精品解析：上海海洋大学附属大团高级中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

上海海洋大学附属大团高级中学 2025学年度高二第一学期数学期中质量检测卷 注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚． 2．本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟． 一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分． 1. 已知直线的斜率不存在，则这条直线的倾斜角为______． 【答案】#### 【解析】 【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系，即可得到答案. 【详解】因为直线的斜率不存在，则这条直线的倾斜角为. 故答案为：. 2. 若圆柱的底面半径是1，母线长为2，则这个圆柱的体积是___________. 【答案】 【解析】 【分析】直接根据圆柱的体积公式计算即可得出答案. 【详解】解：圆柱的母线长即为圆柱的高， 则这个圆柱的体积. 故答案为： 3. 若两直线的方程分别为，，则与的夹角为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线的斜率和倾斜角定义求得答案. 【详解】直线平行于轴，直线的斜率，倾斜角为， 所以直线与的夹角为. 故答案为：. 4. 已知，，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量垂直坐标表示，即可求解. 【详解】由，得，解得. 故答案为：. 5. 直线与直线之间的距离是______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据平行线间距离公式求解. 【详解】直线与直线之间的距离为. 故答案为：. 6. 已知球的表面积为,则该球的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】设球半径为，由球的表面积求出，然后可得球的体积． 【详解】设球半径为， ∵球的表面积为， ∴， ∴， ∴该球的体积为． 故答案为． 【点睛】解答本题的关键是熟记球的表面积和体积公式，解题时由条件求得球的半径后可得所求结果． 7. 以为圆心，且和直线相切的圆的标准方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离即为圆的半径，再写出圆的标准方程即可. 【详解】设圆的半径为，因为圆与直线相切， 所以， 所以圆的方程为. 故答案为：. 8. 若圆锥底面半径为2，侧面展开图是半圆，则此圆锥的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥母线长为，底面半径为，求出，利用圆锥的表面积公式即可求解. 【详解】设圆锥母线长为，底面半径为， 则，， 底面积为，侧面积为， 所以表面积为． 故答案为：． 9. 求过点且垂直于直线的直线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据与已知直线垂直的直线系方程可设与直线垂直的直线方程为，再把点代入，即可求出值，得到所求方程． 【详解】垂直于直线的直线可设为， 将点代入可得，得， 所以所求的直线方程为. 故答案为：. 10. 已知半径为的球面上三点满足，球心到平面的距离为12，则球的半径为__________. 【答案】13 【解析】 【分析】求出外接圆的圆心，利用勾股定理即可得到球的半径. 【详解】因为球面上三点满足，， 所以为直角三角形，外接圆的半径， 设外接圆的圆心为，球的球心为，所以面， 因为面，所以， 由勾股定理得，解得. 故答案为：13. 11. 要给1000个相同规格的螺杆镀锌（表面涂上一层锌），螺杆的尺寸如图所示（图中单位：毫米），螺杆下部是实心的正六棱柱，上部是实心的圆柱．如果电镀这批螺杆每平方米要用锌0.11千克，则需要用锌的总量为______克．（精确到0.1） 【答案】 【解析】 【分析】借助圆柱与棱柱的表面积公式计算可得表面积，即可得解. 【详解】此零件的表面积为 平方毫米. 则1000个零件的表面积为平方毫米. 故需锌的质量为克. 故答案为：. 12. 已知空间向量都是单位向量，且与的夹角为，若为空间任意一点，且，满足，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】以为坐标原点，为轴，为轴，垂直于平面为轴建立空间直角坐标系，由坐标表示得，画出可行域利用线性规划求解即可. 【详解】因为，所以平面， 以为坐标原点，为轴，为轴，垂直于平面为轴建立如图所示坐标系， 因为都是单位向量，与的夹角即为， 所以，，， 设点，且， 则，，，， 所以由得， 平方得， 由可得， 所以或， 由及可得即， 综上满足的可行域如图所示， 令，则， 由可行域可得在点取得最大值，在点取得最小值， 由解得，， 所以，， 所以的最大值为 ， 故答案为： 二．选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分． 13. 