精品解析：广东省湛江市博雅学校2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

湛江市博雅学校八年级第二次大练习 数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 在一些汉字的美术字中，有的是轴对称图形．下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知点M与点关于y轴对称，那么点M的坐标为（ ）． A. B. C. D. 3. 如果三角形两边的长分别是5cm、7cm，那么这个三角形第三边的长可能是（　　） A. 1 cm B. 2cm C. 10cm D. 12 cm 4. 如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定是（    ） A. B. C D. 5. 已知，，用尺规作图的方法在上取一点，使得，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，的面积为，平分，且于点，则的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法中正确的个数是（　　） ①是的平分线；②；③点D在的垂直平分线上；④． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 如图，在中，的垂直平分线交于点D，若，，则的度数为（ ） A B. C. D. 9. 如图，已知等边的边长为，中线，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是( ) A. B. C. D. 10. 如图，点是线段上任意一点（点与点，不重合），分别以、为边在直线的同侧作等边三角形和等边三角形，与相交于点，与相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②；③；④连接，则是等边三角形，以上结论正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题 11. 已知等腰三角形的两边长分别是和，则此三角形的周长是________． 12. 如图，已知，点，，，在同一条直线上，若，，则线段的长为______ ． 13. 如图，在中，边的垂直平分线交边于点D，连接，，，的度数为___________． 14. 如图，在中，点P，M在坐标轴上，，，，，则点M的坐标是________ 15. 如图，，于A，于B，且，Q点从B向D运动，每分钟走，P点从B向A运动，P，Q两点同时出发，P点每分钟走______时与全等． 16. 如图，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AB⊥BC，∠DAB＝130°，点M，N分别是边BC，CD上两个动点，当△AMN的周长最小时，∠MAN的度数为______． 三、解答题 17. 在中，，是的高，是的角平分线，求的度数． 18. 已知：如图，． （1）求证：； （2）判断与的位置关系，并说明理由． 19. 如图，在中，，点D是的中点，点E在上．求证：． 20. 如图，中，作AC边垂直平分线MN交BC于点D，连接AD． （1）依题意补全图形（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，，求的度数． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上． （1）画出关于轴对称的图形并写出顶点的坐标； （2）求的面积； （3）在轴上找一点，使得的周长最小（保留作图痕迹）． 22. 如图，在中，，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）　　　　　（用t的代数式表示）． （2）当点Q在边上运动时，出发 秒后，是等腰三角形． （3）当点Q在边上运动时，出发几秒后，是以或为底的等腰三角形？ 23. 如图，和中，，，，连接交于点O，交于点M，交于点N． （1）求证：； （2）连接，求证：平分． 24. 在△ABC中，AB=AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE． （1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC=40°，则∠ACE=　　　　，∠DCE=　　　　，BC、DC、CE之间的数量关系为　　　　； （2）设∠BAC=α，∠DCE=β． ①当点DBC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由； ②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论． （3）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为15°，试探究∠ACB的度数（直接写出结果，无需写出求解过程）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湛江市博雅学校八年级第二次大练习 数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 在一些汉字的美术字中，有的是轴对称图形．下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可． 【详解】解：四个汉字中只有“善”字可以看作轴对称图形， 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题的关键. 2. 已知点M与点关于y轴对称，那么点M的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同是解题的关键． 【详解】解：∵点M与点关于y轴对称， ∴点M的坐标为， 故选C． 3. 如果三角形两边的长分别是5cm、7cm，那么这个三角形第三边的长可能是（　　） A. 1 cm B. 2cm C. 10cm D. 12 cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，得出答案． 【详解】∵三角形的两边长分别是5厘米、7厘米， ∴设这个三角形第三边长为x，则x的取值范围是：2＜x＜12， 故这个三角形第三边的长可能是10cm． 故选：C． 【点睛】考核知识点:三角形的边.熟记三角形三边关系是关键. 4. 如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵，，，∴，故选项A不符合题意； B、∵，∴，故选项B不符合题意； C、∵，∴，故选项C不符合题意； D、∵，∴不能判定，故选项D符合题意； 故选：D． 5. 已知，，用尺规作图的方法在上取一点，使得，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作线段垂直平分线，垂直平分线的性质，根据题意可得，则点在线段的垂直平分线上，即可求解． 【详解】解：∵， ∴点在线段的垂直平分线上， 故可判断D选项正确． 故选：D． 6. 如图，的面积为，平分，且于点，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长交于点，根据角平分线和垂直可得到，然后利用全等三角形的性质可得，从而可得，，进而可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：如图，延长交于点， 平分，， ，， 和中， ， ， ，， ， ． 故选：B． 7. 如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法中正确的个数是（　　） ①是的平分线；②；③点D在的垂直平分线上；④． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，含的直角三角形的性质等知识，解题的关键是： 利用基本作图可对①进行判断；利用角平分线的定义计算出， 则，于是可对②进行判断；由得到，则根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断； 利用含的直角三角形三边的关系得到，则，然后根据三角形面积公式可对④进行判断． 【详解】解：①根据作图的过程可知，是的平分线． 故①正确； ②如图，∵中，，， ∴． 又∵是的平分线， ∴， ∴，即． 故②正确； ③∵， ∴， ∴点D在的垂直平分线上． 故③正确； ④∵如图，在直角△ACD中，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 故④错误． 综上所述，正确的结论是：①②③，共有3个． 故选：B． 8. 如图，在中，的垂直平分线交于点D，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出的度数，再由线段垂直平分线的性质和等边对等角求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴； ∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9. 如图，已知等边的边长为，中线，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和等边三角形的性质．证明 ，作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，利用全等三角形的性质和等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，，都是等边三角形， ，，， ， ， ， ，， ，， 作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小， ，， 是等边三角形， ， ， ， 周长的最小值． 故选：A． 10. 如图，点是线段上任意一点（点与点，不重合），分别以、为边在直线的同侧作等边三角形和等边三角形，与相交于点，与相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②；③；④连接，则是等边三角形，以上结论正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】利用等边三角形的性质，证明 从而可判断①，由可得 再利用三角形的内角和定理可判断②，得出，进而证明，判断③，得出，即可判断④ 【详解】解：为等边三角形， 即 故①正确； 故②正确； 则 在中 ，故③正确； 又 是等边三角形，故④正确 故选：A． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质,掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题 11. 已知等腰三角形的两边长分别是和，则此三角形的周长是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形，构成三角形的条件；分腰长为与腰长为两种情况，结合三角形三边的关系即可求解． 【详解】解：当腰长为时，， 则三角形的周长为：； 当腰长为时，， 则三角形的周长为：； 综上，此三角形的周长是或． 12. 如图，已知，点，，，在同一条直线上，若，，则线段的长为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据三角形全等的性质可知，然后通过线段和差可求得答案，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵点，，，在同一条直线上， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在中，边的垂直平分线交边于点D，连接，，，的度数为___________． 【答案】##100度 【解析】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，对顶角的性质，三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．由对顶角相等得，根据垂直平分线的定义得到， ，得，最后根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：， ， 垂直平分， ，， ∴， ∵， ， ， 故答案为：． 14. 如图，在中，点P，M在坐标轴上，，，，，则点M的坐标是________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形全等的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明．过点P作x轴的平行线，过点M作于点A，过点N作于点B，根据，，得出，，证明，得出，即可得出答案． 【详解】解：过点P作x轴的平行线，过点M作于点A，过点N作于点B，如图所示： 则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点M的坐标为． 故答案为：． 15. 如图，，于A，于B，且，Q点从B向D运动，每分钟走，P点从B向A运动，P，Q两点同时出发，P点每分钟走______时与全等． 【答案】1或3 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．分两种情况：①若，，则；②若，，则即可得出结果． 【详解】解：∵于A，于B， ∴， 设P点每分钟走， ①若，此时，， ， ， ②若，，， ， ． 故答案为：1或 16. 如图，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AB⊥BC，∠DAB＝130°，点M，N分别是边BC，CD上两个动点，当△AMN的周长最小时，∠MAN的度数为______． 【答案】80°##80度 【解析】 【分析】作点A关于CD的对称点，关于BC的对称点，连接交CD于，交BC于，此时周长最小，利用整体思想得出，从而得到答案． 【详解】如图，作点A关于CD的对称点，关于BC的对称点，连接交CD于，交BC于， 此时周长最小， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称，最短路径问题，三角形内角和定理等知识，运用整体思想是解题的关键． 三、解答题 17. 在中，，是的高，是的角平分线，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质以及角平分线的定义，根据各角之间的关系，求出的度数是解题的关键．由是△的高，可得出，结合三角形内角和定理，可求出的度数，由是△的外角，利用三角形的外角性质，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，再利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】解：是的高，， ， ， ， 又CE是的角平分线， ， ， ． 18. 已知：如图，． （1）求证：； （2）判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 【解析】 分析】（1）证得，可证明． （2）由全等三角形的性质得出，得出，则可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴． 即， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 ， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 19. 如图，在中，，点D是的中点，点E在上．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．先证明，再证明，即可得出结论． 【详解】证明：点D是的中点， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． 20. 如图，中，作AC边的垂直平分线MN交BC于点D，连接AD． （1）依题意补全图形（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）35° 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作法，利用尺规作图即可； （2）先求出∠1的度数，由线段垂直平分线的性质可知，然后利用三角形外角的性质求解即可； 【详解】（1）如图； （2）∵，， ∴． ∵MN垂直平分AC， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解答本题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上． （1）画出关于轴对称的图形并写出顶点的坐标； （2）求的面积； （3）在轴上找一点，使得的周长最小（保留作图痕迹）． 【答案】（1）见解析，顶点的坐标为 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质即可画出关于轴对称的图形，进而写出顶点的坐标； （2）根据割补法即可求的面积； （3）连接与x轴交点即为点P的位置． 【小问1详解】 解：如图，即为所求；顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：如图，点即为所作． 22. 如图，在中，，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）　　　　　（用t的代数式表示）． （2）当点Q在边上运动时，出发 秒后，是等腰三角形． （3）当点Q在边上运动时，出发几秒后，是以或为底的等腰三角形？ 【答案】（1） （2）秒 （3）11秒或12秒 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间表示出相应线段的长，注意方程思想的应用． （1）根据题意即可用可分别表示出； （2）结合（1），根据题意再表示出，然后根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于的方程，可求得； （3）用分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和两种情况，分别得到关于的方程，可求得的值． 【小问1详解】 由题意可知，， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 当点在边上运动，为等腰三角形时，则有， 即，解得， 出发秒后，能形成等腰三角形； 【小问3详解】 ①当是以为底边的等腰三角形时：，如图1所示， 则， ， ． ， ， ， ， ， ； ②当是以为底边的等腰三角形时：，如图2所示， 则， ， 综上所述：当为11或12时，是以或为底边的等腰三角形． 故答案为：11秒或12． 23. 如图，和中，，，，连接交于点O，交于点M，交于点N． （1）求证：； （2）连接，求证：平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理等知识点，灵活运用全等三角形的判定定理证明三角形全等是解题的关键． （1）直接证明，再根据全等三角形的对应边相等即可证明结论； （2）如图2：作，即，再证明可得，然后再根据角平分线的判定定理即可证明结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴． 小问2详解】 解：如图2：作，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点C在的角平分线上，即平分． 24. 在△ABC中，AB=AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE． （1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC=40°，则∠ACE=　　　　，∠DCE=　　　　，BC、DC、CE之间的数量关系为　　　　； （2）设∠BAC=α，∠DCE=β． ①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由； ②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论． （3）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为15°，试探究∠ACB的度数（直接写出结果，无需写出求解过程）． 【答案】（1）70°，40°，BC+DC=CE；（2）①α=β；②当点D在BC上移动时，α=β或α+β=180°；（3）∠ACB=60°． 【解析】 【分析】（1）证△BAD≌△CAE，推出∠B=∠ACE，根据三角形外角性质和全等三角形的性质求出即可； （2）①证△BAD≌△CAE，推出∠B=∠ACE，根据三角形外角性质求出即可； ②分三种情况：（Ⅰ）当D在线段BC上时，证明△ABD≌△ACE（SAS），则∠ADB=∠AEC，∠ABC=∠ACE，推出∠DAE+∠DCE=180°，即α+β=180°； （Ⅱ）当点D在线段BC反向延长线上时，α=β，同理可证明△ABD≌△ACE（SAS），则∠ABD=∠ACE，推出∠BAC=∠DCE，即α=β； （Ⅲ）当点D在线段BC的延长线上时，由①得α=β； （3）当点D在线段BC的延长线上或在线段BC反向延长线上移动时，α=β，由CE∥AB，得∠ABC=∠DCE，推出∠ABC=∠BAC，易证∠ABC=∠ACB=∠BAC，则△ABC是等边三角形，得出∠ACB=60°；当D在线段BC上时，α+β=180°，由CE∥AB，得∠ABC+∠DCE=180°，推出∠ABC=∠BAC，易证∠ABC=∠ACB=∠BAC，则△ABC是等边三角形，得出∠ACB=60°． 【详解】（1）如图1所示： ∵∠DAE=∠BAC， ∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE． 在△BAD和△CAE中，， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ACE=∠B（180°﹣40°）=70°，BD=CE， ∴BC+DC=CE． ∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE， ∴∠BAC=∠DCE． ∵∠BAC=40°， ∴∠DCE=40°． 故答案为：70°，40°，BC+DC=CE； （2）①当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间的数量关系是α=β．理由如下： ∵∠DAE=∠BAC， ∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE． 在△BAD和△CAE中，， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠B=∠ACE． ∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE， ∴∠BAC=∠DCE． ∵∠BAC=α，∠DCE=β， ∴α=β； ②分三种情况： （Ⅰ）当D在线段BC上时，α+β=180°，如图2所示．理由如下： 同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ADB=∠AEC，∠ABC=∠ACE． ∵∠ADC+∠ADB=180°， ∴∠ADC+∠AEC=180°， ∴∠DAE+∠DCE=180°． ∵∠BAC=∠DAE=α，∠DCE=β， ∴α+β=180°； （Ⅱ）当点D在线段BC反向延长线上时，α=β，如图3所示．理由如下： 同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE． ∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠ABD=∠ACD+∠BAC， ∴∠ACD+∠DCE=∠ACD+∠BAC， ∴∠BAC=∠DCE． ∵∠BAC=α，∠DCE=β， ∴α=β； （Ⅲ）当点D在线段BC的延长线上时，如图1所示，α=β； 综上所述：当点D在BC上移动时，α=β或α+β=180°； （3）∠ACB=60°．理由如下： ∵当点D在线段BC的延长线上或在线段BC反向延长线上移动时，α=β， 即∠BAC=∠DCE． ∵CE∥AB， ∴∠ABC=∠DCE， ∴∠ABC=∠BAC． ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=∠BAC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°； ∵当D在线段BC上时，α+β=180°， 即∠BAC+∠DCE=180°． ∵CE∥AB， ∴∠ABC+∠DCE=180°， ∴∠ABC=∠BAC． ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=∠BAC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°； 综上所述：当CE∥AB时，若△ABD中最小角为15°，∠ACB的度数为60°． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的外角性质和多边形内角和等知识．本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $