 ，$$ ，由椭 圆E的离心率为 $$\frac { \sqrt 2 } { 2 } ，$$ ，可知 $$1 - \frac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 } ，$$ ，所以 $$\lambda \frac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 } ，$$ 所以 $$a ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } a ^ { 2 } - 9 \le 0 ，$$ 则 $$a ^ { 2 } \le 6 ，$$ ，所以 $$1 0 < a \le \sqrt 6 .$$ 故选C. 8.D 设点 P(x，y)， ，因为 |PA|=2|PB|， ，所以 $$\sqrt { \left( x + 2 \right) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } = 2 \sqrt { \left( x - 2 \right) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } ，$$ ，整理得点P的轨迹方程 $$\left( x - \frac { 1 0 } { 3 } \right) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = \frac { 6 4 } { 9 } ，$$ 根据题可直线与点P的机有公共点，所以 $$\frac { | 3 \times \frac { 1 0 } { 3 } - 4 \times 0 - m | } { \sqrt { 3 ^ { 2 } + \left( - 4 \right) ^ { 2 } } } \le \frac { 8 } { 3 } ，$$ $$| m - 1 0 | \le \frac { 4 0 } { 3 } ，$$ 解得 $$- \frac { 1 0 } { 3 } \le m \le \frac { 7 0 } { 3 } .$$ 故选D. (2(10-m)>0， BD方程 $$\frac { x ^ { 2 } } { 1 0 - m } + \frac { y ^ { 2 } } { m - 2 } = 2 ，$$ $$\frac { x ^ { 2 } } { 2 \left( 1 0 - m \right) } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 \left( m - 2 \right) } = 1 ，$$ 依题意可得 2(m-2)>0， 解得 2<m 2(10-m)≠2(m-2)， <10且 m≠6， ，即 m 的取值范围为 (2，6)∪(6，10)， ，结合选项可知B，D符合题意.故选 BD. 10.ACD⊙O 的圆心为O(0，0)，半径 r=3， ，圆心 O 到直线l的距离为 ，若 ⊙O 上恰有1个点到直线l的距 离为2，则 2.则 $$\frac { | b | } { \sqrt 5 } = 5 ，$$ ，解得 $$b = \pm 5 \sqrt 5 ，$$ ，故A正确；若 ⊙O 上恰有2个点到直线l的距离为2，则 $$1 < \frac { | b | } { \sqrt 5 } < 5 ，$$ 得 $$b \in \left( - 5 \sqrt 5 ， - \sqrt 5 \right) \cup \left( \sqrt 5 ， 5 \sqrt 5 \right) ，$$ ，故B错误；若 ⊙O 上恰有3个点到直线的距离为2，则 $$\frac { | b | } { \sqrt 5 } = 1$$ ，解得b $$= \pm \sqrt 5 ，$$ C 正确：若 ⊙O 上恰有4个点到直线/的距离为2，则 $$\frac { | b | } { \sqrt 5 } < 1 ，$$ $$- \sqrt 5 < b < \sqrt 5$$ ，故D正确.故 选 ACD. 11.BC D 因为点P是三角形 CHF 的重心，所以 $$\overrightarrow { A P } = \frac { 1 } { 3 } \overrightarrow { A C } + \frac { 1 } { 3 } \overrightarrow { A F } + \frac { 1 } { 3 } \overrightarrow { A H } = \frac { 1 } { 3 } \left( \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A D } \right) +$$ $$\frac { 1 } { 3 } \left( \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A E } \right) + \frac { 1 } { 3 } \left( \overrightarrow { A D } + \overrightarrow { A E } \right) = \frac { 2 } { 3 } \overrightarrow { A B } + \frac { 2 } { 3 } \overrightarrow { A D } + \frac { 2 } { 3 } \overrightarrow { A E } ，$$ 所以 $$| \overrightarrow { A P } | ^ { 2 } = \frac { 4 } { 9 } \left( | \overrightarrow { A B } | ^ { 2 } + | \overrightarrow { A D } | ^ { 2 } + | \overrightarrow { A E } | ^ { 2 } +$$ 【高二年级第二次月考·数学参考答案第1页(共4页)】 MF-CL-24A2 2A·Ad+2A店.花+2市.应)=号1+1+1+1+1+1)=号，所以AP=2,放A错误：因为 AB/CD,所以∠PAB就是异面直线AP与CD所成的角，因为A泸.A花=（号A花+号A+号A它）·A店 =号，所以cos∠PAB= IAPI IABI 26X =气，放B正确：A,D=号(A成+A亦+应· (Ad-A店)=号（亦-A亦+A定·A市-A立·A)=0,所以APLBD,故C正确：若E,Q,B,D四点共 面，则存在有序数对(x,y),使B范=xBD+yB配，即Ad-AB=x(AD-AB)十y(A正-AB),即 号-1=-xy (号-1)A+号A+号A2=(-yA店+rAi+yA忘，所以号= 解得入=2，所 3=y, 以点Q是线段AP的中点，故D正确.故选BCD. 122由题知e22解得a=2 13.x+1=0或3x一4y一1=0易知C(1,3),且点A在圆C外，若直线斜率存在，设切线方程为y+1= (x十1D,即x一y十友-1=0，则3士是=2，解得k=子，放切线方程为3x一4-1=0，易验证 /k2+(一1)2 x十1=0也是圆C的切线，故所求切线方程为x+1=0或3x一4y一1=0. 14号因为P+2Q=0,所以PFl=2Qr,且R在线段PQ上，所以Sm=号×S心，=号× 多8=，设m=PFm=PF,侧m十m=2a,QF,=受，QE=2a-登，在△Pp,中，由余弦 定理，得|FF2|2=|PF|2+|PF|2-2|PF||PF2cos∠FPF2,即4c2=m2+2-2mcos∠FPF2 =(m+)2-2mn(1+cos∠FPF)=4d-2mm(1+cos∠FPp:),即="受(1+cos∠RPF:),又因为 Sms=msn∠F,PF=6,所以1+cos∠FPF:=sm∠FPF,即sm(∠FPE:-于）=号，所以 ∠下，PR=受，因为PE+PQ=Qr3,所以(2a-w+(受)广=(2a-登)》广，所以n=号a,m =音a,义刘BE=PR,+PF,,所以4女=器，所以e=亨，即e-号 3 15.解：(1)由x十y2=0,得{X二所以点P(1,1).……1分 1分 设过点P且与直线x一2y十1=0垂直的直线的方程为2x十y十入=0，…3分 将点P(1,1)代入方程得2十1十入=0，解得入=一3，…5分 所以所求直线的方程为2x十y一3=0.…6分 (2)当直线过原点时，直线在x轴上与在y轴上的截距都是0，显然符合题意， 设所求直线的方程为y=kx,将点P(1,1)代人，得k=1,……8分 故所求直线方程为x一y=0.…9分 当直线不过原点时，设所求直线方程为%十立=1，将点P1,1)代人，得a= 29 … 11分 放所求直线方程为号十号-1，即x十2)3=0. 12分 综上所述，所求直线的方程为x-y=0或x+2y一3=0. 13分 16.解：(1)直线DE∥平面AB1C,证明如下：… 2分 取AB的中点F,连接DF,CF,因为D为AB的中点，所以DF∥BB,且DF=号BB,又E为CC的中 点，BB∥CC,BB=CC,所以EC∥BB,且EC=号BB,所以DF∥BC,且DF=BC,所以四边形 DEC1F为平行四边形，……6分 所以DE∥FC,又DE吐平面ABC,FCC平面ABC1, 【高二年级第二次月考·数学参考答案第2页（共4页）】 MF-CL-24A2 所以直线DE∥平面AB1C1.…8分 (2)因为AB⊥BC,由已知得BB1⊥平面ABC,以B为坐标原点，以BC,BA, BB所在直线分别为x轴，y轴，之轴建立空间直角坐标系如图所示，…9分 由AB=BC=BB=2,得A(0,2,0),B1(0,0,2),E(2,0,1),AB1= (0,-2,2),BE=(2,0,1). 设异面直线AB与BE所成的角为0，则cos0=|cos(AB,BE|= |AB·BE 2 10 |AB|·|BE22X5 10 所以异面直线AB与BE所成角的余弦值为巴。 15分 17.解：(1)因为圆C1与圆C2相切，且点（一2,0）在圆C2的外部，所以圆C与圆C2外切， 则C,O,C2三点共线，… …2分 圆C2:x2+y2-4x+8y=0化为(x-2)2+(y+4)2=20,所以圆心C2(2,-4), 故圆心C在直线y=一2x上.… …4分 设圆C的标准方程为(x一1)2+(y+21)2=, 又圆C1过原点O(0,0),则2=52，…5分 圆C经过点(-2,0)，则（一2-t)2十(0十2t)2=5,解得t=-1,…6分 故圆C的标准方程为(x十1)2十(y一2)2=5.…7分 (2)由(1)可知，圆C1的圆心坐标为（一1,2），……… 8分 由直线l:a.x+by+2a-b=0化为a(x+2)+b(y-1)=0, 所以直线l恒过点P(一2,1)，…9分 易知点P在圆C1的内部， 设点C到直线l的距离为d,则|AB|=2√/P一死=25-平，… 10分 要使|AB取得最小值，则d取得最大值，所以PC⊥l, 11分 2-1 此时kc=1干2=1，所以k=一1， 12分 则直线l的方程为y一1=-(x十2)，即x十y+1=0. 13分 又圆心C到直线x十y十1=0的距离d=2-4+1 2 2 14分 所以1CD=220-() =7⑧ …15分 18.解：(1)由题意知2a=/(-3+3)2+ 3V2 3-3)2+（ 3W2 =6√2，所以a=3√2，…2分 所以b=√Ja-3=3, …3分 所以E的方程为发十苦=1，. …4分 (2)设A(c1y),B(2,2),又线段AB的中点为C(1,-2),所以=1，当业=-2，即十= 2 2 2十%=一4，又点A,B是E上的两点，所以装+号=1，普+号=1，两式相碱得士S02+ 18 士-2=0，所以贵=200=司 x1一2 之子，即直线AB的斜率为，…8分 2 所以直线AB的方程为y十2=(x-1D,即x一4y一9=0.… …10分 Co= -3+3+xp (3)设G(xo,),P(xp,yp)(yp≠0)，因为点G是△PF1F2的重心，所以 0+0+yP 所以xp= 3 3,加=3又点P是E上的一点，所以+普-1，所以3+3 18 9 =1,即受+6=1(0≠0)， 所以x6=2-26,%∈[-1,0)U(0,1].… 13分 所以1G=√+(-)=√2-26+6-+=√厂8-%+是=√(6+2)厂+号< 四，当且仅当%=一号时等号成立，… 15分 【高二年级第二次月考·数学参考答案第3页（共4页）】 MF-CL-24A2 因为1QG1≤1NG1+1QN≤云+子，当且仅当N在线段GQ上时等号成立，所以QG的最大值为 2 ⑩+1 2 4 …17分 19.(1)证明：在△ABC中，AC⊥BC,MN∥AC,所以MN⊥BC,所以在四棱锥P-ACNM中，MN⊥PN,MN⊥ NC,又PN∩NC=N,PN,NCC平面PNC,所以MN⊥平面PNC,…2分 又PCC平面PNC,所以MN⊥PC.… 3分 (2)解：当四棱锥P-ACNM的体积取得最大值时，平面PMN⊥平面ACNM.…5分 又平面PMN∩平面ACNM=MN,MN⊥PN,PNC平面PMN,所以PN⊥平面ACNM,·6分 以N为坐标原点，NM,NC,NP所在的直线分别为x,y,之轴建立空间直角坐 标系，如图所示， 则N(00,0),A(2,号，0)，P(0,0,),C(0,号，0)，M(号，0,0），所以 Q(1,号0). 设平面PMC的-个法向量为m=(M1),又P元-(0，号，-号)，Ci- M (告，号0)所 m…P元=号-青=0， mi=号=0, 令=1，解得x1=1,y1=2, 所以平面PMC的一个法向量m1=(1,2,1). …7分 设平面PMQ的-个法向量为m=(),又M市=(-专0，专)，Mà=(-}，号，0），所以 m·M=-4 寺4十=0 2 令为=1，解得x2=2=2,所以平面PMQ的一个法向量2=(2,1,2). m·a=-子a+号y=0 8分 设平面PMC与平面PMQ的夹角为0， 所以aos0=cm=T:Wh 2+2+2 /6 /1+4+1×w/4+1+4 即平面PMC与平面PMQ的夹角的余弦值为写 10分 (3)解：以C为坐标原点，直线CA和CN分别为x,y轴，过C作平面ACNM的垂线为之轴，建立空间直角坐 标系，如图所示，设P(0,s,u)(>0),N(0,t,0)(0<t2),Q(一1,0,0)，A(-2,0,0),M(t-2,t,0), AM=(t,1,0),P0=(-1,-s,-u),又AM⊥PQ,所以AM·P0=-t s1=0,解得s=一1，………11分 则P(0,-1,),则PM=(t-2,1+1,一u),又PM=√2PN,所以(t-2) +(t+1)2+(-u)2=2(2-t)2,整理得2=3-6t,且u2=3-6t>0,t> 0,得0K …12分 易得平面ACM的一个法向量为n=(0,0,1),设直线PM与平面ACM所 成角为B, A Q sin月=|cos(Pi,ml=1P·nL |PM·|nl√(-2)2+(t+1)2+d 3-6t 3-6t_6(1-2t) 6(1-21) 6 则sim3=2-+1+1)+3-612-82+8-(21-40=3+(1-2)厅- 1-21)+2,+6 ………………………14分 令1-21=A∈(0,1)，函数f()=入十9+6在(0,1)上单调递减，f()>f(1)=16, 因此1-2)+2十6>16则0<rg号，解得0<4， 所以直线PM与平面ACM所成角的正弦值的取值范围是(o,) 17分 【高二年级第二次月考·数学参考答案第4页（共4页）】 MF-CL-24A2