如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如果的坐标为，那么的坐标是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 推导出,从而得到，即可求出 【详解】由题意得：∵的坐标为， ∴, ∴ ∴． 故选：A 【点睛】求直线方向向量的关键： (1)建立合适的坐标系； (2)直线方向向量等于终点坐标减起点坐标． 14. “几何体是正四棱柱”是“几何体是长方体”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据正四棱柱，长方体的结构特征及充分、必要条件关系判断. 【详解】若几何体是正四棱柱，则该几何体是长方体，即几何体是正四棱柱能推出几何体是长方体， 而几何体是长方体不能推出几何体是正四棱柱， 故“几何体是正四棱柱”是“几何体是长方体”的充分不必要条件. 故选：A. 15. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 内含 B. 内切 C. 相交 D. 外切 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆心距与半径和、差的关系判断即可得解. 【详解】圆，即，故，半径， 圆，即，故，半径， 由，故两圆内切. 故选：B. 16. 四条不重合直线、、、都经过点，且其中任意一条直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积都是为，则的取值范围是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线的截距式结合基本不等式计算求解. 【详解】设直线与与两坐标轴交于，所以设直线为， 因为直线过点，所以， ，所以，， 所以. 当且仅当时取面积最小值，所以. 故选：D. 三．解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17. 已知直线, ,求m的值，使得： (1) 与相交； (2) ; (3) ； (4) ，重合. 【答案】（1），且；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】利用两直线相交、平行、垂直、重合的结论一一求解． 【详解】（1）当和相交时，． 令，得，解得或． 所以当，且时，和相交． （2）当时，，解得．所以当时，． （3）因为时，不平行于，所以，所以，且，解得． （4）因为时，与不重合，所以当与重合时，有且，解得． 【点睛】本题考查了两直线结论---（1）直线：与直线重合． （2）直线：与直线平行． （3）直线：与直线垂直 （4）直线：与直线相交 18. 底面边长为2的正三棱锥,其表面展开图是三角形，如图，求△的各边长及此三棱锥的体积. 【答案】边长为4，体积为． 【解析】 【详解】试题分析：由于展开图是，分别是所在边的中点，根据三角形的性质，是正三角形，其边长为4，原三棱锥的侧棱也是2，要求棱锥的体积需要求出棱锥的高，由于是正棱锥，顶点在底面上的射影是底面的中心，由相应的直角三角形可求得高，得到体积． 试题解析：由题意中，，，所以是的中位线，因此是正三角形，且边长为4． 即，三棱锥是边长为2的正四面体 ∴如右图所示作图，设顶点在底面内的投影为，连接，并延长交于 ∴为中点，为的重心，底面 ∴，， 【考点】图象的翻折，几何体的体积． 19. 圆拱桥的一个圆拱如图所示，该圆拱的跨度为20m，拱高为4m， （1）建立适当的平面直角坐标系，并求圆弧所在圆的方程； （2）在建造过程中每隔4m需用一个支柱支撑．求支柱的高度．（结果精确到0.01m） 【答案】（1），()； （2）米. 【解析】 【分析】（1）以O为原点，为x、y轴，确定的点坐标，设圆弧所在圆方程为 且，将点坐标代入求参数，即可得方程. （2）由（1）及题设有，且在圆弧上，代入圆弧所在圆方程求y，即可知的长度 【小问1详解】 构建如下直角坐标系，则，，， 设所在圆方程为且， ，解得， 所以圆弧所在圆的方程，. 【小问2详解】 由题设知：，则，且在圆弧上， 所以，可得，故的长度为米. 20. 如图，为正方体，动点在对角线上，记． （1）用向量、、表示向量； （2）若，求直线与平面所成角的大小； （3）若异面直线与所成角为，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量加减法计算求解； （2）建立空间直角坐标系，先求出平面的法向量，再应用线面角的正弦公式计算，最后结合反三角求解； （3）应用异面直线所成角的余弦公式计算求参. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 建立如图所示空间直角坐标系，设正方体边长为1， 则有，又因为， 所以， 所以， 若，则， 设平面的法向量为， ， 所以， 所以， 令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 所以，所以； 【小问3详解】 因为异面直线与所成角为，， 所以，， 所以 21. 在平面上，将两个半圆弧和，以及两条直线和围成的封闭图形记作，如图中阴影部分，将绕轴旋转一周而成的几何体记作． （1）请判断是一个多面体还是旋转体？ （2）过点其中，作的水平截面，求所得截面的面积； （3）利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，求出的体积． 【答案】（1）旋转体 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转体的定义判断； （2）如图，截面的面积为以点为圆心，以为半径的圆的面积减去以点为圆心，以为半径的圆的面积，运算得解； （3）由（2）水平截面的面积，可猜想水平放置的圆柱和长方体，根据祖暅原理然后直接求出圆柱的体积与长方体的体积作和即可. 【小问1详解】 由题可知，是旋转体. 【小问2详解】 如图，设，，， 过点作轴的平行线分别交两个半圆于点，作，垂足为， 则，，，故， 所以，， 由题截面的面积为以点为圆心，以为半径的圆的面积减去以点为圆心，以为半径的圆的面积， 所以截面的面积为. 【小问3详解】 因为几何体为的水平截面的截面积为，该截面的截面积由两部分组成， 一部分为定值，看作是截一个底面积为，高为2的长方体得到的， 对于，看作是把一个半径为1，高为的圆柱平放得到的，，，，如图所示， 这两个几何体与放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面积相等，故它们的体积相等， 所以几何体的体积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海海洋大学附属大团高级中学 2025学年度高二第一学期数学期中质量检测卷 注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚． 2．本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟． 一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分． 1. 已知直线斜率不存在，则这条直线的倾斜角为______． 2. 若圆柱的底面半径是1，母线长为2，则这个圆柱的体积是___________. 3. 若两直线的方程分别为，，则与的夹角为______． 4. 已知，，若，则______． 5. 直线与直线之间的距离是______． 6. 已知球的表面积为,则该球的体积为______. 7. 以为圆心，且和直线相切的圆的标准方程是______． 8. 若圆锥的底面半径为2，侧面展开图是半圆，则此圆锥的表面积为______． 9. 求过点且垂直于直线的直线方程为______． 10. 已知半径为球面上三点满足，球心到平面的距离为12，则球的半径为__________. 11. 要给1000个相同规格的螺杆镀锌（表面涂上一层锌），螺杆的尺寸如图所示（图中单位：毫米），螺杆下部是实心的正六棱柱，上部是实心的圆柱．如果电镀这批螺杆每平方米要用锌0.11千克，则需要用锌的总量为______克．（精确到0.1） 12. 已知空间向量都是单位向量，且与的夹角为，若为空间任意一点，且，满足，则的最大值为__________． 二．选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分． 13. 如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如果的坐标为，那么的坐标是（ ） A. B. C. D. 14. “几何体是正四棱柱”是“几何体是长方体”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 15. 圆与圆位置关系为（ ） A 内含 B. 内切 C. 相交 D. 外切 16. 四条不重合直线、、、都经过点，且其中任意一条直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积都是为，则的取值范围是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 三．解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17. 已知直线, ,求m值，使得： (1) 与相交； (2) ; (3) ； (4) ，重合. 18. 底面边长为2的正三棱锥,其表面展开图是三角形，如图，求△的各边长及此三棱锥的体积. 19. 圆拱桥的一个圆拱如图所示，该圆拱的跨度为20m，拱高为4m， （1）建立适当的平面直角坐标系，并求圆弧所在圆的方程； （2）在建造过程中每隔4m需用一个支柱支撑．求支柱的高度．（结果精确到0.01m） 20. 如图，为正方体，动点在对角线上，记． （1）用向量、、表示向量； （2）若，求直线与平面所成角的大小； （3）若异面直线与所成角为，求的值． 21. 在平面上，将两个半圆弧和，以及两条直线和围成的封闭图形记作，如图中阴影部分，将绕轴旋转一周而成的几何体记作． （1）请判断是一个多面体还是旋转体？ （2）过点其中，作的水平截面，求所得截面的面积； （3）利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，求出的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $